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2Bto - 01 - Matrices - 17 - Discusión del rango con el método de Gauss - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este vídeo vamos a ver un ejercicio clásico muy recurrente en EBAU de discusión del rango de una matriz en función de los valores que pueda tomar un parámetro que me encuentro en, bueno, como expresión algebraica en alguno de los elementos de la matriz. 00:00:01
Bien, lo primero que tenemos que hacer es intentar triangular la matriz tal y como hemos aprendido en el vídeo anterior, ¿vale? 00:00:18
En este caso pues tengo una matriz formada por los elementos 1, 2A, 1, 1A, A, 0, 1. 00:00:25
En el primer paso, las primeras transformaciones que voy a hacer van a ser aquellas que me permitan hacer los elementos 2, 1 y 3, 1, 0. 00:00:34
para hacer el 2, 1, 0 lo veis claro 00:00:42
simplemente si a la fila 2 le resto la fila 1 ya tendría ahí un 0 00:00:45
pero yo creo que no se ve tan claro 00:00:49
qué transformación hay que hacerle a la fila 3 para hacer 0 este elemento 00:00:52
si os dais cuenta yo aquí tengo una A 00:00:58
entonces para hacer 0 aquí necesitaré restar A 00:01:00
para poder restar A usando una transformación elemental con la fila 1 00:01:03
lo que voy a hacer es multiplicar por A la fila 1 00:01:07
y restársela a la fila 3, ¿de acuerdo? 00:01:12
Entonces, una vez que tenemos esto claro, 00:01:17
copiamos la fila 1 porque no le voy a hacer ninguna transformación, 00:01:19
vemos que a la fila 2, simplemente con restarle la fila 1, 00:01:22
¿os dais cuenta? Pues tendría 1 menos 1, 0, 00:01:28
1 menos 2, menos 1, a menos a, 0, ¿vale? 00:01:31
Y aquí la fila 3, la transformación que la podemos ver un poquito menos clara, 00:01:34
sería a menos a por 1, que será a menos a, 0, 00:01:38
0 menos 2 por A, bueno 0 menos A por 2 me quedará aquí, menos 2 por A 00:01:42
Y como último elemento tendremos 1 menos A por A, es decir la expresión 1 menos A al cuadrado 00:01:49
Bueno, ya tengo fijado, o sea tengo la fila 2 bien hecha porque la tengo triangulada ya 00:01:56
simplemente lo que me queda es intentar hacer 0 con transformaciones elementales con el resto de filas, hacer 0 el elemento 3, 2. 00:02:08
Para poder hacer 0 el elemento 3, 2 lo que voy a hacer es lo siguiente, voy a restarle a la fila 3 2 a veces la fila 2. 00:02:18
¿Qué voy a conseguir con esto? Que este elemento que está aquí, que es el menos 2a, si yo le resto 2a veces el elemento menos 1, el correspondiente de la fila 2, voy a obtener la operación menos 2a más 2a, es decir, 0, que es lo que busco. 00:02:32
¿De acuerdo? Quizá esto no es muy fácil de ver, pero bueno, si veis que os cuesta, pues con hacer un paso extra donde multipliquéis por menos 1 la fila 2, 00:02:53
quizá veáis más claro que luego, pues bueno, en ese caso tendréis que hacerle luego la suma, ¿vale? 00:03:03
Pero bueno, yo creo que aunque es difícil, si prestáis atención, bueno, es difícil llegar a esta conclusión, prestando atención se llega. 00:03:09
entonces como ahora solo voy a hacer transformaciones a la fila 3 00:03:16
las filas 1 y 2 las copio tal cual están 00:03:21
y ahora tendría en la fila 3 0 menos 2a por 0 00:03:23
que será 0 menos 0, 0 00:03:29
menos 2a, la que tengo aquí puesta 00:03:31
a menos 2a le resto 2 a veces menos 1 00:03:34
por la regla de los signos se transforma en una suma 00:03:40
Entonces, como son opuestos, obtendré el valor 0, que es este, que con la explicación ya lo tenía calculado. 00:03:43
Y por último, a 1 menos a al cuadrado, le restaré 2 a veces 0, que me queda el propio 1 menos a al cuadrado. 00:03:51
Bueno, una vez que ya tengo triangulada la matriz, nos tenemos que dar cuenta de que, bueno, la fila, las filas, bueno, tengo la fila 1 que me ha quedado dependiente del parámetro, 00:04:00
la fila 2 es totalmente independiente del parámetro y en la fila 3 encontramos una expresión algebraica en el lugar del elemento 3,3. 00:04:12
Daos cuenta que puede que haya algún valor para A que anule toda esta expresión y por tanto todos los elementos de la fila serían 0. 00:04:21
En el caso de que todos los elementos de la fila sean 0, el rango de esta matriz se vería disminuido, ¿vale? 00:04:31
Pasaríamos a tener una matriz de rango 2, ¿de acuerdo? 00:04:37
Entonces tenemos que estudiar cuando la expresión 1 menos a vale 0 para tenerlo en cuenta a la hora de calcular el rango. 00:04:40
1 menos a al cuadrado es 0 cuando a al cuadrado vale 1, despejando la ecuación, pasaría al otro lado, y a al cuadrado es 1 si a toma el valor 1 o a toma el valor menos 1. 00:04:50
¿Qué sucede en estos momentos? Que si A vale menos 1, la matriz M sería la matriz 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1. 00:05:09
En este caso, daos cuenta, las columnas 1 y 3 son iguales, por tanto, son linealmente dependientes y el rango de la matriz sería 2. 00:05:28
¿Qué sucede si A toma el valor menos 1? 00:05:43
Pues que nuestra matriz, en este caso, tomaría los valores 1, 2, menos 1, 1, 1, menos 1, 1, 0, 1. 00:05:51
¿Qué sucede si A toma el valor menos 1? Pues que en este caso la matriz estaría formada por los elementos 1, 2, menos 1, daos cuenta que estoy sustituyendo en la matriz principal, en la del denunciado, la fila 2 sería los elementos 1, 1, menos 1 y la fila 3, menos 1, 0, 1. 00:06:01
En este caso, daos cuenta que la columna 1 tiene los elementos opuestos a los de la columna 3, por tanto son linealmente dependientes y de nuevo el rango de la matriz sería 2. 00:06:43
Vale, en cualquier caso, como conclusión, podemos afirmar que si a vale 1 o a vale menos 1, el rango de m será 2. 00:06:59
Para cualquier otro valor distinto de 1 y distinto de menos 1 el rango de M va a ser 3 ¿de acuerdo? 00:07:16
Porque como bien vimos cuando triangulamos la matriz en el momento que esto no se anule la fila 3 también será linealmente independiente de las otras dos. 00:07:31
Por tanto el rango de la matriz será 3. 00:07:42
por último solo nos queda comentar que el rango de la matriz m siempre va a ser 00:07:44
distinto de uno para cualquier valor que tome a vale porque las dos primeras 00:07:54
filas son linealmente independientes sea cual sea el valor que tome a vale o sea 00:08:01
no hay no existe forma de hallar por combinación lineal una 00:08:05
como combinación lineal de la otra 00:08:10
Subido por:
Beatriz N.
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Fecha:
26 de septiembre de 2020 - 16:10
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Centro:
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