DUDAS proyecciones - Contenido educativo

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Subido el 22 de mayo de 2021 por Maria Belen P.

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A ver, respecto a proyecciones, realmente son proyecciones que se llaman ortogonales, ¿vale? 00:00:00

Ortogonales, quieren decir perpendiculares. 00:00:09

Entonces, si yo quiero tener, por ejemplo, la proyección, lo primero que vimos fue, en este caso, de un vector sobre otro. 00:00:12

Para esto, yo proyecto este vector, es como si viniera, digamos, es perpendicular, 00:00:21

Entonces sería como una especie de A de luz en esta dirección, con lo cual esta recta que aparece en discontinua es perpendicular. 00:00:28

Y la sombra que arroja este trozo de aquí es lo que se llama la proyección del vector U sobre V. 00:00:38

Bueno, en caso hipotético que pidieran proyecciones o similar, o te dieran la proyección, bueno, eso con que se relaciona con el producto escalar. 00:00:48

Yo sé que el punto escalar u, escalar v, ¿a qué es igual? Sería al módulo de u por el módulo de v por el coseno de alfa, ¿sí? 00:00:56

Entonces, si me doy cuenta, si este es el coseno de alfa, esto es alfa, ¿vale? 00:01:06

Este trocito, otra vez de nuevo de aquí, ¿a qué sería igual? Pues sería igual al módulo de u, ¿vale? 00:01:13

Esto sería un módulo de u, ¿por quién? Por el coseno de alfa. De esta manera, si me doy cuenta, yo esto de aquí, lo que yo he llamado proyección de u sobre v, es lo mismo que el módulo de u por el coseno de alfa, 00:01:20

Con lo cual, el producto escalar se puede poner también como módulo de V por la proyección del vector U sobre V, ¿vale? Esto respecto a proyección de, en este caso, de vector de proyección ortogonal siempre. 00:01:40

Otras proyecciones que tenemos, las fundamentales son las de punto, como decías antes, punto sobre un plano o una recta, esta recta R, sobre el plano 00:01:54

La de punto sobre el plano se puede calcular de muchas, o sea, de muchas no, pero por lo menos un par de formas 00:02:07

Yo lo que puedo hacer, lo que a mí se me ocurre siempre es hacerlo de manera geométrica, es decir, yo que busco una proyección a este plano pi 00:02:13

¿Vale? Este plano pi tiene un vector n 00:02:23

¿Sí? Pues entonces, yo lo que voy a hacer es formarme una recta S 00:02:27

¿Vale? Una recta S 00:02:32

¿Vale? Una recta S 00:02:33

Y esta recta S, ¿qué va a tener? 00:02:36

Pues va a estar formada, la recta S va a estar formada por el vector n del plano 00:02:39

Porque es perpendicular 00:02:44

Y por el punto B 00:02:45

¿Sí? Pues yo me hago mi recta S 00:02:47

Esto simplemente pensando 00:02:50

Y esa recta, la intersección con el plano pi, sería el punto B' que sería la proyección sobre el plano de la recta, del punto, pero que es la intersección de recta perpendicular al plano que pasa por ese punto B sobre el plano pi. 00:02:52

Ahora, geométricamente vemos el concepto. ¿Analíticamente cómo sería? Pues bueno, si yo tengo el punto B de coordenadas x1, y1 y z1, ¿vale? 00:03:14

y el plano pi que tiene de ecuación, por ejemplo, ax más bi más cz más d igual a cero, ¿vale? 00:03:28

La recta perpendicular a este plano pi, ¿cuál sería? 00:03:38

Obviamente el vector n, que hemos mencionado antes, sería el abc. 00:03:42

Entonces la recta perpendicular sería x menos x sub 1 partido por a, 00:03:47

es igual a y menos y sub 1 partido por b igual a z menos z sub 1 partido por c. 00:03:52

Si yo hago esta, digamos, ecuación en forma continua, la paso a forma general, ¿vale? 00:04:00

Es decir, haciendo este con este y luego, por ejemplo, este con este, la intersección de estos dos planos. 00:04:10

Y además hago justo la ecuación del plano que sería ax más bi más cz más d igual a cero y de estas dos extracciones puedo sacar por ejemplo ax más bi más cz más d por ejemplo igual a cero. 00:04:16

Y de aquí puedo sacar, en este caso, otra ecuación, a'x más b'y más c'z más d' igual a cero, ¿vale? 00:04:37

Bueno, esta d, vamos a ponerla minúscula, ¿vale? Para no confundir, esta sería una d minúscula. 00:04:50

Y aquí se me va a formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución, en este caso, sería el punto b'. 00:04:55

¿vale? pero yo creo que geométricamente 00:05:04

se ve más claro, lo hago con números 00:05:06

y me hago una intersección de recta 00:05:08

perpendicular S con plano 00:05:10

de la manera que ya sabemos, la recta esta 00:05:12

incluso la podemos hacer en paramétricas 00:05:14

con el parámetro lambda y ya sabéis 00:05:16

sustituyo en el plano pi 00:05:18

y obtengo el lambda y luego sustituyo otra vez 00:05:20

en la X y saco las 00:05:22

las coordenadas del punto 00:05:24

pero otra manera es esta 00:05:26

es decir, luego pasando a resolver 00:05:28

siempre se soluciona todo a través de 00:05:30

luego de sistemas, pasando a resolver el sistema global. Y ahora si tengo la proyección ortogonal 00:05:32

de una recta sobre un plano, en realidad lo que yo voy a calcular es, si yo tengo el vector 00:05:38

siempre del plano, el n, ¿vale? Yo voy a hallarme un plano, ¿vale? Que contenga la recta, así, ¿vale? 00:05:45

que contenga la recta y hallaría, digamos, la ICA, además, que contenga la recta, pero no de cualquier manera. 00:05:58

Tiene que contener a la recta y, además, claro, tiene que ser perpendicular al plano dado, con lo cual va a tener el mismo vector director. 00:06:07

De esta manera, lo que estoy buscando es esta recta de aquí, que vamos a llamarle R'. 00:06:16

¿Vale? Eso sería la proyección ortogonal 00:06:23

Técnicamente o analíticamente, ¿cómo podemos solventar esto? 00:06:27

Pues bueno, si yo tengo por ejemplo la recta 00:06:32

Lo que teníamos de ecuación, la recta R tiene de ecuación 00:06:35

Por ejemplo, x menos x1 partido por a1 00:06:39

Igual a y menos y1 partido de b1 00:06:44

Igual a z menos z1 partido, en este caso 00:06:48

de C1, ¿vale? El plano también nos lo dan porque el plano tiene ecuación AX más BI más CZ más D igual a 0. 00:06:53

Ese es nuestro plano. Pues bueno, el plano perpendicular que contiene a esa recta, ¿cuál va a ser? 00:07:07

Pues sería justamente este de aquí, el generado por el vector n, ¿vale? 00:07:14

Tiene que estar formado por n y tomando dos puntos, lo que teníamos antes, dos puntos. 00:07:23

Si he tomado, por ejemplo, o el vector, me dan ya el vector director de la recta, el vector v, ¿vale? 00:07:29

Y cogería uno de los puntos, el punto, por ejemplo, x1 y 1 y z1, ¿vale? 00:07:35

Con lo cual yo voy a generar este plano, que sería el plano pi prima, que contiene a la recta y es perpendicular, y sería justo este. 00:07:43

El de x menos x es 1, y menos y es 1, y z menos z es 1, y luego con los vectores directores, el de la recta, a1, b1 y z1, y luego el del plano, que sería el abc. 00:07:54

Y de esta manera, estoy igualándolo a cero, obtengo el plano pi prima. El plano pi prima haríamos el que sacamos de aquí con la intersección. El que sacamos de aquí haríamos la intersección y nos sale justo esta recta. 00:08:08

Es decir, tenemos ya justo la recta como intersección de dos planos y eso ya sabemos hacerlo, es como cuando nos dan la recta en implícitas, damos a z igual a lambda, el valor lambda y ya luego obtenemos la x y la y en función de lambda y ya obtengo la ecuación de la recta. 00:08:29

¿Otra manera de verlo geométricamente? Pues, por ejemplo, es decir, yo tengo el plano este pi, el de antes, ¿vale? Así, y yo tengo mi recta R. ¿Qué quiero hacer? La recta R, proyectarla perpendicularmente. 00:08:47

Pues también puedo hacer lo siguiente, coger el punto A y el punto B y hacer lo que hemos hecho antes, las proyecciones ortogonales. Aquí vendría el A y aquí vendría, de la manera que hemos hecho en la anterior explicación, B', es decir, haciéndome una perpendicular al plano, intersección y ya luego hacerme la recta que une estas dos y estaríamos en la misma situación, ¿vale? 00:09:02

con A' y con B', 00:09:30

ya obtengo R', que es la proyección 00:09:31

ortogonal sobre el plano pi. 00:09:33

Y creo que... Ah, vale. 00:09:35

Lo que te comentaba, 00:09:37

que esta no es la que 00:09:39

venía en... ¿Cómo se llama? 00:09:41

En los ejercicios que tú me... 00:09:44

O sea, en las propuestas que me has dicho. 00:09:45

Obviamente que es proyectar 00:09:48

un punto a ver sobre una recta. 00:09:49

Sería como trazar lo que hemos visto antes. 00:09:52

Trazar la perpendicular 00:09:54

y donde intersecciona 00:09:55

aquí en 00:09:57

la red. Obviamente geométricamente tendríamos que trazar un plano que fuera perpendicular 00:09:59

a la recta, que contuviera el plano y entonces, o sea, que contuviera al punto, el plano pi, 00:10:09

este de aquí, tiene que contener al punto A y tiene que contener al vector, o sea, tiene 00:10:19

que ser justo el vr, el vr tiene que ser su vector normal, el vr coincidiría con su vector normal y ya 00:10:24

con eso me generó el plano pi y digamos la intersección con r sería la prima que sería la 00:10:35

proyección ortogonal del punto a sobre la recta r, pero esto es siempre que sean proyecciones 00:10:42

ortogonales pensamos en perpendiculares, tirar perpendiculares y donde interseccionan con el 00:10:48

otro elemento sobre el cual proyectamos, ¿de acuerdo? Y este es el único que creo no me 00:10:54

has dicho que no tenías, pero bueno, este es que es obvio. Hasta luego. 00:11:00

Para calcular una recta paralela a otra de manera que haya una distancia entre ellas 00:11:06

de dos, lo que hacemos va a ser lo siguiente. En primer lugar, bueno, la ecuación, ya sabemos 00:11:13

que la ecuación, lo he puesto aquí con un ejemplo, ¿vale? La ecuación, en este caso, tenemos un punto de la recta, ¿vale? 00:11:20

Su ecuación es tal que esta, esa es la recta conocida R. La recta S, ¿qué pasa? Pues también, como va a ser paralela, 00:11:27

tenemos que el vector director va a ser el mismo, sería 4, 3, 1, ¿vale? ¿Qué vamos a hacer? Pues desde A vamos a lanzar una perpendicular, ¿vale? 00:11:37

Vamos a lanzar una perpendicular y esta recta perpendicular va a tener como punto A, ¿vale? 00:11:48

1, el 1, 2, menos 4 y vector director sería, en este caso, si es 4, 3, 1, el menos BA. 00:11:56

Menos BA sería 3, 4 y le damos a esta, por ejemplo, 0, de manera que el producto escalar entre ambos sea nulo. 00:12:03

es decir, como ves, el V, digamos, prima, el de la perpendicular a R, sería menos 3, 4, menos 4, ¿vale? 00:12:12

Haremos una intersección de esta recta después a posteriori con esta recta S, que sería el punto B. 00:12:21

Entonces, yo de momento lo que voy a hacer es obligar a que la distancia de este punto a una recta 00:12:31

cuyo vector director es, en este caso, 3, perdón, 4, 3, 1, sea 2. 00:12:36

¿Eso cómo lo hacemos? Pues con la fórmula esta, distancia de A a R, 00:12:44

obligo a que sea 2, es el producto vectorial de AB por VR, siendo B, B es algo que desconocemos, 00:12:50

Entonces B hemos puesto que sería X, Y, Z, ¿vale? Hago todo el producto vectorial, ¿vale? De AB vectorial VR y claro, en principio llegamos hasta aquí, aquí habría que sacar el módulo, el módulo va a ser todo este conjunto de, digamos, el módulo de AB vectorial VR, sería esto. 00:12:58

Y eso va a ser igual a 2 por lo que tendríamos aquí abajo, que era la raíz de 21, que era el módulo de VR. 00:13:26

Si esto lo elevo al cuadrado, bueno, al final podré despejar. 00:13:37

Pero claro, ¿qué le tiene que pasar también? 00:13:41

Claro, tengo una ecuación y tres incógnitas. 00:13:44

¿Qué tengo que sacar? Pues lo que tendría que sacar es X y Z. 00:13:46

en realidad este x y z, ¿qué le pasa también? Pues que pertenece x y z, pertenece a la recta perpendicular, 00:13:50

por lo tanto tiene que verificar las ecuaciones de la recta perpendicular. 00:13:58

Entonces pongo aquí abajo la recta perpendicular, con lo cual tendríamos un sistema de cuatro ecuaciones 00:14:03

con cuatro incógnitas justo lo que es aquí, ¿vale? 00:14:11

Cuatro ecuaciones, se me han solapado un poco 00:14:17

Con cuatro incógnitas, sustituyo la x y z aquí arriba 00:14:19

Y sacaría la lambda 00:14:21

¿Vale? Como es un ejemplo que no está 00:14:23

No está, se me está desordenando todo 00:14:25

Que no está preparado, pues bueno 00:14:27

Me van a salir unos números un poco raros 00:14:29

Pero claro, me sale un lambda 00:14:31

De esta manera, me sale más menos 00:14:32

¿Por qué? Pues porque me va a aparecer 00:14:35

Un lambda 00:14:37

O sea, si la distancia puede ser por arriba 00:14:39

O por debajo de la 00:14:41

De la recta dada, es decir, DAI 00:14:42

dos soluciones. Y nada, sustituyendo esto en la perpendicular, es decir, en las ecuaciones 00:14:45

de la recta, pues obviamente el anda S que he obtenido, el primero uno y después si 00:14:55

queremos el otro, pues obtendré el punto B. Y entonces ya luego la recta que estoy 00:15:00

buscando, que es la recta S, sería el punto B más el vector director que es Vs, que es 00:15:07

igual, en este caso, obviamente a UDR, ¿vale? Y ya con ese punto y ese vector director ya 00:15:14

tendría la recta S. Es una manera que se me ocurre para hacerlo, aunque es un poco 00:15:22

laboriosa, pero bueno, no podría haber otra manera, pero yo creo que igual es más complicada. 00:15:27

Subido por:: Maria Belen P.
Licencia:: Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:: 22 de mayo de 2021 - 20:40
Visibilidad:: Clave
Centro:: IES LAS VEREDILLAS
Duración:: 15′ 35″
Relación de aspecto:: 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:: 1440x1080 píxeles
Tamaño:: 200.17 MBytes