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Sistemas no lineales (III)
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Vamos a resolver el sistema. Este es un sistema no lineal, pero si nos fijamos, si tratamos de despejar la Y, lo tenemos bastante complicado, porque si despejamos en la primera ecuación nos va a quedar una raíz cuadrada, y al sustituirlo en la segunda vamos a tener una ecuación con raíces cuadradas.
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Tampoco es que no se puede hacer. Podemos hacerlo de dos maneras. Podríamos despejar X al cuadrado en la primera ecuación y sustituirlo en la segunda, y entonces nos quedaría una ecuación de segundo grado.
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O bien, que es lo que voy a hacer, es uno de los pocos sistemas en el que podemos hacer reducción, ya que al no tener x en ninguna de las dos ecuaciones, sino que solamente x al cuadrado, sí puedo buscar una combinación lineal para eliminar las x al cuadrado.
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Como aquí tengo una y aquí tengo dos, voy a multiplicar la primera ecuación por dos y la segunda le voy a cambiar el signo. ¿De acuerdo? Entonces, si hacemos esto, obtenemos 2x al cuadrado más 4y al cuadrado igual a 8. A 16, claro.
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Segunda, toda esta cambia de signo, menos 2x al cuadrado, menos por menos más y al cuadrado, le estoy cambiando el signo, menos 3y, igual a menos 2.
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Sumamos, se me van las x al cuadrado y tengo 4 más 1, 5y al cuadrado, aquí no tengo y, abajo sí, menos 3y, igual a 16 menos 2, 14.
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Es una ecuación de segundo grado. La igualamos a cero y resolvemos, ya sabéis, aplicando la formulita, ¿qué dos soluciones tiene? ¿Me hacéis el favor?
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Dos.
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Menos siete quintos. ¿Correcto hasta aquí?
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Entonces la Y tiene dos soluciones. Vamos a hallar las soluciones de la X. ¿Cómo hallamos las soluciones de la X?
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Pues tenemos que sustituir, o bien en la primera o bien en la segunda ecuación, cada uno de esos valores de y para hallar los valores de x.
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Vamos a sustituir en la primera que es más sencillo.
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Entonces, fijaos. Tomo de nuevo la primera ecuación.
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Y ahora vamos a cambiar la y por cada uno de esos valores.
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Entonces tenemos, cambiamos la y por 2.
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Y tengo x al cuadrado más 2 al cuadrado 4 y 4, 8 igual a 8.
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Es una ecuación de segundo grado, pero incompleta.
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Entonces despejo x al cuadrado.
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Y tenemos que x al cuadrado igual a 8 menos 8, 0.
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¿Bien?
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Entonces x es más o menos la raíz de 0, pero más o menos aquí no es necesario, dado que eso es 0.
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¿Vale?
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Entonces, fijaos, vamos a poner aquí x sub 1 para que nos demos cuenta que eso va con la y sub 1.
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Es decir, cuando la x vale 0, la y vale 2.
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¿Bien, chicos?
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Segunda, sustituimos por menos siete quintos. X al cuadrado más dos por menos siete quintos elevado al cuadrado igual a ocho.
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Entonces, x al cuadrado más dos por siete al cuadrado, cuarenta y nueve, y cinco al cuadrado, veinticinco, igual a ocho.
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x al cuadrado más 98
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veinticincoavos igual a 8
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eliminamos todo esto multiplicando por 25
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y tenemos 25x al cuadrado
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más 98, estoy eliminando el denominador
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igual a 25 por 8, que 25 por 4 es 100, pues por 8 es 200
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¿Hasta aquí bien chicos? ¿He perdido alguno?
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Y ahora ¿qué tengo? 25x al cuadrado es igual a 200 menos 98 y eso da 102. ¿Hasta aquí bien? ¿Dudas? Y ahora x al cuadrado es igual a 102 veinticincoavos.
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hacemos la raíz cuadrada
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y cuidado que aquí tengo dos soluciones
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x sub 2 y x sub 3
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es igual a más menos
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no se nos puede olvidar el más menos
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la raíz de 102
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25 avos
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bien
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102
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eso es 51 por 2
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ahí no podemos extraer nada
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el 25 lo podríamos sacar fuera
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que queda más bonito
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y sería raíz de 102
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dividido entre 5
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¿Vale? Así pues, ¿cuántas soluciones hemos tenido en este sistema no lineal? Pues, ¿cuántas? Celia, ¿cuántas? No, no, no, tres, claro. Vamos a repasarlas. Vamos a agrupar las soluciones.
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Soluciones, chicos. Primera, teníamos, vamos a poner la y que es más fácil, igual a, el primer número que teníamos era 2. Si la y era 2, la x era 0. ¿Correcto? Primera solución.
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Segunda, si la Y era menos 7 quintos, entonces la X tiene dos soluciones.
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Aquí se me ha olvidado el más menos, lo vamos a poner ahora.
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Primera solución, raíz de 102 entre 5, fuera de la raíz.
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Y la tercera solución, fijaos que es igual a menos 7 quintos también.
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¿Vale? Y la x sería menos la raíz de 102 entre 5. Y las tres soluciones son buenas. ¿Estamos? Aunque se nos escape un poquito del curso, vamos a intentar entender el porqué. Ayudándonos de GeoGebra vamos a representar de nuevo las dos ecuaciones. ¿Vale?
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entonces nos fijamos
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bien, me decís por favor la primera ecuación
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x al cuadrado
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más 2y al cuadrado
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igual a 8
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como veis eso es la ecuación de una parábola
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¿estamos?
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x al cuadrado
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¿la he puesto bien?
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2x al cuadrado más 3y al cuadrado
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igual a 5
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es que no le he dado al enter, eso no puede ser una parábola
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estaba yo viendo
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y digo eso no puede ser una parábola
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X al cuadrado, dímelo otra vez por favor
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Ahora sí, es que da problemas
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Correcto, una elipse
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Eso sí puede ser
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Bien, segunda ecuación
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2X al cuadrado
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Menos Y al cuadrado
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Más 3Y
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Igual
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A2. Correcto. Y claro. ¿Qué tenemos aquí? Vamos a poner colores para que lo veáis más claro. La primera ecuación la vamos a poner de azul y la segunda ecuación la vamos a poner de rojo.
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entonces claro, esto obviamente se escapa
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a los contenidos de cuarto de la ESO
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pero fijaos, la primera ecuación
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lo que tenemos aquí
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es una elipse
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y la segunda ecuación que tiene dos ramas
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es una hipérbola
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¿estamos?
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entonces hay que tener tres puntos de corte
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fijaos, el primero
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cuando la X es cero, la Y es dos
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el de arriba
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y luego tenemos estos dos que tienen la misma
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Y. Veis que están a la misma altura y la X son dos números opuestos. ¿Vale? ¿Dudas,
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chicos? Si buscamos la intersección, ahora nos van a salir tres puntos. ¿Vale? Que serían
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estos de aquí. ¿De acuerdo? ¿Alguna duda? Bueno, vais a hacer entonces el primer sistema
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mano lineal de la hoja de ejercicio, ¿vale? Entonces, látex... Bien, vais a hacer el
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ejercicio 3, estos dos apartados, el A y el B, ¿vale? ¿De acuerdo?
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- 11 de diciembre de 2018 - 16:08
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- Público
- Centro:
- IES ANGEL CORELLA
- Duración:
- 10′ 28″
- Relación de aspecto:
- 1.61:1
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- 1440x896 píxeles
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- 65.97 MBytes