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Coordenadas esféricas - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo se definen las coordenadas esféricas, que se usarán para resolver otros problemas.

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en este vídeo vamos a hablar sobre coordenadas esféricas las coordenadas 00:00:04
esféricas es un sistema de representación de un punto en el espacio distinto del que 00:00:09
utilizamos habitualmente x y z que sería el sistema cartesiano para trabajar en 00:00:17
coordenadas esféricas utilizaremos tres ejes, este es el eje z, este es el eje y y este es el eje x. 00:00:23
Para que esto funcione bien, para que estos sistemas de referencia funcionen bien con todas 00:00:38
las reglas que nosotros tenemos definidas de las matemáticas, tienen que ser sistemas de 00:00:45
¿Qué significa esto? Significa que este vector i, este vector j y este vector k deben cumplir la regla que i producto vectorial con j sea k. 00:00:49
Es decir, yo tengo que poder coger este vector i que va hacia afuera del papel, lo he dibujado así porque no se puede dibujar hacia afuera, 00:01:08
pero este iría hacia arriba y este es el J y si llevo I hacia J me da el vector K. 00:01:15
También si llevo J hacia K me da el vector I y si llevo K hacia I, me da el vector J. 00:01:21
Una vez establecido esto podemos fijarnos en un punto, por ejemplo este punto de aquí, 00:01:29
que le vamos a llamar el punto P. 00:01:37
Voy a poner P aquí. 00:01:39
Y este punto P, para definirlo en coordenadas cartesianas, en las habituales, en X y Z, 00:01:41
Lo que hacemos es proyectarlo hacia abajo, esto es la proyección sobre el plano y hacemos, esta es una paralela al eje z y ahora hacemos una paralela al eje x y nos viene aquí y este es y. 00:01:47
Luego hacemos una paralela al eje y y esto es la coordenada x. 00:02:04
Por último, esta línea de aquí, hacemos una paralela a esta en la parte de arriba y nos marca aquí que es la coordenada z y así tenemos estas coordenadas x, y y z del punto P. 00:02:11
Pues bien, ahora vamos a intentar definir este punto P de otra forma 00:02:32
Esta otra forma va a ser la siguiente 00:02:39
Vamos a elegir en primer lugar desde el origen una línea recta que vaya hasta este punto P 00:02:41
A esta distancia le vamos a llamar R 00:02:49
Esta R es una coordenada que puede valer desde 0, que sería este punto de aquí, hasta más infinito 00:02:54
Aquí notamos la primera diferencia entre el sistema cartesiano y el sistema de las coordenadas esféricas 00:03:05
El sistema cartesiano tiene tres coordenadas x, y y z que todas ellas pueden ir desde menos infinito hasta más infinito. 00:03:14
Pueden ser negativas, positivas o cero. Sin embargo nuestra r solamente puede ser positiva o cero. 00:03:28
Muy bien, la segunda cosa que vamos a establecer, la segunda coordenada que vamos a utilizar para indicar este punto va a ser cuánto giro desde el eje X hasta llegar a la proyección, a la sombra de esta R sobre el plano XY 00:03:36
A esta coordenada le vamos a llamar phi. Esta coordenada phi es un ángulo que va desde 0 hasta 2pi radianes. 00:03:54
El 0 está incluido porque sería sobre el eje x, 2pi no está incluido porque sería dar toda la vuelta y estaríamos de nuevo en el mismo eje x, con lo cual desde 0 a 2pi sin incluir el 2pi. 00:04:12
volvemos a tener una gran diferencia estamos hablando primero en un lugar en primer lugar 00:04:22
esto es un ángulo en lugar de ser una distancia como en el caso de x y z y luego que ésta tiene 00:04:27
un límite que además es finito pero además esta coordenada fi tiene otra propiedad y es que es 00:04:32
una magnitud cíclica es decir yo puedo dar una vuelta completa y un poquito más y volver al 00:04:38
mismo punto finalmente la última coordenada que vamos a utilizar es cuánto ángulo hemos bajado 00:04:44
desde el eje Z, a esta le vamos a llamar cita y esta cita tiene por definición desde 0 hasta pi 00:04:51
y aquí sí que se incluyen ambos, desde 0 hasta pi significa que puedo estar sobre el eje Z 00:05:05
e ir bajando completamente hasta aquí, podríamos argumentar que si estoy aquí también vale 00:05:13
pero si estoy aquí realmente es como si estuviese aquí y luego giro con fi hacia el otro lado 00:05:20
por lo tanto con estas tres coordenadas podemos definir cualquier punto sobre el espacio 00:05:24
¿Por qué llamamos a esto coordenadas esféricas? 00:05:31
Fijémonos que si yo fijo, es decir, digo un valor concreto y específico para esta coordenada R 00:05:35
digo no, pues R vale 8, ¿vale? 00:05:43
manteniendo esta coordenada de re fija y permitiendo que cambien las otras dos lo 00:05:45
que hago fijémonos por ejemplo cambio la cita vale todo su valor estoy haciendo como una 00:05:52
especie de tajada y luego esta tajada le doy toda la vuelta y lo que consigo justamente es 00:05:59
una esfera por eso a esto le llamamos coordenadas esféricas características de estas coordenadas 00:06:04
Pues en primer lugar tendremos un vector que es un vector unitario, igual que teníamos i, j y k, son vectores unitarios que van en el sentido de crecimiento de cada una de estas coordenadas. 00:06:12
Aquí tenemos r, tenemos cita y tenemos hacia acá phi. 00:06:27
Estos tres vectores son todo el rato perpendiculares entre sí, pero no son todo el rato iguales como eran i, j y k. 00:06:35
la Y siempre va así, la J siempre va así, la K siempre va así 00:06:41
estos R va así porque estamos en este punto 00:06:45
si estuviese en este punto iría así más inclinado hacia arriba 00:06:49
si estuviese más abajo iría más inclinado hacia abajo 00:06:52
si yo tuviese un punto que está por ejemplo aquí colocado sobre el eje Y 00:06:55
este vector R gorrito coincidiría con el vector J 00:06:59
este vector fi va a perpendicular y siempre hacia adentro del papel si estamos en este 00:07:05
lado y hacia afuera del papel si estamos en el otro lado en este caso de este punto que 00:07:14
hemos elegido aquí abajo este vector si sería un vector que iría completamente perpendicular 00:07:20
al papel y hacia adentro este sería figurito y este el reto y el vector cita iría en crecimiento 00:07:26
en el sentido de crecimiento de esta coordenada cita es decir si hemos bajado así iría exactamente 00:07:33
así este vector cita o rito sería exactamente menos k por lo tanto estos vectores unitarios 00:07:40
dependen del punto en el que nos encontremos finalmente vamos a ver para qué podemos utilizar 00:07:51
este sistema parece un sistema extremadamente complicado si lo contamos así no lo he escuchado 00:07:58
nunca, ¿no? Pero sí lo hemos escuchado habitualmente porque si nos fijamos, si cogemos una esfera 00:08:02
en la cual hay mucha agua y un poquito de tierra, más o menos así, estamos dibujando 00:08:11
la tierra, dibujo muy mal, pero aquí estaría, ¿vale? Tenemos una línea que va desde el 00:08:24
polo norte hasta el polo sur, aquí me he dejado bastantes islas de por medio, pero 00:08:36
Bueno, tenemos una línea que va así, que pasa por Greenwich, pasa también por Zaragoza, y tenemos otras líneas verticales, bueno, es muy difícil dibujar esto así, muchas líneas verticales, a partir de las cuales podemos girar hacia la izquierda o hacia la derecha, 00:08:40
y hablamos de la longitud, ahora que nos encontramos, esta longitud es exactamente la misma coordenada que este ángulo phi 00:09:08
partiendo de este meridiano que le llamamos el meridiano de Greenwich que sería nuestro eje x, que partiría hacia los lados. 00:09:24
Por otro lado tenemos otras líneas, vamos a manejarlas de color rojo, tenemos otras líneas que son estas de aquí que se llaman paralelos y que nos dicen con respecto al centro como de altos o como de bajos estamos, esto le llamamos latitud 00:09:33
y esta es un poquito diferente de cita porque cita partiría desde el polo norte y hacia abajo 00:09:55
y esta parte desde el centro y sube hacia arriba y hacia abajo 00:10:02
por lo tanto en realidad esta latitud es pi medios menos este ángulo cita 00:10:05
pero fijémonos que estas coordenadas esféricas nos sirven por ejemplo 00:10:13
para colocarnos en algún punto sobre la superficie terrestre 00:10:18
y así es como vamos a utilizar las coordenadas esféricas 00:10:23
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Àngel M. Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
156
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 20:09
Visibilidad:
Público
Duración:
10′ 34″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
331.21 MBytes

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