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Subido el 6 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Voy a grabar la sesión y si alguien tiene algún problema, pues que lo diga. 00:00:00

Bueno, vamos a empezar. 00:00:08

Como extrema, estamos terminando el tema 9. 00:00:19

En la sesión anterior vimos lo que era la continuidad de un punto, lo vimos de forma intuitiva. 00:00:24

estuvimos hablando de tomar valores cercanos al valor de la X y ver qué es lo que ocurría. 00:00:31

Después de eso calculamos algunos límites, los más habituales, los de funciones racionales 00:00:40

y algún tipo de función autopradical. 00:00:46

Y luego estudiamos la continuidad de forma gráfica. 00:00:51

De forma gráfica, nos dimos cuenta que para que una función sea continua, primero, el punto no puede ser hueco. O sea, A tiene que estar en el dominio. O sea, tiene que existir que se vea. 00:00:55

¿Sí? Por otra parte, para que sea una función continua en un punto, tiene que existir el límite de la función en ese punto. ¿Por qué? Porque para que haya continuidad, los valores cercanos a correspondientes a x igual a a, los valores de la y correspondientes cercanos a a, los valores de x cercanos a a, se tienen que acercar también a g, a los g sobre a. 00:01:11

Y luego tienen que coincidir esos dos valores. Esto es estudiar la continuidad sin dibujar la gráfica. Es más científico, por así decirlo, que las gráficas siempre están en un cierto margen de dudas, pero es menos visual. 00:01:38

Bueno, esto más o menos lo vimos el otro día. La discontinuidad es evitable cuando existen los límites laterales, pero en medio se queda un punto hueco. 00:01:59

Eso puede deberse a que no existe FDA o a que el valor de FDA no coincide con el valor de los límites laterales. 00:02:12

el otro tipo de discontinuidad 00:02:23

es la de salto 00:02:26

el salto puede ser infinito 00:02:28

vamos a ver hoy 00:02:30

estos son los que se llaman las asientos 00:02:32

verticales 00:02:34

o el salto puede ser finito 00:02:36

de 1 a 2, 3 unidades 00:02:38

los límites laterales 00:02:40

son números pero 00:02:42

un salto de 2 a 4, de 5 a menos 2 00:02:43

el que sea 00:02:46

entonces vamos a hacer 00:02:47

un ejercicio de continuidad 00:02:49

Y una función definida a trozos sin dibujarla. ¿Por qué sin dibujarla? Porque este trozo es fácil de dibujar porque es una parábola. Doy tres puntos y asomamos cómo va. Sé que es una parábola que está boca abajo. 00:02:53

Por otra parte, tengo la función logaritmo de 1 más x, que no es tan sencillo de utilizar, y por último, una función constante, que es la función c. 00:03:08

Esa sí que es parte del eje de las x. 00:03:22

Igual a c. 00:03:29

Bueno, pues ¿cómo se estudia esta función? 00:03:30

Supongo que estoy compartiendo pantalla y que todo se puede ver bien. 00:03:37

Vamos a estudiar su continuidad y para eso es bueno que conozcamos el domínio y que sepamos que esta función es polinómica, de segundo grado, no importa en qué grado sea, polinómica. 00:03:44

entonces su dominio 00:04:10

se vuelve, pero 00:04:13

como sólo 00:04:14

como pone 00:04:16

x menor que cero, yo sé que es 00:04:19

continua entre menos infinito 00:04:21

y cero 00:04:25

a una fórmula sólo se restringe 00:04:25

a valores menos que cero 00:04:29

para esta función logaritmo 00:04:30

para que exista el logaritmo 00:04:33

de un número 00:04:37

el valor que hay dentro del 00:04:37

logaritmo tiene que ser mayor 00:04:44

que cero 00:04:46

Esto se puede resolver de varias formas, yo prefiero que lo hagáis así porque es la fórmula mecánica, aunque no es la más rápida, es igualar a cero, os sale que x es igual a menos uno, dibujáis una recta, señaláis el menos uno, 00:04:47

Y, por ejemplo, aquí si cojo 1 más menos 2 me sale negativo, aquí no vale. 00:05:05

Y si cojo, por ejemplo, aquí el 0, 1 más 0 es 1, que sí que es mayor que 0, o sea que este trozo sí vale. 00:05:17

Entonces, como esta función está definida entre menos uno e infinito, y este trozo es cero uno, que está totalmente sumergido aquí, pues esta función también es continua de cero a uno. 00:05:25

y ahora si te fijas 00:05:55

he puesto los intervalos abiertos 00:05:57

aunque pongan menor o igual 00:06:01

¿qué es lo que ocurre en los extremos 00:06:02

de este intervalo? pues que tengo 00:06:05

que ver si la función casa 00:06:06

con el valor anterior o en el caso 00:06:08

del 1 si la función casa con el 00:06:10

precedente 00:06:12

si se empalma bien la función 00:06:13

y bueno el tercer trozo 00:06:16

es una función constante 00:06:18

constante 00:06:20

y esa función siempre es 00:06:23

continuo. Entonces, la función es 00:06:26

continua 00:06:28

de 1 a 1. 00:06:28

Y nos queda ver 00:06:32

qué pasa en 00:06:34

los puntos en palma. 00:06:38

O sea, la función 00:06:42

está definida de una forma antes y después 00:06:44

del 0. 00:06:46

Pues a ver qué pasa. 00:06:48

El x igual a 0 y también 00:06:50

la función está definida de una forma antes 00:06:52

del 1 y después del 1. 00:06:54

Pues voy a ver. 00:07:00

En x igual a 0, en x igual a 0, tengo que calcular f de 0, el límite por la izquierda del 0 de la función y el límite de la función a la derecha del 0. 00:07:05

¿Cómo se calcula eso? 00:07:24

Bueno, pues f de 0 consiste en sustituir la función donde la x vale 0. 00:07:29

Aquí pone x menos que 0, aquí es donde pone x igual a 0. 00:07:39

Entonces esto f de 0 es el logaritmo de 1 más 0. 00:07:44

bueno, esto 00:07:48

yo sé que el logaritmo 00:07:50

de uno en cualquier base 00:07:53

es este, pero por si no os acordáis 00:07:55

lo hacéis como calculadora 00:07:57

en caso de duda 00:08:00

lo hago así, ahora 00:08:17

límite por la izquierda del 0 de la función la función cuando x está a la izquierda de 00:08:19

cero es cuando x es menor que cero entonces aquí se da uno menos cero al cuadrado que es 00:08:28

bueno ya veo que esta función no va a ser continua porque estos valores tienen que 00:08:34

ser iguales pero voy a calcular el límite cuando x tiende a 0 de la función cuando x 00:08:41

extiende a cero, la función cuando x extiende a cero y se toman valores mayores que cero, 00:08:48

queda que aquí es donde pone x mayor que cero, cero menor que x. Entonces, donde tengo 00:08:58

que sustituir es en la segunda fórmula. Y esto vale cero. Bueno, ¿qué es lo que ocurre 00:09:06

aquí que estos dos valores son distintos los límites laterales son distintos entonces aquí 00:09:12

en x igual a 0 hay una discontinuidad de salto finito ahora qué pasa en x igual a 1 en x igual 00:09:18

a 1 se calculó f de 1 donde pone x igual a 1 aquí o sea que tengo que sustituir en la segunda 00:09:39

El logaritmo de 1 más 1 es el logaritmo de 2. 00:09:50

No sale exacto, se puede dejar así porque esto va a la que no sale exacto. 00:09:57

Si lo hacemos con la calculadora, pues ya veremos que sale un número. 00:10:02

Un número. 00:10:06

Porque 1 al logaritmo de 2 sale 0,69. 00:10:09

Ahora calculamos 00:10:15

el límite por la izquierda 00:10:19

del 1 de la función. 00:10:22

Por la izquierda del 1 00:10:24

tengo que ver dónde pone x menos que 1 00:10:25

que está aquí. 00:10:28

Entonces también vale 00:10:30

el logaritmo de 2. 00:10:32

Y luego el límite 00:10:39

cuando x tiende 00:10:42

a 2, a 1 00:10:43

por la derecha, f de x 00:10:45

lo calculo 00:10:48

¿Dónde X es mayor que 1? Pues en el último trozo, vale 0. 00:10:50

Como ves de nuevo, los límites laterales no coinciden, son números reales y aquí hay una discontinuidad de salto. 00:10:55

La conclusión del ejercicio es que F es continua en todos los números reales, excepto el 0 y el 1. 00:11:03

y tanto en x igual a 0 como en x igual a 1 tienen discontinuidades de salto finito. 00:11:32

Esto sería el estudio de la continuidad sin hacer la práctica de la continuidad. 00:11:55

Esto lo suelo pedir más en segundo que en primero, pero... 00:12:04

y vamos a lo siguiente que es estudiar la función la continuidad de la función 00:12:07

definida por una forma cuando tengo esta función esta función es racional 00:12:19

y acuérdate que siempre tenemos que calcular el dominio el dominio de esta función va a 00:12:37

ser todos los números reales excepto los valores que anulan el denominador. Entonces, hago 00:12:45

esta cuenta aquí abajo, x cuadrado menos x es igual a cero, saco el factor común, 00:13:01

saliendo sobre un cifra, es igual a cero o x igual a cero. Pues el dominio son todos 00:13:11

los números reales, excepto 00:13:18

el cero pin 00:13:21

que visualiza como antes, ¿no? 00:13:22

Entonces, yo sé que 00:13:25

esta función 00:13:26

f 00:13:27

es 00:13:29

continua 00:13:32

en todos los números 00:13:33

reales, excepto el cero 00:13:36

pin. Ah, una cosa 00:13:38

que no he dicho antes. 00:13:40

Hay gente que le gusta 00:13:43

más, esto lo hago por gusto, 00:13:44

poner que R menos el 0 y 1 es 00:13:46

infinito a 0 abierto, unión de 0 a 1 abierto 00:13:50

unión de 1 infinito abierto. Yo creo que es más claro así 00:13:54

pero hay gente que le gusta ponerlo de esta forma 00:13:59

y queda bonito porque salen los tres intervalos 00:14:02

de continuidad. Bueno, y ahora, ¿qué pasa en X 00:14:07

igual a 0? En X igual a 0, calculo 00:14:11

Aquí, en vez de los límites laterales, como suele haber una fórmula, calculo directamente el vídeo. 00:14:17

Si yo aquí sustituyo x por cero, me queda cero menos uno, que es menos uno, partido por cero. 00:14:26

Y esto vimos ya el otro día que esto puede servir por más o menos infinito. 00:14:33

Me da igual lo que salga porque no lo está pidiendo explícitamente, pero yo sé que aquí hay una discontinuidad de salto infinito. 00:14:39

¿Y qué pasa en x igual a uno? 00:15:00

x igual a 1, calculo el límite cuando x tiende a 1 de esta función y aquí me queda 1 al cuadrado menos 1, 00:15:04

que es 1 menos 1 partido por 1 al cuadrado menos x, que es 1 menos 1. O sea, queda 0 partido por 0. 00:15:18

entonces tenemos que acordarnos 00:15:26

de la tabla del otro día 00:15:29

que esto 00:15:31

para calcular este límite 00:15:33

tenemos que simplificar el numerador 00:15:38

y el denominador 00:15:39

utilizando la raíz x igual a 1 00:15:40

entonces si yo tengo 00:15:43

x cuadrado menos 1 00:15:45

el polinomio x cuadrado 00:15:46

menos 1 es 1, 0, 1, 0 00:15:49

esto es x cuadrado 00:15:52

esto es x 00:15:53

y esto es independiente 00:15:55

Pongo la raíz 1, entonces hago 1 por 1, 1, 0 más 1, 1, 1 por 1, 1, sale el resto 0. 00:15:56

Esto, si este es x cuadrado, acuérdate que este es x, o sea que en un numerador me va a quedar el límite cuando x tiende a 1 de x más 1 y abajo x cuadrado menos x es 1 menos 1, 0. 00:16:09

1x cuadrado menos 1x más 0. 00:16:26

Dónde va la raíz 1? 00:16:29

1 menos 1 más 1, 0, 0, 0. 00:16:32

O sea que este polinomio me queda x. 00:16:36

En la opción de me queda x. 00:16:39

Y ahora si sustituyo, me queda 1 más 1 partido por 1, que es 8. 00:16:41

Conclusión. 00:16:49

existe 00:16:50

el límite 00:16:51

cuando x tiende a 1 00:16:54

de f de x 00:16:57

pero como f 00:16:58

como el 1 00:17:00

no está en el dominio 00:17:02

no existe 00:17:04

f de 1 00:17:06

pues esto si recordamos 00:17:08

lo que hemos visto antes 00:17:11

hay una discontinuidad 00:17:12

evitable 00:17:14

en x 00:17:15

igual a 1 00:17:23

Y conviene poner la conclusión. F es continuo en todos los números reales, excepto el 0 y el 1. 00:17:25

en x igual a 0 00:17:43

tiene una discontinuidad 00:17:45

de salto 00:17:48

y corta 00:17:54

y en x igual a 1 00:17:56

en x igual a 1 00:18:02

tiene una discontinuidad 00:18:06

de salto 00:18:08

en la pérdida 00:18:13

pues sería la conclusión 00:18:15

de todo esto 00:18:22

vale, entonces 00:18:23

hemos visto ya 00:18:26

El concepto del límite, cómo se calculan los límites, en algunos casos como aquí, cálculo el dado concreto y vamos a pasar al último de este tema, que son las asíntotas de la fórmula. 00:18:27

Hay dos, perdón, vamos a ver los límites en el infinito. A ver, los límites en el infinito. A ver, ¿cómo se calculan de forma infinitiva? 00:18:48

En el libro tienes las operaciones de infinito enteras, yo más o menos las voy a contar por lógica, según va saliendo, ¿vale? 00:19:01

a ver, ¿qué pasa si yo 00:19:16

a x, aquí pone 00:19:18

el límite cuando x tiende a un 00:19:21

infinito, ¿no? Pues voy 00:19:22

a darle un valor que sea 00:19:24

negativo y muy grande. 00:19:26

Podría ser más grande que este, 00:19:29

menos menos, ¿no? Entonces, 00:19:31

si yo esto lo hago 00:19:33

con la calculadora, acuérdate 00:19:34

que si el número es negativo, 00:19:37

tiene que estar entre paréntesis, 00:19:38

esto lo hago con la calculadora, 00:19:47

me sale un número muy grande. 00:19:50

A ver, 9, 9, 9, 6, 0, 0, 0, 6. 00:20:12

Bueno, esto me hace indicar, me hace pensar que este vídeo te va a valer. 00:20:21

¿Sí? 00:20:27

Entonces, vamos a pensar qué es lo que está pasando aquí. 00:20:29

Si yo a x le doy un valor muy grande, al elevarlo al cuadrado me va a salir mucho más grande. 00:20:33

Al multiplicarlo por 2, y positivo, al multiplicarlo por 2, un número, 00:20:40

bueno, muy grande pero negativo 00:20:45

muy grande en valor absoluto pero negativo 00:20:47

esto va a salir negativo 00:20:50

este número va a salir mucho 00:20:51

más grande que este, con lo cual 00:20:54

el que sale, el que prepondera 00:20:55

es el positivo 00:20:57

entonces 00:20:58

yo supongo 00:21:00

que el resultado, y efectivamente lo contesto 00:21:03

aquí, me sale un número muy 00:21:06

grande, con lo cual 00:21:07

me sale infinito 00:21:08

en la práctica no se hace esto 00:21:10

En la práctica, si yo quiero calcular este límite, tomo el término que sé que va a preponderar. 00:21:13

Este infinito va a ser mucho más grande que este. Este va a ser positivo y este negativo porque está elevado al cuadrado y este no. 00:21:22

Entonces, lo que se hace es, tomo el término de mayor o menor. 00:21:30

Pues esto es igual al límite cuando x tiende a menos infinito de x cuadrado. 00:21:38

Y bueno, como es un número elevado al cuadrado, se tiene que salir positivo. 00:21:52

Y infinito por infinito, pues obviamente si multiplico dos cosas que son infinitamente grandes, el resultado es infinito. 00:21:58

Pues esto es calcular el límite del infinito de cuartil polinomio. 00:22:09

segunda parte 00:22:14

¿cómo se calculan los límites 00:22:23

para funciones racionales? 00:22:26

para funciones racionales 00:22:29

hay un criterio que es este 00:22:31

que a muchos os lo han dado 00:22:33

en un bachillerato pero yo prefiero 00:22:35

que lo hagáis por un 00:22:38

que sigáis la siguiente 00:22:39

estrategia que es de nuevo 00:22:41

tomar el término de mayor grado 00:22:43

por eso me parece que 00:22:45

es una buena 00:22:48

estrategia 00:22:52

vamos aquí 00:22:55

Si yo quiero calcular este límite, aquí me sale 2 por infinito, que es infinito dividido entre infinito. 00:22:55

Yo esto no sé calcularlo, pero sé que en el numerador hay un término que es bondera. 00:23:04

Este 3 es insignificante respecto a este 2 por el 3. 00:23:12

Pues yo me quedo solamente con el 2. 00:23:17

Si en el denominador me quedo con el término de mayor grado, pues 4 es la 3. 00:23:19

una vez hecho esto 00:23:24

siempre se va a poder simplificar 00:23:26

a veces queda alguna x arriba 00:23:28

alguna x abajo, esto siempre se puede 00:23:30

simplificar y esto 00:23:32

vale 00:23:34

dos cuartos 00:23:35

simplificados 00:23:37

lo que quiera poner 0.5 00:23:40

para ver que 00:23:42

esto funciona 00:23:44

voy a hacerlo con la calculadora 00:23:45

voy a dar un valor muy grande 00:23:47

a la x 00:23:50

y voy a escribir lo que hay ahí. 00:23:53

O sea, arriba voy a poner 2 por, por ejemplo, 9999, 00:23:56

y en el denominador, 4 por 9999, más 5. 00:24:01

Lo sustituyo y me queda un número que no es exactamente 05, 00:24:18

pero se aproxima. 00:24:23

Esta es la idea del límite, ¿no? 00:24:24

No tiene por qué ser exactamente el mismo valor, 00:24:25

esto siempre que quieras 00:24:28

que queráis 00:24:33

podéis hacer la comprobación 00:24:34

voy a poner que lo hemos comprobado en clase 00:24:36

con x 00:24:42

igual a 99 00:24:46

bueno, el siguiente 00:24:48

en el siguiente tengo que calcular 00:24:51

un límite sabiendo que 00:24:54

en el numerador hay una x 00:24:57

Y que en el denominador entre x cuadrado y 5, este 5 va a ser insignificante respecto del x cuadrado, que tiene mayor grado. 00:24:59

Entonces, tacho esto con esto y me queda el límite. 00:25:11

Cuando x tiende a infinito, arriba me queda un 1, en el denominador me queda una x. 00:25:19

Y ahora, esto, miradlo en el libro, cuáles son los valores fundamentales de las operaciones con infinito, pero si yo divido uno entre infinito, por lógica, si divido una cosa entre infinitas partes, cada parte es prácticamente cero. Este límite es cero. 00:25:24

Sea positivo o negativo. Si no parto de por infinito, también es cero. 00:25:47

Bueno, y en el tercer caso, me quedo con el término de mayor grado del numerador, en el denominador, simplifico y me queda el límite cuando x tiende a infinito de x. 00:25:51

Pues si x tiende a infinito, pues este límite es infinito. 00:26:15

¿Sí? 00:26:17

Bueno, entonces, que sepas que hay una regla. 00:26:20

Va a salir un número distinto de cero cuando, a ver, si yo tengo un cociente de polinomios, el límite, cuando tiende a infinito, cuando menos infinito se hace lo mismo, 00:26:25

sale un número distinto 00:26:42

un número distinto 00:26:50

de cero 00:26:56

si el grado del numerador 00:26:59

es igual al grado del denominador. 00:27:04

Y ese número distinto de cero 00:27:08

es la división de los coeficientes de mayor. 00:27:09

Sale cero 00:27:13

si el grado 00:27:15

del numerador es más pequeño 00:27:18

que el del numerador, porque estoy dividiendo 00:27:21

una cosa pequeña entre una cosa 00:27:23

infinita. 00:27:25

Y sale más o 00:27:26

menos infinito 00:27:29

si el grado de P 00:27:30

es mayor que el grado de P. 00:27:33

Estoy dividiendo una cosa 00:27:36

infinita entre una cosa que es menos infinita, 00:27:37

que es más infinita. 00:27:39

Es decir, que es más pequeño. 00:27:41

Bueno, pues estos son 00:27:49

los límites de funciones 00:27:50

en el infinito. 00:27:52

Y bueno, vamos a ver dos tipos de indeterminación 00:27:57

que podrían salir. A ver, en esta de aquí 00:28:00

si yo hago esto, como 00:28:12

ves, el grado del numerador es mayor que el del denominador. Me queda 00:28:19

esto que es infinito. Y aquí me queda 00:28:23

menos infinito dividido entre dos, que es menos infinito. 00:28:27

Entonces, yo no sé que es infinito o no es infinito. 00:28:31

Dependiendo de que este infinito predomine sobre este otro, pues puede ser una cosa o puede ser otra. 00:28:35

¿Qué tengo que hacer en estos casos? 00:28:41

Pues tengo que juntar las dos fracciones y operarlo. 00:28:44

Entonces, entre x y 2, el común delimitador es 2x. 00:28:50

2x dividido entre x es 2, multiplicado por el numerador, va a ser pasando como un denominador. 00:28:55

más 2x entre 2 es x, y lo multiplico por el número. 00:29:01

Es una fracción de sancion de la hecas, que estamos repasando, 00:29:09

la primera que opero, 2x cuadrado más 2, más x menos 2x cuadrado, y aquí queda 2x. 00:29:13

Bueno, pues a ver, este 2x cuadrado será con este menos 2x cuadrado, que da límite cuando x tiende a infinito de, voy a ordenarlo, x más 2 partido por 2x. 00:29:28

Acuérdate, tomo el término de mayor grado, límite cuando x tiende a infinito de x partido por 2x. 00:29:45

aquí simplifico 00:29:55

y 00:29:57

me queda que este límite 00:29:59

vale 00:30:01

si das un valor muy grande, si quieres hacerlo 00:30:01

con calculadora, la verdad es que va a salir 00:30:04

un valor muy cercano 00:30:07

a 0,5 00:30:09

es un límite 00:30:10

y el otro 00:30:11

límite, no sé si se ve bien 00:30:14

ahora lo veremos 00:30:17

si sale bien 00:30:18

si puede que el tanto de salida 00:30:20

Aquí de nuevo vuelvo a hacer infinito, la raíz de infinito es infinito y aquí queda 00:30:32

a infinito menos infinito 00:30:56

en este no es 00:30:58

necesario 00:31:00

porque yo sé que esto es x elevado a un medio 00:31:01

y es que este límite va a ser menos infinito 00:31:04

pero en algunos 00:31:07

otros sí que es necesario 00:31:08

y 00:31:10

con lo cual yo recomiendo 00:31:12

que cuando tengáis este límite 00:31:15

que multipliquéis 00:31:16

por el conjugado en el numerador y en el numerador 00:31:18

de nuevo estamos repasando la primera 00:31:20

evaluación. No es exactamente 00:31:24

racionalizar porque la raíz está 00:31:34

en el numerador, pero el proceso es 00:31:36

el mismo. Pues si tomamos este límite 00:31:38

sabéis 00:31:42

que suma por diferencia 00:31:44

es diferencia de cuadrados 00:31:46

en el denominador 00:31:48

el denominador lo dejamos. 00:31:55

Entonces sabemos que aquí 00:32:01

se simplifica la raíz por el cuadrado 00:32:03

y aquí queda 00:32:05

esto en la otra. 00:32:16

Entonces, llegados aquí 00:32:17

me tengo que dar 00:32:19

con el término de mayor grado. El término de mayor grado del numerador es obvio que es 00:32:21

menos x4. Y en el denominador, entre 2x y menos 1, es más grande 2x. Pero, ¿qué es lo que ocurre? 00:32:27

Que la x esta, al estar en raíz, tiene grado 1 medio. Entonces, al tomar el término de mayor grado 00:32:39

entre este y este, me tengo que quedar con el x, tiene grado 1, entonces de nuevo vuelvo 00:32:46

a simplificar, se simplifica y queda límite, cuando x tiene infinito de menos x, sale menos 00:33:01

se puede comprobar 00:33:13

dando valores grandes 00:33:16

siempre a la X 00:33:17

y ya vamos a lo último 00:33:19

que son las asíntotas 00:33:32

de una función 00:33:34

antes de empezar 00:33:34

creo que esto ya lo hemos 00:33:40

traído otro día 00:33:44

una asíntota vertical 00:33:45

es así 00:33:54

la asíntota va a ser 00:33:58

en X igual a 00:34:04

y para ver una asíntota vertical 00:34:06

cuando el límite 00:34:08

así en total vertical 00:34:11

primero tendréis que decir 00:34:13

que es x igual a 00:34:15

y es cuando 00:34:16

el límite 00:34:18

al acercarme a 00:34:20

de la función 00:34:22

o da infinito 00:34:25

o menos infinito. En este caso por la brecha 00:34:27

da infinito 00:34:29

por la izquierda da menos infinito. 00:34:31

Ahora un asíntoto 00:34:34

horizontal es 00:34:35

Y igual a B. 00:34:39

Si es por aquí, así, entonces, horizontal a la derecha, es porque el límite, cuando X tiene infinito, cuando la X tiene infinito, la Y se acerca al valor B. 00:34:42

Y si es por la derecha, es, en este caso también, igual a C, el límite. 00:35:01

cuando x tiene a menos infinito 00:35:12

menos 00:35:15

menos infinito de la función 00:35:17

es 00:35:23

y luego 00:35:25

puede haber asíntota oblicua 00:35:27

voy a hacer aparte 00:35:28

y cuando hay una asíntota oblicua 00:35:31

aquí es por la derecha 00:35:40

y por el otro lado puede ser por la izquierda 00:35:42

es una 00:35:44

en una ecuación que es de esta forma 00:35:45

igual a nx más n 00:35:49

Asíntota. Entonces, ¿cómo se calcula? Bueno, pues primer apartado, primera parte. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. O sea, primera parte solucionada. 00:35:53

Segunda, en principio solo voy a pedir mirar algunas que, sobre todo de cara a la noche de viernes, cómo se calculan las asíntotas en funciones no racionales. 00:36:22

De hecho, las polinómicas no tienen asíntotas. Si os piden calcular las ecuaciones de una función polinómica, directamente decís que no tiene asíntotas. 00:36:36

¿Vale? Y ahora, en funciones racionales, bueno, esto en general, las asíntotas verticales son puntos donde la función vale más o menos infinito y para eso el punto no tiene que estar en el punto. 00:36:45

¿Sí? Esto lo puedo pedir en funciones racionales o no. 00:37:05

Entonces, si yo quiero calcular las asíntotas verticales, tengo que estudiar el dominio de la función. 00:37:13

El dominio de esta función son todos los números reales, excepto los valores que anulan. 00:37:29

a ver si yo tomo 00:37:36

x cuadrado menos 5 00:37:48

a 0 00:37:49

queda que x cuadrado es igual a 1 00:37:50

que x es 00:37:53

más mínimo que 1 00:37:55

con lo cual x es 00:37:57

1 00:37:59

que no se os olvide la solución 00:38:00

entonces ahora 00:38:04

las posibles asíntotas 00:38:07

son estas 00:38:09

estas son las posibles 00:38:10

asíntotas 00:38:17

vindicables 00:38:19

pues voy a ver qué es lo que pasa 00:38:20

en x igual a 1 00:38:24

en 20 cuando x 00:38:25

tiende a 1 de la función 00:38:29

si yo sustituyo 00:38:31

me queda 00:38:37

1 menos 1 partido por 00:38:38

1 menos 1, o sea que es 0 partido 00:38:40

por 0, tengo que hacer lo siguiente 00:38:42

en el numerador 00:38:44

1 menos 1 00:38:50

a raíz 1 00:38:51

1, 0, o sea que el resto es 0, el cociente es 1, y en el denominador pongo 1, 0, 0. 00:38:53

Pongo aquí 1, 1, 0, y el cociente es x más 1. 00:39:10

Si sustituyo me queda 1 partido por 2, 1 medio. 00:39:17

No sale infinito, con lo cual aquí no hay asíntota. 00:39:21

si por otra parte 00:39:27

tomo el otro punto 00:39:35

que no está en el domingo 00:39:37

que es x igual a menos 1 00:39:38

aquí 00:39:40

pues tengo 00:39:42

que calcular el límite 00:39:44

con mi eficiente a menos 1 00:39:47

de x menos 1 00:39:49

partido por x cuadrado menos 00:39:51

si sustituyo aquí 00:39:53

me queda menos 1 menos 1 00:39:55

que es menos 2 00:39:57

y aquí queda menos 1 al cuadrado que es 1 00:39:58

menos uno que es cero. Esto si sale más o menos infinito. Entonces aquí hay asíntota 00:40:01

vertical en x igual a uno. Esto gráficamente quiere decir que hay una asíntota vertical. 00:40:09

Y ahora, si quiero saber hacia dónde va la función, si quiero dibujar, voy a darle a 00:40:30

a x un valor muy cercano a menos 1 por la izquierda y voy a darle a la x un valor muy 00:40:46

cercano a menos 1 por la derecha. ¿Cómo hago eso? Pues con la calculadora. Tengo que hacer 00:41:00

esto. Cercado a menos 1 por la izquierda, pues menos 1,1 por ejemplo. Siempre es recomendable 00:41:16

voy a coger una un poco más pequeña, 00:41:24

bueno, 1,01, pero bueno, 00:41:26

menos 1, 00:41:28

y aquí abajo, recuerda que 00:41:30

hay que poner el paréntesis, 00:41:32

menos 1,1 00:41:34

al cuadrado, 00:41:36

menos 1. 00:41:39

Le damos y sale 00:41:41

menos 10, o sea, sale 00:41:42

menos infinito. 00:41:43

Menos infinito. 00:41:46

Y aquí, por ejemplo, 00:41:49

más pequeño 00:41:51

que menos 1, 00:41:52

Y que sea por la derecha, pues un menos 0,99, por ejemplo. 00:41:54

Y me sale 100, me sale positivo. 00:42:20

Entonces va a salir infinito. 00:42:23

Bueno, ¿qué quiere decir esto? 00:42:28

Que por la izquierda del menos 1 la función va hacia el menos 1. 00:42:29

Y que por la derecha del menos 1 la función va hacia el menos 1. 00:42:34

Y ahora, por si quieres saber qué significa este x, un medio, que si me acerco a uno, la función se acerca a un medio, pero como no está en el dominio, la función va así. 00:42:39

Y aquí hay un punto hueco y luego ya no sabemos cómo iría la función. Creo que va por aquí y tiene un acento horizontal, pero esta parte de momento no nos interesa. 00:42:55

Bueno, pues ya te he contado cómo se calculan las asíntotas verticales. 00:43:06

Calculamos los límites en los puntos que no son del dominio. 00:43:14

Ahora, siguiente. 00:43:22

Las asíntotas horizontales. 00:43:22

Tenemos que ver el límite cuando x tiende a infinito o cuando x tiende a menos infinito de la función. 00:43:24

Bueno, aquí os pongo que en funciones racionales, si existe asíntota por la derecha, también existe asíntota por la izquierda. 00:43:32

entonces solo lo voy a hacer en infinito 00:43:42

y que además para que exista 00:43:44

esa asíntota al grado del numerador 00:43:46

debe ser menor o igual 00:43:48

que el del denominador 00:43:50

vamos a ello 00:43:52

con un ejemplo 00:43:54

a ver, tengo esta función 00:43:55

y quiero calcular 00:43:58

sus asíntotas por la derecha 00:44:00

por la izquierda 00:44:02

pues calculo el límite 00:44:10

cuando aquí esté en el infinito 00:44:13

de x-1 partido 00:44:15

por x cuadrado menos 5 00:44:17

Como hemos visto antes, me quedo con el término de mayor grado. 00:44:19

El numerador es x, el denominador es x cuadrado. 00:44:25

Simplifico. 00:44:29

Y me queda límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por x. 00:44:33

Y 1 partido por infinito, sabemos que es 1. 00:44:45

¿Vale? 00:44:51

Pues, como existe este límite, hay una asíntota horizontal que es y igual a cero. 00:44:52

Ahora, esto es por la derecha. 00:45:08

Ya te he dicho, esto no hace falta hacerlo si dices que la función es racional. 00:45:15

Pero si intentas hacer el límite cuando x tiende a menos infinito de la misma función, 00:45:19

te van a salir 00:45:24

exactamente las mismas cuerdas 00:45:26

y aquí te va a quedar uno partido por 00:45:29

y uno partido por 00:45:32

menos infinito 00:45:34

también es cero 00:45:36

por lo cual 00:45:38

es una asíntota también 00:45:40

por la izquierda 00:45:42

¿qué quiere decir esto? 00:45:44

pues fíjate 00:45:55

con todo lo que hemos sacado antes 00:45:55

podemos decir que hay una 00:45:58

asíntota horizontal 00:46:05

que es igual a cero 00:46:06

así, horizontal 00:46:08

es la misma función que antes 00:46:11

hay una asíntota vertical 00:46:13

que es x 00:46:15

igual a menos uno 00:46:17

por aquí estaba 00:46:18

que te acuerdas 00:46:21

esa discontinuidad evitable 00:46:22

hay una asíntota horizontal por aquí 00:46:24

acuérdate que esta función venía 00:46:27

del infinito 00:46:29

pues va así 00:46:30

aquí tiene una discontinuidad 00:46:33

se acerca la asíntota aquí por la derecha. 00:46:36

Y si te acuerdas, esta venía de menos infinito 00:46:39

y va así, y tenemos pintada la función. 00:46:41

Bueno, nos quedan ya solo las asíntotas 00:46:49

oblicuas. Las asíntotas 00:46:52

oblicuas, acuérdate que queda la ecuación 00:46:58

de una recta y 00:47:01

entonces 00:47:15

se calculan mediante 00:47:20

estos dos límites. Esto mirado en el libro 00:47:23

porque no me va a dar tiempo a explicarlo 00:47:25

pero yo te recomiendo 00:47:27

que cuando la asíntota 00:47:30

sea racional 00:47:31

se divide 00:47:33

de que divide a su numerador en su denominador 00:47:34

bueno 00:47:47

entonces 00:47:48

no se si me va a dar tiempo 00:47:50

a ver 00:47:52

a ver 00:47:53

yo se que aquí hay una 00:47:57

hay 00:47:58

una asíntota oblicua 00:47:59

porque 00:48:03

el grado del numerador 00:48:05

es 00:48:07

una unidad más que el grado 00:48:09

del numerador. 00:48:11

Entonces, primera forma. 00:48:16

Dividís x cuadrado 00:48:21

entre x y entre x menos 1. 00:48:23

x cuadrado entre x 00:48:27

es x. x por x es x cuadrado. 00:48:29

Pasamos gastando. 00:48:31

x por menos 1 menos x. 00:48:32

Pasamos sumando. 00:48:34

Y a la 2x 00:48:37

entre 2x salen más 2. 00:48:39

pues yo sé que hay una asíntota 00:48:41

oblicua que es 00:48:43

y igual a x más 2 00:48:45

ahora sí, ahora bien 00:48:46

voy a hacerlo de la otra forma porque 00:48:49

los de ciencias sí que lo necesitáis hacer 00:48:51

así cuando tenéis otro tipo 00:48:53

de funciones 00:48:55

a ver, os dice que hay 00:48:56

yo sé que hay asíntota 00:49:00

por este motivo, pero si no funcionan 00:49:01

funciones polinómicas 00:49:04

para ver si hay, bueno 00:49:06

solo 00:49:08

se buscan 00:49:10

si no hay asíntotas horizontales 00:49:11

porque hay asíntotas horizontales 00:49:17

no hay oblicuas 00:49:19

entonces n es el límite 00:49:20

cuando x tiende a infinito 00:49:29

de f de x 00:49:31

partido por 2 00:49:32

en este caso es el límite 00:49:33

cuando x tiende a infinito 00:49:37

de f de x 00:49:38

que es x cuadrado más x 00:49:41

partido por x menos 1 00:49:43

y a su vez dividido 00:49:45

entre x 00:49:47

sabes que esto que está dividiendo al numerador 00:49:47

pasa multiplicando al denominador 00:49:50

y 00:49:52

te quedo con el término de mayor grado 00:50:02

y x cuadrado entre x cuadrado 00:50:05

es 1 00:50:10

o sea que n vale 1 00:50:10

y ahora n 00:50:13

si habéis conseguido un valor de n 00:50:15

n es el límite 00:50:18

cuando x tiende a infinito 00:50:20

de f de x 00:50:22

que es esta función 00:50:23

menos m 00:50:27

que es 1 por x, entonces tú tenéis que pasarla con un denominador, queda x cuadrado más x, esto quedaría menos x por x menos 1, 00:50:29

lo operamos, queda el límite cuando x tiende a infinito de x cuadrado más x menos x cuadrado más x. 00:50:47

aquí como veis 00:50:58

se simplifica esto 00:51:02

x más x 00:51:04

2x partido por x menos 1 00:51:16

me quedo con los términos 00:51:18

de mayor grado en el denominador 00:51:20

y 2x partido 00:51:23

por x es 2 00:51:24

conclusión 00:51:25

hay una 00:51:28

asíntota 00:51:30

oblicua que tiene por ecuación 00:51:31

igual a 1 por x 00:51:34

más 2 00:51:37

Como ves, te sale lo mismo aquí que aquí. La m vale 1 y la m es mucho más sencillo el que hagáis la división de polinomios, pero ese método solo vale para funciones racionales. 00:51:39

Bueno, pues nada, pues esto es todo. Termina la clase. Solo recordando que sería bueno que... Gracias a ti por venirse. 00:52:00

Sería bueno que 00:52:14

Pensarais 00:52:17

Del modelo de examen final 00:52:19

Para ver que veáis como es el tipo de actividad 00:52:20

Y como funciona 00:52:23

Que vayáis seleccionando 00:52:25

Una estrategia 00:52:27

Lo más óptima posible 00:52:29

Para que 00:52:30

Podéis afrontarlo, ¿de acuerdo? 00:52:31

Entonces, bueno 00:52:35