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6º MATEMÁTICAS. El m.c.m. y el M.c.d. - Contenido educativo

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Subido el 4 de febrero de 2021 por Ana Isabel A.

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Vamos a ver ahora el máximo común divisor y el mínimo, mínimo común. 00:00:08

¿Estáis preparados? Repetimos. 00:00:24

Mínimo común, máximo común. 00:00:27

Vamos a ver el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. 00:00:32

Vamos a empezar por el mínimo común múltiplo. 00:00:41

Bueno, lo dicho, comenzamos con el mínimo común múltiplo. 00:00:47

Lo que será eso del mínimo, vamos a ver, del mínimo común múltiplo. 00:00:49

Sabemos lo que son los múltiplos, por lo tanto, el mínimo común múltiplo, que a partir de ahora lo veremos así escrito, 00:00:58

es el número siempre positivo, ¿vale? Aquí volvemos a los números de siempre. 00:01:03

Es mínimo, por lo tanto, es el número positivo más pequeño que sea común, ¿vale? 00:01:08

Que tengan dos números, es decir, el número más pequeño común a dos números que me pidan y que sean múltiplos. 00:01:14

Como dice la definición, el mínimo común múltiplo es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o de más números. 00:01:23

Para entender mejor esta definición vamos a ver lo siguiente. Fijaos, vamos a señalar aquí, mínimo común múltiplo. 00:01:29

Vamos a ver el de dos y el de tres. ¿Qué tenemos que hacer? Pues nada, calculamos los múltiplos de dos hasta un punto, ¿vale? 00:01:36

Hasta un punto. Calculamos los múltiplos de 3, tampoco eternamente. Cuando yo vea que hay uno que ha coincidido de manera temprana, ya tenemos el mínimo común múltiplo de 2 y de 6, el mínimo es solo un número, ¿eh? Es el 6, ¿vale? 00:01:43

Sería el 6, es el mínimo común múltiplo de 2 y de 3, porque es múltiplo a la vez de 2 y también es múltiplo de 3. 00:02:01

Seguimos. 00:02:12

Fijaos, múltiplo, aquí tenemos como las tres cosas para aclararnos más, ¿vale? 00:02:15

El múltiplo de un número son los que se obtienen multiplicando, ¿vale? 00:02:19

Es el resultado que se obtiene de una multiplicación. 00:02:24

Por ejemplo, múltiplos de 3, todos aquellos hasta el infinito, resultados que aparecerán de multiplicar el 2 por cualquier número natural. 00:02:26

Por el 0, el 1, el 2, el 1224, todos esos, todos los resultados son múltiplos. 00:02:35

Múltiplo común será un múltiplo que es común a un número y a otro a la vez, que está en dos números, que aparece en la tabla de dos números. 00:02:41

Y si es el mínimo, pues es el más pequeño. Pues aquí tenemos en estas definiciones el mínimo, común, múltiplo. 00:02:49

Aquí, ¿vale? Múltiplo, múltiplo común y mínimo común múltiplo. 00:02:59

Ya lo tenemos. ¿Cómo lo calculamos? Bueno, vamos allá. 00:03:05

Se puede calcular de dos formas, que es exactamente igual que las dos formas, bueno, las dos formas de sacar divisores, no. 00:03:11

Vamos a verlo. Tenemos esto, ¿vale? Que lo hemos hecho antes. Ya sabemos que es 6. 00:03:18

Esta es una forma, sacando los múltiplos de un sitio y sacando los múltiplos de otro. 00:03:22

Pero, vamos a borrar esto para que lo veáis bien, porque aquí aparece... 00:03:26

Bueno, en este caso es el resultado, ¿vale? El 6 es el más pequeño que sea común a los dos. 00:03:34

Pero vamos a ver ahora el segundo método. 00:03:39

El segundo método dice que para calcular el mínimo común múltiplo, ¿vale? 00:03:42

Lo primero que hay que hacer es descomponer factores primos que tanto nos gustan, ¿sí? 00:03:45

Aquellos números que solo tienen dos divisores, acuérdate, el 1 y el mismo. 00:03:51

Después tendremos que elegir, y aquí es lo que hay que aprendernos, 00:03:56

los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 00:03:59

Ese, la multiplicación de todos esos números que obtenemos ahí, 00:04:03

la multiplicación de todos esos números es el mínimo común múltiplo de los números que estamos buscando. 00:04:06

Fíjate, vamos a hacerlo aquí abajo. 00:04:13

Tenemos el, ay, perdón, perdón, perdón, perdón, vamos a descomponer el número 2 en factores primos, aquí lo tenemos, ¿no? Es decir, la descomposición es que 2 es igual a 2, vamos a ver el 3, 3, la descomposición como su factor primo sería que el 3 es igual al 3, ¿vale? No hay elevados a nada. 00:04:15

Entonces, la multiplicación de estos dos, de los dos números que nos salen, la multiplicación, es el común, el mínimo común múltiplo, 00:04:40

que coincide, lógicamente, tiene que coincidir, no puede ser de otra manera, con la otra forma de calcular los mínimos común múltiplos. 00:04:49

Vamos a hacerlo de otros dos números para entenderlo un poquito mejor. 00:04:56

Venga, vamos con el ejemplo. Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 12 y de 8, de las dos formas que hemos conocido. 00:05:00

múltiplos, hoy otra vez 00:05:06

venga, vamos allá 00:05:09

ahora 00:05:12

a ver 00:05:13

a ver si está bien así 00:05:15

múltiplos de 12, perfecto 00:05:18

¿qué tengo que hacer? 00:05:20

multiplicar, sacar los múltiplos de 12 00:05:22

que son 12 por 0 00:05:24

0, 12 00:05:26

24, 36 00:05:28

48 00:05:31

voy a parar, porque como no lo sé 00:05:33

voy a parar, del 8 00:05:34

0, 8, el segundo es más fácil 00:05:36

16, 24 00:05:39

y aquí como acabo de hacerlo 00:05:43

pues ya me puedo parar 00:05:45

porque acabo de llegar al número 00:05:46

que es común a los dos y el más pequeño 00:05:50

no hay números más pequeños comunes a los dos 00:05:52

¿lo veis? 00:05:55

vale, perfecto 00:05:56

de esta forma ya lo tenemos 00:05:57

ahora vamos a ver descomponiendo factores primos 00:05:59

descomponiendo factores primos 00:06:01

Tenemos la descomposición de 12. Sería 2, 6, 2, 3, 3 y 1, ¿vale? Y la descomposición, el otro número, el 8. Venga, vamos allá. 8 sería 2, 4, 2, 2, 2 y 1, ¿sí? 00:06:04

Por lo tanto el 12 se podría poner también en descomposición de factores primos que es 2 elevado al cuadrado por 3, ¿vale? 2 elevado al cuadrado por 3 y el 8 es 2 al cubo, 2, 1, 2 y 3 veces, ¿sí? 00:06:22

Y me dicen que el común, o sea, el mínimo común múltiplo de 12 y de 8 son los factores comunes y no comunes, es decir, comunes, el 2 está en los 2, y no comunes, el 3 no está en este lado, pero da igual. 00:06:38

tengo que coger los comunes y los no comunes de este resultado elevados al mayor exponente, es decir, comunes el 2, y aquí el exponente está elevado a 3, muy bien, por el otro que no es común, por 3, pues este resultado es el mínimo común múltiplo, vamos allá, vamos a comprobar que efectivamente es o no es, 00:07:01

2 elevado al cubo son 2 por 2 es 4 y 4 por 2 es 8 00:07:20

8 y me queda por 3 00:07:24

8 por 3 es 24 00:07:26

que efectivamente como hemos visto en este caso 00:07:28

se puede hacer de cualquiera de las dos maneras 00:07:33

para conseguir el mínimo común múltiplo 00:07:36

si el número es pequeñito 00:07:40

pues la primera forma es perfecta 00:07:42

si el número es más grande 00:07:44

pues evidentemente descomposición en factores primos 00:07:45

¿Sí? Vale, perfecto 00:07:48

Vamos allá con lo mismo, vamos a ver, pero con el máximo común divisor 00:07:54

Fíjate, la diferencia es que antes era mínimo común múltiplo el número más pequeño 00:07:59

Porque no podríamos calcular el máximo común múltiplo 00:08:03

¿Cuál sería? Siempre el infinito, porque no acaba nunca 00:08:06

Por lo tanto, pero en este caso sí que determina 00:08:09

Como hay números finitos divisores, lo que vamos a hacer es conseguir el máximo 00:08:12

Es decir, el número más grande común a dos números, común divisor de dos números. 00:08:18

Aquí lo tenemos. 00:08:23

Vamos a ver el máximo común divisor, que a partir de ahora lo podemos ver así, 00:08:25

como el número más grande divisor de dos o más números a la vez. 00:08:29

¿Vale? Como aquí. 00:08:33

Divisor. Divisor de un número es el que se divide por otro número y las partes son exactas, 00:08:34

es decir, que el resto sea cero. 00:08:38

Cuando es común divisor es un número que es divisor a la vez de dos o de más números, 00:08:41

Es decir, es un divisor común a los números que estoy buscando. 00:08:45

¿Qué será máximo común divisor? Pues es el número más grande, mayor, entre los divisores que son comunes. 00:08:50

Vamos a ver un ejemplo. 00:08:56

Fijaos, podemos hacerlo también de dos maneras, ¿vale? 00:09:00

O dividiendo todos o con factores primos. 00:09:04

Es muy fácil, ya veréis. 00:09:08

¿Qué tenemos que hacer para averiguarlo? 00:09:10

Primero, hacemos la descomposición en factores primos. 00:09:12

Es la forma más rápida, ¿vale? 00:09:15

Segundo, señalamos los factores comunes, en este caso solo comunes, a los dos. 00:09:17

En tercer lugar, cogemos los comunes elevados al menor exponente, eso hay que aprendérselo, ¿vale? 00:09:22

Y lo multiplicamos los números elegidos. Es decir, en este caso, en el mínimo, perdón, en el máximo común divisor, son factores comunes al menor exponente. 00:09:28

Porque en el máximo común, perdón, en el mínimo común múltiplo eran factores comunes y no comunes al mayor exponente. En este caso, volvemos al nuestro, el que nos toca ahora sería en el máximo común divisor factores, o sea, los números comunes elevados al menor exponente. 00:09:45

Vamos a verlo. Veamos un ejemplo aquí. Fijaos, nos dice vamos a conseguir el máximo común divisor de 8 y de 12, ¿vale? Hacemos la descomposición de 8, 8, 2, 4, 2, 2, 2, me queda 1, es decir, 2 elevado al cubo, 1, 2 y 3 y calculamos los divisores de 12 o la descomposición en factores primos de 12. 00:10:09

12 como es un número par 2, me quedan 6, 2, 3, 3, 1 00:10:32

Es decir, el 8 son 2 elevado a 3 y el 12 son 2 elevado a 2, o sea el 2 dos veces, por el 3 00:10:37

Tengo que coger los comunes, ¿cuáles son comunes? 00:10:45

En estos dos números, solamente el 2 00:10:49

El 2 es el común y elevado al menor exponente 00:10:51

¿Cuál es el número que está el 2 que está al menor exponente? 00:10:55

El 2 elevado al cuadrado 00:11:01

Pues 2 elevado al cuadrado 00:11:02

¿Cuánto es el máximo común divisor, por lo tanto, de 8 y de 12? 00:11:03

2 elevado al cuadrado, es decir, 4 00:11:08

Así de fácil 00:11:11

Vamos a ver 00:11:12