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Problema trigonometría TANGENTES - Contenido educativo

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Subido el 2 de febrero de 2022 por Roberto A.

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Típico problemas de trigonometría donde se utiliza la definición de tangente de un ángulo agudo.

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Este es un problema típico de trigonometría que se resuelve a través de las tangentes. 00:00:00
¿Qué nos dice el enunciado? El enunciado nos dice que observamos el punto más alto de una torre 00:00:06
bajo un ángulo de 72 grados sobre la horizontal. 00:00:13
Si nos alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de 31 grados. 00:00:17
¿A qué altura se muestra esta torre? Pues lo primero que tenemos que hacer es su representación gráfica. 00:00:23
Si nosotros, esta es nuestra torre y esta es la horizontal, esta es la torre que mide, vamos a decir, h, nosotros estamos a una distancia x, no lo sabemos, y lo único que sabemos es que desde donde estamos nosotros, al punto más alto, hay 72 grados respecto a la horizontal. 00:00:28
Luego, ¿qué nos indican? Pues que si nosotros nos alejamos de la torre 350 metros, pues el ángulo que se forma ahora con el punto más alto de la torre, en vez de ser 72, es 31 grados. 00:00:51
¿De acuerdo? Entonces nosotros aquí lo importante es ver que tenemos dos triángulos rectángulos. Tenemos este triángulo donde esto mide h, esto mide 350 más x y estos son 31 grados y luego tenemos otro donde esto mide 72 grados, esto mide x y esto mide h. 00:01:10
Si recordamos las fórmulas para los ángulos agudos, pues vemos que el seno de alfa es cateto opuesto partido de hipotenusa. 00:01:36
Recordamos que en un triángulo rectángulo los catetos son los que forman el ángulo recto. 00:01:45
Este es un cateto y este otro cateto. 00:01:52
Y el lado que queda es la hipotenusa. 00:01:54
La hipotenusa. 00:01:59
Si para nosotros este es alfa, pues el cateto opuesto que es este de aquí, este es el cateto opuesto 00:02:00
Y el cateto continuo es aquel que forma precisamente el ángulo alfa 00:02:08
Si nosotros, por ejemplo, estuviéramos en este ángulo beta, pues este sería el opuesto y este de aquí sería el contiguo a beta 00:02:14
¿De acuerdo? Entonces, el seno de alfa, ¿cómo se define? Como cateto opuesto partido de hipotenusa. El coseno de alfa es el cateto contiguo partido de hipotenusa. 00:02:27
Pero aquí vemos en nuestros triángulos que no solo las hipotenusas, no sabemos lo que vale. El cateto opuesto es h y el cateto contiguo es 300 más x, con lo cual aquí, pues con el seno y con el coseno poco podemos hacer. 00:02:43
Aquí también, esta hipotenusa, la desconocemos cuánto vale. Por lo tanto, la única función, la única ecuación que nos podría valer es la tangente. ¿De acuerdo? La tangente se define el seno partido del coseno. 00:03:00
Al hacer esto partido de esto, como las hipotenusas se van, quedan cateto opuesto y cateto contiguo. 00:03:18
Con lo cual, nosotros, ¿qué es lo que tenemos? 00:03:25
Pues nosotros tenemos este triángulo rectángulo, donde este cateto opuesto a alfa, que es 31 grados, es h, y el cateto contiguo es 350 más x. 00:03:29
Y en este triángulo rectángulo tenemos alfa que mide 72, h es el cateto opuesto al ángulo y x es el cateto contiguo. 00:03:44
Con lo cual, ¿cómo nos queda nuestra fórmula? 00:03:59
Pues de este triángulo vemos que tangente de 31 grados es igual al cateto opuesto, que es h, partido de 350 más x, que es el cateto contiguo. 00:04:02
Y tangente de 32, vemos que es h, que es el cateto opuesto partido del cateto contiguo. 00:04:12
¿Qué es lo que tenemos común en ambas ecuaciones? Pues la h. 00:04:19
Con lo cual despejamos de aquí h, h es igual a la tangente de 31 que multiplica a 350 más x. 00:04:26
Y de aquí h, que es igual a tangente de 72 grados, que multiplica x. 00:04:35
Como h es la altura de la torre, h es la altura de la torre, que es lo que queremos saber, altura de la torre, 00:04:43
y vemos que es igual a esto y es igual a esto, cuando nosotros tenemos que a es igual a b y b es igual a c, 00:04:51
entonces a es igual a c, ¿verdad? 00:04:59
Como h es igual que esto y h es igual a esto, podemos decir que la tangente de 31 grados por 350 más x es igual a la tangente de 72 grados por x. 00:05:01
Si yo distribuyo aquí, tengo tangente de 31 por 350 más tangente de 31 por x igual a tangente de 72 grados por x. 00:05:18
Me llevo esto al segundo miembro y me queda tangente de 31 grados por 350 es igual a tangente de 72 grados por X menos tangente de 31 grados por X. 00:05:45
Si yo aquí saco factor común X, tengo X que multiplica a tangente de 72 grados menos tangente de 31 grados. 00:06:02
¿Cuánto vale x? Pues x es tangente de 31 por 350 partido de tangente de 72 menos tangente de 31. 00:06:14
Esto lo hago con la calculadora. 00:06:29
esto lo hago con la calculadora 00:06:31
si lo hacemos con la calculadora 00:06:34
vemos que esto nos sale 00:06:40
un resultado de 84,9 metros 00:06:42
pero esto que era 00:06:49
era la distancia a la cual yo estaba originalmente 00:06:50
distanciada de la torre 00:06:53
esta es mi X 00:06:56
entonces de esta fórmula de aquí 00:06:57
podemos saber que 00:07:00
h es igual a x por la tangente de 72 grados, es decir, h es igual a 84,9 por el 3,07 y esto 00:07:02
¿cuánto nos da? Pues nos da 261,3 metros. Recopilando, nosotros estábamos a una distancia 00:07:14
a X, esta es la altura de la torre, luego desde donde nosotros estamos al punto más 00:07:24
alto de la torre hay 72 grados, nos alejamos 350 metros de la torre y vemos que el ángulo 00:07:32
ahora desde donde nosotros estamos respecto a la horizontal al punto más alto de la torre 00:07:41
pasa de 72 a 31 grados. Aquí no nos queda más remedio que utilizar las tangentes de 00:07:46
los dos ángulos, puesto que la hipotenusa, tanto esta de aquí como esta de aquí, son 00:07:52
desconocidas. ¿De acuerdo? Tenemos dos triángulos rectángulos, aplicamos la definición de 00:07:57
tangente, vemos que tienen en común esa h y la igualamos. Obtenemos primero la x, que 00:08:03
es la distancia a la cual estoy de la torre, y después de cualquiera de estas dos ecuaciones 00:08:11
Vemos que de esta es más rápida, pues hallamos el valor de X. 00:08:17
Y al final la torre mide 261,3 metros. 00:08:23
Este es un problema súper típico de trigonometría. 00:08:28
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
134
Fecha:
2 de febrero de 2022 - 19:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
08′ 35″
Relación de aspecto:
1.70:1
Resolución:
1224x720 píxeles
Tamaño:
58.24 MBytes

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