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EvAU Junio 2022 - Matemáticas II - Ejercicio A1 - Contenido educativo

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Subido el 18 de agosto de 2023 por David M.

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Realizamos el ejercicio A1 de Matemáticas II EvAU junio 2022
Publicado también en, https://www.youtube.com/c/LaWebdelProfedeMates

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¡Hola! ¿Qué tal? ¿Cómo estáis? Bienvenidos a un nuevo vídeo de la web del Profe de Mates. 00:00:00
En este caso vamos a resolver el ejercicio A1 de la convocatoria ordinaria de la EBAU de Madrid 2022, 00:00:19
que dice lo siguiente. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real M, 00:00:26
y ahí tenéis el sistema, efectivamente hay un parámetro m en dos de las tres ecuaciones, 00:00:31
dice en el apartado a que discutamos el sistema en función de los valores de m 00:00:38
y en el apartado b que resolvamos el sistema para el valor m igual a un medio. 00:00:42
Bien, comenzaremos entonces con el apartado a y lo que escribiremos al principio 00:00:48
será la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que nos han planteado. 00:00:52
sea la matriz del sistema 00:00:56
la matriz de coeficientes 00:00:59
que vamos a llamarla por ejemplo a 00:01:04
y va a ser 1 ya que el coeficiente de x es 1 00:01:09
2m y además con un menos 00:01:14
que será el coeficiente de y en la primera ecuación 00:01:17
1 que será el coeficiente de z en la primera ecuación 00:01:19
y así hacemos en la segunda 00:01:22
M, 2, menos 1 00:01:24
Y en la tercera, 1, menos 1, 1 00:01:27
¿Qué vamos a hacer con esta matriz? 00:01:32
Vamos a estudiar el rango 00:01:34
Estudio su rango 00:01:36
Y para ello hacemos el determinante de la matriz A 00:01:42
Empezamos multiplicando la diagonal principal 00:01:46
Que sería 1 por 2 por 1, que sería 2 00:01:49
Seguimos con M por menos 1 por 1 00:01:51
que sería menos m, seguimos por menos 2m por menos 1 por 1 que sería más 2m, diagonal secundaria que 00:01:53
sería menos 2 y luego quedaría entonces menos 1 y más 2m cuadrado. Simplificando quedará 2m cuadrado 00:02:02
más m, este 2 y este menos 2 se largan, menos 1. Ese es el determinante. Procedemos ahora a igualar 00:02:12
0 al determinante. Determinante igual a 0 implica que 2m cuadrado más m menos 1 es 00:02:21
igual a 0. ¿De dónde? m será menos b más menos raíz cuadrada b cuadrado, que sería 00:02:32
1 menos por menos más 8 y partido de 2a. O sea, menos 1 más menos, raíz de 9 que es 3, partido de 4. 00:02:42
Así que los dos valores que nos salen aquí de igualar a 0 el determinante serían menos 1 menos 3 es menos 4 entre 4 menos 1 00:02:54
y menos 1 más 3 sería más 2, más 2 entre 4 sería un medio. 00:03:01
En ese caso, y en virtud del teorema de Rousset 00:03:07
Lo que vamos a decir es que 00:03:17
Por el teorema Rousset for Venues 00:03:19
Si resulta que el valor de M es distinto de menos uno 00:03:31
Y es distinto de un medio 00:03:40
Entonces, como va a ocurrir que el rango de A 00:03:43
es 3 y además el rango de lo que se llama 00:03:50
la matriz ampliada, que es la matriz que está formada 00:03:55
por las columnas de A y además la columna de términos independientes 00:03:59
y que no puede ser rango 4, con lo cual tendrá que ser 00:04:03
rango 3, tendremos entonces que 00:04:07
el sistema es un sistema compatible 00:04:11
determinado 00:04:15
¿Vale? Entonces ahora lo que vamos a hacer es estudiar 00:04:21
qué pasa con m igual a menos uno y con m igual a un medio 00:04:28
Veamos, si m es igual 00:04:31
a menos uno, lo que hacemos es 00:04:37
escribir la matriz 00:04:39
para m igual a menos uno, es decir, que aquí pondríamos 00:04:44
1 más 2 y aquí un menos 1. ¿Cuál es el rango de esta matriz? 3 no puede ser. Si observamos 00:04:48
bien, el menor que formarían estos valores tendría por determinante 2 más 2 que es 00:04:58
4 que es distinto de 0. Así que el rango de A tiene que ser 2. ¿Cuál será el rango 00:05:08
de la matriz ampliada, es decir, la matriz que lleva los mismos valores en las primeras 00:05:18
columnas, en las primeras tres columnas, y la última columna, la cuarta columna, la 00:05:24
forman los términos independientes, que era 1, menos 1, 1. Rango no puede ser 4, eso lo 00:05:33
sabemos. ¿Pero podría ser rango 3? No. ¿Por qué no? Fijaros, esta columna y esta columna son iguales. 00:05:41
Así que el rango de A ampliada tiene que ser el mismo rango que la matriz de coeficientes, es decir, 2. 00:05:51
Por lo tanto, en virtud del teorema Rousseff-Rovegnus, como tenemos que el rango de la matriz ampliada 00:06:03
es igual que el rango de la matriz de coeficientes pero ese rango es 2 00:06:08
que es menor que el número de incógnitas 00:06:13
pues entonces ¿qué tenemos? pues es un sistema 00:06:15
compatible indeterminado 00:06:22
ahora ya lo único que nos falta es estudiar el caso de M igual a 1 medio 00:06:30
para ello volvemos a la matriz de coeficientes 00:06:39
donde vamos a sustituir la M por 1 medio 00:06:43
Si M es igual a 1 medio, entonces ¿qué? 00:06:46
Veamos cómo queda la matriz de coeficientes 00:06:56
Pues menos 2 por 1 medio sería menos 1 00:06:58
Menos 1 aquí 00:07:02
Y aquí donde pone M pondremos 1 medio 00:07:04
Observar que claramente el rango de esta matriz no puede ser tampoco 3 00:07:09
Porque la primera fila y la tercera fila son iguales 00:07:14
Pero eso ya lo sabíamos, porque m igual a un medio sale precisamente de igualar a cero el determinante de la matriz. 00:07:17
Observar de nuevo este menor, que aun siendo distinto del caso m igual a menos uno, produce también un determinante que es distinto de cero. 00:07:24
Fijaros, dos más un medio, cinco medios, distinto de cero. 00:07:39
Así que el rango de A es igual a 2. 00:07:45
¿Qué le pasará a la matriz ampliada? 00:07:50
Pues la matriz ampliada va a tener las mismas tres primeras columnas con los mismos valores. 00:07:54
Y la última de las columnas, acordaros, era 1, menos 1, 1. 00:08:06
con lo que fijaros lo que pasa con la cuarta columna y con la tercera columna 00:08:11
son iguales 00:08:16
eso significa que el rango de la matriz ampliada es igual que el rango de la matriz de coeficientes 00:08:17
como nuevamente vuelve a ser menor que el número de incógnitas 00:08:25
que tenemos entonces nuevamente un sistema 00:08:28
compatible 00:08:37
indeterminado 00:08:40
por lo tanto tenemos resuelto ya el apartado primero 00:08:45
sabemos que el sistema será compatible determinado 00:08:53
es decir, tendrá una única solución cuando m sea distinto de menos uno 00:08:57
y m sea distinto de un medio 00:09:00
para cualquier valor que no sea esos dos 00:09:02
será compatible determinado 00:09:04
en el caso de que sea m igual a menos uno 00:09:06
o m igual a un medio 00:09:10
entonces el sistema será compatible indeterminado 00:09:11
y tendrá infinitas soluciones que en paramétrica serán dependientes de un parámetro, 00:09:14
ya que como el rango ha salido 2, que es menor que 3, 3 menos 2 es 1, así que dependen de un parámetro. 00:09:18
En el caso del apartado B, que se trataba de resolver para el caso precisamente M igual a 1 medio, 00:09:25
que es el que es sistema compatible indeterminado, nosotros sabemos que la matriz ampliada, 00:09:35
ya la estáis viendo ahí arriba, presenta, fijaros bien, dos filas que son exactamente iguales, 00:09:41
que son la primera y la tercera. 00:09:53
Como nosotros hemos estudiado que este menor tiene determinante distinto de cero, 00:09:59
lo que vamos a proponer es un nuevo sistema de ecuaciones solo con las dos primeras filas, 00:10:03
en las que la variable z pasa a ser el parámetro. 00:10:09
Es decir, nuestro sistema a resolver va a ser x menos y igual a 1 menos z. 00:10:15
x medios más 2y igual a menos 1 más z. 00:10:22
Este es el sistema que vamos a resolver. 00:10:30
Mismamente, multiplicando la primera ecuación por 2, tendríamos 2x menos 2y igual a 2 menos 2z. 00:10:33
y en la segunda la dejamos igual, x medios más 2y igual a menos 1 más z. 00:10:42
¿De dónde? Sumando, fijaros, la y, que era lo que pretendía yo multiplicando por 2, se va a eliminar 00:10:51
y va a quedar aquí 1 menos z y en la parte de la izquierda 2x más x medios será 5x medios. 00:10:59
¿De dónde entonces x será? 2 menos 2z partido de 5. 00:11:09
Para obtener y, podemos tomar la primera ecuación, observar que en la primera ecuación, que era x menos y igual a 1 menos z, 00:11:19
podemos despejar la y y decir que x menos 1 más z es igual a y. 00:11:28
O sea, que la Y es 2 menos 2Z partido de 5, que eso es la X, menos 1 y más Z. 00:11:34
Si le ponemos a todo denominador común que es 5, 2 menos 2Z menos 5 y más 5Z sería la Y. 00:11:42
Es decir, simplificando, sería menos 3 más 3Z partido de 5. 00:11:52
Así que la solución del sistema podría ser las paramétricas x es igual a 2 quintos por 1 menos t, 00:11:59
llamamos a la z t, la y sería 3 quintos por menos 1 más t, 00:12:13
y la z es t siempre que t sea cualquier valor real. 00:12:21
Estas son las soluciones del sistema para M igual a 1 medio 00:12:29
Y con ello acabamos el ejercicio A1 de la convocatoria ordinaria de la EBAU Madrid 2022 00:12:33
Un saludo y hasta el próximo vídeo 00:12:40
Idioma/s:
es
Autor/es:
David (El Profe de Mates)
Subido por:
David M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
17
Fecha:
18 de agosto de 2023 - 12:32
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ROSA CHACEL
Duración:
12′ 59″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
488.98 MBytes

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