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Explicación factorización paso a paso - Contenido educativo

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Subido el 9 de julio de 2024 por Jesús Pascual M.

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Explicación factorización paso a paso

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Empecemos con este polinomio. Lo hemos cogido a grado 5 para que la explicación sea más completa. 00:00:02
Empezaríamos realizando las reglas de la 1 a la 4. 00:00:09
Empezamos con el paso 1, que es aplicar la regla de Ruffini hasta que solo queden 3 términos. 00:00:16
Tenemos 6, 7, menos 48, menos 81, menos 4 y 12. 00:00:22
Tenemos 6 términos. Habría que hacerlo bien 3 veces. 00:00:29
para que sólo nos queden 3. ¿Qué números probamos? Los divisores de 12, que serían 00:00:32
más 1, menos 1, más 2, menos 2, más 3, menos 3, más 4, menos 4, más 6, menos 6, más 12 y menos 12. 00:00:40
En realidad no ya falta escribir todos, podemos escribir los primeros números y luego ya pues 00:00:52
si hace faltar escribir más, escriben 00:00:58
bien 00:01:00
lo lógico es empezar por más sencillos 00:01:02
en este caso, el 1 00:01:04
lo que pasa es que el 1 tiene un truco especial 00:01:06
y el truco especial es 00:01:08
sumar todos los coeficientes 00:01:11
si hacemos 6 00:01:13
y 7, 13, menos 48 00:01:14
da menos 35 00:01:16
menos 81 da menos 116 00:01:17
menos 4 da menos 120 00:01:20
y más 12 nos da 00:01:23
menos 108 00:01:24
entonces, si este número 00:01:26
10 igual a 0 significaría que el 1 va a funcionar. Pero como DATIX intuye 0, entonces el 1 no 00:01:28
funciona. Voy a hacerlo con el 1 para que se vea que no funciona. Entonces sería 6, 6, 13, 13, 00:01:42
menos 35 00:02:01
menos 35 00:02:07
menos 116 00:02:09
menos 116 00:02:13
menos 120 00:02:14
menos 120 00:02:15
menos 108 00:02:17
Entonces nos da el mismo resto que aquí 00:02:19
Entonces por eso no funciona 00:02:24
porque el resto será el mismo 00:02:27
De hecho os podéis observar que las sumas parciales 00:02:28
que he ido haciendo arriba son las mismas que estoy haciendo aquí 00:02:31
Bueno, voy a borrar lo del 1 00:02:33
porque no hubiera hecho falta 00:02:36
haberlo hecho 00:02:38
por lo tanto el 1 no funciona 00:02:39
y habré que probar con el siguiente 00:02:42
que es el menos 1 00:02:44
el menos 1 también tiene su truco 00:02:46
que es ir sumando y restando los números alternativamente 00:02:50
a ver, si suman todos a la vez 00:02:54
y con la calculadora se hacen todos a la vez 00:02:55
es muy rápido 00:02:57
pero personalmente voy a hacer directamente Ruffini 00:02:58
porque de cabeza 00:03:01
es tan fácil hacer eso como hacer Ruffini 00:03:03
entonces 00:03:05
pues nada, voy a 00:03:07
a bajar 00:03:09
El 6, 6, menos 6, 1, menos 1, menos 49, 49, menos 32, 32, 28, menos 28 y menos 16. 00:03:12
Por lo tanto, el menos 1 tampoco funciona. 00:03:31
Y habría que mirar el siguiente, que es el 2. 00:03:35
Para hacer el 2, volvemos a copiar los números 00:03:37
6, 7, menos 48, menos 81, menos 4 y 12 00:03:43
Porque es importante saber que 00:03:48
Hacemos Ruffini siempre con igual polinomio hasta que funcione 00:03:50
Si tuviéramos goma, podríamos borrar los números que hemos hecho 00:03:55
Pero en un examen, pues no va a haber goma 00:03:59
Y lápiz, porque es el que tiene que hacer con bolígrafo 00:04:02
Bien, probamos el 2 00:04:05
Menos 6, 12, 19, 38, menos 10, menos 20, menos 101, menos 202, menos 206, menos 412 y nos da el resto 400. 00:04:09
Por lo tanto, el 2 tampoco vale. 00:04:28
Habría que probar con el menos 2. 00:04:31
Bajamos la línea y volvemos a copiar los números. 00:04:35
6, 7, menos 48, menos 81, menos 4 y 12 00:04:37
Es importante copiarlo siempre 00:04:44
Si utilizamos los que ya están, va a salir mal 00:04:46
Bueno, pues probemos con el 00:04:50
Menos 2 00:04:53
Bajamos el 6 00:04:56
Menos 12 00:04:58
Menos 5 00:05:00
Por menos 2 es 10 00:05:01
menos 38 que por 2 es 76 00:05:04
menos 5, 10, 6, menos 12 y 0 00:05:10
por lo tanto el menos 2 vale 00:05:19
ya tenemos una raíz 00:05:23
ahora bien 00:05:25
ahora no hay que probar con el más 3 00:05:29
sino hay que seguir probando con el menos 2 00:05:32
hasta que deje de serlo 00:05:35
porque podría ser una raíz doble e incluso triple 00:05:36
eso solo se sabe comprobándolo 00:05:39
Por lo tanto, volvemos a comprobar si funciona el 2. 6, menos 12, menos 17, 34, menos 4, 8, 3, menos 6 y 0. 00:05:42
El menos 2 vuelve a funcionar. ¿Qué habría que hacer? Volver a probar con el menos 2 a ver si funciona. 00:06:09
6, menos 12, menos 29, 58, 54, menos 108, menos 105. 00:06:17
Por lo tanto, el menos 2 acaba de dejar de funcionar y habría que seguir con el 3. 00:06:43
Bajamos la línea y volvemos a copiar los números. 00:06:52
6, 7, menos 48, menos 81, menos 4 y 12 00:06:55
Es importante copiarlo siempre 00:07:02
Si utilizamos los que ya están, va a salir mal 00:07:04
Bueno, pues probemos con el 00:07:08
Menos 2 00:07:11
Bajamos el 6 00:07:13
Menos 12 00:07:16
Menos 5 00:07:17
Por menos 2 es 10 00:07:19
menos 38 que por 2 es 76 00:07:21
menos 5, 10, 6, menos 12 y 0 00:07:28
por lo tanto el menos 2 vale 00:07:37
ya tenemos una raíz 00:07:40
ahora bien 00:07:42
ahora no hay que probar con el más 3 00:07:47
sino hay que seguir probando con el menos 2 00:07:50
hasta que deje de serlo 00:07:52
porque podría ser una raíz doble e incluso triple 00:07:54
eso solo se sabe comprobándolo 00:07:56
Por lo tanto, volvemos a comprobar si funciona el 2. 6, menos 12, menos 17, 34, menos 4, 8, 3, menos 6 y 0. 00:07:59
El menos 2 vuelve a funcionar. ¿Qué habría que hacer? Volver a probar con el menos 2 a ver si funciona. 00:08:27
6, menos 12, menos 29, 58, 54, menos 108, menos 105. 00:08:34
Por lo tanto, el menos 2 acaba de dejar de funcionar y habría que seguir con el 3. 00:09:01
Antes de seguir, voy a hacer una breve observación. 00:09:10
En realidad, esos cálculos que acabamos de hacer son innecesarios 00:09:13
No es que estén mal, es que son innecesarios porque se puede ver de otra manera que el 2 no va a ser raíz 00:09:18
Pero eso lo explicaré después 00:09:25
Por ahora no quiero complicar las cosas y seguimos por donde íbamos 00:09:28
Como no nos cabe la tabla ahí abajo, pues seguimos por aquí 00:09:34
ahora bien, estos números no nos sirven 00:09:42
porque aquí el menos 2 falló 00:09:48
habría que coger los últimos números correctos para copiarlos 00:09:50
como haríamos igualmente si la tabla estuviera aquí abajo 00:09:55
que son los de la última vez que hubo un 0 en el resto 00:09:58
que serían el 6, el menos 17, el menos 4 y el 3 00:10:04
borro lo que está en naranja 00:10:13
Y nada, aplicamos el método Ruffini con el 3. 6 por 3 es 18, a 1 por 3 es 3, menos 1, menos 3 y 0. Por tanto, 3 es raíz. 00:10:17
Y ahora ya nos quedan exactamente 3 términos, que es lo que decía la regla, hacerlas hasta que queden 3 términos. 00:10:34
Como dijimos antes, hemos hecho tres pasos correctos 00:10:42
Bueno, pues ya podemos pasar al paso 2 00:10:46
Que es realizar la ecuación del segundo grado 00:10:51
Como tenemos tres términos, escribimos un polinomio de un grado menor 00:10:54
3 menos 1 es 2, grado 2 00:10:59
6x cuadrado más x menos 1 igualamos a 0 00:11:01
Para hacer la ecuación del segundo grado 00:11:05
Y así hacer el paso 2 00:11:08
La ecuación es x es igual a menos 1 más menos raíz cuadrada de 1 más 24 entre 12, menos 1 más menos raíz cuadrada de 25 partido por 12, menos 1 más menos 5 partido por 12, menos 1 más 5 partido por 12, que es 4 partido por 12, que es 1 tercio, 00:11:11
menos 1 menos 5 partido por 12 00:11:33
menos 6 partido por 12 00:11:37
que es menos 1 medio 00:11:39
y así obtenemos las dos raíces 00:11:41
que nos faltan que son 00:11:45
un tercio y un medio 00:11:47
fijaros que el polímero tiene grado 5 00:11:50
y tiene 5 raíces que es el máximo que puede tener 00:11:52
hemos obtenido 00:11:55
3 raíces haciendo Ruffini 00:11:57
y 2 raíces 00:12:05
Haciendo ecuación de segundo grado 00:12:07
Bueno, pues entonces ya 00:12:09
Escribimos las raíces 00:12:11
Que es el paso 3 00:12:13
Raíces que hemos obtenido con Ruffini 00:12:14
Por las dichas 00:12:17
Menos 2, menos 2 y 3 00:12:19
Escribimos menos 2 00:12:22
Dos veces porque es una raíz doble 00:12:24
Para indicarlo 00:12:31
El 3 00:12:32
El 1 tercio 00:12:35
Y el menos 1 medio 00:12:37
También se podría haber escrito 00:12:39
menos 2 entre paréntesis doble 00:12:40
para indicar que es una raíz doble 00:12:43
bueno 00:12:45
y nos queda la factorización 00:12:46
en la factorización 00:12:48
tenemos que tener en cuenta dos cosas 00:12:52
en primer lugar 00:12:54
las raíces 00:12:55
y en segundo lugar 00:12:58
este coeficiente 00:13:00
que es el coeficiente principal 00:13:02
el que multiplica la x 00:13:06
si el número que multiplica la x es 1 00:13:07
entonces 00:13:10
ahí no habría que 00:13:11
hacer nada 00:13:12
lo dejaremos así 00:13:13
pero como es 6 00:13:14
entonces hay que escribir ese 6 00:13:16
pues nada, escribimos ese 6 00:13:19
y así no se nos olvida 00:13:21
y después 00:13:27
ahora ya empezamos a poner 00:13:29
x menos lo que sea 00:13:32
mientras hacemos 00:13:34
mientras utilizamos las raíces 00:13:35
mientras vamos poniendo las raíces 00:13:39
entonces tendríamos 00:13:41
primera raíz, x menos 2 00:13:42
pues ponemos 00:13:45
Con el signo cambiado, x más 2 00:13:48
Segundo raíz, vuelve a ser x menos 2 00:13:52
A ver, aquí podríamos poner x más 2 otra vez 00:13:55
Pero es más lógico poner aquí un cuadrado 00:14:00
Ya que estamos multiplicando dos veces 00:14:04
Y es más sencillo 00:14:05
Siguiente, el 3 pues con cambiado el signo 00:14:10
x menos 3 00:14:14
Siguiente, el 1 tercio, pues con un menos porque cambiamos el signo 00:14:16
X menos un tercio 00:14:20
Y nos quedaría el menos un medio 00:14:26
Cambiamos el signo, más un medio 00:14:30
X más un medio 00:14:31
Y ya tendríamos la factorización 00:14:33
Y las raíces que es lo que nos pedían 00:14:37
Dos observaciones sobre este ejemplo 00:14:43
Y es que aquí hemos hecho Ruffini sin que funcione varias veces 00:14:50
Y la razón es que teníamos que explicar 00:14:53
Cómo funciona el método y cómo se aplica 00:15:00
una vez que ya hemos hecho eso 00:15:02
pues a partir de ahora irá más rápido 00:15:05
dos observaciones 00:15:06
la primera es que antes dije que explicaría 00:15:14
por qué este paso era innecesario 00:15:16
no es que estuviera mal, es que era innecesario 00:15:19
a ver, es verdad que si tenemos una raíz 00:15:21
pongamos que el 1 00:15:25
tenemos que ir ensayando con el 1 00:15:25
hasta que deja de funcionar 00:15:28
porque puede que tengas una raíz doble, triple, etc. 00:15:30
pero cuando es otro número distinto de 1 00:15:36
por ejemplo el 2, hay otro modo de ver si se puede parar antes. Entonces, hemos dicho que 00:15:38
todos los candidatos a raíz deben ser divisores de 12. A ver, voy a centrarme en la primera vez 00:15:49
que Ruffini salió bien y funcionó, ¿vale? Que fue aquí. Entonces, esto estaba bien hecho, 00:15:57
pero ahora mismo no nos sirve 00:16:03
¿de acuerdo? 00:16:06
entonces, cuando hacemos la primera división 00:16:09
esto es la primera vez que aplicamos Ruffini 00:16:11
y nos da bien 00:16:14
se nos quedará un polinomio 00:16:16
cuyo término independiente es un 6 00:16:19
bueno, pues a partir de ahora 00:16:23
los candidatos a raíz 00:16:24
son los divisores de 6 00:16:29
o sea, el 12 ya no puede ser raíz 00:16:31
y cuando volvemos a hacer Ruffini otra vez 00:16:33
que se nos queda un 3 00:16:37
los candidatos a raíz 00:16:38
son los divisores de 3 00:16:42
o sea que todos estos 00:16:43
desaparecen y también estos 00:16:44
entonces el 2 00:16:46
ya no tendría que ser raíz 00:16:48
podríamos ir directamente al 3 00:16:51
sin necesidad de calcular Ruffini con el 2 00:16:52
¿de acuerdo? 00:16:55
es decir, si fuera el 1 00:16:57
sí que tendríamos que ir mirando una y otra y otra vez 00:16:58
hasta el final 00:17:01
porque siempre van a ser divisores del número que hay aquí 00:17:03
ya sea 6, 12, 3 00:17:05
pero con el 2 hay un modo de parar y es ir viendo esto 00:17:06
ahora que hemos hecho el ejercicio anterior y con detalle se puede entender mejor 00:17:10
pero antes quizás no hubiera sido prudente meter tanta información 00:17:15
la segunda observación es que en este ejercicio hemos hecho muchos ensayos 00:17:19
donde el método de Ruffini no ha funcionado 00:17:29
la razón es que estábamos explicando un método 00:17:33
Pero a partir de ahora, ya vamos a hacer ejemplos donde haya que probarlo muchas menos veces, porque nos centraremos en otros aspectos del problema. 00:17:36
Pagamos el segundo ejemplo, igualmente haremos los pasos del 1 al 4. 00:17:53
Este polinomio tiene algo en especial, y es que no tiene término independiente, o mejor dicho, pues sería cero. 00:18:03
Otra forma de decirlo es que el último término no nulo tiene una x 00:18:09
Bien, cuando hacemos eso podemos obrar de dos maneras 00:18:19
La primera es hacer Ruffini igual, sin mutarse 00:18:23
2, 4, menos 6, menos 16, menos 8 y 0 00:18:27
Pero poniendo el 0 porque hay que poner en Ruffini todos los términos 00:18:31
Y si el último término es 0, se puede hacer Ruffini tranquilamente 00:18:35
2 por 0, 0 00:18:42
4 por 0, 0 00:18:47
menos 6 por 0, 0 00:18:49
menos 16 por 0, 0 00:18:50
menos 8 por 0, 0 00:18:53
0 más 0, 0 00:18:55
lo cual quiere decir que el 0 es una raíz 00:18:58
en realidad no había hecho falta hacer Ruffini 00:19:02
porque podríamos sacar factor común 00:19:06
y sacamos factor común de la X 00:19:08
y tendríamos estos x por 2x4 más 4x cubo menos 6x cuadrado menos 16x menos 8. 00:19:11
En realidad podríamos haber sacado también el factor común al 2, pero bueno, no lo voy a hacer porque me interesa para la explicación. 00:19:23
Y entonces, bueno, por lo siguiente sería seguir haciendo Ruffini hasta que solo queden tres términos. 00:19:30
¿Y cuáles son los candidatos a raíces? 00:19:40
Bueno, bien que utilicemos el polinomio que hemos obtenido al aplicar el método Ruffini 00:19:46
o bien el que hemos obtenido al sacar factor común de la x 00:19:51
los números con los cuales aplicaremos el método Ruffini, esto es los candidatos a raíces 00:19:55
van a ser los divisores nuevamente del término independiente de ese polinomio 00:20:02
Es decir, los divisorios de 8, que serían más menos 1, más menos 2, más menos 4 y más menos 8. 00:20:09
Nuevamente no hace falta escribirlos todos, bastaría con escribir más pequeños y luego si hace falta más, pues ya se escribirán. 00:20:25
borro estas líneas 00:20:31
bueno pues vamos a 00:20:36
empezamos con el más sencillo 00:20:40
de los números 00:20:43
que sería el 1 00:20:46
pero el 1 no hace falta hacerlo 00:20:46
porque si subamos los coeficientes 00:20:48
nos va a indicar si el 1 es o no raíz 00:20:51
2 y 4 es 6 00:20:53
menos 6 es 0, 0 menos 16 es 16 00:20:55
menos 8 es 00:20:57
menos 24 00:20:59
menos 24 es distinto de 0 00:21:01
luego el 1 no funciona 00:21:03
Por lo tanto, podemos quitar el 1 ya directamente 00:21:06
Y podemos probar con el menos 1 00:21:11
Que también tiene su truco 00:21:14
Y de hecho lo expliqué antes, pero no voy a aplicarlo 00:21:16
Cogemos el menos 1 00:21:19
2, menos 2, 2, menos 2, menos 8, 8, menos 8, 8, 0 00:21:23
Por lo tanto, menos 1 es raíz 00:21:40
¿Hemos terminado ya con el menos 1? No 00:21:47
Habría que seguir probando hasta que deje de ser raíz de los sucesivos polinomios 00:21:51
Probamos otra vez con el menos 1 00:21:57
2, menos 2, 0, 0, menos 8, 8 y 0 00:21:59
Por lo tanto, el menos 1 vuelve a ser raíz 00:22:09
es raíz por lo menos doble 00:22:14
ya nos quedan tres términos 00:22:17
por lo tanto es un polinomio de grado 2 00:22:21
sería 00:22:23
2x cuadrado 00:22:24
más 0x que no se pone 00:22:26
menos 8 00:22:28
y ya podemos hacer la ecuación de segundo grado 00:22:29
lo que pasa es que aquí es más fácil 00:22:33
hacerlo de forma directa 00:22:37
porque es una ecuación reducida 00:22:39
2x cuadrado menos 8 igual a 0 00:22:40
2x cuadrado igual a 8 00:22:42
X cuadrado es igual a 8 partido por 2 00:22:44
Que es 4 00:22:47
Por lo tanto, X es igual a más o menos la raíz cuadrada de 4 00:22:48
Que es más o menos 2 00:22:54
A ver, si alguien quiere hacer la ecuación de segundo grado 00:22:57
Puede hacerla, no hay ningún problema 00:23:00
De hecho sería poner 2X cuadrado 00:23:01
Más 0X menos 8 00:23:05
X es igual a 0 más o menos la raíz cuadrada de 0 00:23:08
0 más 64 partido por 4, 0 más menos raíz cuadrada de 64 entre 4, que es 0 más menos 8 entre 4, 0 más 8 entre 4, 8 cuartos, que es 2, 0 menos 8 entre 4, menos 8 cuartos, que es menos 2. 00:23:13
Y obtendría lo mismo. Es decir, aquí tenemos dos soluciones, x es igual a 2 y x es igual a menos 2. 00:23:33
Por lo tanto, serían las dos raíces que nos faltan 00:23:40
Tenemos 5 raíces, es un polímero de grado 5 00:23:45
El número máximo de raíces es 5 00:23:50
Con lo cual, ponemos las raíces, que son 0 00:23:52
Que hemos obtenido o bien aquí, o bien con esta x 00:23:59
Que este quiere decir que es 0 la raíz 00:24:04
Menos 1, que está dos veces 00:24:07
2 y menos 2 00:24:10
por supuesto, en vez de poner este menos 1 00:24:12
podríamos haber escrito menos 1 doble 00:24:15
y hubiera valido lo mismo 00:24:17
bien 00:24:19
igual que antes, observamos aquí este 2 00:24:20
y puesto que tenemos este 2 00:24:23
pues entonces lo que tenemos es que la factorización 00:24:26
va a empezar con ese 2 00:24:30
y ahora ya empezamos a poner las raíces 00:24:33
Pues 0 sería x menos 0 00:24:41
Lo que pasa es que x menos 0 no se pone porque esto es lo mismo que x 00:24:47
Entonces ponemos directamente x que es más sencillo 00:24:51
Seguimos con el menos 1 00:24:55
Pues caemos al signo x más 1 00:25:02
Y como está dos veces 00:25:06
Pues ponemos x más 1 al cuadrado 00:25:08
Vamos ahora con el 2 00:25:11
Sería x menos 2, cambiado el signo 00:25:14
El 2 al menos 2 00:25:17
Y con que aquí hay menos 2, cambiamos el signo a más 2 y tenemos x más 2. 00:25:18
Y esta es la factorización. 00:25:24
Bien, necesito borrar esto que está demorado porque necesito utilizar el espacio para escribir. 00:25:31
Puesto que voy a hacer una observación. 00:25:42
Aunque este vídeo solo es para explicar cómo se hace, voy a hacer la breve explicación. 00:25:53
Porque es muy fácil. 00:25:58
A ver. 00:26:00
Aquí tenemos 2, 0 y menos 8. 00:26:02
Si hubiéramos continuado haciendo Ruffini con el 2 y con el menos 2, hubiéramos obtenido aquí un 2 que sería el último cociente, porque al fin y al cabo Ruffini es de las divisiones. 00:26:05
Este 2 que está aquí es este 2 de aquí. 00:26:35
Y ahora, en cada paso de Ruffini, cada uno de estos monomios, x más 1, que está repetido dos veces con un cuadrado, van correspondiendo a estas raíces. 00:26:38
La razón es que estamos haciendo una división y hemos obtenido esto obteniendo 0 varias veces en el resto. 00:26:57
Y el último cociente es 2. Entonces, igual que si yo cojo el 24 y divido entre 2, que me da 12, entre 2 me da 6, entre 2 me da 3, y yo con esto deduzco que 24 es igual a 2 por 2 por 2 por 3, 00:27:09
Entonces, cuando yo hago esta división, yo obtengo que este polinomio es igual a esto por esto por esto por esto por esto, que es justamente esta parte de aquí, y también por esto, que es lo que hay aquí. 00:27:25
Y al fin y al cabo factorizar es poner un producto de monomios y binomios que nos dé lo mismo y que no se puedan descomponer en otros polígonos más sencillos. 00:27:43
Entonces, ¿qué es lo que estamos haciendo aquí con números primos? Y es lo que estamos haciendo aquí con este polinomio. 00:28:04
El polímero es de grado 4, luego hay que hacer Ruffini 00:28:11
Ahora bien, observad que hay término en grado 4, en grado 3 00:28:18
Pero falta el término en grado 2 00:28:21
Es como si hubiera un 0x cuadrado 00:28:25
Entonces, a la hora de hacer Ruffini 00:28:27
Hay que rellenar eso que falta con un 0 00:28:31
Tendríamos el 5 por el grado 4 00:28:35
El menos 12 por el grado 3 00:28:38
El 0 por el grado 2 00:28:40
El 9 por el grado 1 00:28:42
y el menos 2 por el grado 0, que es el término independiente. 00:28:43
Y ahora ya, para hacer el método Ruffini, tenemos que tomar los divisores de 2 00:28:50
que van a ser los candidatos a raíces. 00:28:57
Van a ser el más 1, el menos 1, el más 2 y el menos 2. 00:28:59
Y vamos a empezar de más fácil a más difícil. 00:29:06
Empezamos con el 1. 00:29:09
Ahora bien, el 1 tiene truco. 00:29:11
Porque si sumamos los coeficientes, 5 menos 12 es menos 7, más 9 es 2, menos 2 da 0. 00:29:13
Como no era 0, entonces el 1 funciona y podemos hacer un finico en 1 saliéndonos bien. 00:29:23
Vamos a hacerlo. Bajamos el 5. 5 por 1 es 5. Menos 7. Menos 7. Menos 7. Menos 7. 2. 2 y 0. 00:29:34
Ahora hay que seguir mirando si funciona o no. 00:29:51
Volvemos a sumarlo 00:29:53
Los coeficientes 00:29:56
5 menos 7 es menos 2 00:29:58
Menos 9 00:30:00
Menos 7 00:30:01
La suma de los coeficientes es menos 7 00:30:07
Que es distinto de 0 00:30:10
Con lo cual el 1 ya no funciona 00:30:11
Entonces hay que probar con otro número 00:30:15
Vamos a probar con el menos 1 00:30:19
El 1 ya no vale 00:30:21
El menos 1 00:30:26
Tiene su truco pero vamos a hacer el diseño de Ruffini 00:30:27
5, menos 5, menos 12, 12, 5, menos 5, menos 3 00:30:30
El menos 1 no vale 00:30:44
Por lo tanto, pues habrá que probar otro número 00:30:47
¿Cuál probamos? 00:30:55
El siguiente más fácil que es el 2 00:30:59
Ampliamos la tabla y copiamos los números de la última vez que nos salió bien 00:31:01
que son estos 00:31:10
con lo cual escribiríamos el 5, menos 7, menos 7 y 2 00:31:12
y ahora haríamos Ruffini con el 2 00:31:24
5, 10, 3, 6, menos 1, menos 2 y 0 00:31:27
por lo tanto el 2 es raíz 00:31:40
tenemos pues dos raíces, el 1 y el 2 00:31:43
Y tenemos ya tres términos, lo cual quiere decir que es un polinomio de grado 2. 00:31:47
Pues lo escribimos. 00:31:55
5x cuadrado más 3x menos 1. 00:31:58
Igualamos a 0. 00:32:02
Y hacemos la ecuación del segundo grado. 00:32:03
que es x es igual a 00:32:05
menos 3 más menos raíz cuadrada de 00:32:11
9 más 5 por 4 es 20 00:32:14
entre 10 menos 3 más menos la raíz cuadrada de 29 00:32:21
partido por 10 00:32:28
que son dos soluciones 00:32:29
menos 3 más raíz cuadrada de 29 partido por 10 00:32:31
y menos 3 menos raíz cuadrada de 29 partido por 10 00:32:34
y esas son las dos raíces que nos faltan 00:32:39
el polinomio de grado 4 00:32:43
como mucho tiene cuatro raíces 00:32:44
que son las que hemos señalado 00:32:46
que son 00:32:47
1, 2, menos 3 más raíz de 29 00:32:49
partido por 10 00:32:56
y menos 3 menos raíz de 29 00:32:58
partido por 3 00:33:02
a la hora de factorizar 00:33:04
tendríamos que tener en cuenta 00:33:10
en lugar el 5 que multiplica el x4 00:33:12
y a partir de ahí pues ya ponemos los monómios asociados a las raíces 00:33:14
el asociado al 1 es x menos 1 00:33:21
el asociado al 2 es x menos 2 00:33:25
el asociado a esta raíz pues sería x menos esa raíz 00:33:31
x menos menos 3 más raíz de 29 partido por 10 00:33:37
y x menos por la siguiente 00:33:41
menos 3 menos raíz de 29 00:33:45
partido por 10 00:33:49
y ya estaría factorizado 00:33:50
a ver, si se quiere poner un poco más elegante 00:33:52
se podría poner 00:33:55
x más 00:33:57
3 menos raíz cuadrada de 29 00:34:00
partido por 10 00:34:02
pero sabiendo que este menos 00:34:04
afecta también 00:34:06
a ese menos 00:34:10
porque menos por menos más 00:34:12
afecta a todo 00:34:14
y lo mismo 00:34:15
podríamos poner aquí 00:34:17
y x más 3 más raíz de 29 partido por 10, porque tendríamos que este menos y este menos sería un más. 00:34:19
Y luego, pues si alguien quiere calcular la raíz, pues podría hacerlo, aunque es más correcto poner esto porque eso es más exacto. 00:34:35
En este polinomio no hay término independiente, tampoco término en grado 1. 00:34:42
El término más pequeño, distinto de 0, tiene grado 2 00:34:47
Es como si tuvieramos más 0x y más 0, solo que no aparecen, no son visibles 00:34:52
Bien, hay dos formas de atacar el problema 00:35:00
Una sería hacer Ruffini teniendo en cuenta, por supuesto, los términos que no aparecen, los invisibles 00:35:07
Entonces, pues pondríamos 1 para el grado 5, menos 2 para el grado 4, menos 7 para el grado 3 00:35:16
14 para el grado 2, 0 para el grado 1 y 0 para el grado 0 00:35:23
Y se puede hacer tranquilamente 00:35:28
Ruffini pues con el 0, pues ya que el último término es 0 00:35:31
Pues se puede hacer Ruffini con el 0 00:35:36
1, 0, menos 2, 0, menos 7, 0, 14, 0, 0, 0 y resto 0 00:35:40
Y volvemos a tener un 0 00:35:48
Por lo tanto, podemos volver a aplicar el método Ruffini con un 0. 1, 0, menos 2, 0, menos 7, 0, 14, 0 y 0. Y ya resulta que el último término deja de ser 0. Por lo tanto, 0 deja de ser raíz. 00:35:51
la otra opción es factorizar aquí la x al cuadrado 00:36:15
x al cuadrado por x5 entre x al cuadrado es x al cubo 00:36:22
pues x al cubo menos 2x al cuadrado menos 7x más 14 00:36:26
y de esa forma obtenemos por una parte que el 0 es una raíz doble 00:36:32
igual que tenemos aquí 00:36:39
pues tenemos x por x que tiene 0 dos veces como raíz 00:36:40
Y por otra parte obtenemos el mismo polinomio que tenemos aquí, lo tenemos aquí. 00:36:52
Si hubiéramos hecho este método, pues ahora tendríamos que escribir el 1, el menos 2, el menos 7 y el 14. 00:37:00
Seguimos haciendo Ruffini con esos números. 00:37:09
Y ahora vamos a mirar cuáles son los candidatos a raíces. 00:37:13
Este polinomio tiene término independiente de 14. 00:37:19
Los candidatos a raíces son 1, menos 1, 2, menos 2, 7, menos 7, 14, menos 14. 00:37:23
Pues empecemos desde el principio. 00:37:37
Empecemos con el 1 y para ello sumamos los coeficientes. 00:37:46
1 menos 2 es menos 1, menos 1 menos 7 es menos 8, menos 8 más 14 es 6. 00:37:53
La suma es 6 distinto de 0 00:38:00
Por lo tanto el 1 no funciona 00:38:05
Entonces probamos la siguiente, menos 1 00:38:09
El menos 1 también tiene su truco 00:38:13
Que era sumar los coeficientes pares y restarlos impares 00:38:16
Y ver si sale 0 00:38:19
Pero voy a hacerlo directamente 00:38:19
Menos 1 00:38:22
1 menos 1 menos 3 00:38:25
3 menos 4 00:38:29
4, 18 00:38:33
El menos 1 tampoco da. 00:38:34
Bueno, pues habrá que ampliar otra vez la cuadrícula y volver a poner los términos correctos, que son los últimos que han aparecido en una división con resto 0. 00:38:38
Son estos. 00:38:56
Pues los ponemos. 00:38:58
1, menos 2, menos 7 y 14. 00:38:59
Y ahora buscamos la siguiente raíz, que sería 2. 00:39:02
Vamos a ver si funciona. 2, 1, 2, 0, 0, menos 7, menos 14, 0. El 2 funciona. Pues ya tenemos que el 2 es raíz. 00:39:09
Y ya nos quedan exactamente tres términos, que es un polinomio de grado 2. 00:39:23
El polinomio es x al cuadrado menos 7, que igualamos a 0 para ya las raíces que nos quedan. 00:39:34
Como es una ecuación reducida, es más sencillo despejar directamente. 00:39:43
x al cuadrado es igual a 7, luego x es igual a más menos raíz cuadrada de 7. 00:39:48
Habría dos soluciones, x igual a raíz de 7, x igual a menos raíz de 7 00:39:53
Que son las dos raíces que nos quedan 00:39:59
Es un polinomio de grado 5, como mucho tiene 5 raíces 00:40:02
No puedo dar más 00:40:06
¿Cuáles son las raíces? 00:40:08
Los dos ceros que hemos obtenido, bien con Ruffini o bien factorizando 00:40:11
Este x al cuadrado ya nos indicaría que hay dos ceros 00:40:16
después el 2 que teníamos con Ruffini 00:40:20
y las dos raíces que nos quedan 00:40:25
raíz de 7 y menos raíz de 7 00:40:30
que hemos conseguido 00:40:31
haciendo la ecuación de segundo grado 00:40:33
así pues, estas son las 5 raíces 00:40:37
también podríamos haber puesto aquí 00:40:41
0 doble 00:40:43
¿cuál es la factorización? 00:40:45
observamos cuál es el coeficiente principal 00:40:52
aquí no hay ningún número que aparezca 00:40:54
es un 1 que no ponemos porque se sobreentiende 00:40:56
entonces la factorización sería 1, que tampoco ponemos porque se sobreentiende 00:40:59
y directamente escribimos los monómeros asociados a las raíces 00:41:05
la primera raíz es 0, el monómero asociado 00:41:09
sería x menos 0, pero esto es 00:41:12
directamente x, porque esto vale x 00:41:17
con lo cual ponemos x, como está dos veces 00:41:23
ponemos x al cuadrado, ahora tenemos 00:41:27
El 2, pues ponemos x menos 2 00:41:32
Ahora tenemos el raíz de 7 00:41:36
Pues lo ponemos con el signo cambiado 00:41:39
x menos raíz de 7 00:41:42
Y aquí tenemos el menos raíz de 7 00:41:44
Pues lo ponemos con el signo cambiado 00:41:47
x más raíz de 7 00:41:48
Y esta es la factorización 00:41:50
Por nuestras líneas 00:41:52
Por lo tanto, esta sería la solución del problema 00:41:56
Tenemos un polinomio de grado 4 00:41:59
de modo que aplicamos el método de Ruffini hasta que sólo queden tres términos. 00:42:06
Tenemos 2, 1, menos 1, menos 1 y menos 1. 00:42:11
Los candidatos a raíz que vamos a mirar son los divisores del término independiente, 00:42:18
que son 1 y menos 1, con lo cual vamos a probar con esos números. 00:42:24
Ya sabemos que el 1 tiene un truco y es sumar todos los coeficientes. 00:42:31
2 y 1, 3, menos 1, 2, menos 1, 1, menos 1, 0. 00:42:35
La suma es 0, por lo tanto, el 1 funciona. 00:42:39
Pues, aplicamos el método de Ruffini con el 1. 00:42:48
Bajamos el 2, 2 por 1 es 2, la suma es 3, 3 por 1 es 3, la suma es 2, 2 por 1 es 2, la suma es 1, 1 por 1 es 1, la suma es 0. 00:42:51
Con lo cual, el 1 era raíz, como ya sabíamos. 00:43:04
Ahora, la suma ya no puede ser 0 porque son todos positivos. 00:43:10
De hecho, la suma va a ser 8. 2 y 3 es 5, 5 y 2 es 7 y 1 es 8. 00:43:13
Entonces, la suma es 8. No le falta calcularla porque son todos positivos. 00:43:19
Entonces, ya es distinto de 0. Con lo cual, el 1 ya no funciona. 00:43:24
Por lo tanto, probamos el que nos queda, que es el menos 1. 00:43:32
2 menos 2, 1 menos 1, 1 menos 1 y 0. 00:43:39
De modo que el menos 1 también es raíz 00:43:46
Y ahora nos queda un polinomio de grado 2 porque nos quedan 3 términos 00:43:51
Pues escribimos el polinomio 2x cuadrado más x más 1 00:43:59
E intentamos resolverlo 00:44:05
x es igual a menos 1 más menos la raíz cuadrada de b cuadrado 00:44:08
menos 4ac que sería menos 8 entre 2a que es 4 00:44:16
y eso es menos 1 más menos la raíz cuadrada de menos 7 partido por 4 00:44:23
que no tiene solución real 00:44:29
entonces al no haber solución significa que ya no hay más raíces 00:44:32
porque si hubiera raíces tendría que ser solución de esta ecuación de segundo grado 00:44:39
y no tiene 00:44:43
por lo tanto las raíces son únicas y exclusivamente 00:44:44
el 1 y el menos 1 00:44:48
y ya está 00:44:49
¿y cuál es la factorización? 00:44:50
pues la factorización es 00:44:54
por esta raíz 00:44:55
x menos 1 00:44:57
por esta otra raíz 00:45:00
x más 1 00:45:03
cambiando el signo 00:45:09
y ahora 00:45:10
tenemos que poner 00:45:12
el polinomio en grado 2 00:45:14
que obtuvimos 00:45:18
2x cuadrado más x más 1 00:45:20
Y esta es la reducción, perdón, la factorización en polinomios irreducibles 00:45:25
Ya no se puede hacer más 00:45:33
Bueno, la única cosa que se podría hacer es sacar el 2 00:45:38
Porque en otros polinomios tenemos aquí un 2, que era este, pero no hace falta 00:45:42
Porque nos han pedido una descomposición en polinomios irreducibles 00:45:46
Y esos son polinomios irreducibles, es lo que nos han pedido 00:45:51
Con lo cual, esta es la fatorización que es correcta y ya hemos terminado. 00:45:54
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
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Fecha:
9 de julio de 2024 - 18:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Duración:
46′ 04″
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