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Probabilidad. - Contenido educativo
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Experimentos deterministas y aleatorios. Espacio muestra, sucesos y probabilidad. Ejemplos sencillos regla de Laplace.
Estudiemos ahora la parte de probabilidad.
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Comenzamos diferenciando entre experimentos deterministas y experimentos aleatorios.
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El experimento se dice que es determinista cuando antes de realizarse ya se sabe el resultado que se va a obtener.
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Como ejemplo, soltar un cierto objeto.
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Sabemos que se va a caer por acción de la gravedad.
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En cambio, un experimento se aleatorio cuando no sabemos qué resultado se va a obtener hasta que se realiza.
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Así, por ejemplo, el experimento consistente en observar el resultado del lanzamiento de un dado con seis caras numeradas del 1 al 6 totalmente equilibradas,
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es un experimento aleatorio porque a priori no podemos saber qué resultado vamos a obtener.
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Lo mismo ocurre al lanzar una moneda con sus dos caras totalmente equilibradas.
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No podemos predecir si va a salir la cara o la cruz.
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Definimos el azar como la incertidumbre asociada a los experimentos aleatorios
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El cálculo de probabilidades es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos donde interviene el azar
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Centrándonos ahora en experimentos aleatorios, comenzamos estudiando lo que es el espacio muestral
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Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
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Lo vamos a nombrar con la letra E mayúscula.
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Por ejemplo, al tirar un dado de 6 caras, el espacio muestral está formado por los resultados 1, 2, 3, 4, 5 y 6, que son los números que aparecen en sus caras.
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Observar la anotación como son elementos de un conjunto los escribimos entre llaves separados por comas.
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En el experimento aleatorio tirar una moneda y observar los resultados, el espacio muestral está formado por los resultados cara y cruz, que hemos nombrado con la letra C y la X.
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Un suceso es cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento aleatorio.
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Consideremos, por ejemplo, el experimento aleatorio de tirar un dado de seis caras numeradas del 1 al 6.
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Hay varios tipos de sucesos. El suceso elemental está formado por un solo resultado. Por ejemplo, imaginemos el suceso sacar un 1. Esto solamente tiene un resultado, por eso es un suceso elemental.
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El suceso compuesto está formado por más de un resultado
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Imaginemos el suceso B, sacar par
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En este caso está formado por tres resultados, que son el 2, el 4 y el 6
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Por ello, se dice que el suceso es compuesto
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El suceso imposible es el que nunca ocurre
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En nuestro ejemplo de tirar un dado de seis caras numerales del 1 al 6
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un suceso imposible sería por ejemplo sacar un 8. Este conjunto no tiene elementos y la forma
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de indicarlo es mediante el conjunto vacío que recordar que es un 0 con una barra atravesando.
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El suceso seguro es el que siempre ocurre. Por ejemplo el suceso de mayúscula sacar un número
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menor o igual a 6 es un suceso seguro. Los elementos de este conjunto son el 1, 2, 3,
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4, 5 y 6 que coincide con todo el espacio muestral. Por último, el suceso contrario
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o complementario del suceso S se denota colocando una barra encima de la leza y se lee así
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suceso contrario. Como ejemplo, B con una barra encima es el suceso contrario de sacar par,
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es decir, sería sacar impar. Los resultados son 1, 3 y 5. La frecuencia absoluta es el número de
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veces que ocurre un suceso al hacer el experimento aleatorio. Por ejemplo, imaginemos que lanzamos
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una moneda y observamos el resultado. Hemos lanzado 200 veces este experimento y entonces
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obtenemos los siguientes datos. El número de caras, la frecuencia absoluta, es decir
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cuántas caras nos ha salido, nos ha salido 110. Y el número de cruces nos ha salido
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90. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número
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total de veces que se ha realizado el experimento aleatorio. Así, la frecuencia relativa de las
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caras sería 110, que son las que nos ha salido, entre 200, que es el número de veces que hemos
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repetido el experimento. Eso nos da 0,55. Para el caso de las cruces, la frecuencia relativa sería
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90 partido de 200 que es 0,45. La ley de los grandes números nos dice que si repetimos
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suficientes veces un experimento, la frecuencia relativa tiende a aproximarse a un valor constante
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que llamamos probabilidad. La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que indica la
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tendencia a ocurrir del suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. Si S es un suceso,
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denotamos de la forma P entre paréntesis S la probabilidad de S. Recordad que es un número
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entre 0 y 1. La probabilidad del suceso seguro va a ser 1 en el suceso seguro y cuando el suceso
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es imposible va a dar 0. La probabilidad del suceso contrario de S es 1 menos la probabilidad de S.
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Para calcular la probabilidad de un suceso, cuando los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables,
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entonces la probabilidad del suceso se puede calcular con la regla de Laplace,
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que nos dice que tenemos que dividir el número de casos favorables entre el número de casos posibles.
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Por ejemplo, vamos a aplicar la regla de Laplace en el siguiente problema.
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Una tienda organiza una porra de 300 números para sortear un jamón.
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Reparte un número a cada cliente que hace una compra.
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A África y a sus padres les corresponden 6 números.
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Calcula la probabilidad de que la familia de África le toque el premio.
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Observamos que los casos posibles son 300.
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El número de casos favorables es 6, que corresponde a los 6 números comprados por la familia.
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Así, la probabilidad de obtener premio se obtiene dividiendo los casos favorables, que son 6, entre el número de casos totales, que son 300.
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Nos da como resultado 0,02.
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A veces podemos expresar nuestros resultados de probabilidad en tanto por ciento.
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Para ello multiplicamos este resultado por 100 y esto nos da 2% de probabilidad.
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Veamos otro ejemplo de la aplicación de la regla de Laplace
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Una caja de 60 bolígrafos iguales contiene 15 que escriben en rojo y 45 que escriben en negro
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Cogemos un bolígrafo al azar y definimos el suceso S, sacar un bolígrafo que escribe rojo
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Tenemos que calcular la probabilidad de este suceso
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Aplicando la regla, el número de casos favorables de bolígrafos que escriben rojos
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son 15. Esto lo dividimos entre el número de casos totales, que son los 60 bolígrafos
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iguales. Recuerda simplificar las fracciones. Para ello vamos a dividir entre 5 y nos queda
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3 doceavos y ahora volvemos a dividir entre 3 y nos queda como resultado un cuarto. Si
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queremos expresarlo en decimal, la división nos da 0,25. Para calcular la probabilidad
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del suceso contrario, es decir, de los bolígrafos que escriben en negro, aplicando la regla
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de Laplace tenemos 45 casos favorables entre el total de bolígrafos, es decir, 60. Otra
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Otra manera de calcular la probabilidad del suceso contrario sería restar 1 menos la
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probabilidad de obtener un bolígrafo que escribe en rojo.
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Así nos queda 1 menos un cuarto y poniendo denominador común y haciendo las operaciones
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llegamos al mismo resultado de tres cuartos.
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- Autor/es:
- Miguel Gras Gigosos
- Subido por:
- Miguel G.
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- Fecha:
- 2 de mayo de 2024 - 17:13
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
- Duración:
- 09′ 35″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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