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12-3BT2 - Contenido educativo

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Subido el 12 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Empezar a grabar, como siempre os digo, que si alguien tiene algún inconveniente que lo diga y si no, pues continuamos todo. 00:00:00
Bueno, estamos ya en la última unidad del libro. Yo sé que el tema anterior es bastante extenso, tiene un montón de matices y por lo menos vamos a tener una clase para poder repasar. 00:00:09
pasado. Entonces, yo eso sí os digo, que el curso pasado la geometría se preguntaba 00:00:20
en dos evaluaciones, yo creo que es mucho mejor dejarlo en una, y eso, luego que sepáis 00:00:28
que tiene un repertorio bastante amplio. Como veréis, volveremos a posiciones relativas, 00:00:36
volveremos a algún tipo de conceptos. De los temas anteriores, uno es el de vectores, 00:00:42
en el cual se definía lo que era un vector, se hacían los cálculos de producto escalar y vectorial 00:00:49
y supongo que tenéis algún resumen en el cual está más o menos todo concentrado. 00:00:57
Os he subido uno, pero la semana pasada subí uno, pero para mí el bueno es el vuestro. 00:01:03
Porque ahí puede haber determinados trucos que no se ven. 00:01:10
Bueno, también aparecerán posiciones relativas, que es del tema anterior, entonces, pues, el efecto de esto está conectado y es todo, el conjunto es una relación, ¿vale? 00:01:14
Bueno, la parte que tenemos hoy, el tema anterior se suele llamar geometría fin, porque es la geometría de puntos rectos y planos puro. 00:01:28
Las relaciones que hay son las de incidencia, que son lo que se llama posición relativa. Paralelismo, secantes, se cruzan, todo este tipo de conceptos. 00:01:38
En cambio, en esta parte es lo que se llama geometría euclídea, geometría métrica, en la cual vamos a empezar a medir cosas. 00:01:50
Y para eso necesitamos tener claro el tema de vectores. Ya veréis que ahora vais saliendo todo lo relativo a vectores. 00:01:59
¿Sí? Entonces, por ejemplo, el tema, bueno, si tenéis dos rectas, sabéis que el ángulo que forman dos rectas, esto es obvio, es el ángulo que forman sus vectores directores. 00:02:06
En algunos libros, esto hay que especificarlo, porque hay gente que dice, si dos rectas se cruzan, no forman un ángulo. 00:02:20
O si son paralelas, ¿no? Hay gente que dice que si dos rectas son paralelas el ángulo que forman es de 0 grados y si se cruzan, pues, ¿no? Pues es el ángulo que forman sus vectores directores. 00:02:28
Esto, en caso de duda, lo preguntáis, ¿no? Pero en teoría, si queréis calcular el ángulo que forman sus vectores directores, sacáis sus vectores directores y el ángulo que formen, ¿vale? 00:02:43
Bueno, vamos a ver un ejemplo. Este ejemplo me parece que es de EBAU. Bueno, tengo aquí puesto el resultado por si tenemos algún problema con las cuentas, que suele ocurrir. Y aquí ya veréis cómo estamos repasando el tema anterior. Eso sí, por eso, mejor tener esto todo concentrado y todo nuevo. 00:02:56
esto es lo más lógico 00:03:21
es el decir 00:03:27
comprueba que se cortan 00:03:28
y haya su punto de corte 00:03:32
y luego determinar el ángulo que forman 00:03:34
bueno 00:03:36
como os dije el otro día 00:03:37
como os dije el otro día 00:03:40
si queréis hacer la intersección 00:03:43
de dos rectas 00:03:45
hay que resolver el sistema que forman 00:03:46
pero hay muchas formas de hacerlo 00:03:49
Si una la tenéis en principal o en paramétricas, yo os recomiendo que pongáis la recta en paramétricas. No sé si acordáis que pongo X, Y, Z. ¿Por qué punto pasa la recta? 00:03:51
sabéis que se cambian de signo, ¿no? Sería 1, aquí sería 0 y aquí, cuidado, esto es una trampa 00:04:12
que a mí no me gusta, que cuando tenéis esto, esto está puesto al revés. Entonces, esto hay que 00:04:21
colocarlo así. A ver, os recuerdo, la ecuación principal es esta, ¿no? Esto es una pequeña trampa 00:04:28
porque sabéis que la ecuación principal es x menos a y menos b, z menos c, ¿no? Entonces, aquí está 00:04:39
todo dado a la vuelta y aquí esto sería 1. ¿Y el vector director cuál sería? El 1, 1, menos 1, ¿no? O sea, 1 más t, 0 más t y 1 menos t. 00:04:45
Entonces, sustituyo aquí, para calcular el punto de corte, sustituyo y me queda 1 más T, que es X, menos 2Y, o sea, menos 2T, igual a menos Y. 00:05:00
Y luego Y, que es T, más Z, que es 1 menos T, igual a 1. 00:05:21
¿Entendéis lo que he hecho? 00:05:32
¿Dónde está la x? Pongo la x, ¿no? Y así con todos. 00:05:33
Entonces, ¿qué me queda en la primera ecuación? 2t es menos t, ¿no? Menos 2t igual a menos 2. Esto quiere decir que t vale 2, ¿no? 00:05:42
Ahora, ¿de aquí qué me sale? Que 0 es igual a 0, ¿no? 00:05:54
Sí, 0 igual a 0 00:06:01
Entonces, fijaos 00:06:06
no he estudiado la posición relativa 00:06:08
como lo hice el otro día, que resulta 00:06:10
el sistema. Si aquí 00:06:12
quedara 0 igual a 1, el sistema es 00:06:14
incompatible y quiere decir que las rectas no se 00:06:16
cortan. Pero como 00:06:18
dice, comprueba que se cortan 00:06:20
me he ido directamente al punto de corte 00:06:22
porque si existe el punto de corte 00:06:24
no hace falta hacer el proceso 00:06:26
del otro día. O sea, esto 00:06:28
Pero teóricamente habría que estudiar la posición relativa. Pero si yo demuestro que hay solo un punto de corte, ¿no? Es otra forma de estudiar la posición relativa. El problema es, si te dice posición relativa, tienes que distinguir entre que sean paralelas, se crucen o se corten. Yo me he ido a que se corten, ¿sí? 00:06:30
entonces yo sé que se cortan 00:06:50
¿por qué? porque esto tiene solución única 00:06:53
¿no? y ahora el punto 00:06:55
de corte es 00:06:57
para t igual a 2 00:07:01
sustituyo aquí 00:07:03
x es igual a 00:07:04
1 más 2 que es 3 00:07:08
y es igual 00:07:09
a 2 que es t 00:07:12
¿no? a t que es 2 00:07:13
y z es igual a 1 menos 2 00:07:15
que es menos 1 00:07:18
con lo cual el punto de corte 00:07:19
Es el punto que tiene coordenadas 3, 2, 1, 0. 00:07:23
Entonces, el apartado A está hecho. 00:07:29
Siempre intentad reseñar de alguna forma el resultado de los exámenes para que el corrector lo vea bien. 00:07:34
Tanto conmigo como a mi lado. 00:07:39
Voy a comprobar el 3, 2, menos 1. 00:07:41
O sea, a mí me gusta de vez en cuando que miremos esto porque me puedo equivocar en la cuenta como cualquier otro. 00:07:45
Bueno, este es el apartado A. 00:07:51
Y ahora el apartado B es mucho más fácil. 00:07:53
El B. 00:07:56
El B dice, determina el ángulo que forman R y S. ¿Yo qué necesito? ¿Un vector de R? No. Un vector de S. El vector de R sale automáticamente. Uno. Uno menos uno. 00:07:57
Y para el vector de S, cuando aparezca otra ocasión, os lo haré de otra forma. Pero si yo tengo la ecuación general, sabéis que aquí, no siempre, pero aquí es muy fácil llegar a las paramétricas. 00:08:18
¿Cómo lo hago? Despejando aquí la x y aquí despejando la z y queda como parámetro x igual a 1 más 2y, y es igual a y, y z es igual a 1 menos z. 00:08:40
Entonces, este es este, ¿no? El vector lo da este, el punto lo da este, ¿no? Entonces, el vector v es el vector 2, 1, menos la v. 00:09:02
¿Sí? Si podéis pasarlo a paramétricas, es una técnica muy sencilla. Hay otra forma de hacerlo. 00:09:23
si esto no estuviera escalonado 00:09:31
tendréis que hacer el método de Haus 00:09:34
y así podéis pasar la paramétrica 00:09:36
eso siempre se puede hacer 00:09:38
pero en algún momento os daré otra técnica 00:09:39
para sacar el vector director 00:09:42
entonces el ángulo 00:09:43
que forman la recta 00:09:46
R y la recta S 00:09:48
es el ángulo que 00:09:49
forman U y V 00:09:52
¿y cómo se calcula el ángulo que 00:09:54
forman U y V? 00:09:58
con el producto escalar 00:09:59
el coseno del ángulo que forma 00:10:04
volvemos al primer tema de geometría 00:10:07
es el producto escalar partido por el producto de los módulos 00:10:09
entonces tengo que hacer 00:10:13
1, 1, menos 1 00:10:19
producto escalar 00:10:23
2, 1, menos 1 00:10:25
y aquí abajo dividir entre los módulos 00:10:28
que son la raíz cuadrada de, bueno, está aquí, 1 al cuadrado más 1 al cuadrado más menos 1 al cuadrado 00:10:31
por raíz de 2 al cuadrado más 1 al cuadrado más menos 1 al cuadrado. 00:10:44
este producto sabéis que se hace 00:10:53
coordenada y coordenada 00:10:58
2 por 1 es 2 00:10:59
1 por 1 es 1 00:11:00
más menos 1 por menos 1 00:11:03
y aquí queda 00:11:08
partido por raíz de 3 00:11:10
por raíz de 00:11:12
4, 5, 6 00:11:15
o sea que queda esto 00:11:18
2 más 1 es 3 00:11:21
más 1 es 4 00:11:22
partido por raíz de 10 00:11:24
¿Sí? Entonces tengo el coseno del ángulo y hago si coseno de 4 partido por raíz de 18, acordaos de ese paréntesis, como la calculadora, tengo que hacer. 00:11:26
Pero tiene que estar la calculadora en grados, ¿os acordáis? 00:11:57
Mode, a ver, ¿dónde se pone esto? 00:12:00
A ver cómo, a ver si se está, aquí es en grados 3. 00:12:05
En la vuestra es con la tecla de mode, ¿sí? 00:12:13
Entonces ya se supone que está en grados, ¿no? 00:12:15
Pues le doy 6 coseno, abro paréntesis, 4 partido por raíz de 18. 00:12:17
Cierro paréntesis y sale 19,47. Bueno, pues pondría aproximadamente… ¿Perdón? Pues mira a ver cómo está hecho. Es que este 8 no sé si está fuera de la… No lo sé. Mira a la otra. 00:12:32
A ver, me parece que este es el resultado de esta base. Disculpad que aquí tenemos un problema con la calculadora. 00:13:01
A ver, sigo, coseno, agro paréntesis, 4 partido por raíz de 18. Cierro paréntesis, igual a, a ver, voy a darle a mover. 00:13:14
Podéis mirar en vuestra casa. 00:13:33
¿Te sale o no te sale? 00:14:02
Este tema es importante. 00:14:07
No sé si en casa. 00:14:22
¿Hay alguien en casa que lo haya comprobado? 00:14:28
¿Puedo decir cuánto le sale? Vamos, yo supongo que está bien, porque supongo que está bien. 00:14:30
¿Sale 21 grados? 00:14:43
Pues, a ver, voy a darle otra vez. 00:14:49
Mode, no, aquí, Setup, en esta Setup. 00:15:00
A ver, vamos a hacer lo siguiente. A ver, 4 dividido entre raíz de 18, ¿no? Le doy al igual, ¿no? Y ahora le voy a dar, si coseno, ah, bueno, 4 dividido entre raíz de 18. 00:15:05
No sé si lo estáis haciendo en casa alguien y si no, a ver si he colocado mal este paréntesis aquí. 00:15:30
19.47. 00:15:39
No, no, no, no, no. Aquí esto tiene que ser aquí. 00:15:43
Bueno, lo voy a mirar para la clase siguiente, a ver qué problema puede haber con la calculadora. 00:15:47
No sé muy bien qué puede ser, pero vamos, esto hay que solucionarlo. 00:15:56
Bueno, el siguiente tipo de ejercicio, que es el ángulo entre dos planos, ¿no? 00:16:01
A ver, el ángulo entre dos planos. 00:16:05
Os voy a hacer el esquema. 00:16:07
Yo tengo un plano así. 00:16:11
Y tengo un plano que lo corta de esta forma. 00:16:18
Así, ¿no? 00:16:28
Bueno, el dibujo que tenéis está mejor hecho del que estoy haciendo yo, por supuesto. 00:16:31
¿Sí? 00:16:43
Entonces, a ver. 00:16:44
Si yo tengo un plano, tiene infinitos ángulos. Yo no sé si lo veis. Si yo tengo un plano y tomo cualquier recta en este plano y cualquier recta en este plano, pues puedo decir que hay infinitos ángulos. 00:16:50
En vez de coger esa recta, puedo coger otra que está en este plano y esta aquí, ¿no? 00:17:09
Entonces, el ángulo se define como el menor de ellos. 00:17:13
Cuando veis esto de perfil, es este ángulo. 00:17:17
No es este de aquí. 00:17:20
Es el menor de ellos, ¿no? 00:17:22
Y para determinarlo, lo más sencillo es coger el vector perpendicular a cada plano 00:17:25
y así se ve perfectamente que el ángulo que forman esos vectores perpendiculares 00:17:30
Y este vector perpendicular es el mismo que forma el plano. 00:17:39
El dibujo está mejor hecho, pero no sé si lo entiendes. 00:17:45
O sea, si este es n1, este es n2, este es el plano pi2, que tiene vector perpendicular n2. 00:17:47
Y tenéis el plano pi1, que tiene vector perpendicular n1, el ángulo que forma pi1. 00:17:59
sentidos 00:18:05
el ángulo que forman 00:18:06
sus vectores normales, sus vectores 00:18:09
perpendiculares. 00:18:11
A ver, no. 00:18:19
Es un criterio parecido a los que 00:18:21
hacemos con la posición relativa. 00:18:23
Sí, o sea, es un razonamiento 00:18:25
análogo, pero no es como la 00:18:27
posición relativa. Entonces, 00:18:29
vamos a hacer esto. 00:18:31
Para esto, si tenéis el resumen, 00:18:33
lo tenéis todo muy facilito, 00:18:35
Porque, ¿no? Si os piden determinar el ángulo que forman estos dos planos y sabéis directamente, vamos, el razonamiento es mejor que lo sepáis porque así no hace falta que memoricéis cosas. 00:18:36
Pero también hay que mecanizar las cosas que entendéis, ¿sí? 00:18:50
Entonces, este ejercicio es muy facilito de hacer. ¿Por qué? 00:18:55
¿Cuál es el vector perpendicular a este plano? 00:19:00
El 3 menos 1, 2. 00:19:04
¿Cuál es el vector perpendicular al otro plano? 00:19:13
2, 1 menos 5. 00:19:17
O sea que el ángulo que forma pi1 y pi2 es el ángulo que forman n1 y n2. 00:19:21
Y de nuevo voy a hacer lo mismo. 00:19:35
El coseno del ángulo que forman n1 y n2 es el producto escalar partido por el producto de los dos módulos. 00:19:40
que será 3 al cuadrado más menos 1 al cuadrado más 2 al cuadrado por 2 al cuadrado más 1 al cuadrado más menos 5 al cuadrado. 00:20:10
Esto lo voy a hacer directamente. Voy a poner 6 menos 1 menos 10. 00:20:35
Y en el denominador me queda 9 y 1, 10. Aquí queda raíz de 14. Y aquí 4 y 1, 5 más 25, 30. O sea, que sale 5, aquí sale menos 5 partido por raíz de 130. De 130 no, de 420. 00:20:44
¿Sí? Entonces aquí tengo que hacer 6 coseno de menos 5 partido por raíz de 420 y a ver si nos sale. 00:21:09
Bueno. X coseno de menos 5 dividido entre la raíz de 420. Cierro. Se está encerrado. Aquí. Cierro y sale. ¿Sale eso? 00:21:24
Bueno, 104, ¿no? Aproximadamente 104 grados. A ver, pues me he equivocado aquí. No, nos hemos equivocado aquí los dos. A ver, vamos a ver. 3 menos 1, 2. 3 menos 1, 2. Y aquí, 2, 1 menos 5, ¿no? 00:21:50
entonces, aquí sería 00:22:17
9, 10 00:22:20
es 12, ¿no? 00:22:22
no, es 14 00:22:26
9, 9, 10, 14 00:22:27
y aquí 5 y 5, 10 00:22:28
y 5, 30 00:22:30
entonces, 3 por 4, 12 00:22:32
3 por 1, 4, 4, 120 00:22:34
y arriba es 00:22:36
menos 1, 5 00:22:40
¿sabes qué está pasando hoy? 00:22:43
No lo entiendo. Que sale 74 grados. A ver, primer setup. Le doy a grados y igual. A ver si va a ser esto. A ver. 00:22:46
Sí, coseno de menos 5 dividido entre la raíz de 420. Eso vale 504. 00:23:21
A ver, cuando ocurre una cosa de estas, yo me meto aquí. Efectivamente, me voy a meter en GeoGebra y vamos a ver qué está pasando aquí. 00:23:38
Sí, sí, sí, sí, está claro. Entonces, nos vamos a iniciar la calculadora. ¿Tienes los datos? 00:23:54
el primer plano es 00:23:59
a ver, lo voy a poner 00:24:05
es 3x menos y 00:24:13
más 2z 00:24:15
menos y 00:24:19
más 2z 00:24:20
vale 00:24:23
y más 2z, ¿qué más? 00:24:24
y, a ver 00:24:31
2y más 2z más 1 00:24:33
igual a 0 00:24:42
¿Qué era? ¿Más o menos? 00:24:59
Más 2Y menos Z más 1, ¿no? 00:25:03
Es igual a 0. 00:25:08
Vale. 00:25:12
No, es 3X menos Y más 2Z. 00:25:14
3X menos Y más 2Z. 00:25:23
3X menos Y más 2Z. 00:25:30
2z más uno igual a cero. 00:25:36
Y ahora, a ver, ahora, ahora, a ver, y ahora, 2, 1, menos 5, menos 1. 00:25:45
No se ve, pero no pasa nada. 00:26:09
Y ahora voy a poner, bueno, a este le voy a cambiar el nombre, si me deja. 00:26:11
Bueno, es igual. 00:26:16
Ahora, ángulo que forma dos objetos, que son plano y plano, ¿no? 00:26:17
El 1 y el 2. 00:26:28
101,4. Está bien lo que tengo. 00:26:34
101,4, sí. 00:26:37
101,4, si está todo bien copiado. 00:26:40
Entonces están bien hechos los cálculos que tengo. 00:26:44
Luego intentamos investigar qué pasa con la calculadora. 00:26:46
Y en casa, esto está mal. Aquí está comprobado que el origen cebra que está bien. En caso de duda, pues hacemos esto con el círculo. 00:26:49
Bueno, ahora, el siguiente. Vamos, ángulo entre rectas es ángulo que forma los vectores directores. O sea, primero los conceptos y luego que salgan los cálculos. 00:27:05
¿Vale? 00:27:17
Ángulo entre plano y plano es el ángulo que forman los vectores perpendiculares. 00:27:19
Y ahora, atención. 00:27:24
Creo que no voy a hacer el dibujo porque aquí se ve mejor. 00:27:26
Si yo tengo una recta y un plano, ¿sí? 00:27:29
Este es el ángulo que forman. 00:27:34
Se supone que es el más pequeño, ¿no? 00:27:36
De todos los posibles que hay, ¿sí? 00:27:38
Es este de aquí. 00:27:41
Si yo trazo el vector perpendicular, yo puedo calcular este ángulo, ¿no? 00:27:42
Bueno, pues el ángulo es 90 menos el que nos abra. 00:27:47
Esto ponerlo en algún sitio en vuestro resumen, 00:27:52
porque tenéis que hacer el que se llama el complementario del ángulo. 00:27:56
No sale el ángulo directo, entonces tengo una recta y un plano. 00:28:00
Bueno, aquí el dibujo no es demasiado complicado. 00:28:14
Dibujo el vector normal. 00:28:18
Calculo el vector normal, ¿no? 00:28:21
Este es el vector normal al plano pi. 00:28:25
Y este ángulo es el que forma V y N. 00:28:28
Pero yo quiero este que es 90, ¿no? 00:28:37
Si este ángulo lo llamo alfa, yo quiero es calcular este ángulo que es 90 menos alfa, ¿no? 00:28:41
Si tenéis la idea mejor, pero si también hay cosas que de vez en cuando, pues de hacerlas varias veces se me caen. 00:28:47
Entonces, ¿cuál es el vector director de esta red? 00:28:55
A ver, podéis hacerle de dos formas. 00:29:01
Uno está pasando a paramétricas. 00:29:05
¿Cómo paso yo esto a paramétricas? Escalonando, ¿no? 00:29:07
Si yo tengo aquí x más y igual a 1, 00:29:10
por ejemplo, a la segunda ecuación le resto la primera, 00:29:15
me queda x menos x, cero. 00:29:21
Menos y menos y, menos 2y. 00:29:25
Y uno menos uno, cero. Entonces, atención. Yo resuelvo esto. De aquí me sale que y es igual a cero. Si yo sustituyo aquí, ¿qué me sale aquí? Que x es igual a uno. 00:29:28
zeta puede tomar cualquier valor 00:29:47
entonces el punto 00:29:54
es 1, 0, 0 00:29:58
y el vector director 00:29:59
¿cuál es? 00:30:01
el 0, 0, 1 00:30:06
¿entendéis esto? 00:30:08
la primera columna es 1, 0, 1 00:30:17
y la segunda columna 00:30:19
que es la de la zeta es 0, 0, 1 00:30:21
¿vale? 00:30:23
por eso siempre lo pongo en columna. Esta es una forma para mí bastante sencilla de hacer el vector y vectora. 00:30:25
Hay otra que es con el producto vectorial que se puede hacer y a mí me da de mejoros las cosas. 00:30:31
Ahora, esto ya tengo el vector y el vector n es muy fácil de calcular. ¿Cuál es el vector normal? 00:30:37
Raíz de 3, 0, menos 1. Es coeficiente de x, de y, de z. 00:30:47
Entonces, el ángulo que forman I con R es 90 grados menos el ángulo que forman U y N. 00:30:57
Entonces, aquí tengo que hacer el ángulo que forman U y N. 00:31:13
El coseno del ángulo que forma u y n es su producto escalar, que es 0, 0, 1. 00:31:19
Producto escalar, redondelito, raíz de 3, 0, menos 1. 00:31:29
Y abajo, pues pondría raíz de 0 al cuadrado, más 0 al cuadrado, más 1 al cuadrado. 00:31:35
Lo escribo todo por raíz de 3 al cuadrado más 0, más menos 1 al cuadrado. 00:31:41
Aquí me queda 0 por raíz de 3, 0, 0 por 0, 0, 1 por menos 1, 2. 00:31:55
En el denominador me queda raíz de 1, que es 1, por la raíz de 9 más 1, que es 10. O sea, menos 1 partido por raíz de 10. 00:32:01
Entonces, el ángulo que forman u y n es, tengo que hacer, 6 coseno de 1 partido de menos 1 partido por raíz de 10. 00:32:18
Y esto sale, no sé si me he equivocado aquí en alguna cuenta. 00:32:39
A ver, con la calculadora sale. 00:32:47
Sí. 00:33:03
Por seno. 00:33:04
Y tenemos un segundo en las cuentas. 00:33:06
Un partido. 00:33:11
Raíz de 10. 00:33:13
Sale 108. 00:33:21
¿Sale 108? 00:33:22
Yo creo que estás con grados y con grados, no con D. Estoy casi seguro. 00:33:27
Creo que ya hemos encontrado el error. Bueno, aproximadamente sale 108 grados. 00:33:31
Aproximadamente 00:33:52
Sabe 00:33:55
108 grados 00:33:55
Pues la solución de nuevo está mal 00:33:58
¿Ya ha salido? 00:34:00
Bueno, menos mal 00:34:03
Bueno, entonces salo 00:34:04
90 menos 00:34:05
108 grados 00:34:10
Que queda 00:34:12
18 grados 00:34:13
De todas formas, aquí 00:34:16
Decidme si me he equivocado 00:34:17
En algún sitio, porque yo estoy casi seguro 00:34:20
de lo que me ha preparado para que me saliera 00:34:22
esto. 00:34:25
Creo que ya sé qué es esto de aquí. 00:34:26
Bueno, entonces 00:34:35
esto sale menos 18 grados. 00:34:36
Bueno, sabéis 00:34:39
que es lo mismo 18 grados 00:34:40
que menos 18 grados, ¿no? 00:34:42
Porque nunca se sabe si estáis calculando el ángulo 00:34:44
de... Entonces, bueno, 00:34:46
este es el resultado. 00:34:48
Depende 00:34:54
si estáis haciendo 00:34:54
el ángulo que forma 00:34:56
la recta con el plano 00:35:00
o el que estáis haciendo del plano 00:35:02
con la recta, ¿no? 00:35:04
O sea, que esto podéis decir que es de 18 grados. 00:35:06
¿Sí? 00:35:09
Bueno, de todas formas, 00:35:10
creo que 00:35:12
ya sé por qué está mal el resultado 00:35:14
que puse y, vamos, creo que 00:35:16
las cosas nos están saliendo bien hoy 00:35:18
y que ya hemos encontrado 00:35:20
los fallos. 00:35:22
¿Vale? Bueno. 00:35:24
No, creo que es un error de un coeficiente que había puesto ahí que se ha meditado. 00:35:25
Bueno, continuamos porque nos quedan un poco más de 15 minutos y nos quedan todavía los cálculos de distancias. 00:35:35
Bueno, el cálculo de distancia entre dos puntos está quitado. 00:35:43
Porque sabéis que la distancia entre dos puntos es el módulo del vector que une uno de los dos con el segundo. 00:35:46
Entonces, yo tengo la distancia entre dos puntos, tomo el vector PQ y la distancia de PQ es el módulo del vector que une PQ. 00:36:00
Bueno, entonces, directamente, a mí me gusta hacerlo directamente. La distancia de P a Q es, el módulo sabéis que es la raíz cuadrada. ¿Cómo calculáis el vector PQ? 00:36:18
Extremo menos origen, ¿no? Menos 2 menos 1 al cuadrado, más 3 menos 0 al cuadrado y 1 menos menos 1 al cuadrado. 00:36:32
Esto lo hacéis. Queda 9 más 9, 18 más 4, 22. O sea, raíz de 22, como no sé el exacto, lo dejo así. Y esto se escribe o así o así. 00:36:50
Raíz de 22 unidades o unidades de longitud. Cuando sean de superficie se pone un cuadrado o un ds. Unidades de superficie, ¿no? 00:37:09
Bueno, pues este, como veis, muy rápido, muy sencillo. Estaba mirando a ver si había puesto el resultado, pues si había algún problema, pero este problema no tiene más. 00:37:18
Bueno, el siguiente. A ver cuál es. Distancia de punto a recta. 00:37:40
Bueno, la distancia de un punto a una recta se basa en una cosa muy bonita. Vamos a ver. 00:37:47
Entonces, si yo tengo un paralelogramo, yo sé que esto es la altura, ¿verdad? Y que el área de este paralelogramo, si este es u y este es v, esto tenéis que recordarlo del tema primero de vectores, que el producto escalar, el producto vectorial, si hacéis el módulo, es el área del paralelogramo. 00:37:55
Entonces, vosotros sabéis que el área de un paralelogramo es base por altura, ¿verdad? Y a que la altura es el área dividida entre la base. El área del paralelogramo es el módulo de u por v, producto vectorial. 00:38:26
¿Y la base a qué es el módulo de V? 00:38:53
Pues ya está eso. 00:38:59
Esa es la fórmula. 00:39:01
Os la podéis aprender también. 00:39:04
La distancia es... 00:39:07
Hay una cosa que no he puesto, ¿verdad? 00:39:10
Es que este es un punto de la recta 00:39:13
y este es el punto desde el que quiero calcular la distancia. 00:39:17
¿Sí? Entonces, estos son los datos. 00:39:24
U, V, V, U, que es el vector AP, ¿no? 00:39:28
¿Sí? 00:39:40
¿Sí? 00:39:41
no hay distancia entre un vector y un punto 00:39:41
eso no existe 00:39:58
vale, bueno entonces 00:39:59
vamos a tomar los datos del ejercicio 00:40:02
que es ese punto 00:40:08
y esa recta 00:40:11
Entonces, como antes, necesito un punto y un vector director. 00:40:16
Para hacer aquí el punto y el vector director, aquí puedo despejar, como aquí está y y aquí está y, puedo poner que x es 7 menos 2y. 00:40:22
Aquí que y, ya veremos que vale, y que z es 4 menos y dividido entre 2. 00:40:32
Si yo divido entre 2, me queda aquí, en vez de 4, 2, y aquí me queda menos 1 medio por pi. 00:40:47
Y, como sabéis, que la i puede tomar cualquier valor, pongo i igual a i. 00:40:56
Entonces, un punto, que lo tengo que llamar a, es el 7, 0, 2. 00:41:03
7, 0, 2. 00:41:10
Y un vector es el menos 2, 1, menos 1 medio. 00:41:11
Pero no sé si os acordáis del otro día que con los puntos no se puede hacer, pero yo puedo tomar un vector proporcional que sea el doble, el menos cuatro, dos, menos uno, y operar con él. 00:41:20
Porque yo necesito un vector directo, cualquiera, y voy a elegir el que no tenga denominadores. 00:41:33
Y ahora, recordamos el tema de vectores, el producto vectorial de u por v, bueno, perdonad, entonces aquí me queda que el vector AP son las coordenadas de P menos las de A, ¿no? 00:41:40
16 menos 7, 9. 0 menos 0, 0. Y 0 menos 2, menos 2. 00:42:00
¿Sí? Entonces, el producto vectorial, recordad que se hace con un determinante, bueno, aquí cada uno que lo haga como, tengo que colocar el vector, menos 4, 2, menos 1, y aquí 9, 0, menos 2. 00:42:08
Esto queda, menos 4i, menos 9j, más 0, menos 18k, 0 y aquí menos 4 por menos 2, 8, o sea, menos 8j. 00:42:30
O sea, que me sale el vector menos 4, menos 17, menos 18. 00:42:51
¿Sí? ¿Algún problema? 00:43:02
A ver, para hacer el producto vectorial se hace el de T. 00:43:08
¿Sí? ¿De qué? De IJK con los dos vectores. 00:43:12
Los vectores son menos 2, menos 4, 2, menos 1, que es el de la recta, y el vector AP, que es el 9, 0, menos 2, que es este de aquí. 00:43:17
¿Perdón? 00:43:30
Si aparece, porque es el vector AP, necesito hacer el vector AP. 00:43:36
Y el vector AP es el 9, 0, menos 2, extremo menos origen. 00:43:42
¿No? 00:43:46
me estás haciendo dudar 00:43:46
el vector AP está bien calculado 00:43:49
me estás haciendo dudar 00:43:53
a ver, es 7 00:43:55
7, 0, 2 00:43:57
y el punto es 00:44:01
si 16 menos 7, 9 00:44:02
0 menos 0, 0 00:44:04
y 0 menos 2, menos 00:44:05
vale, entonces 00:44:07
la altura 00:44:09
es el área de la base 00:44:11
que es el módulo del producto 00:44:14
vectorial que es la raíz de 00:44:16
Menos 4 al cuadrado, más menos 17 al cuadrado, más menos 18 al cuadrado, partido por el módulo del vector v, y el vector v es este de aquí. 00:44:18
Raíz de menos 4 al cuadrado, más 2 al cuadrado, más menos 1 al cuadrado. 00:44:35
Todo esto se hace con la calculadora. A ver, el primero sería 16 más 289 más 324, que sale 629. Y en el denominador queda 16 más 420 más 121. 00:44:44
bueno, esto es puesto como una fracción 00:45:14
es 629 partido por 21 00:45:18
y vamos a ver si esto se puede simplificar 00:45:20
no, se puede simplificar, bueno, pues lo de estar 00:45:23
y pongo que son unidades de longitud 00:45:35
¿vale? pues continuamos 00:45:39
como veis, clase expresita para variar 00:45:44
si está bien, ¿no? bueno 00:45:50
el segundo resultado que nos coincide aún 00:45:52
bueno, entonces continuamos 00:45:55
Este, si os acordáis de la geometría de primero, es muy sencillo, porque en la geometría de primero la distancia de punto a recta era sustituir el punto en la recta y dividir entre el módulo del vector normal. 00:45:59
Pues esto es lo mismo, pero añadiendo una coordenada más. O sea, este es mecánico. 00:46:13
Este lo vamos a hacer muy rapidito, porque se hace así. Vamos, el que quiera ver la demostración está en el libro. 00:46:19
simplemente es 00:46:25
la distancia del punto A 00:46:29
el plano pi 00:46:31
consiste en sustituir el punto en el plano 00:46:34
x vale 1 00:46:38
menos i que vale 2 00:46:40
más 3 por z que es menos 1 00:46:43
más 2 00:46:47
como es posible que esto quede negativo 00:46:48
se pone en valor absoluto 00:46:51
Y en el denominador pongo los coeficientes, pues 1 al cuadrado más menos 2 al cuadrado más 2 al cuadrado, más 3 al cuadrado, efectivamente. 00:46:53
Entonces, esto lo hago, 1 menos 5 menos 4 menos 7 más 2, valor absoluto de menos 5, y aquí me queda 9 y 4, 13, 14. 00:47:08
Bueno, pues esto queda 5 partido raíz de 14. No es necesario racionalizarlo. Si queréis racionalizarlo, queda más bonito. Y ya está, directo. Vamos a comprobar el resultado. 00:47:21
No, este no lo tengo. Pero como veis, esta cuenta es muy sencillita y si os acordáis de la geometría de primero, pues es una extensión a la geometría del plano a la de los espacios. 00:47:37
Bien, este es un ejercicio bastante bonito. Voy a ver qué es lo que nos queda. Vale, distancia entre planos, distancia entre plano y recta. A ver, ese ejercicio os lo dejo porque hay un montón de posibilidades. 00:47:51
Bueno, entonces, a la distancia entre dos planos, que sean paralelos. ¿Qué pasa si no son paralelos, dos planos? Que se cortan, ¿no? Y dos planos que se cortan, su distancia es cero, porque la distancia entre dos planos es la mínima de todas las distancias posibles. 00:48:18
Si se cortan en un punto, la distancia entre esos dos puntos es cero, porque es el mismo, ¿vale? Si se cortan, su distancia es cero. Bueno, entonces, voy a coger este plano y este otro. Bueno, sí. 00:48:39
copiar 00:48:55
a ver, distancia entre estos dos planos 00:49:04
bueno, creo que está muy claro 00:49:07
que son paralelos 00:49:09
creo que está muy claro 00:49:10
que son paralelos, porque 2 00:49:13
dividido entre menos 4 es igual 00:49:14
a 3 dividido entre menos 6 00:49:17
igual a 5 dividido entre 00:49:19
menos 10, ¿no? 00:49:21
entonces son paralelos 00:49:22
y ahora, elijo un punto de aquí 00:49:24
A ver, yo por ejemplo 00:49:28
Yo lo voy a hacer a ojo 00:49:39
Si la y vale cero 00:49:41
Y la z vale cero 00:49:44
Esto me queda exacto, ¿verdad? 00:49:45
Pues si a la y 00:49:48
Me invento el valor de y 00:49:49
Cero, y de z es igual a cero 00:49:51
Si yo puedo despejar la x es un punto del plano 00:49:53
¿No? 00:49:56
Me queda 2x más 6 00:49:57
En el plano alfa 00:49:59
2x más 6 es igual a 0, ¿no? 00:50:02
O sea que 2x es igual a menos 6, con lo cual x es menos 3. 00:50:05
Pues un punto de alfa es el menos 3, 0, 0. 00:50:11
Me da igual cuál coja. 00:50:17
Si tengo dos planos paralelos, la distancia entre los dos planos es la distancia de cualquier punto a este plano. 00:50:20
O sea, la distancia entre los planos alfa y pi es la distancia entre el punto P y el plano pi. 00:50:27
Y hago la fórmula. Sustituyo 2 por menos 2. Perdón, perdón. 00:50:38
Tengo que sustituir en el plano de abajo. 00:50:45
Menos 4 por menos 3. 00:50:48
Menos 6 por 0. 00:50:51
Menos 10 por 0. 00:50:54
más 8, por si sale negativo 00:50:55
en valor absoluto, y partido por 00:50:58
la raíz cuadrada del vector normal, que es 00:51:01
menos 4 al cuadrado, más menos 00:51:04
6 al cuadrado, más menos 10 al cuadrado 00:51:07
esto sale 136 00:51:11
152 00:51:16
que da en el denominador 00:51:18
y aquí quedaría 3 por 4, 12 más 8, 20 00:51:19
vale, lo hago rápido porque 00:51:24
Os quedan dos momentos. Bueno, que sepáis que este es sencillo. Distancia entre dos planos paralelos es distancia de punto a plano que ya lo sabéis. 00:51:29
Bueno, si queréis poner, ahí pone aproximadamente 1,62. ¿No? Pues lo comprobáis a ver si sale eso, ¿vale? 00:51:43
entre un plano y una recta si no son paralelos un punto y una recta también se corta entonces 00:51:52
distancia este no lo voy a hacer porque es muy fácil escoger un punto de la recta y de 00:52:04
nuevas distancias de punto ampliado vale es muy parecido al anterior parecido de todo esto se 00:52:12
dejado tutoriales y es que queda uno que es la distancia entre dos rectas cuando sean paralelas 00:52:22
y aquí hay dos aquí hay dos posibilidades las rectas son paralelas si la distancia entre las 00:52:29
dos rectas la distancia entre un punto y una recta y esto ya lo hemos hecho sí entonces esto es 00:52:40
es distancia 00:52:51
de un punto 00:52:58
que ya lo hemos hecho. 00:52:59
Lo hemos hecho. 00:53:05
Y bueno, 00:53:08
por dejar todo más o menos 00:53:09
visto, ya sabéis 00:53:11
cómo es esto, 00:53:13
¿no? 00:53:14
Entre dos rectas 00:53:20
paralelas. A falta entre dos rectas 00:53:21
que se cruzan que debo haberlo dejado 00:53:23
para las siguientes. 00:53:25
De todas formas, veáis que el abanico es muy grande. Una cosa, todo esto es lo que hemos visto en clase, estos tutoriales. ¿Los veis todos estos? Echarle una afeada a estos dos porque también tenemos que hablar de esto. 00:53:27
Como veis, todo esto son todas las posibilidades de ejercicios deslizados. Y estos son ejercicios de áreas y volúmenes que ya vimos en el tema de lecturas. Como veis, el tema es intenso, tiene muchos cálculos, pero a medida que vayáis tomando confianza, que sepáis los resúmenes, sabréis más fácilmente localizar de qué tipo es un ejercicio y cómo se hace. 00:53:44
Hola, ¿cómo estáis? Bueno, pues voy a detener esto. 00:54:13
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
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Fecha:
12 de marzo de 2024 - 11:43
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LOPE DE VEGA
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