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Ex CT2 - Análisis (19 dic) - Contenido educativo

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Subido el 30 de diciembre de 2026 por Francisca Beatriz P.

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Hola, os voy a resolver el examen del 19 de diciembre, ¿vale? De análisis. 00:00:00
El primer ejercicio eran 5 integrales de las que teníais que elegir 4. 00:00:05
Vamos a ver que cualquiera que hubierais elegido no eran muy complicadas. 00:00:09
La primera, que teníamos el apartado A, se ve a simple vista que tenemos que hacer una integración por partes, ya que no es inmediata. 00:00:14
Como tenemos una X, una polinómica por una trigonométrica, la trigonométrica sabemos que siempre es cíclica y sabemos sus integrales también. 00:00:21
y x al derivarla se nos va a bajar en grado por lo tanto nos va a desaparecer 00:00:29
así que vamos a llamar siempre u en este caso a la x y por lo tanto la diferencial de u 00:00:34
sería simplemente diferencial de x y mi diferencial de v como hemos dicho va a ser el seno de 2x 00:00:41
diferencial de x y por lo tanto mi función v va a ser si la integral del seno de 2x 00:00:48
por lo tanto sería menos el coseno de 2x, y ojo, que es la única pequeña complicación y despiste que habéis tenido alguno, 00:00:57
que lo tengo que dividir entre 2, ya que no está la derivada del 2x, ¿vale? 00:01:05
Ahora ya aplicamos la regla de integración por partes, esto sería u por v, por lo tanto voy a poner el menos primero, la x, el coseno de 2x, 00:01:10
y todo lo parto por 2 menos la integral de v diferencial de u. 00:01:19
Como tengo en el v un menos, lo voy a transformar aquí, este menos con el menos hace más 00:01:27
y me quedaría simplemente el coseno de 2x partido de 2 diferencial de x. 00:01:31
Y esto ya es una integral inmediata. 00:01:39
Esto sería menos x coseno de 2x, todo entre 2, 00:01:41
más, si es un coseno es porque viene de un seno 00:01:46
y ojo que aquí es donde habéis vuelto a fallar algunos 00:01:50
esto sería el seno de 2x 00:01:52
partido, ¿por quién? 00:01:57
por el 2 que ya teníamos aquí 00:01:59
y el 2 de la derivada de lo de dentro 00:02:01
luego tiene que ser dividido entre 4 00:02:04
aquí es donde algunos se os ha olvidado ponerme un 2 00:02:06
más k 00:02:09
y ya estaría, no había mucho más 00:02:11
Entonces el apartado b era una integral inmediata, ¿vale? Porque fijaos, es una función potencial, o sea es la potencia de una función y arriba justamente en el numerador tengo la derivada de 1 más e elevado a x, es decir esto lo podríamos poner, por si acaso lo veis mejor, como e elevado a x por 1 más e elevado a x todo elevado a menos 2 diferencial de x, ¿vale? 00:02:14
y justamente la derivada del paréntesis es justamente el elevado a x, luego esta era inmediata y esto es 1 más elevado a x elevado a un exponente más, 00:02:41
es decir, menos 2 más 1 menos 1 partido por el menos 2 más 1 que es menos 1 más k y lo podemos arreglar como menos 1 partido por 1 más elevado a x más k, ¿vale? 00:02:52
Integral inmediata, muy facilita, pero que ya tenemos que ser capaces de ver estas cosas. 00:03:11
Venga, vamos un poquito y vamos con el apartado C. 00:03:17
Es también una integración típica por partes, pero en este caso tenemos un x cuadrado, 00:03:21
luego lo vamos a tener que hacer dos veces, igual que lo que hemos hecho al principio. 00:03:26
Entonces hacíamos u, llamamos a x cuadrado, y por lo tanto diferencial de u será 2x diferencial de x 00:03:31
y diferencial de v, vamos a llamar al seno de x diferencial de x y por lo tanto mi v va a ser menos coseno de x, ¿vale? 00:03:40
En este caso como simplemente es el seno de x y no de 2x como antes, pues no tengo que dividirlo por nada. 00:03:55
Vale, aplicamos la fórmula u por v, pongo el menos delante, x cuadrado coseno de x menos la integral de v diferencial de u, como el v es menos coseno, transformo el menos en más y me quedaría 2x por el coseno de x diferencial de x. 00:04:01
vale, pues volvemos a hacer la misma integración por partes 00:04:21
llamo u al 2x 00:04:26
por lo tanto diferencial de u será 2 diferencial de x 00:04:29
y mi diferencial de v va a ser el coseno de x diferencial de x 00:04:36
por lo tanto mi v va a ser simplemente el seno de x 00:04:43
sin que se nos olvide la primera parte 00:04:49
el menos x cuadrado coseno de x 00:04:54
y ahora sería más u por v 00:04:58
pues 2x seno de x 00:05:01
menos la integral de v diferencial de u 00:05:04
es decir de dos veces el seno de x 00:05:09
diferencial de x 00:05:12
y esto ya es una integral inmediata 00:05:14
Lo pongo aquí abajo mismo y esto es menos x cuadrado coseno de x más 2x seno de x menos, tengo el menos del seno, o sea el menos lo puedo entender como que es menos seno de x que es la derivada del coseno, 00:05:17
por tanto aquí me quedaría más dos veces el coseno de x más k, ¿vale? 00:05:40
Y ya estaría esta integral también, es muy sencillito el método de integración por partes. 00:05:47
El 1d, a ver, el 1d es el cociente de una función racional, 00:05:54
en el numerador no está la derivada del denominador 00:05:59
y el grado del numerador es más pequeño que el grado del denominador, 00:06:01
por tanto no podemos dividir. 00:06:04
lo que vamos a hacer es transformarlo en una suma de fracciones más sencillas 00:06:06
nos tendríamos que dar cuenta, yo creo que todos deberíamos darnos cuenta 00:06:12
que el denominador no es otra cosa que x menos 1 al cuadrado 00:06:18
es el cuadrado de una diferencia, tiene una raíz doble 00:06:24
por lo tanto tenemos que utilizar el método x cuadrado menos 2x más 1 00:06:27
Como tenemos una raíz doble, se ponía por un lado una raíz simple más, en la otra fracción, la raíz doble, ¿vale? 00:06:34
x menos 1 al cuadrado. 00:06:47
Y aquí le llamamos, por ejemplo, a y aquí le llamamos b. 00:06:49
Y si sumáramos, esto me quedaría a por x menos 1 más b entre x menos 1 al cuadrado, ¿vale? 00:06:52
y, como siempre, para que dos fracciones sean iguales teniendo el mismo denominador, 00:07:08
los numeradores deben ser iguales y lo que me queda es que x más 2 tiene que ser lo mismo que a por x menos 1 más b. 00:07:15
Aquí algunos, el fallo que tuvisteis es que no salían dos raíces simples, o sea, doble, 00:07:27
no salía la misma raíz, no sé cómo lo hicisteis, entonces, pues bueno, estos son simplemente los típicos errores de cálculo. 00:07:33
Venga, y ahora vamos a dar valores, primero la raíz que tenemos, que es x igual a 1, si la x vale 1, me queda 1 más 2, 3, es igual a a por 0 más b, 00:07:42
por lo tanto me sale directamente el valor de b, y luego si por ejemplo la x vale 0, el valor también más sencillo, 00:07:51
me queda 0 más 2 es 2 00:07:58
igual a 0 menos 1 menos 1 00:08:01
por lo tanto menos a 00:08:05
ay perdón que se me ha olvidado 00:08:07
que la b es 3 más el 3 00:08:11
y vaya directa a ponerlo 00:08:14
por lo tanto si paso la a al otro miembro 00:08:16
y el 2 al otro me queda que la vale 00:08:18
y entonces ya aquí ya tendríamos los valores 00:08:21
sustituimos en la integral inicial 00:08:25
y me queda que esto es la integral de a, que es 1 partido de x menos 1, más 3 partido de x menos 1 al cuadrado con el diferencial de x, ¿vale? 00:08:29
Y esto ya es inmediato, la primera vemos que es un logaritmo, el primer sumando y el segundo sumando es una potencia, ¿vale? 00:08:47
Es decir, lo podemos poner, voy a seguir arrastrando el primero, x menos 1, más, y si lo preferís ver de esta manera, como x menos 1 a la menos 2 diferencial de x, ¿vale? 00:08:54
La derivada de lo de dentro del paréntesis es 1, por lo tanto lo tenemos. 00:09:07
Sigo aquí abajo, y esto sería el logaritmo neperiano del valor absoluto de x menos 1, ¿vale? 00:09:12
más 3 veces x menos 1 elevado a un exponente más 00:09:19
o sea, menos 2 más 1 es menos 1 00:09:26
partido del exponente de menos 1 00:09:28
podemos poner ya directamente el más k 00:09:32
y ahora lo podemos poner un poco más mono 00:09:36
logaritmo neperiano de x menos 1 00:09:39
sería menos 3 partido por x menos 1 00:09:41
más k 00:09:47
vale 00:09:50
pues si no me he equivocado nos quedaría así 00:09:51
y luego el último 00:09:54
la última integral que teníamos 00:09:55
me decían, me daban incluso el cambio 00:09:58
me decían que calculara 00:10:00
esa integral haciendo el cambio de t 00:10:02
igual a elevado a x 00:10:04
en un principio 00:10:05
nos podemos asustar al verla pero 00:10:07
porque yo ya sé que el tema de las exponenciales 00:10:09
como que nos mola mucho 00:10:12
pero la verdad es que es bastante sencilla 00:10:13
solo nos tenemos que dar cuenta de una cosa 00:10:15
Y es que si en un exponente tenemos una suma, es porque viene de un producto, ¿vale? 00:10:17
Es decir, esto es lo mismo que si yo pusiera e elevado a x por e elevado a e elevado a x, diferencial de x. 00:10:22
¿Por qué tenemos que darnos cuenta de esto? 00:10:31
Porque si no, yo quiero hacer el cambio t igual a e elevado a x, y aquí tengo e elevado a x más algo, no podríamos ponerlo. 00:10:33
Entonces ahora ya sí, ya lo puedo sustituir todo, pero tengo que hacer previamente, calcular también para poder sustituir el diferencial de x. 00:10:41
Si t es elevado a x, la x es el logaritmo neperiano de t, y por lo tanto su derivada diferencial de x es 1 partido por t, diferencial de t. 00:10:50
Este es el cambio típico de la exponencial. 00:11:00
Y ahora lo único que tengo que hacer es sustituir, esto es la integral, ¿de quién? 00:11:02
de t por e elevado a t, y ahora sustituimos el diferencial de x, que es 1 partido de t, 00:11:05
diferencial de t. ¿Y qué ocurre? Que esta t con esta t se me va, y que me queda simplemente 00:11:14
la integral de e elevado a t, diferencial de t. Integral inmediata, que es ella misma, 00:11:21
más k, y ahora lo que tendríamos que hacer es deshacer el cambio. O bueno, podríamos 00:11:30
no haber puesto todavía la k y haberla puesto después, una vez que deshago el cambio, ¿vale? 00:11:34
Da lo mismo. Elevado a t, o sea, la t es elevado a x, luego esto es e elevado a e elevado a x, más k. 00:11:39
Y este sería el primer ejercicio. Vale, el ejercicio 2 lo que me piden es calcular el área comprendida 00:11:48
por las funciones f de x raíz de 2x y g de x cuadrado partido por 2. A ver, no hace falta tampoco dibujarlas. 00:11:56
La G es una parábola, ¿vale?, con coeficiente positivo, por lo tanto es sonriente, y la F es una raíz, que de alguna manera es como lo que yo os digo que le llamo como una ceja, es como una, o sea, es la mitad de la parábola que está proyectada, digamos, luego será algo así. 00:12:04
por lo tanto lo que me estarían pidiendo sería este recinto 00:12:22
es decir, lo que yo necesito es calcular este punto y este punto 00:12:26
es decir, los dos puntos de intersección para poder aplicar la regla de Barrow 00:12:29
para poder calcular el área 00:12:34
entonces para calcular esos dos puntos de intersección 00:12:35
lo que tengo que hacer es resolver el sistema 00:12:38
en lugar de f y g la voy a llamar y 00:12:40
y tengo el sistema y igual a raíz de 2x 00:12:43
y igual a x cuadrado partido por 2 00:12:45
y para resolver este sistema aplicamos el método de igualación 00:12:50
y me queda que la raíz de 2x es igual a x cuadrado partido de 2 00:12:54
para quitar la raíz elevamos los dos mingos al cuadrado 00:13:00
y me queda 2x igual a x cuadrado, perdón, x cuarta partido de 4 00:13:03
y si lo paso a la izquierda todo, primero multiplico el 4 por 2 00:13:09
me quedaría 8x igual a x cuarta, o lo que es lo mismo, x cuarta menos 8x igual a cero. 00:13:15
Sacamos factor común y lo que me queda es x por x cubo menos 8 igual a cero. 00:13:25
Y de aquí ¿qué obtenemos? Que o bien la x es cero, mi primer valor, o bien que la x cubo es igual a 8. 00:13:34
Por lo tanto, x es igual a 2. Y de aquí ya tendría mis dos valores. Por lo tanto, el área que me están pidiendo, el área, no es otra cosa que la integral entre 0 y 2 de f de x menos g de x, es decir, de la raíz de 2x menos x cuadrado partido por 2, diferencial de x. 00:13:41
ojo, bueno y aquí como no sé cuál va adelante 00:14:07
cuál va por arriba o por abajo 00:14:10
por si acaso lo pongo en valor absoluto 00:14:12
ojo con poner directamente 00:14:14
la ecuación que me quedaba aquí 00:14:16
del x cuarta 00:14:18
eso en este caso es para resolverlo 00:14:19
sí que es cierto que cuando hemos estado 00:14:22
haciendo funciones que a lo mejor 00:14:24
eran una parábola y una recta o dos parábolas 00:14:26
al restarlas me quedaba 00:14:28
justamente como la ecuación 00:14:30
la parte izquierda de la ecuación 00:14:32
pero en este caso no es así, tenemos que poner 00:14:33
Incluso en el otro caso siempre tenemos que poner una función menos la otra 00:14:35
Porque si no ahí estamos cometiendo errores 00:14:40
Y ahora simplemente es integral, son integrales inmediatas 00:14:43
La integral de la raíz de 2x 00:14:47
A ver, 2x es como si fuera, bueno, lo voy a poner como potencia 00:14:50
Esto es 2x elevado a 1 medio menos x cuadrado partido por 2 diferencial de x 00:14:55
¿Vale? Por si me cuesta de la otra manera 00:15:05
Valores absolutos, lo cierro 00:15:08
Y ahora ya sí, a ver si lo hemos visto así más fácil 00:15:09
Sería, es una potencia, luego esto sería 2x 00:15:12
Elevado a 1 medio más 1 00:15:15
1 medio más 1 son 3 medios 00:15:19
¿Vale? 00:15:22
Y lo tengo que dividir ¿Entre quién? 00:15:25
Entre el exponente, que es 3 medios 00:15:27
Pero también lo tengo que dividir entre la derivada de 2x 00:15:29
Que sería 2 00:15:32
¿Vale? Ya que no está ese 2 00:15:33
Menos la integral de x cuadrado que es x3 partido de 3 00:15:36
Como teníamos el 2, pues 2 por 3 00:15:43
Y esto lo vamos a tener que evaluar entre 0 y 2 00:15:45
Y cierro el valor absoluto 00:15:50
¿Vale? Voy a subir un poquito 00:15:52
Venga, pues ahora ya simplemente o lo podemos arreglar un poquito si queremos 00:15:55
o podemos directamente ya sustituir valores, fijaos que aquí el 3 medios por 2, el 2 con el 2 se me va, ¿vale? 00:16:01
Y ahora si sustituyo en el 2 me quedaría 2 por 2, 4, 4 serían, vamos a ponerlo todo, esto sería 4 elevado a 3 medios partido de 3 menos 00:16:09
2 al cubo es 8 00:16:32
ay que no me pinta 00:16:35
8 partido de 6 00:16:39
¿vale? 00:16:41
y ahora lo tendríamos que evaluar en el 0 00:16:42
por la regla de Barrow 00:16:44
primero en la primitiva en el 2 00:16:45
menos la primitiva en el 0 00:16:48
pero al sustituir en el 0 00:16:50
todo se nos va 00:16:51
por lo tanto 00:16:53
¿esto cuánto va a ser? 00:16:55
pues esto sería 00:16:59
es la raíz cuadrada 00:17:00
de 4 al cubo 00:17:03
¿Vale? Pero la raíz cuadrada de 4 es 2, luego 2 al cubo es 8, serían 8 tercios menos 8 sextos, o lo que es lo mismo, 16 sextos menos 8, pues directamente esto queda 8 sextos, ¿vale? En valor absoluto, me sale positivo, 4 tercios unidades al cuadrado. 00:17:05
A ver, por si no os ha quedado claro lo que he hecho, el 4 elevado a 3 medios es la raíz cuadrada de 4 al cubo, o lo que es lo mismo, 2 al cubo, que es 8. 00:17:31
No sé si lo he hecho muy rápido así al deciros lo de cabeza. 00:17:46
Pues este sería el ejercicio 2. Pauso para copiar el último. 00:17:50
En el ejercicio 3, en el último, lo único que me pedían era estudiar la derivabilidad de esa función. 00:17:56
Es un valor absoluto, luego lo que vamos a hacer primero es desarrollarlo, ¿vale? 00:18:01
Entonces, esto lo vamos a poner como una función definida a trozos. 00:18:06
¿Y esto qué sería? A ver, lo único que tenemos sería el x cuadrado menos, en los dos casos, 00:18:11
y ahora, ¿el valor absoluto de x cuánto es? Pues ella misma, si la x es mayor, voy a poner aquí el igual a cero, 00:18:17
y menos ella, es decir, menos x, con el menos sería más, cuando la x es menor que cero. 00:18:24
entonces para que la función sea derivable 00:18:30
lo primero que tenemos que estudiar es la continuidad 00:18:33
¿vale? que eso algunos me lo escribisteis muy bien 00:18:35
bien, pues vamos a ver 00:18:38
el único punto posible de discontinuidad es en el cero 00:18:42
ya que tanto x cuadrado menos x como x cuadrado más x 00:18:45
es decir, las dos ramas son polinomios 00:18:48
y por tanto son continuos y derivables 00:18:51
el dominio son todos los números reales 00:18:52
bien, pues entonces a ver, ¿qué significa? 00:18:56
que f de x, lo primero, sea continua en x igual a cero. Esto lo que tiene que ocurrir es que f de cero 00:18:58
tiene que coincidir con el límite cuando x tiende a cero por la izquierda de f de x y además con el límite 00:19:09
cuando x tiende a cero por la derecha de f de x. Vale, vamos a calcularlo aquí. Podemos calcular, ojo, 00:19:19
No, no puedo olvidar el f de 0, esto es súper importante que alguno se os olvide. 00:19:29
Vale, pues en este caso el f de 0 va con el mayor que 0, por lo tanto con el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x cuadrado menos x, 00:19:33
Entonces sustituimos y esto es 0, calculamos el otro límite que me falta, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda, del x cuadrado más x y esto es 0. 00:19:48
¿Qué ocurre? Que los dos son iguales, por lo tanto, f de x es continuo en x igual a 0. 00:20:02
Que sea continua no significa que sea derivable, pero para ser derivable tiene que ser continua, ¿vale? 00:20:13
Entonces ese es el primer requisito. 00:20:19
Ahora, para ver si es derivable, pues lo primero que hago es calcular el f' de x. 00:20:21
La derivada de una función definida a trozos es la derivada de cada uno de los trozos, 00:20:26
por lo tanto esto es 2x menos 1 para los x estrictamente mayores que 0 00:20:30
y en el otro tramo es 2x más 1 para los x menores que 0 00:20:36
y hacemos lo mismo que significa que f de x igual que pasaba antes 00:20:42
el único posible punto que no sea derivable es en el 0 00:20:47
ya que en cualquiera de las dos ramas las funciones son polinomios por lo tanto es derivable 00:20:51
vale, pues f de x derivable en x igual 0 00:20:56
si, ¿qué tiene que ocurrir? 00:21:03
f' en 0 por la izquierda es igual a f' de 0 por la derecha 00:21:06
vale, entonces comprobamos esto con los límites 00:21:12
¿quién es f' de 0 por la izquierda? 00:21:15
pues, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:21:20
de 2x más 1, sustituyo y esto me queda 1, y ¿quién es f' de 0 por la derecha? 00:21:25
Pues el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, por la derecha es 2x menos 1, 00:21:36
sustituyo y esto es menos 1. ¿Qué ocurre? Que los valores que hemos obtenido son diferentes, 00:21:45
Luego, ¿esto qué significa? Que f de x no es derivable en x igual a cero, ¿vale? Era un ejercicio también muy sencillito. 00:21:50
Y nos falta solamente el extra que os pusimos, ya que nos lo habíais pedido, ¿vale? Subo la pizarra y continuamos. 00:22:06
Vale, pues el extra es este, era un límite cuando x tiende a cero del logaritmo neperiano del coseno de 2x partido por x cuadrado. 00:22:14
vale pues lo primero aunque tengamos logaritmos y cosenos y demás sustituimos 00:22:21
coseno de 0 es 0 el logaritmo de perdón coseno de 0 es 1 el logaritmo de 1 es 0 00:22:26
ya me he ido directamente al resultado final partido por 0 00:22:34
vale pues como es un 0 partido por 0 lo que vamos a hacer es aplicar el método de L'Hôpital 00:22:37
L'Hôpital es hacer la derivada del numerador entre la derivada del denominador 00:22:43
luego esto es el límite 00:22:50
cuando x tiende a 0 00:22:52
derivada del numerador es un logaritmo 00:22:54
luego abajo es el coseno de 2x 00:22:57
y arriba la derivada del coseno de 2x 00:23:00
que es menos 2 seno de 2x 00:23:03
y abajo sería la derivada de x cuadrado que es 2x 00:23:08
y ahora a ver, aquí sé que algunos os fuisteis liando 00:23:12
no sabéis muy bien cómo hacerlo 00:23:16
pues tenemos dos opciones 00:23:18
Una, operamos la fracción y dejamos arriba el seno y abajo un 2x por el coseno, o bien directamente, que es lo más rápido, si no sabemos la derivada de la tangente, pues lo escribimos como menos 2, tangente de 2x, de 2x partido por 2x, ¿vale? 00:23:20
Incluso los dos se me van y me queda simplemente el límite cuando x tiende a 0 de menos tangente de 2x partido por x, ¿vale? 00:23:41
Sustituimos los valores y me queda la tangente de 0 es 0 y x en 0 es 0 y lo que hacemos aquí es volvemos a aplicar el método del hospital. 00:23:57
Venga, pues por eso os decía que si no sabemos la derivada de la tangente 00:24:07
La derivada, bueno, esto sería el límite 00:24:11
Cuando x tiende a 0 00:24:14
D, derivada de menos tangente de 2x por la derivada de la tangente 00:24:16
Bueno, el menos es el que teníamos 00:24:20
Es 1 partido por el coseno cuadrado de 2x 00:24:22
Por la derivada de 2x que es 2 00:24:27
Dividido entre la derivada de x que es 1 00:24:29
Poniendo esto un poquito, arreglándolo un poquito 00:24:32
esto me queda el límite cuando x tiende a 0 de menos 2 partido por el coseno cuadrado de 2x, ¿vale? 00:24:35
Y ahora ya directamente sustituimos en el 0 y me queda arriba menos 2 y en el denominador que me queda 00:24:51
coseno de 0 es 1, al cuadrado sigue siendo 1, pues el límite ya estaría, ¿vale? 00:24:56
que tampoco era demasiado complicado. 00:25:02
Si no me sé la derivada de la tangente, 00:25:04
es una de las que nos debemos saber, 00:25:07
pues tendríamos que haberlo puesto como una única fracción 00:25:09
y tendríamos que haber derivado el producto del 2x por el coseno de 2x, 00:25:11
que tampoco era complicado, por si tardaba un poquito más. 00:25:16
Bueno, pues con esto ya queda terminado el examen. 00:25:19
Materias:
Matemáticas
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Fecha:
30 de diciembre de 2026 - 14:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
25′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
59.09 MBytes

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