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Derivadas - Contenido educativo
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Derivadas de funciones polinómicas racionales e irracionales sencillas
Hola, vamos a ver hoy las derivadas de algunas funciones elementales, como funciones polinómicas,
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racionales e irracionales. Comenzamos con una función polinómica, la derivada de cx cuadrado
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menos 2x menos 1. Bien, para hacer esta derivada vamos a tener que utilizar el hecho de que
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la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas. La derivada
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de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.
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La derivada de una constante es 0, la derivada de x elevado a n es n por x elevado a n menos 1
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y la derivada de x, bueno, esta es consecuencia de la anterior, por la derivada de igual a x, pues es 1.
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Bien, entonces, bueno, esta función se puede poner como la suma o diferencia de tres funciones.
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Por un lado sería igual a 3x cuadrado, su derivada y prima, pues es la constante que es 3, por la derivada de x cuadrado que es 2 por x elevado a una unidad menos.
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Esto es igual a 6x.
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Si es igual a menos 2x, pues su derivada y prima es menos 2, la constante, por la derivada de x que es 1, menos 2.
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Y si es igual a menos 1, pues su derivada y prima es 0.
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Bien, entonces la derivada de esta suma y diferencia de funciones, pues será igual, la derivada de f' de x será igual a 6x menos 2 a la suma de las derivadas.
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Esto también se puede hacer directamente, no es necesario que lo hagamos siempre paso a paso y podemos hacerlo así.
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Bueno, pues f' de x es igual a 3 por 2 elevado a una unidad menos, 2 por x elevado a una unidad menos, menos 2 por 1, que esto es igual a 6x menos 2.
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También podríamos haberlo hecho directamente.
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Bien, vamos a ver esta otra derivada de una función polinómica.
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Bueno, pues f' de x es igual a menos 2 por 4 por x elevado a una unidad menos, menos 3, que es la constante, por 2 por x elevado a una unidad menos, más 2 por 1.
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f' de x, f' de x, pues ya será igual a menos 8x al cubo, menos 6x, más 2.
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Bien, esto lo podríamos haber hecho también directamente, haber pasado directamente aquí.
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Sería menos 2 por 4, 8, por x elevado a 3, menos 3 por 2, por x elevado a 1, menos 2 por 1, más 2 por 1, más 2.
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Bien, vamos a ver ahora la derivada de un cociente.
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La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar y partido por el denominador al cuadrado.
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Bien, pues lo hacemos, f' de x será igual a derivada del numerador, que es 3x menos 2, la derivada de 3x es 3, la derivada de menos 2 es 0, por el de abajo sin derivar, por x al cuadrado, menos la derivada del de abajo, que es 2x, por el de arriba sin derivar, y partido por el denominador al cuadrado.
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f' de x es igual a 3x cuadrado menos 6x cuadrado más 4x partido por x a la cuarta.
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Operando aquí nos quedaría menos 3x cuadrado más 4x partido por x a la cuarta.
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Aquí podemos simplificar sacando factor común una x, bueno, pues f' de x es igual a x por menos 3x más 4 partido por x a la cuarta.
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Quitamos una x de aquí con una x de aquí, nos queda x cubo, y bueno, pues f' de x es menos 3x más 4 partido por x al cubo.
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Bueno, esta expresión que tenemos aquí, pues es equivalente a la de arriba, bastaría, para que nos quedase igual, bastaría simplemente cambiar de signo todo el numerador, y lo podríamos dejar de esta forma, pues f' de x es igual a menos 3x menos 4 partido por x al cubo, ¿no?
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Lo único que hemos hecho ha sido cambiar de signo todo el numerador. Así valdría, ¿de acuerdo? Con esta expresión valdría.
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Bien, vemos el siguiente
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La derivada de un cociente, pues igual que antes, ¿no?
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f' de x será igual a la derivada del numerador
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Que es 3 menos 2x por el denominador sin derivar
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Menos la derivada del de abajo, de x menos 1, que es 1
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Por el numerador sin derivar
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Y partido por el denominador al cuadrado.
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Bien, operamos aquí. Pues f' de x es igual a 3x menos 3 menos 2x cuadrado más 2x, multiplicando ahí esos polinomios,
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menos 3x más x cuadrado, partido por x menos 1 al cuadrado.
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Si operamos y simplificamos, pues nos quedaría menos x al cuadrado, 3x menos 3x fuera, más 2x, menos 3, partido por x menos 1 al cuadrado.
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Bueno, y así valdría, ¿no?
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Bueno, si nos fijamos no es exactamente igual que lo que tenemos arriba,
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pero bueno, ahí lo único que hay que hacer es cambiar de signo todo el numerador.
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Esto también se puede poner, es equivalente a la siguiente expresión,
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f' de x igual a menos, cambiamos de signo todo el numerador,
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nos queda x cuadrado menos 2x más 3 partido por x menos 1 al cuadrado, ¿no?
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Que es lo mismo que teníamos antes.
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y lo único que hemos hecho ha sido cambiar el signo todo el numerador.
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Bien, hemos visto ya las dos derivadas de un cociente de polinomios, de funciones racionales.
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Vamos a ver ahora la derivada de una función potencial, 3x menos 2 elevado al cubo.
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Bueno, la derivada de la función potencial, bueno aquí la tenemos, si es igual a x elevado a n,
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pues imprima es n por x elevado a n menos 1.
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Y si en vez de tener x tenemos la función f de x elevado a n, si f de x es elevado a n, su derivada es n por f de x elevado a una unidad menos por la derivada de la función, ¿no?
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Venga, pues vamos a hacerlo.
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f' de x puede ser igual a 3 por 3x menos 2 elevado a una unidad menos, a 2, por la derivada de lo de dentro, que es 3.
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Por lo tanto, f' de x será igual a 9 por 3x menos 2 elevado al cuadrado, ¿vale?
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Bueno, y así se quedaría.
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Vamos a ver otra.
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Fijaos, esta función la podríamos derivar como la derivada de un cociente,
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pero también la podemos poner como la derivada de una función potencial, fijaos.
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Como menos 3 es una constante, pues esto es igual a menos 3,
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por x cuadrado menos 2 elevado a menos 3.
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El exponente positivo que tenemos aquí en el denominador
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pasa al numerador con exponente negativo, ¿no?
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Bien, pues vamos a hacer la derivada.
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Como una función potencial, pero bueno, ya os digo que también se podría hacer
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como la derivada de un cociente.
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Bien, pues f' de x sería igual a menos 3, que es la constante,
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es la derivada de una constante por una función, ¿no?
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Pues es la constante por menos 3, que es el exponente, por x cuadrado menos 2 elevado a una unidad menos, menos 3, menos 1.
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Y por la derivada de la función, por la derivada de lo de dentro, 2x.
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Aquí lo que estamos haciendo es aplicando la regla de la cadena.
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Bien, f' de x es igual a menos 3 por menos 3, 9, por 2, 18.
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18x por x cuadrado menos 2 elevado a menos 4.
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Bien, y esto es igual a 18x partido por x cuadrado menos 2 elevado a 4.
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¿Vale? Bien, vamos a hacer ahora la derivada de una función irracional de una raíz cuadrada
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¿Vale? Se puede hacer con la derivada de una función potencial
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¿Vale? Porque esto sería lo mismo que x cuadrado menos 2x elevado a 1 medio
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Pero como las raíces cuadradas aparecen muy a menudo
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Pues sería conveniente que nos aprendiésemos esta regla
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Si es igual a la raíz de f de x, pues si prima es f prima de x partido por 2 veces
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la raíz de f de x, ¿vale? Pues lo vamos a hacer así, aunque también lo podríamos hacer
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como la derivada de una función potencial. Bien, pues f' de x será igual a derivada
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de la función de x cuadrado menos 2x, que es 2x menos 2, partido por dos veces la raíz
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raíz de x cuadrado menos 2x, la raíz de la función sin derivar.
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Esto podemos simplificarlo, podemos sacar un 2 factor común,
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2 por x menos 1 partido por 2 raíz de x cuadrado menos 2x.
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Simplificamos, 2 es f' de x, por tanto es igual a
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x menos 1 partido por la raíz de x cuadrado menos 2x.
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Recordad, solamente podemos simplificar si están multiplicando en el numerador y en el denominador.
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Bien, vamos a hacer ahora esta otra, la derivada de una función racional.
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Esta no se puede poner como una función potencial porque tenemos una función en el numerador y una función en el denominador.
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Entonces hay que aplicar la derivada del cociente.
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F' de x es igual a la derivada del primero, la derivada del numerador, 1, por el denominador sin derivar, menos la derivada del segundo.
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¿Cuál es la derivada de x menos 1 al cuadrado? Pues es 2 por x menos 1 elevado a una unidad menos, y por la derivada de lo de dentro, que es 1, y por el numerador sin derivar.
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y partido por x menos 1 elevado al cuadrado, x menos 1 elevado al cuadrado, elevado al cuadrado, elevado a 4.
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Bien, aquí arriba en el numerador podemos sacar factor 1x menos 1, que con el x menos 1 elevado a 4 la podemos poder simplificar.
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Entonces, f' de x es igual a x menos 1 por x menos 1, hemos sacado el factor común x menos 1, menos 2x, partido por x menos 1 elevado a 4.
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Quitamos un x menos 1, quitamos 1, nos quedan 3.
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Al final, ¿qué nos queda? Pues que f' de x es igual a x menos 1 menos 2x partido por x menos 1 elevado a 3.
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Entonces f' de x es igual a menos x menos x menos 1 partido por x menos 1 elevado al cubo.
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Así estaría bien.
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Si os fijáis no coincide con la solución que tenemos arriba, pero bueno, bastaría como siempre,
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pues simplemente cambiar el signo todo en numerador, pero bueno, así estaría perfectamente.
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f' de x es igual a menos, cambiamos todo de signo, x más 1 partido por x menos 1 al cubo.
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Pero vamos, así estaría bien.
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Bien, vamos a ver ahora la llevada de una función, bueno, es polinómica y aquí tenemos racionales.
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Para hacer la llevada de esta función, pues lo más sencillo es poner esto como si fuese un polinomio,
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No es realmente un polinomio porque las potenciales por ente negativo no son polinomios, pero bueno, vamos a ponerlo todo en forma de potencia.
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Bien, f de x, pues es igual a x cubo menos x cuadrado menos 1 más 2 por x elevado a menos 2 menos x elevado a menos 3, ¿vale?
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Hemos subido el x cuadrado arriba como x elevado a menos 2 y el x elevado al cubo lo hemos subido arriba como x elevado a menos 3.
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Y ahora derivamos aplicando esta regla de derivación, la derivada de una función potencial y la derivada de una constante por una función.
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Bien, pues f' de x es igual a 3x al cuadrado menos 2x elevado a una unidad menos.
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La igualdad de menos uno es cero. Menos dos por menos dos, menos cuatro, x elevado a una unidad menos, que es menos tres. Y menos por menos, más tres, x elevado a una unidad menos, que es menos cuatro.
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Por lo tanto, f' de x es igual a 3x cuadrado menos 2x menos 4 partido por x al cubo más 3 partido por x a la cuarta.
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¿Vale? No sé si veis lo que hemos hecho, ha sido 3 por 1, 3x cuadrado, menos 2 por 1, menos 2x, la derivada de menos 1 es 0, menos 2 por 2, menos 4, por x elevado a 1 unidad menos, menos 2 menos 1, menos 3, menos 3 por menos 1, más 3, por x elevado a 1 unidad menos, que es menos 4.
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Aquí tenemos nuevamente la derivada de un cociente, 1 partido por la raíz de x menos 1.
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Esto también se puede poner como la derivada de una función potencial, como x menos 1 elevado a menos 1 medio.
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Vamos a hacerlo en este caso de esta forma, como la derivada de una función potencial.
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Bien, pues la derivada f' de x, pues será igual a menos 1 medio, por x menos 1 elevado a una unidad menos,
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menos un medio, menos uno. Por la derivada de lo de dentro, la derivada de lo de dentro, pues es uno.
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Y al final, ¿qué nos queda? Pues f' de x es igual a menos un medio, por x menos uno elevado a menos un medio, menos uno, menos tres medios.
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Y bueno, pues esta potencia con exponente negativo la podemos poner de la siguiente forma, menos 1 partido por 2, un medio, y el x menos 1 elevado a menos 3 medios, pues como x menos 1 elevado a 3 medios positivo, ¿no?
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y esto pues se queda como menos 1 partido por 2 por la raíz cuadrada de x menos 1 elevado a 3, ¿vale?
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Y así se quedaría, esta expresión es equivalente a la que tenemos arriba, es equivalente a esta, ¿vale?
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Bien, bueno, pues ya hemos acabado.
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En el próximo vídeo pues veremos derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
00:17:58
- Idioma/s:
- Autor/es:
- Julio Molero Aparicio
- Subido por:
- Julio M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial
- Visualizaciones:
- 195
- Fecha:
- 5 de enero de 2021 - 2:55
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 18′ 10″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 347.31 MBytes
