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Fórmulas trigonométricas I - Contenido educativo

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Subido el 10 de enero de 2021 por Olga P.

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Hola. Vamos a pasar a la segunda parte de trigonometría. Vamos a ver el tema 5 de nuestro libro, que es el tema de fórmulas y funciones trigonométricas. 00:00:02
Vamos a empezar viendo las fórmulas trigonométricas. Estas fórmulas nos van a permitir resolver ecuaciones trigonométricas, nos van a permitir también demostrar algunas igualdades 00:00:13
Y el año que viene os van a permitir resolver algunas integrales. Vamos a empezar calculando el seno de la suma de dos ángulos. 00:00:25
Vamos a ver que si nosotros tenemos dos ángulos alfa y beta y conocemos las razones trigonométricas de dichos ángulos, podemos calcular el seno de alfa más beta con esa fórmula que veis escrita en la pantalla del ordenador. 00:00:38
El seno de alfa más beta es el seno de alfa por el coseno de beta más coseno de alfa por el seno de beta. 00:00:53
Y voy a haceros una demostración geométrica. 00:01:00
Vamos a empezar dibujando el ángulo alfa. 00:01:03
Este ángulo será el ángulo alfa. 00:01:14
Aquí tenemos el triángulo rectángulo que nos va a permitir después ver las razones trigonométricas. 00:01:17
A continuación vamos a dibujar el ángulo beta. 00:01:22
El ángulo beta lo voy a hacer de tal manera que la hipotenusa de este triángulo valga 1, por lo tanto este cateto directamente por ser el opuesto del ángulo beta va a ser el seno de beta y este cateto de aquí va a ser el coseno de beta. 00:01:29
Ya tenemos dibujados alfa y beta, luego ya tenemos el ángulo de alfa más beta, que es la suma. 00:01:51
Dibujamos su triángulo rectángulo, que nos va a permitir estudiar las razones trigonométricas. 00:01:59
Y vamos a dibujar otro triángulo más. 00:02:07
Vamos a dibujar otro triángulo rectángulo, aquí. 00:02:11
Y quiero que os fijéis que este ángulo está formado por esta recta y por esta recta, que son las mismas que forman el ángulo alfa, por lo tanto, este ángulo de aquí y este son iguales. 00:02:15
Ambos valen alfa. Vamos a poner nombre a los puntos para hacer la demostración que quiero hacer. 00:02:32
Bien, entonces, nosotros hemos dicho que vamos a demostrar cuánto vale el seno de alfa más beta, bien, entonces el seno de alfa más beta será el cateto opuesto partido de la hipotenusa, hemos visto que esta hipotenusa es el segmento OB que vale 1, 00:02:50
Por lo tanto, el seno de alfa más beta será el segmento PB. 00:03:18
Fijaros que el segmento PB será igual al segmento ACU más el segmento AC. 00:03:28
Vamos a fijarnos en el segmento ACU. 00:03:50
Este segmento AQ es este de aquí y fijaros que es el cateto opuesto al ángulo alfa. 00:03:57
Por lo tanto, seno de alfa será igual a AQ partido de la hipotenusa. 00:04:06
La hipotenusa es OA, pero fijaros que hemos dicho que OA es el coseno de beta. 00:04:15
Por lo tanto, despejando, el segmento que nosotros queríamos calcular, que es aq, mide seno de alfa por coseno de beta. 00:04:24
Vamos ahora a fijarnos en el segmento AC. 00:04:46
El segmento AC es este que está aquí en verde y se relaciona con el coseno de alfa. 00:04:51
El coseno de alfa será igual al cateto contiguo, que es AC, partido de la hipotenusa de ese triángulo, que es AB. 00:04:59
Esa hipotenusa AB, hemos dicho ya antes, que era el seno de beta. 00:05:10
Por lo tanto, tenemos que AC será igual a coseno de alfa por el seno de beta. 00:05:19
Bien, si ahora nosotros sustituimos esta expresión que hemos obtenido aquí y esta otra expresión que hemos obtenido aquí, la sustituimos aquí, ¿qué obtenemos? 00:05:30
Pues obtenemos precisamente lo que nosotros queríamos ver, ¿no? Que el seno de alfa más beta, que es pb, será igual a seno de alfa por coseno de beta más coseno de alfa por el seno de beta. 00:05:47
Ya está, ya hemos llegado a la demostración que nosotros queríamos hacer. 00:06:07
Bien, ¿para qué nos puede servir esto? Pues, por ejemplo, esto nos puede servir para hacer una demostración, o sea, perdón, sí, nos puede servir para hacer una demostración, 00:06:14
Pero hoy lo vamos a utilizar nosotros para hacer, por ejemplo, el seno de 75. 00:06:27
Nosotros conocemos las razones trigonométricas de 30 y de 45, pues nosotros vamos a hacerlo, vamos a calcular el seno de 75 usando esto. 00:06:36
El seno de 75 será, por lo tanto, seno de 30 por coseno de 45 más coseno de 30 por el seno de 45. 00:06:48
Recordad que el seno de 30 valía un medio, el coseno de 45 raíz de 2 partido de 2. 00:07:04
El coseno de 30 valía raíz de 3 partido de 2, el seno de 45 igual que el coseno, raíz de 2 partido de 2. 00:07:10
Por lo tanto, tenemos que el seno de 75 será raíz de 2 más raíz de 6 partido de 4, ¿vale? 00:07:21
Venga, vamos ahora a hacer el coseno de alfa más beta. 00:07:30
El coseno de alfa más beta lo vamos a encontrar a partir del seno de alfa más beta, pero para eso tenemos que recordar una cosa que hacíamos en el tema anterior y era ver qué relación había entre las razones trigonométricas de un ángulo phi y de un ángulo 90 más phi. 00:07:38
Si nosotros teníamos dos ángulos que se diferenciaban en 90 grados, recordad que nosotros sabíamos que el seno de 90 más fi se correspondía con el coseno de fi. 00:08:16
Y el coseno de 90 más pi es el opuesto al seno de pi. 00:08:38
Me había olvidado el menos, ¿vale? 00:08:52
Bueno, pues entonces, teniendo en cuenta esto y teniendo en cuenta la fórmula que hemos demostrado antes, 00:08:54
vamos a ver cómo es el coseno de alfa más beta, ¿vale? 00:09:02
Entonces, el coseno de alfa más beta será igual al seno de 90 más alfa más beta. 00:09:07
Es decir, vamos a agrupar y vamos a poner por un lado este 90 más alfa. 00:09:33
Y vamos a desarrollar la expresión como hemos hecho antes. Vamos a poner con la fórmula anterior seno del primero por seco más coseno del primero por el seno de beta. 00:09:42
¿Vale? Bueno, ¿cuánto vale el seno de 90 más alfa? Pues el coseno de alfa lo tenemos ahí. ¿Cuánto vale el coseno de beta? Pues coseno de beta más coseno de 90 más alfa, que es menos el seno de alfa por el seno de beta. 00:10:11
Por lo tanto, será coseno de alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta. 00:10:35
Esa es la expresión que nos da, esa es la fórmula que nos va a dar el coseno de la suma. 00:10:49
La voy a poner aquí. Coseno del primero por coseno del segundo menos seno del primer ángulo por el seno del segundo. 00:10:58
¿Vale? Pues por ejemplo con esto nosotros podríamos calcular, igual que hemos hecho antes, vamos a calcular el coseno de 75. 00:11:08
El coseno de 75 será igual al coseno de 30 más 45, que será igual a coseno de 30 por coseno de 45 menos seno de 30 por seno de 45. 00:11:19
El coseno de 30 ¿cuánto vale? El coseno de 30 es raíz de 3 partido de 2. Coseno de 45 raíz de 2 partido de 2 menos el seno de 30 un medio, el seno de 45 raíz de 2 partido de 2. 00:11:51
Luego esto nos queda raíz de 6 menos raíz de 2 partido de 4, ¿vale? 00:12:16
Bien, vamos a ver ahora, igual que hemos visto las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, 00:12:25
vamos a ver las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos, ¿vale? 00:12:36
Bien, pues vamos a ver que el seno de alfa menos beta es igual al seno de alfa por el coseno de beta menos coseno de alfa por el seno de beta. 00:12:55
Y del mismo modo el coseno de alfa menos beta será igual al coseno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por el seno de beta. 00:13:23
Como veis no os he escrito las relaciones trigonométricas de la tangente de alfa más beta ni de la tangente de alfa menos beta 00:13:44
Si nosotros sabemos hacer el seno y el coseno, la tangente será simplemente hacer la división 00:13:53
Pero si vosotros queréis demostrarlo de forma general podéis hacerlo y tenéis la fórmula en el libro, en las páginas 130 y 131 00:14:00
Yo lo que sí que voy a demostraros es el seno de alfa menos beta y el coseno de alfa menos beta. 00:14:12
Para eso vamos a partir de las razones trigonométricas que hemos demostrado antes y vamos a recordar cómo son las razones trigonométricas de dos ángulos que son opuestos. 00:14:22
Acordaros que si nosotros tenemos el ángulo fi y el ángulo menos fi, pues el seno de menos fi es el opuesto al seno de fi y los cosenos coinciden. 00:14:36
¿Vale? 00:15:00
¿Vale? Venga, entonces, sabiendo esto y sabiendo cuánto vale el seno de alfa más beta, pues yo voy a calcular el seno de alfa menos beta. 00:15:01
Simplemente voy a convertir esta resta en una suma. 00:15:24
En lugar de poner el ángulo beta, pongo el ángulo menos beta. 00:15:33
Y esto será igual a, por la fórmula que hemos demostrado geométricamente antes, 00:15:37
seno del primero por coseno del segundo más coseno de alfa por el seno de menos beta. 00:15:43
Como hemos recordado que el coseno de menos beta y el coseno de beta son iguales, 00:16:00
pues este primer término lo escribo así, seno de alfa por coseno de beta. 00:16:07
Pero los senos son opuestos, así que en lugar de poner seno de menos beta voy a poner menos seno de beta y el coseno de alfa se queda igual, ¿vale? 00:16:11
Por lo tanto, así he demostrado que el seno de alfa menos beta es igual que el coseno de alfa más beta, pero cambiando este signo que veis aquí, ¿vale? 00:16:22
vosotros solos podéis hacer la demostración del coseno de alfa menos beta exactamente igual que 00:16:37
yo he hecho ahora. A continuación os propongo que paréis el vídeo y resolváis de la página 131 00:16:44
los ejercicios 4 y 5. En el ejercicio 4 os dan el seno de 12 y el seno de 37 y os piden las 00:16:52
razones trigonométricas de 49, que son 12 más 37, y de 25, que son 37 menos 12. Luego, es decir, 00:17:02
os están pidiendo que apliquéis estas fórmulas que nosotros acabamos de demostrar. En el ejercicio 5, 00:17:10
lo que os dan es una igualdad y os piden que la demostréis. Como sugerencia para que empecéis a 00:17:18
trabajar con esa igualdad, os digo que empecéis trabajando con el lado izquierdo y que desarrolléis 00:17:25
el coseno de a más b, el coseno de a menos b, el seno de a más b y el seno de a menos b, los 00:17:34
desarrolléis y operéis todo eso hasta ver si sois capaces de llegar a que lo que hay a la izquierda 00:17:39
es igual a 1 partido de tangente de A. ¿Vale? Bien, pues una vez que vosotros hayáis hecho 00:17:46
esto, yo voy a hacer las razones trigonométricas, os voy a demostrar las razones trigonométricas 00:17:55
del ángulo doble. Se me resiste. Bien, para hacer las razones trigonométricas del ángulo 00:18:03
doble, voy a partir otra vez del seno de alfa más beta. Pero, ¿qué voy a poner ahora? 00:18:34
En lugar de poner alfa más beta voy a poner seno de alfa más alfa, ¿no? Y entonces ya 00:18:46
tengo el seno de 2 alfa, que es el que yo quiero encontrar. Ángulo doble, ¿vale? Luego 00:18:50
Entonces, el seno de 2 alfa será igual al seno de alfa más alfa, que será seno de alfa por coseno de alfa más coseno de alfa por seno de alfa. 00:18:58
Fijaros que aquí tengo el seno de un ángulo por el coseno del mismo ángulo y aquí tengo lo mismo pero escrito en orden inverso. 00:19:17
es una multiplicación, se cumple la propiedad conmutativa, luego estos dos factores son 00:19:25
iguales dos veces seno de alfa por coseno de alfa. Vamos a hacer el coseno de 2 alfa. 00:19:29
Igual, ¿no? El coseno de 2 alfa será igual al coseno de alfa más alfa, que será igual 00:19:40
coseno de alfa por coseno de alfa menos seno de alfa por seno de alfa. Es decir, que el 00:19:51
coseno de 2 alfa será coseno cuadrado de alfa menos seno cuadrado de alfa. En este 00:20:02
caso, fijaros, sí que os voy a recomendar que calcule, calcular la tangente de 2 alfa 00:20:11
porque la vais a utilizar bastantes veces. La tangente de 2 alfa será el seno de 2 alfa 00:20:17
entre el coseno de 2 alfa, es decir, que será 2 seno de alfa coseno de alfa partido de coseno 00:20:27
cuadrado de alfa menos seno cuadrado de alfa. Vamos a dividir numerador y denominador por 00:20:42
coseno cuadrado de alfa, entonces aquí nos va a quedar directamente un 1. ¿Y aquí qué 00:20:51
nos va a quedar? Nos va a quedar esta expresión de aquí, de aquí nos va a quedar seno cuadrado 00:20:57
de alfa entre coseno cuadrado de alfa. Fijaros que un coseno se me puede simplificar y entonces 00:21:08
arriba lo que me queda es dos veces la tangente de alfa y abajo me queda 1 menos tangente cuadrado 00:21:17
de alfa. ¿Vale? Bien, pues otra vez os propongo que paréis el vídeo y ahora los ejercicios que 00:21:26
debéis hacer para practicar esto que hemos hecho aquí son los ejercicios 7, 8 y 9. Los ejercicios 00:21:38
7 y 8 son muy sencillos y el ejercicio 9 os propongo otra vez lo mismo que antes. Se trata 00:21:46
de demostrar una igualdad. Vosotros tenéis que desarrollar al máximo todo lo que podáis 00:21:53
el lado izquierdo de la igualdad porque es donde van a aparecer los senos del ángulo 00:22:00
doble. Operáis al máximo e intentáis llegar a la expresión que aparece en el lado de 00:22:06
la derecha. ¿Vale? Y ahora vamos a ver las razones trigonométricas del ángulo mitad. ¿Vale? Razones 00:22:12
trigonométricas del ángulo mitad. Las razones trigonométricas del ángulo mitad las vamos a 00:22:23
demostrar partiendo del ángulo doble y partiendo de la relación fundamental de la trigonometría 00:22:59
que recordad que nos dice que seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es igual 00:23:08
a 1. Vamos a partir del coseno de 2 alfa que es coseno cuadrado de alfa menos seno cuadrado 00:23:15
de alfa y vamos a partir de 1 igual a coseno cuadrado de alfa más seno cuadrado de alfa. 00:23:27
Si sumamos estas dos expresiones, fijaros que nos queda que 1 más coseno de 2 alfa 00:23:37
será igual a dos veces el coseno cuadrado de alfa. Por lo tanto, que el coseno cuadrado 00:23:46
de alfa es 1 más coseno de 2 alfa partido de 2. Y eso tendremos que, si cambio el coseno 00:23:53
de 2 alfa por alfa y el coseno de alfa por la mitad, por alfa medios, será el coseno 00:24:04
de alfa medios es igual, coseno cuadrado de alfa medios es igual a 1 más coseno de alfa 00:24:10
partido de 2. Haciendo la raíz cuadrada nos queda que el coseno de alfa medios será más menos la 00:24:19
raíz cuadrada de 1 menos coseno de alfa partido de 2. Y del mismo modo demostráis el coseno de 00:24:31
alfa medios, perdón, el seno de alfa medios, que será más menos la raíz cuadrada de 1 menos coseno 00:24:44
de alfa partido de 2. Y con esto hemos visto las razones trigonométricas, las relaciones 00:25:03
trigonométricas entre la suma de ángulos, la resta de ángulos, el ángulo doble y el 00:25:16
ángulo mitad. Espero que las explicaciones hayan sido claras. 00:25:24
Subido por:
Olga P.
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Fecha:
10 de enero de 2021 - 20:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PALOMERAS-VALLECAS
Duración:
25′ 29″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
956.98 MBytes

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