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Potencia de una matriz - Contenido educativo

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Subido el 8 de diciembre de 2024 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a trabajar las potencias de matrices, para eso vamos a hacer este ejercicio en el que nos piden calcular la potencia 86 de la matriz A. 00:00:00
Cuando nos piden una potencia tan alta está claro que es o porque bien la matriz A tiene una recurrencia, vamos a encontrar una ley de formación, o porque la matriz A es cíclica. 00:00:08
Pero para poder saber cuál de las dos opciones es, siempre tenemos que ir calculando las potencias en la cuadrada o a cubo hasta la que necesitemos. 00:00:20
la matriz A es una matriz cuadrada 3x3 00:00:27
por lo tanto se pueden calcular sus potencias 00:00:30
ya que se pueden hacer los productos 00:00:32
la potencia, el A cuadrado 00:00:35
sabemos que esto es A por A 00:00:37
no es elevar cada uno de los elementos al cuadrado 00:00:39
con eso tener cuidado 00:00:43
simplemente es multiplicar la matriz A por la matriz A 00:00:45
la escribimos 00:00:47
4, 5, menos 1 00:00:50
menos 3, menos 4, 1 00:00:52
menos 3, menos 4, 0 00:00:55
volvemos a escribir la misma matriz 00:01:00
4, 5, menos 1 00:01:05
menos 3, menos 4, 1 00:01:08
menos 3, menos 4, 0 00:01:12
y nos ponemos a hacer el producto de matrices 00:01:16
para multiplicar las matrices 00:01:22
multiplicamos primera fila 00:01:25
por primera columna. Empezamos 4 por 4, 16, más menos 3 por 5 es menos 15, así que hoy llevo 1, menos 3 por menos 1 es más 3, 00:01:27
1 más 3, 4. Para el siguiente elemento multiplicamos otra vez la primera fila por la segunda columna. 00:01:42
4 por 4, 16 00:01:50
Uy, que estoy multiplicando otra vez por la primera fila, perdón, empezamos otra vez 00:01:55
4 por menos 3, menos 12 00:02:00
menos 3 por menos 4 es más 12, así que ya va a 0 00:02:04
y menos 3 por 1, menos 3 00:02:08
¿Vale? Y ahora multiplicamos por la tercera columna 00:02:11
4 por menos 3, menos 12 00:02:15
menos 3 por menos 4 más 12, 0, menos 3 por 0, 0, ¿vale?, cierro el paréntesis, y ahora vamos por la segunda columna, voy a cambiar de color para ver si así se ve un poco mejor, 00:02:20
Ahora, segunda fila, primera columna, 5 por 4, 20, menos 4 por 5, menos 20, así que eso es 0, y menos 4 por menos 1 es más 4. 00:02:38
La segunda fila por segunda columna es 5 por menos 3 menos 15, menos 4 por menos 4 es más 16, así que me queda 1, menos 4 por 1 es menos 4, 1 menos 4 es menos 3. 00:02:53
y por último multiplicamos la segunda fila de la primera matriz por la tercera columna de la segunda matriz 00:03:14
5 por menos 3 es menos 15, menos 4 por menos 4 es más 16 00:03:25
o sea que me queda 1 y menos 4 por 0 es 0 así que aquí me queda 1 00:03:32
Y ahora, para la última fila, multiplicamos primero por la primera columna, menos 1 por 4 es menos 4, 1 más 5 es 5, es decir, menos 4 más 5 es 1, y 0 menos 1 es 0. 00:03:38
aquí me queda un 1. Tercera fila por la segunda columna, menos 1 por menos 3, más 3, 1 por menos 4 es menos 4, 00:03:56
más 3 menos 4 ya llevamos menos 1, y 0 por 1 es 0, o sea que aquí me queda menos 1. 00:04:10
Y ahora ya para el último elemento es la tercera fila por la tercera columna, menos 1 por menos 3 es 3, 1 por menos 4 es menos 4, 3 menos 4 es menos 1 y 0 con el 0 es 0, así que me queda menos 1. 00:04:17
vale, nos fijamos en la A que acabamos de obtener con la primera 00:04:38
y no vemos tampoco ninguna área de recurrencia 00:04:43
hay algunos elementos que se mantienen pero los demás no sacamos nada 00:04:46
así que vamos a calcular el A al cubo 00:04:50
A al cubo 00:04:54
que es A cuadrado por A o A por A cuadrado como lo queramos poner 00:04:55
yo lo voy a poner como A cuadrado por A 00:05:00
por lo tanto escribo primero la matriz A cuadrado 00:05:02
que es 4, 4, 1, menos 3, menos 3, menos 1, 0, 1, menos 1. 00:05:05
A ver, cuando he dicho que da lo mismo poner a cuadrado por a que a por a cuadrado, 00:05:18
recordad que el producto de matrices no es conmutativo, 00:05:22
pero en este caso es por asociatividad. 00:05:26
a cubo es a por a por a, ¿vale? 00:05:29
Por lo tanto, es decir, estoy diciendo que a cubo es a por a por a. 00:05:31
Puedo asociar las dos primeras y sería a cuadrado por a, o podría asociar las dos últimas y sería a por a cuadrado, ¿vale? 00:05:37
Eso sí que se verifica. 00:05:45
Vale, escribimos la matriz a, 4, 5, menos 1, menos 3, menos 4, 1, menos 3, menos 4, 0. 00:05:46
Hacemos otra vez el producto y empezamos primera fila por primera columna 00:06:01
4 por 4 es 16 00:06:11
Menos 3 por 5 es menos 15, ya me queda 1 00:06:15
Y 0 por menos 1 es 0, así que el primer elemento es un 1 00:06:20
Ahora multiplicamos la primera fila por la segunda columna 00:06:24
4 por menos 3 es menos 12 00:06:28
menos 3 por menos 4 es más 12 00:06:31
por lo tanto es 0 00:06:35
y 0 por 1 es 0 00:06:36
esto ya tiene mejor pinta, ¿verdad? 00:06:40
el siguiente elemento es multiplicar 00:06:43
primera fila por tercera columna 00:06:45
y me sale menos 4 por menos 3 es menos 12 00:06:47
menos 3 por menos 4 es más 12 00:06:51
0 por 0 es 0 00:06:54
Vale, pues vamos ahora a hacer lo mismo con la segunda fila por la primera columna 00:06:57
Tener cuidado cuando, si veis que lo digo al revés, que ya sabéis que con la dislexia se me va 00:07:08
Pero mirad siempre los dibujitos, ¿vale? Ahí sí que están claros 00:07:12
Vale, segunda fila, 4 por 4, 16, menos 3 más 5 es menos 15, por lo tanto me queda 1 00:07:15
1 menos 1 es menos 1, 1 menos 1 es 0. 00:07:24
Segunda fila, segunda columna, menos 4 por menos 3 es menos 12, menos 3 por menos 4 es más 12, por lo tanto menos 12 más 12 es 0, y 1 por 1 es 1. 00:07:31
Y ahora la segunda fila por la tercera columna. 00:07:48
4 por menos 3, menos 12, menos 3, por menos 4 es más 12, menos 12 más 12, 0. 00:07:54
Y 1 por 0, 0. 00:08:03
¿Vale? 00:08:06
Luego ya tenemos la segunda fila también hecha. 00:08:07
Y ya nos vamos haciendo una idea de lo que va a pasar, ¿verdad? 00:08:11
Tercera fila, empezamos por la primera columna. 00:08:14
Lo tenemos que calcular, tenemos que calcular todo y comprobar que lo que creemos que va a pasar es lo que va a pasar. 00:08:18
1 por 4 es 4, menos 1 por 5 es menos 5, 4 menos 5 es menos 1, menos 1 por menos 1 es más 1, menos 1 más 1 es 0. 00:08:24
Tercera fila, segunda columna. 00:08:39
Menos 3, perdón, 1 por menos 3, menos 3 00:08:42
Menos 1 por menos 4 es más 4, menos 3 más 4 es 1 00:08:46
Y menos 1 por más 1 es menos 1, 1 menos 1, 0 00:08:51
Y el último elemento, pues la tercera fila por la tercera columna 00:08:58
1 por menos 3 es menos 3 00:09:05
Menos 1 por menos 4 es más 4 00:09:08
Menos 3 más 4 es 1 00:09:12
Y menos 1 por 0 es 0 00:09:13
Así que aquí me queda 1 00:09:15
Vamos a cambiar otra vez al morado 00:09:17
¿Qué hemos obtenido? 00:09:23
Pues esta es la matriz identidad 00:09:26
Luego ya tenemos el ejercicio resuelto, ¿verdad? 00:09:29
¿Qué ha ocurrido? 00:09:33
Lo que ha ocurrido es que la matriz, bueno, se ha puesto a salir un montón de cosas por ahí, hemos obtenido que la matriz 3, el a al cubo, es la identidad, por lo tanto es una matriz cíclica, a4 que sería la matriz a, porque sería la identidad por la matriz a, ¿vale? 00:09:35
Por lo tanto, ¿qué es lo único que tenemos que hacer ahora? Pues dividir el exponente, 86, entre 3. 2 por 3, 6, al 8, 2, bajo 6, 3 por 8, 24, al 26, 2. 00:09:57
Y entonces si hacemos todos los pasos, ¿qué me quedaría? Que a elevado a 86 lo puedo poner como a elevado a 3 por 86 más 2, 00:10:13
esto es la propiedad de la división, producto del cociente por el divisor más el resto, por las propiedades de las potencias, 00:10:28
Esto es a al cubo elevado a 86, ya que tengo un producto, por a al cuadrado, ya que tenemos una suma. 00:10:35
¿Y qué ocurre? Que a al cubo es la identidad, por lo tanto todo esto es la identidad, 00:10:46
y que me quedaría aquí i por a al cuadrado, es decir, a al cuadrado. 00:10:51
¿Vale? Que es lo que también sabíamos, porque en el fondo el resto de la división es justamente el exponente resultante. 00:10:57
¿Vale? Por lo tanto, a a la 86 es exactamente a cuadrado. 00:11:10
A ver, de acuerdo, o sea, lo podemos escribir aquí abajo, a a la 86 es igual a a al cuadrado, que si queréis lo único que tendríamos que hacer es escribir, pues, la matriz al cuadrado, que es esta, por no estar moviendo más cosas, no lo escribo, pero vosotros en el examen, vaya, me lo ha hecho como un pentágono, vosotros en el examen es mejor que lo escribáis, ¿vale? 00:11:18
Espero que lo hayáis visto, no es muy complicado de hacer, simplemente tenéis que tener cuidado a la hora de multiplicar. 00:11:45
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
11
Fecha:
8 de diciembre de 2024 - 14:54
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
11′ 55″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
31.48 MBytes

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