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1ª Sesión T3.- Polinomios 27-11-2025 - Contenido educativo

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Subido el 28 de noviembre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas nivel 2 del día 27 de noviembre. 00:00:00
Hoy empezamos un tema nuevo que es el de lenguaje algebraico y polinomios 00:00:06
y lo que vamos a ver en este tema es cómo los matemáticos tienen un lenguaje especial para comunicarse 00:00:11
que es universal para que todos se puedan entender. 00:00:20
Bien, luego veremos cómo se opera con esta herramienta que son los polinomios. Las operaciones van a ser muy sencillitas, pero lo que tenemos que fijar y quedarnos bien claro es el comienzo de este tema, cómo se llaman las cosas. 00:00:23
Luego las operaciones van a ser operaciones con números enteros y con potencias 00:00:40
mucho más sencillitas que las que hemos visto en temas anteriores 00:00:46
pero vamos a hacer este previo de que conozcamos cómo se llama a cada cosa 00:00:49
qué términos se utilizan para denominar a las cosas y que así luego en los ejercicios 00:00:55
sepamos qué nos están diciendo. 00:01:00
Comenzamos primero definiendo qué es esto del lenguaje algebraico. 00:01:04
Y el lenguaje algebraico, como os he dicho, es la forma de expresar en lenguaje matemático las condiciones de nuestro lenguaje verbal normal. 00:01:10
Entonces, vamos a empezar diciendo que una expresión algebraica es toda aquella expresión que esté formada por letras y números, 00:01:23
donde la relación que hay entre esas letras y números se expresa con símbolos aritméticos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, tal, lo que sea. 00:01:32
Entonces, el conjunto de todas esas expresiones algebraicas, que yo he hecho una relación entre números y letras, 00:01:43
y a las reglas que empleo para poder operar con ellas, es a lo que denominamos lenguaje algebraico. 00:01:50
Entonces, por ejemplo, ¿cómo pasaríamos de nuestro lenguaje usual a este lenguaje matemático, a este lenguaje algebraico? 00:01:57
Pues cuando yo quiero expresar un número que no conozco su valor, pues le pongo un nombre. 00:02:09
Los nombres que vamos a utilizar son las letras X, Y y Z. 00:02:17
Entonces digo, un número desconocido, pues le llamo x, pero si yo quisiese expresar el doble de ese número, pues digo, ¿yo qué hago para expresar el doble de algo? 00:02:22
Pues lo que hago es multiplicarlo por 2, entonces si quiero expresar el doble de ese número x, lo que hago es poner 2 por x y ya está. 00:02:33
el por veréis que nunca aparece aquí en el lenguaje algebraico 00:02:41
se sobreentiende que si tengo dos letras seguidas 00:02:45
o un número y una letra 00:02:50
y no hay nada entre medias 00:02:52
pues es que se están multiplicando 00:02:54
si hay alguna otra operación distinta 00:02:57
suma, resta, división, tal 00:02:59
pues sí que me la van a especificar 00:03:02
pero si no me ponen nada es una multiplicación 00:03:04
como aquí 00:03:06
aquí me estarían diciendo que estoy haciendo 2 por x 00:03:07
y con eso consigo encontrar el doble de ese número x. 00:03:09
Si yo quiero hacer la mitad de ese número desconocido, pues que hago, x dividido entre 2. 00:03:15
Si quiero hacer tres quintas partes de ese número desconocido, bueno, pues tres quintas cuantes es multiplicar por 3 00:03:22
y el resultado dividirlo entre 5, que sería lo mismo que si yo seamos hecho lo siguiente. 00:03:30
Sería lo mismo que haber dicho tres quintos por X 00:03:36
¿Vale? Tres quintos por X 00:03:45
Y yo hago la regla de la multiplicación de fracciones 00:03:47
Es numerador por numerador, tres X, denominador por denominador 00:03:52
Y cuando no había nada era un uno, pues cinco 00:03:55
¿Vale? Entonces, así va a funcionar todo 00:03:57
Quiero acelerar el cuadrado de ese número 00:04:02
¿Cómo hacíamos el cuadrado de algo? Elevándole a dos 00:04:04
Número desconocido x elevado a 2 00:04:07
¿Quiero aumentar ese número en 3 unidades? 00:04:10
Pues nada, aumentar era sumar 00:04:14
La expresión que iba a poner es x más 3 00:04:16
¿Quiero disminuirlo en 7 unidades? 00:04:19
Disminuir era restar, pues pongo x menos 7 00:04:22
¿Quiero sumar ahora dos números desconocidos? 00:04:26
Ya no les puedo poner el mismo nombre 00:04:29
Pues a uno le llamo x, a otro le llamo y y sumo 00:04:31
quiero la diferencia de esos dos números desconocidos 00:04:34
pues la diferencia es una resta 00:04:37
los números los he llamado x y los he llamado y 00:04:39
pues x menos y 00:04:41
quiero multiplicarlos, pues x por y 00:04:42
así todo el rato, solo es ir 00:04:45
traduciendo 00:04:47
literalmente 00:04:49
lo que me diga el enunciado 00:04:50
en nuestro lenguaje formal 00:04:52
a este lenguaje matemático 00:04:54
me dice la suma 00:04:57
de los cubos 00:04:59
de dos números 00:05:01
como se hacía el cubo de un número elevándole a 3 00:05:02
el primer número x elevado a 3 00:05:05
más segundo número como es distinto al primero 00:05:07
pues le tengo que poner otro nombre 00:05:11
aquí le llamo y, pues y elevado a 3 00:05:12
el cuadrado de la diferencia de los números 00:05:16
pues esto es un poco más trabalenguas 00:05:19
pues yo voy pasito a paso, digo 00:05:21
diferencia de los números x menos y 00:05:23
y a ese resultado, y por eso lo meto entre paréntesis 00:05:26
le tengo que elevar a 2 que es el cuadrado 00:05:29
pues aquí interviene también el orden de las operaciones 00:05:34
tengo que pensar cuál sería la operación principal 00:05:37
y la principal es la resta 00:05:42
porque yo hago el cuadrado del resultado 00:05:43
entonces para cambiar el orden de las operaciones 00:05:46
y hacer la resta antes que la potencia 00:05:48
que sería lo normal 00:05:51
pues lo que hago es poner paréntesis 00:05:52
y así ese paréntesis me obliga a que haga antes la resta 00:05:54
y después la potencia 00:05:57
Si lo enredamos un poco más, la tercera parte del cubo de un número menos su doble es 18 00:05:59
O sea que aquí ya me están dando una ecuación porque hay una igualdad 00:06:08
Pues digo, x al cubo, su tercera parte, dividirlo entre 3 00:06:12
Menos el doble de ese mismo número, pues menos 2 por x 00:06:16
Me da como resultado, pues pongo igual a 18 00:06:22
Esto lo veremos en el tema siguiente, ya cómo se resuelven, escriben y tratan ecuaciones. 00:06:27
Ahora solo vamos a trabajar con esto, con lo que vamos a conocer con el nombre de polinomios, 00:06:33
que empezaremos viendo lo más simple de ellos, que son los monomios. 00:06:40
Entonces, lenguaje algebraico es que yo traduzca mi lenguaje formal a una combinación de números y letras 00:06:46
donde la relación que hay entre unos y otros es la de las operaciones que me vayan proponiendo 00:06:55
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, las que sea 00:07:02
ninguna que no conozcamos ya de las operaciones con números racionales 00:07:06
números enteros y números naturales que hemos visto 00:07:13
bueno, pues vamos a empezar ya con lo que es un monomio 00:07:15
que es la expresión más pequeña de un polinomio, y empezamos definiendo lo que es. 00:07:23
Bueno, pues yo voy a llamar monomio a aquella expresión algebraica 00:07:29
en la que tengo relacionados números y letras, pero, ojo, 00:07:35
que os pongo aquí subrayado, mediante la operación multiplicación, ¿vale? 00:07:41
O sea, entre los números y las letras solo puede haber multiplicaciones. 00:07:48
Ahora eso sí, las letras pueden tener exponentes, pueden formar parte de una potencia, pero esos exponentes solo pueden ser números naturales. 00:07:51
No puedo tener aquí un exponente negativo, ¿vale? 00:08:01
Porque un exponente negativo implicaría que aparece una fracción y aquí no puedo tener fracciones con letras en el denominador. 00:08:04
Solo podría tenerlas si están en el denominador de esas fracciones números solo, ¿vale? 00:08:15
Se los veremos un poquito más adelante. 00:08:21
Bueno, ejemplo de monomio. 00:08:24
Pues menos 3 por x al cuadrado. 00:08:26
5 cuartos, aquí tengo una fracción, pero fracción numérica, por x y por y al cubo. 00:08:30
Menos raíz de 3 por x al cuadrado y z a la quinta. 00:08:36
Dos tercios solo, sin letras. 00:08:41
Pues también es un monomio. 00:08:43
Lo que no puede aparecer nunca en un monomio son ni sumas, ni restas, ni divisiones. 00:08:44
En cuanto aparezcan sumas o restas, ya no es un monomio, ya va a ser un polinomio. 00:08:50
El prefijo poli quiere decir varios o muchos. 00:08:57
Polinomio, pues muchos monomios o varios monomios. 00:09:02
¿Vale? Entonces, podemos considerar que un monomio es el polinomio más chiquitito que me puedo encontrar. 00:09:06
¿Qué partes tiene un monomio? 00:09:14
Uy, esto lo ha sacado un poco así. 00:09:17
Lo vamos a poner en la pizarra porque se ve ahí un poco mal que ha salido montado. 00:09:21
Partes de un monomio. 00:09:27
Pues vamos a verlo según un ejemplo. 00:09:34
Tengo 2x elevado a 3. 00:09:36
Y acordaos que aunque no me pongan nada, ese 2 va a estar multiplicando a ese x elevado a 3. 00:09:39
Pues al número que multiplica las letras se le llama coeficiente. 00:09:45
Y a las letras junto con sus exponentes se les llama parte literal o literal solo, ¿vale? Literal de letras. 00:09:52
Ahora, vamos a llamar grado, nos fijaremos en la parte literal y llamaré grado al número de letras. 00:10:12
al número de letras que hay en el monomio. 00:10:36
Y ojo, aquí no digo que hay solo una letra porque veo una X, 00:10:51
digo que hay tres letras porque el exponente me decía cuántas veces se repetía la base. 00:10:57
O sea que en este caso, en este ejemplo, tenemos grado 3, ¿vale? 00:11:03
¿Vale? Imaginaos que ahora tengo un monomio que tiene más de una letra. 00:11:09
Tengo menos 7, x, y al cubo, z. 00:11:16
Pues en este monomio yo digo que el coeficiente es el menos 7, 00:11:22
que era el número que multiplicaba las letras. 00:11:32
El literal es las letras con sus exponentes 00:11:37
Y el grado, como aquí hay varias letras, lo que hago es sumar los exponentes de cada una de esas letras 00:11:46
Suma de los exponentes de cada letra del literal 00:12:05
De la parte literal 00:12:20
Entonces, en este caso sería 1 más 3 más 1, el grado sería 5, ¿vale? 00:12:22
Y a veces también me pueden preguntar, ¿y qué variable es la que estamos utilizando? 00:12:31
Vamos a ver la definición de ese último término referente al monomio, 00:12:37
que es que variable es cada uno de los valores desconocidos, o sea, que esto es lo mismo que decir que cada una de las letras que aparece en el literal, 00:12:43
a la una de las letras del literal 00:13:04
o sea que en este caso las variables 00:13:10
¿quienes serían? pues la x 00:13:15
la y y la z 00:13:20
mientras que en el ejemplo que vimos antes solo había una variable 00:13:23
y decíamos pues la variable 00:13:29
en el primer monomio es solamente la x 00:13:32
¿Vale? Esto es lo que tenéis aquí que se ve un poco mal 00:13:36
Porque se han montado las letras y el ejemplo le faltan términos 00:13:42
Bueno, pues ya hemos visto esas partes del monomio 00:13:47
Y esas partes del monomio nos hacen falta para hacer esta segunda definición 00:13:52
Que es decir que son dos monomios semejantes 00:13:58
Pues vamos a decir que dos monomios son semejantes 00:14:03
cuando tienen la misma parte literal, o sea, tienen las mismas variables con los mismos exponentes. 00:14:06
Podemos resumir esto en que tienen, esto es lo mismo que decir que tienen la misma parte literal, ¿vale? 00:14:15
Nada más que eso, pues lo vemos en el ejemplo. 00:14:31
Estos monomios son semejantes porque si os fijáis, tengo aquí que la parte literal es x al cuadrado y aquí la parte literal también es x al cuadrado y aquí también, aquí también, lo único que está cambiando de unos a otros es sus coeficientes. 00:14:33
Es que aquí tengo un menos 3, aquí un 2 tercios, aquí cuando no me aparece nada sería un 1 y aquí tengo un raíz cuadrada de 5. 00:14:56
Pero las variables y los exponentes de cada una de ellas todo el rato son las mismas. 00:15:05
¿Por qué digo que el siguiente no son monomios semejantes? 00:15:11
Pues porque aquí tengo x por y al cubo, y aquí x por y a la 1, y aquí x al cubo por y. 00:15:17
O sea que han ido cambiando los exponentes de las variables. 00:15:25
Las variables son iguales en los dos, x e y, pero los exponentes ya no coinciden. 00:15:30
Luego, ya no son monomios semejantes. 00:15:39
Para que sean semejantes, la parte literal tiene que ser igual. 00:15:42
mismas variables con mismos exponentes 00:15:46
si estén cambiadas de orden me da igual 00:15:49
aquí me podrían haber puesto primero la y luego la x al cuadrado 00:15:51
eso no me importa porque la multiplicación 00:15:54
tiene la propiedad conmutativa 00:15:58
a mí me da igual hacer 2 por 3 que 3 por 2 00:15:59
lo que sí que me importa es que sean las mismas variables 00:16:03
con el mismo exponente en cada una de ellas 00:16:07
que en cada una de las partes literales 00:16:10
de cada monomio que aparezca 00:16:13
Bueno, pues ya tenemos visto qué es un monomio y cuáles son sus partes y qué son monomios semejantes. 00:16:14
Ya nos va sonando un poco cómo llamamos a las cosas los matemáticos cuando estamos aquí en polinomios. 00:16:26
Vamos a ver ahora qué es un polinomio. 00:16:34
Hemos dicho que el prefijo poli es muchos o varios monomios. 00:16:37
Pues un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios que no sean semejantes 00:16:42
Porque si son semejantes, veremos luego cuando veamos cómo se opera con monomios y con polinomios 00:16:50
Que los podría juntar 00:16:57
Ahora, si no son semejantes, no los puedo juntar 00:16:58
O sea, yo puedo juntar 2x más 3x y decir que son 5x 00:17:02
pero no podría juntarlo si tuviese 2x más 3x al cuadrado 00:17:08
porque ya las partes literales no son iguales 00:17:14
una tiene una x y otra tiene una x al cuadrado 00:17:17
como sumar es juntar cosas que sean idénticas 00:17:20
ya no podría juntarlo 00:17:24
entonces se me estaría generando un polinomio que tiene dos monomios 00:17:26
Uno de grado 1, ese 2x, y otro de grado 2 en el 3x al cuadrado 00:17:33
Bueno, pues, ejemplo de polinomios, pues aquí tenemos 00:17:39
Menos 3x al cuadrado, monomio de grado 2 00:17:43
Más 2x, monomio de grado 1 00:17:47
Menos 5, que este digo que es un monomio de grado 0 00:17:50
Porque no tiene variables, no tiene x 00:17:54
Voy a este siguiente 00:17:58
5 cuartos de x a la 5 00:18:00
Pues monomio de grado 5, menos 3x al cubo, pues es un monomio de grado 3, que no le voy a poder juntar entonces con el de grado 5, más x al cuadrado, un monomio de grado 2, que no le puedo juntar con ninguno de los dos anteriores, y menos raíz cuadrada de 7 por x, pues monomio de grado 1, que tampoco lo puedo juntar con ninguno de los anteriores. 00:18:03
Entonces, se me han generado dos polinomios. Este polinomio, que vamos a ver ahora que está compuesto por tres monomios, que a cada uno de esos monomios se le va a dar un nombre especial que se llama término, y este segundo polinomio que tiene cuatro monomios, o sea, cuatro términos, bueno, pues vamos a ver cómo se nombra a cada cosa dentro de un polinomio. 00:18:29
Y lo primero, pues es lo que acabamos de decir, que voy a llamar término a cada uno de los monomios que componen el polinomio. 00:18:54
Ahora, cuando quiera ver el grado de un polinomio, lo que haré es coger el grado mayor de los grados de los monomios que aparezcan. 00:19:05
Por ejemplo, en este primer ejemplo, este es de grado 2 porque es el exponente más alto que ha aparecido. 00:19:16
y este es de grado 3, digo de grado 5, perdón, porque es el exponente más grande que ha aparecido. 00:19:23
Si hubiese varias letras, acordaos que tengo que sumar sus exponentes, 00:19:30
entonces me quedaría como grado del polinomio la suma mayor que me salga a apuntar esos exponentes, ¿vale? 00:19:36
Las variables, pues igual que los monomios, cada una de las letras distintas que aparezcan. 00:19:45
¿Y los coeficientes? Pues cada uno de los coeficientes de cada uno de los monómonos, pues menos 3, más 2, menos 5, aquí 5 cuartos, menos 3, 1, menos raíz de 7, y dentro de esos coeficientes hay dos que tienen un nombre especial porque van a ser especiales luego a la hora de operar con los polinomios, 00:19:50
que son el que se llama coeficiente principal, que sería el coeficiente del monomio que tiene mayor grado. 00:20:15
Entonces, en este primer ejemplo, el coeficiente principal es el menos 3, 00:20:24
porque iba con el monomio de grado 2, que era el más grande, 00:20:29
y el término independiente es el coeficiente del monomio de grado 0, 00:20:33
o sea, el coeficiente del monomio que no tenga letras. 00:20:39
pues en este caso tengo que el término independiente 00:20:42
es este menos 5 porque no hay ninguna letra con él, no hay x con él 00:20:46
si me voy al siguiente de polinomio 00:20:50
pues el coeficiente principal es el 5 cuartos 00:20:54
porque va con el x a la quinta que era el monomio 00:20:58
con el exponente más grande y no hay término independiente 00:21:02
porque no hay ningún monomio que no tenga letras 00:21:06
Entonces, cuando ocurre eso, digo que el término independiente es cero, porque no hay nada, no vale nada. 00:21:09
Bueno, vamos a ver, esto lo tenéis aquí puesto en el ejemplo, y ahora vamos a ver a qué se llama valor numérico de un polinomio. 00:21:18
Bueno, pues llamamos valor numérico de un polinomio al que se obtendría si cada una de las letras que están dentro del polinomio las sustituyo por números concretos. 00:21:31
Cuando hablo de valor numérico en polinomio puedo hablar también de valor numérico de un monomio igualmente. 00:21:45
No tenemos que olvidar que un monomio es un tipo especial de polinomio, que solo tiene un término. 00:21:52
Entonces, me dicen que tengo este polinomio, 2x al cubo menos 3x más x al cuadrado por y, y me dicen, ¿cuál sería el valor numérico de este polinomio si la x tomase como valor un menos uno y la y tomase como valor un dos? 00:21:58
pues lo único que tengo que hacer es venirme al polinomio 00:22:18
y en todos los sitios que haya x 00:22:21
yo pongo un menos 1 00:22:23
y en los sitios que haya y es pongo un 2 00:22:26
y me quedaría esto, 2 por menos 1 al cubo 00:22:29
menos 3 por menos 1 00:22:33
más menos 1 al cuadrado por 2 00:22:35
he pasado del polinomio 00:22:37
a una operación combinada con números enteros 00:22:41
pues nada, ya sabemos hacerlas muy bien 00:22:44
voy pasito a pasito, primero en este caso 00:22:46
resolviendo las potencias, después los productos 00:22:50
y lo último las sumas y las restas, pues tendría 2 por 00:22:54
menos 1 al cubo es menos 1, ahora menos 3 por menos 1 00:22:58
se queda como está, más menos 1 al cuadrado que sería 00:23:02
1 por 2 y ahora por último hago las multiplicaciones 00:23:06
2 por menos 1 es menos 2, menos 3 por menos 1 00:23:09
por la regla de los signos se convierte en más 3, y 1 por 2, 2. 00:23:14
Hago la suma de estos números y me queda como resultado 3. 00:23:19
Pues estaríamos diciendo que el valor numérico de este polinomio, 00:23:25
cuando x vale menos 1 e y vale igual a 2, pues el valor numérico es 3. 00:23:29
¿Vale? O sea, solo es sustituir cada letra por el valor que me vayan diciendo. 00:23:36
Sin más 00:23:41
No me complico más la vida 00:23:42
Y luego hago las cuentas poquito a poco 00:23:44
¿Cómo vamos hasta ahí, Gabina y Elena? 00:23:47
¿Lo vamos entendiendo? 00:23:55
Sí, pero 00:23:58
Gabina dice que no ve nada 00:23:59
Pero yo sí te veo 00:24:01
Pero si antes me ha dicho que lo veía 00:24:02
Antes de conectarte a tú 00:24:03
No sé 00:24:05
Le he preguntado antes a ella que a ti me ha dicho 00:24:07
Sí, sí, veo todo, lo que pasa es que 00:24:08
No voy a poner el micrófono porque 00:24:10
Si no hace ruido y no te oigo 00:24:12
ya, es que está escribiendo ahora por el chat 00:24:15
y pone no veo nada 00:24:19
si lo ves tú lo tiene que ver ella 00:24:20
porque esto no puede ser así 00:24:22
otra cosa es que esté con el móvil y lo vea chiquitito 00:24:24
y no lo vea bien 00:24:26
a ver, Gabina 00:24:27
¿me oyes o tampoco me oyes? 00:24:30
pues ahora tampoco nos oye 00:24:35
bueno 00:24:36
estos conceptos que hemos visto Elena 00:24:38
¿entendidos más o menos? 00:24:40
sí, más o menos 00:24:44
Sí, esto es pues eso, darle un repasito luego, hacer alguno de los ejercicios que vienen al final. 00:24:45
Bueno, pues vamos a ver ahora cómo se hacen operaciones con polinomios. 00:24:51
Y lo primero que vamos a hacer es hacerlas con monomios, para que así nos resulte más sencillo entender luego lo que pasa en un polinomio. 00:24:56
¿Vale? Pues vamos a por ellas. Y decimos, operaciones con monomios. Sumas las primeras. Y lo vamos a ir viendo sobre ejemplos. Pues yo digo, para poder sumar, los monomios tienen que ser semejantes. 00:25:05
Si no, no puedo sumarlos. Esto es súper importante. Entonces, si a mí me dicen que sume 2x al cuadrado con 5x al cuadrado, ¿qué voy a hacer? Pues sumar los coeficientes y dejar la parte literal como estaba. 00:25:42
sumar es agrupar cosas iguales, pues en total tengo 7x al cuadrado, o sea que lo que hacemos es sumamos sus coeficientes, ¿vale? 00:26:08
Entonces, ya tendría control a la suma, si cuando me mandan a hacer una suma de monomios, me dan como ejemplo 3x al cuadrado más 5x al cubo, 00:26:25
que diré que no se pueden sumar porque no son semejantes, no se pueden sumar por no ser semejantes, lo que estaría dejando es indicada esa operación y se estaría generando un polinomio, ¿vale? 00:26:37
si voy a por la resta 00:27:04
pues va a ocurrir la misma 00:27:07
restas 00:27:10
pues lo que hago es 00:27:13
restar solo monomios que sean semejantes 00:27:17
solo puedo restar 00:27:21
monomios semejantes 00:27:24
tengo 5x al cubo y le quiero restar 00:27:29
4x al cubo 00:27:39
5 menos 4 00:27:41
y lo que me salga puede ser el cubo 00:27:45
entonces me queda una x al cubo 00:27:47
que lo puedo poner así poniendo el 1 00:27:50
o el 1 puedo pasar de él 00:27:52
entonces lo que hago es 00:27:54
restamos sus coeficientes 00:27:55
si como antes me mandan restar 00:28:01
dos monomios que no son semejantes 00:28:09
tengo 3x al cuadrado 00:28:12
menos 5x al cubo. Pues digo, no puedo restar porque no son semejantes y lo dejo así indicado 00:28:16
y se estaría generando pues un polinomio. Vamos a ver qué pasaría si quiero hacer multiplicaciones 00:28:36
Y lo vamos a ver con un ejemplo también. Quiero multiplicar 3x al cuadrado por 2x al cubo. Pues vamos a usar la misma técnica que hicimos en la notación científica. 00:28:44
Por un lado multiplico los coeficientes y por otro los literales. 00:29:08
Entonces, coeficientes por un lado, literales por otro. 00:29:16
3 por 2 me da 6 y ahora cuando multiplique los literales, como son potencias, utilizo las propiedades de las potencias. 00:29:35
Producto de potencias de la misma base se sumaban los exponentes. 00:29:42
Entonces me queda 6x elevado a 5 como resultado, ¿vale? 00:29:48
O sea que no hay nada que no sepamos hacer. 00:29:54
En la multiplicación de coeficientes, nosotros sabemos operar con números enteros y con números racionales, 00:29:58
pues ningún problema me ponga el coeficiente que me ponga. 00:30:04
Y en la parte de las potencias, me sé las propiedades de las potencias, pues las utilizo en cada momento. 00:30:08
¿Qué ocurrirá para la división? 00:30:16
Pues exactamente lo mismo que para la multiplicación. Tengo 6x a la cuarta, que lo quiero dividir entre 2x al cuadrado. 00:30:18
Coeficientes por un lado, literales por otro. Acordaos que estoy diciendo que esto es semejante a las operaciones en notación científica que poníamos. 00:30:32
Parte decimal por un lado, potencia por otro 00:30:45
6 entre 2 a 3 y x a la cuarta entre x al cuadrado 00:30:49
División de potencias de la misma base se restaban los exponentes 00:30:53
Pues me queda 3x al cuadrado como resultado 00:30:57
Ya está, sin más, ya tenemos las propiedades 00:31:01
las operaciones básicas. Si quiero hacer una potencia 00:31:05
o rematar, quiero hacer 00:31:09
2x al cuadrado y todo esto al cuadrado 00:31:13
pues lo que hago es potencia del coeficiente 00:31:17
por un lado, potencia del literal por otro 00:31:21
pues 4 por x a la cuarta 00:31:24
potencia de potencia se multiplicaba en los exponentes 00:31:32
pues ya está, ¿por qué hago eso? pues porque no tenemos que 00:31:36
perder de vista que las potencias eran multiplicaciones 00:31:40
de la base por sí misma 00:31:44
tantas veces como me dijese el exponente 00:31:47
pensando en la idea de multiplicación 00:31:50
llego a esto 00:31:53
pues visto que llego a eso 00:31:55
bueno, pues por aquí voy a dar tanta vuelta 00:31:58
si sé que esto al final es 00:32:00
separar por un lado los coeficientes 00:32:03
y por otro lado los literales 00:32:05
pues ya tendría las operaciones con mis monomios 00:32:08
así de sencillas, sin más 00:32:12
¿vale? solo tengo que recordar 00:32:15
las operaciones de potencia, las propiedades 00:32:18
de las potencias de misma base y 00:32:22
no dejarme olvidar las multiplicaciones y divisiones 00:32:24
de los números racionales 00:32:28
ojo, como siempre, cuidadito con los signos 00:32:30
¿vale? aquí las reglas de signos también se 00:32:33
conservan ¿vale? entonces tengo que tener cuidado con ellas 00:32:37
bueno, pues si he controlado esas operaciones con monomios 00:32:40
vamos a ver ahora que las operaciones con polinomios 00:32:47
son exactamente iguales 00:32:50
pero antes de entrar en ellas 00:32:54
os voy a hablar de dos conceptos importantes 00:32:56
porque para operar bien con polinomios 00:33:00
lo que hay que tener mucho cuidado 00:33:03
es con ser ordenado y cuidadoso 00:33:05
Entonces, vamos a hablar de dos cosas que me van a ayudar a que sea ordenado y cuidadoso y es estas dos definiciones. 00:33:08
Voy a decir que un polinomio es ordenado pues cuando sus términos están colocados en orden de mayor a menor grado, ¿vale? 00:33:18
Y acordaos que el grado de un polinomio era el del monomio con grado más alto. 00:34:01
Entonces, ejemplo, yo digo, tengo 2x a la cuarta más 3x al cubo menos x más 1. 00:34:09
Pues esto está todo ordenadito, porque tengo grado 4, después grado 3, después grado 1, después grado 0. 00:34:19
O sea que este sería un polinomio ordenado. 00:34:26
Ahora, si llegan y me dicen 3x al cuadrado menos 7x al cubo más 2 menos 3x a la cuarta, pues resulta que tengo grado 2, luego sube a grado 3, luego baja a grado 0, luego vuelve a subir a grado 4. 00:34:29
Este es un polinomio desordenado. No tengo colocadas bien las cosas. Las he mezclado todas. Eso por un lado. 00:34:53
Ahora voy a ver lo que es un polinomio completo. Y un polinomio completo es cuando tengo términos de todos los grados, 00:35:06
desde el grado más alto al grado más bajo del polinomio 00:35:22
cuando tenemos términos 00:35:26
de todos los grados desde 00:35:34
el más alto, que va a ser el grado del polinomio 00:35:44
hasta el término independiente 00:35:51
¿vale? ejemplo, pues tengo 00:36:03
2x al cubo más 7x al cuadrado 00:36:14
más 3x menos 1. Pues resulta que tengo grado 3, grado 2, grado 1 y grado 0. No me falta ningún grado. 00:36:21
Ahora tengo 7x a la quinta menos 3x al cubo más 2x menos 1. Pues resulta que cuando miro digo 00:36:33
Bueno, ¿qué pasa aquí? Tengo grado 5, pero falta grado 4. Tengo grado 3, pero falta grado 2. Entonces, este polinomio es incompleto, mientras que el otro sí que era completo. No faltaba ninguno. 00:36:48
¿vale? entonces, ahora yo puedo hacer combinaciones 00:37:23
de esto, puedo tener polinomios que estén completos 00:37:28
y además ordenados, como pasa con este 00:37:32
polinomios incompletos, aunque lo que tengo 00:37:35
está ordenado, y si me voy a los de arriba 00:37:39
pues resulta que tengo que este es 00:37:43
incompleto pero ordenado, solo falta 00:37:47
al grado 2, pero los que tengo están bien colocaditos. Y este, además de ser incompleto, 00:37:51
porque le falta al grado 1, está también desordenado. Tiene lo peor de lo peor, todo 00:37:58
está mal. Le faltan términos y encima los que tiene están descolocados. Bueno, pues 00:38:04
eso es importante por lo siguiente que vamos a ver ahora. Y es que cuando yo quiero sumar 00:38:11
polinomios, que es la primera operación que vamos a ver 00:38:19
lo que hago es 00:38:22
colocar cada oveja 00:38:25
con su pareja, cada término le voy a colocar 00:38:31
con el de su grado, voy a sumar 00:38:35
cada monomio con su semejante 00:38:39
entonces me dice aquí, en las reglas que tenemos 00:38:42
Dice, si yo tengo polinomios sumándose o restándose, que va en lo mismo, ¿qué hago? 00:38:47
Pues primero quita los paréntesis. ¿Por qué? Primero me tengo que fijar en los paréntesis. 00:38:55
Porque si hay una resta de polinomios, este menos que hay delante del polinomio que quiere restar, 00:39:01
¿qué va a hacer? Cambiar de signo a todo el polinomio. 00:39:07
se va a generar lo que se llama el polinomio opuesto 00:39:12
el opuesto de un polinomio es, como os decía aquí arriba 00:39:15
cambiar de signo todos los términos 00:39:21
el opuesto de 5x al cubo menos 2x al cuadrado más x menos 6 00:39:24
es menos 5x al cubo más 2x al cuadrado menos x más 6 00:39:29
cada uno de los signos le he cambiado 00:39:33
pues esto es lo que ocurriría aquí 00:39:36
cuando yo quiero restar dos polinomios es lo mismo que sumar 00:39:38
al primero el opuesto del segundo, pero el opuesto de este segundo es lo mismo que ir haciendo la regla 00:39:42
de los signos término a término, menos por más se convierte en un menos, menos por más se convierte 00:39:48
en un menos, menos por menos se convierte en un más y menos por más se convierte en un menos, 00:39:55
o sea que lo primero que hago es quitar ese paréntesis, en el caso de estar restando y después 00:40:01
es juntar cada oveja con su pareja. Digo, x a la cuarta, ¿cuántos hay? Solo estos, pues 2x a la cuarta. 00:40:07
Pero, x al cubo tengo, estas menos 5x al cubo y este menos 7x al cubo, pues en total menos 12x al cubo. 00:40:15
x al cuadrado, solo tengo estos, menos 4x al cuadrado, pues menos 4x al cuadrado. 00:40:25
x tengo estas y estas pues 1 más 1, 2x 00:40:31
y por último término independiente, menos 2 y menos 8, menos 10 00:40:35
os decía antes lo de ordenar y completar los polinomios 00:40:39
porque esta cuenta que hemos visto así en horizontal 00:40:44
muchas veces hace que me pierda 00:40:47
pero si yo la pongo así en vertical 00:40:50
digo 2x a la cuarta, 2x a la cuarta 00:40:53
menos 5x al cubo más x 00:40:57
y menos 2 00:41:04
y ahora quiero restar este otro 00:41:06
7x al cubo más 4x al cuadrado 00:41:13
más 2x 00:41:19
menos 10 00:41:23
pues lo que digo es que a este 00:41:26
2x a la cuarta 00:41:29
menos 5x al cubo 00:41:32
le dejo el huequito de las x al cuadrado 00:41:36
y luego pongo el más x menos 2 00:41:39
o sea que dejo 00:41:42
huecos en los términos 00:41:46
que faltan, que es como si completase 00:41:50
el polinomio, pero con ceros 00:41:58
y ahora digo, como restar es como sumar el opuesto 00:42:01
pues yo voy a sumar, pero 00:42:04
el opuesto de todos los términos 00:42:06
y voy colocando 00:42:09
cada uno debajo de su semejante 00:42:10
entonces 00:42:13
este que era un polinomio 00:42:15
completo y ordenado 00:42:17
se me queda bien 00:42:19
colocadito 00:42:21
pero 00:42:22
perdón que este es un menos 00:42:23
menos 4x 00:42:25
lo que estoy haciendo es 00:42:31
sumamos 00:42:34
el opuesto 00:42:37
para hacer esta resta, sumamos el opuesto 00:42:39
colocando en vertical 00:42:45
los términos semejantes, y ahora 00:42:50
lo que hago es sumar por columnas, cada oveja 00:43:01
con su pareja, los términos independientes con los términos independientes 00:43:05
el grado 1 con el grado 1, el grado 2 con el grado 2, el grado 3 con el grado 3 00:43:09
y así no se me mezclan las cosas, tengo menos 2 más 10 00:43:14
7 más 8x menos 2x, pues menos 1x, que el menos 4x al cuadrado que estaba solito se queda como está. 00:43:17
Menos 5x al cubo y menos 7x al cubo, pues menos 12x al cubo, y el x a la cuarta que estaba solito, pues se queda como está. 00:43:27
Creo que colocando las cosas de esta forma os equivocáis bastante menos que cuando lo hacéis así en horizontal. 00:43:38
Pero cada uno como quiera, como mejor se organice. 00:43:45
Y, colocándolo así en vertical, pues cuando tengo muchos polinomios, pues también creo que es más cómodo porque cuando hay muchos términos, pues empiezo a volverme loco de dónde estaban las x cuadrados y solo había esta, o había más por aquí, o había algo más por allí. 00:43:49
si lo coloco todo en vertical, pues no hay opción a que me pierda 00:44:04
¿vale? solo que tengo que tener en cuenta 00:44:08
que cada vez que tenga una resta 00:44:11
yo tengo que escribir el opuesto 00:44:13
y el opuesto del polinomio es cambiar de signo 00:44:16
a todos sus términos, a todos 00:44:20
¿vale? cuando he hecho esas correcciones 00:44:22
y he colocado las cosas en orden 00:44:26
y he dejado los huecos correspondientes cuando me falta algún término 00:44:28
Pues es como si estuviese sumando números enteros. 00:44:32
No tengo ninguna complicación más, puesto que la parte de las letras no las toco. 00:44:36
Yo solo juego con los coeficientes. 00:44:42
Bueno, vamos a ver cómo se multiplicarían polinómicos. 00:44:46
Lo voy a contar rápido por encima, porque lo veremos más despacio el próximo día, 00:44:51
puesto que las multiplicaciones y divisiones son un poquito más complicadas. 00:45:01
¿Vale? Entonces... 00:45:05
Ángel, Gavina escribe por el chat y dice que tiene dificultad con los problemas, que le cuesta mucho entenderlos. 00:45:06
Sí, profe, me cuesta mucho. Por eso, mira, profe, hasta ahora no te he enviado ninguna tía, porque yo en matemáticas, cuando me explicas así, yo me entero. 00:45:16
Solo son los últimos de cada tema 00:45:24
Tienes muchos más ejercicios 00:45:26
¿Qué es eso? 00:45:28
¿Por qué a mí no me sale tu chat? 00:45:29
¿En qué chat estás escribiendo? 00:45:31
¿O estás escribiendo en alguno de vuestro? 00:45:34
Yo no sé por qué lo estoy haciendo desde el móvil 00:45:35
Ni siquiera sé dónde te estoy escribiendo 00:45:38
Es que a mí no me sale 00:45:40
Solo veo que aquí me aparece el micrófono 00:45:41
La cámara y un sitio de chat 00:45:44
En el móvil 00:45:46
Vamos a cortar aquí la grabación 00:45:47
Perdona 00:45:49
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Autor/es:
Angel Luis Sanchez Sanchez
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Angel Luis S.
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Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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28 de noviembre de 2025 - 8:56
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Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
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