Posiciones relativas de dos rectas en el espacio (Presentación accesible) - Contenido educativo
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Después de estudiar las posiciones relativas de dos y tres planos en el
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espacio, en este vídeo vamos a repasar las posiciones relativas de dos rectas
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en el espacio. Comenzaremos recordando el concepto de
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posiciones relativas y veremos la dificultad de abordar este problema
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mediante un método gráfico. De esta dificultad surge la necesidad de
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elaborar un método analítico que parte de la definición de la determinación
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lineal de una recta en el espacio. Finalmente estudiaremos las distintas
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posiciones relativas y veremos en qué condiciones algebraicas se presenta
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cada una de estas posiciones.
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Recordamos que llamamos posición relativa de dos objetos en el espacio a
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la posición que ocupa uno de los objetos con respecto al otro. Este
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concepto engloba otros conceptos como paralelismo o intersección.
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Tal y como ocurría con los planos en el espacio, no es fácil dibujar objetos
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tridimensionales en el papel. Aunque podamos dibujar en perspectiva, los
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ángulos que forman los objetos y el número de puntos que tienen en común no
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se aprecian con claridad. Es por esto que aunque usemos algunos
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esbozos para entender mejor la situación geométrica que será en cada uno de los
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casos, vamos a utilizar la determinación lineal de la recta. Esto es, la recta
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quedará determinada por dos vectores. Un vector de posición que coincide con
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la posición de un punto de la recta y un vector de dirección que tiene la
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dirección paralela a la dirección de la recta.
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Las cuatro posiciones relativas que pueden darse son las que aparecen en
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esta figura. La primera de ellas es la posición de rectas paralelas, que son
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aquellas rectas que no tienen ningún punto en común y tienen direcciones
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iguales. La segunda son las rectas que se cruzan, que es la novedad que aparece en
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el espacio y que no veíamos en el plano. Son aquellas rectas que tienen
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direcciones distintas y ningún punto en común. Las rectas secantes o incidentes
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que tienen un punto en común y direcciones distintas. Y las rectas
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coincidentes que tienen la misma dirección y todos sus puntos en común.
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A continuación vamos a analizar detalladamente cada una de ellas.
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El primer caso es el caso de las rectas paralelas. En el caso de rectas
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paralelas, las rectas tienen la misma dirección, sus vectores directores son
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paralelos. Esta condición de paralelismo se puede comprobar haciendo el producto
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vectorial y viendo que es igual a cero o simplemente comprobando que los vectores
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directores tienen componentes proporcionales. En estas rectas, rectas
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paralelas, las rectas no tienen ningún punto en común. Por tanto una forma
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fácil de comprobar que las rectas son paralelas y no coincidentes es elegir un
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punto cualquiera en una de las rectas y comprobar que no pertenece a la otra.
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Decimos que las rectas en este caso están separadas. Las rectas que se cruzan
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tampoco tienen puntos en común pero sus direcciones son distintas. Si tomamos un
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punto en cada una de las rectas, el vector que los une determina con los
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vectores directores de las dos rectas un paralel epípedo que tiene volumen
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distinto de cero. Esta condición se comprueba haciendo el producto mixto de
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los tres vectores y comprobando que es no nulo.
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Cuando las rectas son secantes o incidentes, sus vectores directores no
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son paralelos, es decir, que sus componentes no son proporcionales.
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También podemos comprobar que el producto vectorial de estos dos vectores es
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distinto de cero. Y si formamos el vector que une dos puntos cualquiera de la
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recta, un punto cualquiera de cada una de las rectas, los vectores directores y el
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vector formado de esta forma son coplanarios. Para comprobar esta
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condición podemos hacer el producto mixto de los tres vectores, los dos
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vectores directores y el vector que une un punto cualquiera de cada una de las
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rectas y ver que ese producto mixto es nulo.
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Finalmente las rectas coincidentes son realmente iguales. Cualquier punto de una
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de ellas pertenece necesariamente a la otra. La condición analítica que se da
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en las rectas coincidentes es que los vectores directores son proporcionales,
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son paralelos, tienen componentes directamente proporcionales y además si
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tomamos un punto cualquiera en cada una de las rectas, el vector que une esos dos
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puntos también es paralelo a los vectores directores de las rectas. Es decir, los
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tres vectores tienen componentes directamente proporcionales.
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Para terminar ofrecemos esta última diapositiva en la que aparece un resumen
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de las cuatro posiciones relativas con las condiciones analíticas que se cumplen
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en cada uno de los casos. Puedes guardar esta diapositiva o imprimirla para que
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te resulte más fácil hacer un repaso.
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En el siguiente vídeo analizaremos las posiciones relativas de una recta y un
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plano en el espacio.
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- Idioma/s:
- Idioma/s subtítulos:
-
- Autor/es:
- Miguel Arriaga Gómez
- Subido por:
- Miguel Fco A.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 4
- Fecha:
- 7 de noviembre de 2023 - 0:26
- Visibilidad:
- Clave
- Enlace Relacionado:
- https://mediateca.educa.madrid.org/documentos/kwedjji4sytjo34i
- Centro:
- IES ALFREDO KRAUS
- Duración:
- 04′ 57″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 1728x1080 píxeles
- Tamaño:
- 15.47 MBytes