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21_Proyección de un punto sobre una recta - Contenido educativo

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Subido el 28 de agosto de 2023 por Jaime G.

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Hola, en este vídeo vamos a estudiar cómo calcular la proyección de un punto A 00:00:00
sobre una recta en el espacio. 00:00:05
La idea intuitiva 00:00:07
sería trazar una recta S que pasara por A 00:00:09
y que cortase perpendicularmente a nuestra recta R. 00:00:13
Entonces llamamos proyección de A sobre R 00:00:18
a ese punto de intersección 00:00:21
entre ambas rectas. 00:00:24
El problema en la práctica consiste en determinar cuál es la dirección de esa 00:00:28
recta S sin la cual no la puedo escribir. 00:00:33
Si partimos de la dirección de la recta DATO, de la recta R sobre la que 00:00:36
queremos proyectar, 00:00:40
efectivamente la recta S tiene una dirección perpendicular a V. 00:00:41
El problema es que las direcciones perpendiculares a V 00:00:46
son infinitas y obtener un vector cualquiera perpendicular a V 00:00:50
muy probablemente 00:00:55
no llevará la dirección de la recta S. 00:00:56
Si obtenemos ese vector 00:01:00
no tenemos ninguna garantía, por el hecho de que sea perpendicular a V, el 00:01:02
vector verde, 00:01:06
de que lleve la dirección deseada. 00:01:07
Esto es así 00:01:09
porque en la dirección 00:01:11
perpendicular a V 00:01:16
no hay un solo vector 00:01:18
sino que hay infinitos vectores. 00:01:19
Y por lo tanto es muy muy difícil determinar 00:01:23
obteniendo un vector perpendicular a V al azar es imposible determinar si es el 00:01:26
adecuado o no 00:01:30
para nuestra recta S. 00:01:31
¿Cómo podemos entonces abordar el problema de la proyección de un punto 00:01:36
sobre una recta si la recta S no es fácil de encontrar? 00:01:39
La solución práctica consiste en cambiar totalmente el enfoque, olvidarnos 00:01:43
de buscar esa dirección difícil de encontrar, 00:01:47
olvidarnos de hecho de buscar la propia recta S 00:01:50
y buscar P por otros procedimientos. 00:01:53
Lo que vamos a hacer ahora 00:01:57
no es buscar una recta S que pase por A y sea perpendicular a R sino buscar 00:01:59
todo un plano 00:02:04
que pase por A y que sea perpendicular 00:02:07
a R. 00:02:10
Encontrar ese plano es fácil 00:02:11
porque 00:02:13
al ser precisamente perpendicular a R 00:02:15
podemos utilizar 00:02:18
como vector normal de ese plano 00:02:19
el vector director de la recta R o cualquiera que sea paralelo a él. 00:02:21
Una vez obtenido ese plano 00:02:26
el punto proyección buscado 00:02:28
se encuentra simplemente 00:02:30
haciendo la intersección de ese plano con la recta R 00:02:32
y observamos entonces que el punto que se obtiene, 00:02:36
el punto P, 00:02:40
es exactamente el mismo 00:02:41
al que nos referíamos al principio, el punto proyección, 00:02:44
dado que ahora sí podemos trazar esa recta S perpendicular 00:02:48
por ese mismo punto. 00:02:53
Vamos ahora a resolver un caso práctico 00:03:10
con este punto A y esta recta R. 00:03:13
Para empezar calculamos 00:03:16
plano pi que tiene por vector normal 00:03:21
el vector director de R 00:03:24
que leemos en sus ecuaciones paramétricas 00:03:26
y que no es otro que el (-1, 2, 4). 00:03:29
Y el plano debe pasar además por el punto A, 00:03:35
(-4, 1, 0). 00:03:38
Las coordenadas del vector normal coinciden con los coeficientes de las 00:03:41
variables en la ecuación general del plano 00:03:45
y nos quedaría por determinar su término independiente, 00:03:47
cosa que podemos hacer 00:03:50
sustituyendo las coordenadas del punto 00:03:52
x, y, z por 4, menos 1, 0 00:03:55
puesto que ese punto 00:03:59
tiene que estar en el plano. 00:04:01
Obtenemos que D debe ser 6 y por lo tanto que el plano 00:04:03
tiene que ser menos x más 2y más 4z 00:04:08
más 6 igual a 0. 00:04:13
Una vez obtenido el plano nos falta hallar su punto de corte con la recta R 00:04:16
lo cual hacemos introduciendo las ecuaciones paramétricas de R en la 00:04:21
ecuación del plano. 00:04:25
Así que menos x se cambia por menos 2 más lambda 00:04:26
más 2y se cambia por 4 lambda 00:04:30
y más 4z se cambia por menos 4 más 16 lambda 00:04:33
más 6 igual a 0. 00:04:38
De aquí obtenemos que 21 lambda es 0 00:04:41
de donde lambda es 0 00:04:44
y reintroduciendo este valor en las ecuaciones paramétricas 00:04:46
obtendríamos el punto P como el punto 2, 0, menos 1 00:04:50
y esta es la proyección del punto A sobre la recta R. 00:04:55
Autor/es:
Guerrero López, Jaime
Subido por:
Jaime G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
28 de agosto de 2023 - 9:25
Visibilidad:
Público
Centro:
CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
Duración:
05′
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
22.42 MBytes

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