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Rangos 1 - Contenido educativo
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Cálculo de rangos por el método de determinantes
Hola, buenas. Vamos a hacer ahora ejercicios usando los determinantes para averiguar el
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rango. Ya habíamos hecho el rango por medio del método de Gauss-Jordan, pero nos puede
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resultar más sencillo hacer los rangos por el método de determinantes. Por ejemplo,
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tenemos aquí dos ejercicios, el 11 y el 12, y en ambos tenemos que estudiar el rango de
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la matriz. En el caso del ejercicio número 11, si nos damos cuenta, nuestra matriz tiene
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tres filas y cuatro columnas, es decir, M es una matriz 3x4. ¿Eso qué quiere decir?
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Pues que el rango, como mucho, puede llegar a ser 3, puesto que directamente sabemos que
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el rango tiene que ser menor o igual que el mínimo de filas y columnas. Entonces podemos
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tener rango 1, rango 2, o en este caso podríamos tener rango 3, ¿de acuerdo? Entonces en este
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caso tendríamos 1 menor o igual que el rango de M, menor o igual que 3, puesto que yo tengo
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tres filas y cuatro columnas. Entonces, ¿cómo podemos hacer el estudio en este caso? Bueno,
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pues vamos a coger de la matriz M un menor de orden 2. Por ejemplo, este de aquí. Vamos
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a coger este primer menor y vamos a calcular su determinante. De esa manera, como mínimo,
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nos garantizamos que el rango de nuestra matriz es 2. Entonces cogemos ese menor
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y lo vamos a calcular.
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Y esto nos da menos 4 menos 3, que es igual a menos 7, que es distinto de 0. Entonces,
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sabemos que al menos el rango es 2, ¿pero podríamos garantizar que el rango es 3? Bueno,
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pues para eso lo que vamos a hacer en este caso es completar y vamos ahora a coger un menor de
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orden 3 y vamos a buscar si su determinante es distinto de 0. Si en este caso, por ejemplo,
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este determinante fuera igual a 0, siempre nos queda la otra columna para probar a hallar un
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determinante de orden 3. Entonces, en este caso, vamos a averiguar ese determinante
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y lo podemos hacer por el método que quedamos. Por ejemplo, lo vamos a hacer por el método
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de siempre. Vamos a empezar, como siempre, por estas diagonales paralelas a la diagonal principal.
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Por 12 y por menos 1, más 1 por 3 y por 3, menos y ahora empezamos por las otras diagonales. En
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este caso, las diagonales paralelas a la secundaria. Con lo cual, tendríamos menos 1 por menos 2,
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por 1, más 3 por 12 y por 2, más menos 11 por 3 y por 1. En este caso, no tenemos algo que nos
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facilite, que nos pudiera dar ceros, pero bueno, simplemente es hacer los cálculos. Tenemos en el
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primer caso, menos por menos más, 2 por 2 y por 11, 44. 1 por 12 y por menos 1 es menos 12. 1 por 3 y por 3 es más 9.
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Menos, menos 1 por menos 2 y por 1 es 2. 2 por 3 es 6, por 12 es 72. Menos 11 por 3 y por 1 es menos 33.
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Seguimos operando, tenemos que 44 y 9 son 53. 53 menos 12 son de 2 a 3 es 1.
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41 menos 74 menos 33 son 41. En este caso, nos da cero. Con lo cual, esa primera columna que hemos
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escogido no nos sirve. ¿Qué tendríamos que hacer entonces? Tendríamos que coger las dos primeras
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columnas y la última columna, que es lo que vamos a hacer y vamos a comprobar si en este caso nuestro
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determinante nos da distinto de cero. Entonces, ahora lo que haremos es sustituir la última
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columna, menos 1, 3, menos 11, por 5, 1, 7. Vamos a hacerlo de esta forma, tenemos ahora esto, 2, 3, 1, menos 2, 1, 12 y
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tenemos esa última columna que la vamos a poner en este caso como 5, 1, 7. Vamos a hacer lo mismo de antes, vamos a
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añadir la primera y la segunda filas y vamos a hacer el mismo procedimiento de antes. Si en este caso nos encontramos con que no podemos
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tener determinantes distintos de cero, lo que podremos concluir es que el rango de nuestra matriz será como máximo el rango igual a 2. Entonces, vamos a hacer el resultado, 2 por
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menos 2 y por 7, más 1 por 12 y por 5, más 1 por 3 y por 1, menos, y ahora hacemos las otras diagonales, esta diagonal, esta diagonal y esta diagonal. Entonces, 5 por menos 2 y por 1,
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5 por menos 2 y por 1, más 1 por 12 y por 2, más 7 por 3 y por 1. Y bueno, pues seguimos operando, 7 por menos 4, menos 28, 12 por 5, 60, más 60,
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más 3, menos, 5 por menos 2 es menos 10, 1 por 12 y por 2 es más 24, más 7 por 3, 21. Y esto es igual.
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360 más 363 menos 28, son de 8 a 13, 5, 2 y 1 a 3, a 6, 3, menos, ahora es 24 y 21, son 45 menos 10, 35.
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35 igual a 0. Con lo cual concluimos, como no hemos encontrado ningún determinante de orden 3 distinto de 0, concluimos que el rango de nuestra matriz M
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es igual a 2. El otro caso lo podríamos hacer de similar manera. En este otro caso vamos a hacer lo mismo, en principio, si nosotros queremos estudiar esta otra matriz,
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pues vamos a hacer lo mismo, vamos a coger un menor de orden 2, por ejemplo, pues el menor formado por 2, 3, menos 1 y 1, hallamos su determinante,
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entonces es 2 por 1, menos, menos 1 por 3 y esto nos da 2 más 3, que es igual a 5 distinto de 0. Entonces sabemos que como poco el rango es igual a 2.
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Vamos a hacer ahora, vamos a coger, por ejemplo, la fila 3 y vamos a hallar el determinante de la fila 3. Entonces, 2, 3, menos 1, menos 1, 1, 1, 0, 3, 4 y vamos a ver que es lo que ocurre.
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Si este determinante es distinto de 0, entonces podremos concluir que el rango de nuestra matriz A será igual a 3. Entonces vamos a hacer este determinante también, como siempre, de la misma manera.
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Y vamos a escribir la primera y la segunda filas. Y lo que vamos a hacer, pues como siempre también, es el orden de las diagonales.
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Entonces tenemos 2 por 1 y por 4, más menos 1 por 3 y por menos 1, más 0 por 3 y por 1, menos, y ahora hacemos la otra diagonal, mejor dicho las otras diagonales.
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Entonces tendríamos menos 1 por 1 y por 0, más 1 por 3 y por 2, más 4 por 3 y por menos 1, y hacemos las operaciones.
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Aquí sí tenemos ventajas porque hay términos que se hacen 0. Entonces nos queda la cosa más simplificada, 2 por 1 y por 4 es igual a 8, más menos 1 por 3 y por menos 1 es 3,
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y abajo nos queda 1 por 3 y por 2 que es 6, y 4 por 3 y por menos 1 que es menos 12, y operando tendríamos 8 y 3 es 11, menos 6 menos 12 es menos 6, con lo cual en este caso nos sale 11 más 6 que es 17,
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que es distinto de 0. Como 17 es distinto de 0, podemos concluir que en este caso el rango de nuestra matriz es igual a 3.
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- Autor/es:
- Gracia Moreno Flores
- Subido por:
- M.gracia M.
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- Todos los derechos reservados
- Visualizaciones:
- 15
- Fecha:
- 24 de octubre de 2023 - 22:51
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES DIONISIO AGUADO
- Duración:
- 14′ 17″
- Relación de aspecto:
- 1.91:1
- Resolución:
- 1024x536 píxeles
- Tamaño:
- 24.81 MBytes
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