mate_16_marzo

Así que, en primer paso, nos darán una curva, y esa curva o bien pertenecerá a R3, o bien pertenecerá a R2, ¿vale? 00:00:03

Dada esa curva, lo primero que tenemos que hacer es parametrizar la curva. 00:00:35

Así que tendremos que poner X, Y y Z en función de algún parámetro, ¿vale? 00:00:51

Voy a llamar a t de esta manera, lo pongo de la manera R3, si estamos en R2, pues no existe la zeta, solo tendríamos x y y, y t será un parámetro que tomará valores reales, los que sean, normalmente siempre estarán comprendidos entre un intervalo que voy a llamar t sub 0, t sub f. 00:00:59

Muy bien 00:01:35

Siempre que tengáis 00:01:41

La curva 00:01:44

Y os hayáis hallado la parametrización 00:01:46

Tenéis que hacer el siguiente paso 00:01:48

Siempre 00:01:49

Hay que derivar la parametrización 00:01:50

Así que el siguiente paso 00:01:54

Le tengo que hallar esto 00:01:55

Que es 00:01:57

La derivada 00:02:00

Respecto del parámetro 00:02:01

De cada una de nuestras componentes 00:02:06

Y veréis que para una de las integrales de línea, no solo tengo que hallarme la derivada de la parametrización, 00:02:09

sino que también me tengo que hallar el vector norma de esta derivada de la parametrización. 00:02:21

Así que esto también hay que calcular solo a veces. 00:02:28

Y ya sabemos cómo me daño la norma de un vector. 00:02:34

cada una de sus componentes elevada al cuadrado y dentro de la raíz cuadrada. 00:02:41

Bueno, pues esto entenderlo siempre como el previo. 00:02:50

Y entonces ahora vienen las dos integrales que tenemos. 00:02:53

Voy a poner la primera, hacemos un ejemplo sencillo, 00:03:04

ponemos la segunda, hacemos un ejemplo sencillo, ¿vale? 00:03:07

Y luego os cuento varias aplicaciones y un teorema muy importante 00:03:10

y así te traeré de niño cuando lo hagamos la semana que viene. 00:03:14

de las parametrizaciones que podéis encontrar. La primera, hay curvas que tienen parametrizaciones 00:03:17

buenas y todas las demás una mierda. Por ejemplo, la circunferencia. La circunferencia 00:03:32

siempre se parametriza de una buena manera y es utilizando la trigonometría. Uno dice 00:03:37

que x es r por coseno 00:03:42

que y es r por cero 00:03:44

¿vale? 00:03:47

no otra porque 00:03:48

si hacéis cualquier otro tipo de 00:03:50

parametrización, tened en cuenta que en la ecuación 00:03:52

de la circunferencia tenéis 00:03:54

x cuadrado más y cuadrado 00:03:56

en cuanto yo intente respetar la x o la y 00:03:58

arrastro una raíz cuadrada 00:04:00

y todos sabemos que meter una raíz cuadrada 00:04:02

dentro de una integral es de lo peor de todo 00:04:05

por eso esto 00:04:07

esto es lo que me puede 00:04:08

colgar una integral 00:04:11

Si esto de aquí me resulta la raíz cuadrada del número 8, pues no hay problema, porque 00:04:12

la raíz cuadrada de 8 sale un bambú por la derecha, pero si esto termina siendo la 00:04:17

raíz cuadrada de 1 más t cuadrado, vamos a tener un problema. 00:04:21

Claro, eso no depende de nosotros. 00:04:25

Luego hay una parametrización que podemos llamar estándar. 00:04:29

Esa es la que siempre podéis utilizar, porque funciona para toda la curva, pero os podéis 00:04:34

Cuando explique ahora en el tercer punto 00:04:39

Integrales de línea de campos vectoriales 00:04:47

Voy a insistir muchísimo 00:04:51

En que una integral de línea de un campo vectorial 00:04:52

Se puede hacer de tres formas distintas 00:04:55

Ojo 00:04:58

Yo manejo tres maneras de hacer 00:04:59

Pero no siempre voy a poder utilizar las tres 00:05:01

Bueno, pues hay incluso veces en el que 00:05:04

La misma integral en un problema 00:05:06

Podría encarar de las tres maneras 00:05:08

Así que no cojáis o matéis alguno, que lo sé, ya yo aprendo esta. Porque luego ahí te dicen, apartado uno, esta. Apartado dos, lo mismo por aquí. Apartado tres, lo mismo por aquí. 00:05:09

Y claro, tú solo te has aprendido una, ha dejado las otras dos maneras y te están cazando. ¿Vale? Así que hay que saber todo. 00:05:22

Hacerlo de todas las maneras posibles, todas las integrales posibles. 00:05:29

¿Vale? 00:05:32

Una vez que hemos hecho esto, que es los diez primeros minutos que tardamos y por eso no me da ningún punto, 00:05:33

Empezamos a escribir. 00:05:39

Integral de línea para campo de escalas. 00:05:40

O sea, yo me entiendo que sí. 00:05:46

Cada uno de vuestros profesores va a escribir esto de una manera distinta. 00:05:54

C, por la curva. 00:06:04

Como la llave. 00:06:06

También utilizan muchas letras griegas que es gamma, sigma, lo que sea. 00:06:07

lo que sea, f minúscula, porque yo os he dicho que tengo yo todos los campos escalares, los todos minúsculos, y aquí pueden poner diferencial de m, diferencial de r, diferencial de s, lo que les quiera, el enunciado empezará, calcula la integral de línea, pues ya lo sabes, ¿vale? 00:06:11

Entonces, esa integral es jorobada de narices 00:06:26

Yo parametrizo la curva 00:06:29

Hago todo esto 00:06:31

Y entonces la integral que yo hago es esta 00:06:32

Hago la integral 00:06:34

Entre t sub 0 00:06:37

Y t sub f 00:06:39

Que o me lo dan ellos 00:06:40

O lo tengo que buscar yo 00:06:43

De 00:06:45

Sustituyo la parametrización 00:06:45

En el campo 00:06:52

F me va a dar 00:06:53

El profesor me va a decir 00:06:55

esto en función de x, y y z, pero yo x, y y z ya lo tengo puesto en función de t, así que cojo x y sustituyo, x, y, z, aquí ya solo hay t's, no puede haber ni x, ni y, ni z, solo puedo tener t's, ¿vale? 00:06:56

y lo multiplico por esto 00:07:12

y esta integral de la derecha 00:07:14

es una integral de matiz 1 00:07:23

así que puede pasar 00:07:24

de todo 00:07:28

por partes, cambio de variable, ser una chorrada 00:07:29

todo 00:07:32

así está el tema y preguntan 00:07:33

todo, o sea, no les va a temblar 00:07:36

el pulso si de repente meten la integral 00:07:38

cambio de variable, no sé qué 00:07:40

es vuestro problema, no se sube 00:07:43

y me he encontrado de todo 00:07:46

me encantaría decirlo, nada, no preocupéis 00:07:48

al final es un tebro polinomio 00:07:50

os estaría mintiendo, ¿vale? 00:07:51

Sí que es cierto que un problema largo 00:07:54

donde se están preguntando muchas cosas 00:07:56

no aprieta hasta el... 00:07:57

¿vale? Pero sí que hay otras veces 00:08:00

algunos de vuestros profesores que se ponen 00:08:02

creativos y de repente 00:08:04

tengo que apuntar aquí y a ver, ¿tengo que hacer esto? 00:08:06

A ver, por partes. 00:08:09

Bueno, por partes se lo tolera y lo preguntamos con una. 00:08:10

Entonces, por partes cae sí o sí. 00:08:12

¿Cambios de variable? 00:08:15

Pues a ver si me caigo también de variable. 00:08:16

Sobre todo, mucha, mucha 00:08:18

pero a veces no es tanto el cambio de variable trigonométrico sino, como habéis visto, utilizar las fórmulas de trigonometría. 00:08:19

De repente me encuentro aquí coseno a la cuarta de dos tila. Y tú, ahora tengo un integral coseno a la cuarta. 00:08:26

Me tengo que acordar del cambio a azul o doble, meterlo, elevarlo a la cuarta, desarrollarlo... 00:08:32

Y a veces me tiro más echando la cuenta de los números que haciendo la integral. 00:08:37

Eso también lo tenéis que medir, porque veis el calculador. 00:08:41

¿Vale? 00:08:45

Y al final es un tercio más un quinto más uno de qué. 00:08:45

¿Vale? 00:08:49

Bueno, pues esta es la primera. 00:08:50

Campo, escalar. 00:08:52

Hay una aplicación que os van a pedir que es esta. 00:08:54

Longitud de la curva. 00:08:58

A mí me dan una curva, la que sea, y me dicen, cálculate la longitud de esa curva. 00:09:07

Desde aquí hasta aquí. 00:09:12

Siempre la tenéis que hacer a través de este intervalo. 00:09:14

Pero entonces no haga F. 00:09:16

F es siempre el número uno. 00:09:18

Así que cuando yo tenga que hallar la longitud de una curva, tengo que hacer esta integral. 00:09:21

Por tanto, yo me paso a integral de línea de campo escalar y tengo que hacer esta integral. 00:09:31

Ahora no tengo que sustituirlo en ningún sitio porque es el número 1, así que solo tengo la norma. 00:09:45

Un ejemplo de esta aplicación súper sencillo, para que veáis, y así os pongo las primeras parametrizaciones. 00:09:52

Hoy haremos, por reina de lobo, ¿verdad? 00:10:08

Ejemplo de este, muy fácil. 00:10:12

La longitud de una curva. 00:10:15

Mira, siempre nos han dicho que la longitud de una circunferencia... 00:10:41

Pues vamos a ver si es verdad. 00:10:44

Entonces, yo tengo una circunferencia, frana, ¿vale? 00:10:49

Y no me complico la vida y la pongo en el plano XY, 00:10:52

porque que cambie la circunferencia en la curva en vertical, o en oblicuo, o lo que sea, 00:10:55

no va a cambiar la longitud. 00:11:00

Así que no me complico la vida. 00:11:01

parametrización 00:11:02

de una circunferencia 00:11:04

de radio R 00:11:06

y la parametrización que voy a poner va a Misa 00:11:07

es la que tenéis que utilizar siempre 00:11:09

para una circunferencia 00:11:11

para otra cosa más, ¿vale? 00:11:14

como el radio es R 00:11:16

hacéis esto 00:11:18

R coseno de T 00:11:19

R seno de T 00:11:26

¿vale? 00:11:28

y ahora T 00:11:30

T es el parámetro 00:11:33

Yo quiero dar una vuelta entera a la circunferencia 00:11:35

Luego tendré que hacer que t vaya de 0 a 2pi 00:11:39

Como veis aquí, es un problema donde no me han indicado los valores de t 00:11:43

Ni de dónde a dónde tengo que ir 00:11:47

Pero uno dice, bueno, utilizo la lógica 00:11:49

Si es toda la lógica de la circunferencia, pues t 00:11:50

Vamos 00:11:53

0, 2 00:11:55

Siguiente paso que tengo que calcular 00:11:59

c' de t 00:12:02

Necesito la derivada de la parametrización 00:12:04

Derivada 00:12:10

Siguiente cosa que necesito calcular 00:12:14

La norma de la derivada de la parametrización 00:12:20

Y aquí es donde uno respira tranquilo 00:12:38

Porque nos queda 00:12:41

R cuadrado seno cuadrado 00:12:43

Más R cuadrado coseno cuadrado 00:12:45

R cuadrado 00:12:48

Dentro de la raíz cuadrada 00:12:49

Se va la raíz cuadrada con el cuadrado 00:12:51

Y me queda R 00:12:53

Así que al final la norma es un número 00:12:54

Lo que valga para mí, mejor para nosotros 00:12:58

Y ahora aplico eso de ahí abajo 00:13:01

Yo quiero hallarme la longitud de C 00:13:03

Aprovecho 00:13:07

Y hago lo siguiente 00:13:11

Porque es una jerga que voy a utilizar 00:13:12

Y que utilizan vuestros profesores 00:13:14

Siempre que os pongan una curva cerrada 00:13:15

Os, bueno, siempre 00:13:18

Si os ponen una curva cerrada 00:13:19

O una superficie cerrada 00:13:22

Es muy habitual hacer esto en integral 00:13:24

Se le pone un redondelito 00:13:26

Y entonces uno sabe que la curva está cerrada 00:13:30

¿Vale? 00:13:32

Una circunferencia es una curva cerrada 00:13:33

Una elipse es una curva cerrada 00:13:35

Una parábola no 00:13:37

¿Vale? 00:13:38

Bueno, pues, esta longitud 00:13:40

Yo me paso ahí 00:13:42

Cero los pi 00:13:44

¿De quién? 00:13:46

De 00:13:48

Esta integral 00:13:48

Hemos tenido suerte 00:13:52

Y es inmediata 00:13:53

Y efectivamente, no nos han engañado. 00:13:55

Podemos estar tranquilos, ¿no? 00:13:59

Tiene la longitud de la circunferencia. 00:14:01

Esto es lo que nos va a quedar nunca. 00:14:04

Pero, así veis, un ejemplo. 00:14:07

¿Vale? 00:14:09

Y ahora voy a poner un apartado B y esperemos que lo que voy a poner no caiga nunca tan mucho. 00:14:10

Apartado B. 00:14:16

Calcular la longitud de... 00:14:19

¿Esto? 00:14:22

Sí. 00:14:40

¿Eso lo has dicho tú? 00:14:46

Lo he dicho yo. 00:14:48

Porque me pide la longitud de toda una circunferencia, 00:14:49

tengo que darme la vuelta entera. 00:14:52

Y T es el ángulo. 00:14:53

Entonces tengo que hacer que la altura sea 160 grados. 00:14:55

¿Vale? 00:14:58

Bueno, este otro. 00:15:01

Uno ve esto y dice, bueno, es una parábola. 00:15:03

Tampoco es para tanto. 00:15:06

Entonces, lo primero, tengo que parametrizar la parábola. 00:15:07

La parábola no tiene una parametrización estándar 00:15:11

como la circunferencia. 00:15:13

Así que voy a utilizar la parametrización que sirve siempre, que es X llamada T e Y lo que diga la ecuación. 00:15:15

Esa parametrización funciona siempre, lo que pasa que hay algunas curvas donde no es la mejor parametrización. 00:15:25

Por ejemplo, esta es mejor para la circunferencia. 00:15:32

Pero si de repente os ponen una curva tan rara que dice que ya no se le ocurre ninguna buena, siempre podéis utilizar esa. 00:15:35

Para X la llamamos T y la Y la despejo de mí, lo que diga la ecuación. 00:15:41

Esa es la que voy a utilizar. Así que yo lo utilizo esta parametrización. X es T e Y es T cuadrado. Lo que dice. 00:15:45

Y ahora me puedo hallar T. Porque T acabo de decir que es X. Y si os fijáis, empiezo en el origen de coordenadas 0, 0, donde la X vale 0. 00:15:57

Y termino en el 1, 1 00:16:10

Donde la x vale 1 00:16:12

Luego x va de 0 a 1 00:16:13

Luego t va de 0 a 1 00:16:15

¿Visto? 00:16:17

Si a la x la llamaste 00:16:22

Pues solo tienes que fijarte de dónde a dónde va la x 00:16:24

Y eso es todo 00:16:26

Ahora tengo que derivar 00:16:27

Derivar 00:16:29

Y ahora tengo que hallarme 00:16:37

La norma del vector derivado 00:16:39

¿Vale? 00:16:42

Todo esto lo tenéis que hacer en plan rutina 00:16:43

O sea, es que ni lo planteéis que se puede hacer de otra manera 00:16:45

Ahí está 00:16:47

Y entonces uno dice 00:16:52

Longitud de la circunferencia 00:16:55

Integral 00:16:57

Entre 0 y 1 00:17:02

De esta raíz 00:17:03

Y aquí es donde tenemos el problema 00:17:05

Esto que parecía una mierda de integral 00:17:07

En principio 00:17:13

Se me ha convertido en una integral de mates 1 00:17:14

La peor 00:17:16

Raíz cuadrada de algo sumándose dentro 00:17:17

Tengo que utilizar 00:17:20

Cambio de variable trigonométrico 00:17:22

me tengo que acordar de cuál es el de la tangente una vez que utilizo el cambio de 00:17:23

variable trigonométrico con la tangente los normales terminan en trigonometría impar en 00:17:27

coseno luego tengo que utilizar otro cambio de variable sabiendo que la mejor es impar en coseno 00:17:32

para terminar en fracciones simples y empezó a llantar algo de una palabra así que fijaros en el freado en el que os pueden meter tranquilamente 00:17:38

se acaba de hacer un repaso 00:17:48

de todo el segundo parcial de mates uno 00:17:50

y mates dos 00:17:51

¿vale? 00:17:52

como no estamos en mates uno 00:17:56

pero ya sabéis 00:17:57

como va el tema 00:18:01

dicho lo cual 00:18:02

nunca he visto apretar tanto 00:18:04

en un examen de mates dos 00:18:07

¿vale? pero ya habéis visto lo facilísimo que sería 00:18:08

entonces 00:18:11

hacedme caso por favor y repasad 00:18:12

las integrales de mates 00:18:14

¿vale? 00:18:15

Bueno, hemos visto integrales de línea de campos escalares, apartado 3, para campos vectoriales. 00:18:18

Aquellos que tengáis física potente a partir del segundo, quitando a lo mejor, a ver, potente, sino que aquí al menos preciar el resto. 00:18:49

Me refiero a, por ejemplo, la gente que es como nanotecnología, electrónica automática, que normalmente, por ejemplo, tiráis hacia más una rama de electricidad, electrónica, ordenadores, lo que sea, no soléis tener asignatura de mecánica. 00:18:58

Aquello de materiales, mecánica, de los de industria, que sí que las tenéis, esta es una de las madres de todas las integrales, porque esto en física es el trabajo. 00:19:14

Nos hemos estado escateando desde que éramos así 00:19:24

De hacer una integral en física 00:19:26

Cada vez que me decían 00:19:28

Calcúlate el trabajo 00:19:29

Y no habéis hecho una integral en vuestra vida 00:19:31

¿Vale? Habéis dicho 00:19:32

Cuenta el rotamiento, muy pobre 00:19:34

El trabajo del peso 00:19:35

Energía potencial menos energía potencial 00:19:37

Bueno, pues se acabó la historia 00:19:39

Hay que hacer las integrales 00:19:40

Esto es el trabajo en física 00:19:42

Así que, muy importante 00:19:44

Estas integrales 00:19:53

No tanto para aquí en matemáticas 00:19:55

Que la preguntan como una más 00:19:56

Si no, porque física me ha fallado 00:19:58

Entonces, todo el punto 1 que he puesto 00:19:59

Hay que hacerlo exactamente igual 00:20:05

Parametrizo la curva 00:20:06

Me hallo la derivada de la parametrización 00:20:08

Pero no necesito hallarme el vector normal 00:20:10

Paro en la derivada de la parametrización 00:20:14

Porque la integral que a mí me va a poner 00:20:16

Ahora la diferencia está en que yo tengo un campo vectorial 00:20:18

Producto escalar 00:20:32

Mi curva 00:20:34

Diferencial de R 00:20:35

Eso es lo que me dice. Yo paso de A a B. Me salto a esta. Yo ya he parametrizado, por lo tanto tengo perfectamente controlado quién es de sub 0, quién es de sub F. 00:20:36

He sustituido la parametrización en el campo vectorial. Y me ha llamado esto. Producto escalar, y ojo, producto escalar derivada de la parametrización. 00:20:50

No tengo que poner el vector normal 00:21:08

Tengo que multiplicar un vector 00:21:11

Por otro vector 00:21:13

El producto escalar es el de toda la vida 00:21:14

Primera por primera, más segunda por segunda 00:21:16

Más tercera por tercera 00:21:18

Diferenciable 00:21:20

Es una integral de más que es uno 00:21:21

Lo dejo 00:21:26

¿Vale? 00:21:27

Si esto es una fuerza 00:21:30

Esto 00:21:38

Son tuyos 00:21:39

Un trabajo 00:21:42

Puede ser una fuerza de lo que sea 00:21:43

La fuerza magnética que no tenéis, la utilizo 00:21:45

La fuerza de rozamiento de los... la utilizo 00:21:48

Normalmente a vosotros no lo dicen así 00:21:50

Os dicen, tengo el campo escalar 00:21:53

O digo, perdón, el campo vectorial, no sé cuánto 00:21:55

Pues ya está, entonces el campo vectorial, estamos en mates y se hace 00:21:57

¿Vale? 00:22:00

Bien 00:22:03

Sigo ahora aquí 00:22:04

Esto es lo que yo voy a llamar siempre 00:22:06

Forma directa de hacer la integral 00:22:10

Que es la que se puede utilizar siempre 00:22:12

la llamada formalidad. Pero, sigo dentro del punto 3, le voy a llamar así, 3.1. Si el campo vectorial es conservativo, 00:22:15

tengo una manera alternativa. ¿Vale? Vamos a ver primero que sea conservativo un campo vectorial 00:22:34

y cuál sería la manera alternativa que pueda hacer. ¿Vale? Entonces, ahora solo voy a poner campos vectoriales en R2, 00:22:39

porque luego voy a explicar el teorema 00:22:47

que sería la siguiente manera de hacerlo 00:22:49

que es un teorema de R2 00:22:51

el próximo día cuando veamos las cosas en el espacio 00:22:53

explicaré en el hermano grande 00:22:56

de ese teorema en R3 00:22:58

¿vale? 00:22:59

entonces, R1 00:23:00

si F 00:23:01

incluido en R2 00:23:03

es conservativo 00:23:07

por tanto 00:23:09

F será así 00:23:14

casi todos vuestros profesores 00:23:23

llaman P a la primera componente y Q a la segunda componente. Yo voy a hacer mucho. Algunos 00:23:26

a lo mejor lo llaman F1 y F2, F minúscula, G minúscula, bueno, adaptáis a las letras 00:23:32

y ya está, pero la gran mayoría lo utilizan P. Muy bien, yo que un campo, un campo dado 00:23:38

así es conservativo si y sólo si 00:23:45

debe ser 00:23:52

clase c1 todos sabemos clases de uno tengo derivadas parciales y no me dan 00:23:54

problemas 00:24:01

y además se cumple lo siguiente la parcial de respecto de mis coincide 00:24:05

con la parcial de t 00:24:18

respecto de. 00:24:20

¿Vale? 00:24:27

Bueno, resulta que me han puesto un problema, 00:24:32

no me quieren dar ninguna pista, 00:24:35

y entonces uno dice, vale, juego con dos posibilidades. 00:24:36

Tiro por aquí, 00:24:39

ves el problema, y dices, 00:24:40

parece que va a quedar una cosa tan complicada. 00:24:42

Venga, voy a echar un pisco a ver si cumples. 00:24:44

Y resulta que haces esto, que se tarda 10 segundos, 00:24:46

y dices, 00:24:49

lo cumples. Ya tienes una 00:24:50

segunda alternativa. O sea, no significa 00:24:52

que esta no la puedas utilizar. 00:24:54

significa que las dos son distintas, esta y esta 00:24:55

pues bien, metedlo por ahí 00:24:58

siempre 00:25:00

si un campo es conservativo el problema está puesto 00:25:01

para que os metáis por ahí 00:25:04

de hecho, lo harán de tal manera 00:25:06

muchas veces que esta integral es 00:25:09

de me quiero morir 00:25:10

o directamente no se puede hacer 00:25:11

y sin embargo entonces puedo hacer esto 00:25:14

pero tened cuidado porque va a haber problemas 00:25:16

en los exámenes que es, apartado A 00:25:18

hazlo así, apartado B 00:25:20

hazlo así 00:25:22

apartado C 00:25:24

hazla como vea privado 00:25:25

y te amparé con los tres en una 00:25:27

porque se puede hacer ese por las tres maneras 00:25:29

¿vale? 00:25:31

si esto se cumple 00:25:33

esta es la alternativa 00:25:34

esta integral 00:25:36

no la tengo que hacer 00:25:40

solo tengo que hacer esta resta 00:25:43

y ahora vamos a ver 00:25:46

tiene ese, ese chiquitito 00:25:57

¿vale? 00:25:58

XF y F 00:26:02

es esto 00:26:04

vais 00:26:08

a la parametrización 00:26:10

y en la parametrización 00:26:13

sustituís TF 00:26:15

¿vale? 00:26:17

tened en cuenta que estamos en R2 00:26:24

la parametrización solo tendrá XY 00:26:25

vale, pues TF 00:26:28

TF a lo mejor es el número 3 00:26:30

pues vas con el número 3 a la parametrización 00:26:32

y te sale el punto 9,5 00:26:33

pues el 9,5 es mi XF y F 00:26:35

y si el pero con T0 00:26:38

obtengo el otro 00:26:40

X0 00:26:41

Y0 00:26:44

sustituir en la parametrización 00:26:45

P sub 0 00:26:48

así que calcularme 00:26:50

esos dos puntos es inmediato 00:26:53

la pega es hallarme 00:26:54

F minúscula 00:26:56

F 00:26:57

F minúscula 00:27:41

tiene que cumplir 00:27:47

que su gradiente tiene que ser 00:27:48

igual al campo P 00:27:50

el gradiente 00:27:52

de mi campo escalar 00:27:55

que se llama también función potencial 00:27:56

tiene que coincidir con el campo que me han dado, o sea, la derivada parcial de f respecto 00:27:58

de x, primera componente del gradiente, tiene que ser igual a la primera componente del 00:28:11

campo. Derivada parcial de f respecto de y, segunda componente del campo. Y de ahí, que 00:28:17

Esto es un sistema de derivadas parciales, que la mayoría de vosotros sorprendentemente no tenéis ninguna asignatura para derivadas parciales, pero bueno, el problema de ellos, los malos capilares, ya se lo probamos. 00:28:33

Este es muy fácil de resolver, ¿vale? Entonces veréis que siempre se hace de la misma manera. La primera vez que lo haga os queréis salir de clase corriendo, pero luego veis que siempre hace lo mismo. 00:28:45

Entonces es muy mecánico 00:28:54

Haces esto, luego haces esto 00:28:56

Y luego haces esto, y sale 00:28:58

Cuando me veáis hacer esto 00:28:59

Vale, seguramente hoy ya 00:29:03

A lo mejor si caso uno donde verdad lo hago 00:29:04

Esto de aquí es súper 00:29:06

Importante 00:29:08

Hay un tipo entero de ecuaciones diferenciales 00:29:09

Que es la tercera parte de la asignatura 00:29:13

Que se resuelven así 00:29:14

Se llaman ecuaciones diferenciales exactas 00:29:15

Y volveremos a hacer exactamente esto 00:29:18

Yo lo diré, ¿os acordáis de las integrales? 00:29:20

Tengo que hacer lo mismo 00:29:22

¿vale? y entonces si estáis deseando luego que os caiga 00:29:23

este tipo de integral, pues de cualquier diferencia 00:29:25

por ejemplo si me sacio igual 00:29:27

pues lo atiendo 00:29:28

¿vale? 00:29:30

primera alternativa, segunda alternativa 00:29:33

aquí me escaqueo 00:29:36

de hacer una integral, pero el precio 00:29:38

que tengo que pagar es que tengo que resolver esto 00:29:39

me tengo que dar f minúscula 00:29:41

pues una cosa por la otra 00:29:43

¿vale? 00:29:45

tercera y última manera 00:29:48

les encanta preguntar 00:29:49

Y se llama teorema de Green. Cuidado con el teorema de Green, porque muchas veces estáis deseando aplicar el teorema de Green y no se puede. 00:29:51

Porque el teorema de Green, cuando uno lo aplica, la verdad es que la gran mayoría de las veces mejora en mucho las integrales. 00:30:21

tengo que cumplir todo lo que voy a poner a mí sí tengo un campo vectorial que la cc1 y una curva 00:30:29

T 00:30:57

N2 00:31:01

Cerra 00:31:03

Utilizo esta 00:31:06

Porque alguno de vosotros 00:31:13

Todos sabéis lo que va a ser 00:31:14

Voy a ponerla 00:31:16

Yorla significa que son curvas 00:31:17

Que no se cortan consigo mismo 00:31:25

O sea, una circunferencia 00:31:27

Es una curva cerrada 00:31:29

Y es de yorla 00:31:31

Una parábola es una curva abierta 00:31:32

Y es de yorla 00:31:34

Esto no es de yorla 00:31:35

porque se corta consigo y son dos curvas separadas 00:31:37

no van a poner jamás una curva que no sea de jordan 00:31:42

los bordes de un cuadrado, es de jordan, los bordes de un triangulo, es de jordan 00:31:48

ese es el tipo de curvas que suelen poner para que aprimiense el problema de gris 00:31:53

cerrada de jordan y orientada 00:31:58

En sentido antihorario, que es el positivo. 00:32:07

Entonces, yo tengo aquí la curva orientada, como me han dicho, en sentido antihorario, en contra de las agujas de la derecha. 00:32:28

Eso es C. 00:32:55

Y aquí dentro tengo el interior de C, que lo voy a llamar B. 00:32:56

interior de C. 00:33:05

Pues bien, el teorema de Green dice 00:33:10

que esta integral 00:33:12

siempre tiene que ser sobre una curva cerrada. 00:33:14

Si no lo puedo utilizar, 00:33:18

lo puedo sustituir, 00:33:19

esa integral, por esta. 00:33:22

En vez de hacer una integral de línea, 00:33:27

lo de la izquierda, 00:33:40

yo hago una integral doble. 00:33:42

Las que hemos visto al principio, 00:33:44

la semana pasada, 00:33:45

esto de aquí, 00:33:46

es una integral doble y normalmente esa de la derecha es mejor 00:33:47

normalmente 00:33:52

todavía me queda por explicar, a ver si te llego por aquí después de examen 00:34:04

y nos ponemos a ver cómo preguntar esto 00:34:17

Bueno, que le tengo cortado aquí en dos, así que lo tomo aquí en el otro. 00:35:21

¿Lo tenéis todo lo que me va a ir? 00:35:31

Bueno, este ejercicio, que tengo por aquí arriba, que es 21 de junio del 18 en la energía. 00:35:39

Y dentro de este final, uno se va a la parte 2, y en la parte 2 pone, ejercicio 2, haya el trabajo, realizar las fuerzas, x cubos, así. 00:35:55

Entonces, apartado a, f de x y, nos lo dan de esta manera. 00:37:43

apartado de 00:38:12

el 00:38:28

edificio 00:38:34

normal 00:38:36

de este. 00:38:40

Entonces, en vuestra cabeza, lo primero que tiene que aparecer 00:38:57

es esto. 00:38:59

Las tres maneras que en principio 00:39:20

yo tengo para hacer este interés. 00:39:22

¿Vale? 00:39:25

Primera manera, 00:39:31

siempre se puede utilizar. 00:39:33

Forma de. 00:39:34

Segunda manera, 00:39:36

solo si el campo es conservativo, 00:39:38

Así que tendría que comprobar si las dos f que me han dado cumplen lo que acabamos de ver, de ser conservativo o no. 00:39:40

¿Que lo cumplen? También puedo enganchar mi segunda manera. 00:39:46

Y ahora fijaros en la tercera manera. 00:39:50

La tercera manera me está diciendo que yo calcule la integral a través de esta curva. 00:39:52

Dibujaroslo. Es como una cúbica, bueno, no es que sea como una cúbica, es una cúbica, ¿no? 00:39:59

Entonces, punto de corte. 00:40:05

Con un saber o punto de corte sé cómo va el libro. 00:40:06

Si yo saco aquí el factor común 00:40:08

¿Vale? 00:40:12

Lo hacéis así rápidamente 00:40:13

Y uno ve que tiene 00:40:14

X igual a 0 00:40:18

X igual a 1 00:40:19

X igual a menos 1 00:40:21

¿Vale? 00:40:24

Entonces, la curva es así 00:40:25

Pasa por el menos 1 00:40:27

Pasa por el 0 00:40:32

Pasa por el 1 00:40:33

Esto es un polinomio 00:40:34

¿Vale? 00:40:36

Si X es muy, muy, muy pequeño 00:40:37

Muy negativo 00:40:39

El término que dan es este 00:40:40

Menos 1000 al cubo 00:40:42

O sea que yo vengo desde aquí abajo 00:40:44

Si esto 00:40:45

Sigue ganando en los positivos 00:40:47

1000 al cubo, termino por ahí arriba 00:40:50

Así que uno hace algo así 00:40:52

Vengo desde aquí abajo 00:40:54

Tengo que pasar por aquí, tengo que pasar por aquí 00:40:56

Tengo que pasar por aquí, como solo puedo hacer esto 00:40:58

Dibujar 00:41:00

¿Vale? Es un dibujo aproximado 00:41:01

Entonces, a mí me están pidiendo que me calcule 00:41:04

La integral entre este punto 00:41:06

y este punto. O sea, yo tengo que pegarme el viaje desde aquí hasta aquí. Esta es 00:41:09

la integral que tengo que hacer. No es una curva cerrada. Así que en principio el tema 00:41:16

de Green no lo podría utilizar. Digo en principio porque yo puedo cerrar las curvas, pero a 00:41:22

lo mejor aquí no vale la pena. Os cuento qué significa eso de cerrar las curvas. Yo 00:41:28

podría ver lo siguiente tengo que ir de aquí hasta aquí para yo lo puedo hacer al revés y es ir de 00:41:33

aquí hasta aquí sé que si le cambio el signo pues si en vez de salirme el 5 pues me tiene que salir 00:41:41

menos 5 es lo único que cambia si cambio el sentido me va a cambiar el signo yo puedo ir de aquí hasta 00:41:47

aquí y volver por aquí. Ya he cerrado esa parte. Hacer así. Y luego puedo ir de aquí 00:41:53

hasta ahí, así. Cerrando. Al cerrar las dos, puedo utilizar el teorema de Green. Pero claro, 00:42:00

he añadido tramos. Cuando añadís tramos para poder utilizar el teorema de Green, luego 00:42:08

hay que hallarse la integral sobre esos tramos y quitarla. En este problema no vale la pena. 00:42:13

Pero en otros problemas va a alterar la idea. 00:42:18

¿Vale? Así que siempre quedaros con esa idea. 00:42:21

Podéis forzar para utilizar el teorema de Green, pero hay que pagar un precio. 00:42:24

Lo que tú añades hay que calcularlo porque lo dice el estándar. 00:42:28

¿Vale? 00:42:32

Bueno. 00:42:34

En este problema parece que el teorema de Green lo descartamos. 00:42:36

Así que lo que voy a hacer es, aparta agua, voy a ver si es conservativo. Lo primero. 00:42:40

Aunque yo os he dicho que si es conservativo, tiro con la E, sí o no. 00:42:45

Así que apartado A, comprobamos si Tf de xy es conservativo. 00:42:50

T de xy, la primera componente. 00:43:09

O sea, es Q de xy, nuestra segunda componente. 00:43:14

Derivo Q respecto de x. 00:43:29

Así que todo lo que nos dé una X 00:43:36

Para mí es constante 00:43:40

Y cuadrado, constante 00:43:42

Derivo el paréntesis 00:43:44

Y al derivar 00:43:46

Que es Y 00:43:47

Eso 00:43:49

Derivo el paréntesis 00:43:50

Pues 2 por la exponencial 00:43:58

Y por la Y que tengo delante 00:44:00

2Y 00:44:02

Por la exponencial 00:44:03

Y ahora derivo P 00:44:06

Respecto de Y 00:44:08

2Y 00:44:10

por la exponencial. 00:44:12

Soy igual. 00:44:15

F es conservativo. 00:44:16

F pertenece 00:44:23

clase C1 00:44:24

es conservativo. 00:44:25

F de clase C1, porque estos son polinomios 00:44:31

y exponenciales, y ya sabemos que 00:44:33

polinomios y exponenciales 00:44:34

no me dan ningún problema. 00:44:36

Vale. A vosotros. 00:44:40

Aquí, en Móstoles, todos los grados 00:44:42

jamás he visto preguntar 00:44:44

una integral donde el campo 00:44:46

no fuese de clase C1. 00:44:48

Pero allí, en Fuenabrapa, a Biomédica 00:44:50

ya se lo buscó preguntar y los cazaron a todos. 00:44:52

Vale, claro. 00:44:55

Es conservativo y no era 00:44:56

conservativo porque no 00:44:58

era de clase C1. 00:45:00

Tenían una curva que pasaba por el 00:45:02

origen de coordenadas. Y cuando tuvo 00:45:04

que hallar las derivadas parciales, 00:45:06

en el denominador quedaba esta. 00:45:08

Y si paso por el origen de coordenadas 00:45:12

con este denominador, esto se mueve al infinito. 00:45:14

Así que aunque parecía 00:45:17

que era conservativo porque cumplía esto, 00:45:18

no cumplía esto, así que no podía tirar por este camino, tenía que hacerlo por el de toda la vida, el de NEA o el integral de línea normalmente, ¿vale? 00:45:20

Así que mucho cuidado, por eso yo siempre pongo lo de F, y es de clase F1, ¿vale? 00:45:31

Bueno, pues ahora vamos a hallarnos F minúscula, vais a ver lo que hago, siempre tenéis que hacer los mismos pasos, ¿vale? 00:45:36

Me voy hacia arriba. Como es conservativo, calculamos f de x y, que cumple lo siguiente. 00:45:45

El gradiente f tiene que ser igual a f. Al campo vectorio. 00:46:07

una cosita 00:46:19

si no fuese conservativo 00:46:27

se acabaría 00:46:28

no, si no fuese conservativo lo tengo que hacer 00:46:30

por la primera opción 00:46:32

de forma directa 00:46:34

la forma directa es siempre 00:46:36

se puede utilizar, siempre, sin excepción 00:46:39

¿vale? ahora 00:46:41

la forma directa 00:46:42

puede ser una guiralla 00:46:44

este tiene más lima 00:46:46

¿vale? 00:46:48

no creo que vaya a ser difícil, pero uno ve 00:46:50

Y cuadrado con una exponencial 00:46:52

Menos mal que esto va con la X, esto va con la Y 00:46:55

Como tiene las variables cambiadas 00:46:57

Por eso en principio 00:46:59

Cuando integro la Y, lo que es una constante 00:47:00

Cuando integro la X, es una constante de la Y 00:47:02

Pero claro, uno sabe que en forma directa 00:47:05

Esto lo tengo que multiplicar 00:47:07

Por la derivada de la parametrización de la curva 00:47:09

Cuando yo deriva la parametrización de la curva 00:47:12

Que va en función de T 00:47:15

Esto va a ser T 00:47:15

Aquí van a aparecer T 00:47:18

Y lo que multiplico por T 00:47:19

o sea que nos vamos a meter en integrales por partes 00:47:20

seguro, y como esto empieza a subir 00:47:22

el grado, me puedo encontrar 00:47:25

con t a la cuarta por una exponencial 00:47:27

que voy a hacer cuatro veces 00:47:29

una integral por partes, no es otra cosa entonces 00:47:30

¿vale? entonces uno enseguida ve 00:47:32

que este tipo de funciones 00:47:35

me llevan integrales, sencillas 00:47:36

pero muy largas 00:47:39

¿vale? entonces uno intenta, digo, a ver si 00:47:40

tengo otra opción y no me meto por ahí 00:47:43

¿vale? y aquí sí la tenemos 00:47:44

fijaros en cómo es el segundo campo 00:47:46

Comparado con este es una sobrada 00:47:49

Este me da mi 00:47:51

Que lo vamos a tener que hacer de otra manera 00:47:53

Y así le preguntan a todos 00:47:55

¿Vale? 00:47:56

Bueno, la parcial de f 00:47:59

Respecto de x 00:48:02

Es y cuadrado 00:48:04

Con el de abajo a x más 2 00:48:08

Mientras que la parcial de f 00:48:12

Respecto de y 00:48:14

Es igual a esto 00:48:16

Elegís una de las dos, la que más rabia os dé y da igual por cuál empecéis y la integráis. 00:48:18

Uno siempre intenta apuntar a la que me pone todo por los ojos, ¿no? 00:48:49

Yo voy a empezar por la de arriba, así que cojo la de arriba y la integro. 00:48:52

Pero podría haber empezado por la de abajo y la voy a integrar igual. 00:48:57

Integro lo de la izquierda, integro lo de la derecha. 00:49:05

Como esta derivada parcial se ha hecho respecto de X 00:49:11

La integral la tengo que hacer respecto de X 00:49:16

¿Vale? 00:49:20

Si hubiese elegido la de abajo 00:49:25

Habría puesto f de X y la integral de esto respecto de Y 00:49:26

Porque aquí la han derivado respecto de Y 00:49:32

Entonces yo integro con la misma variable que me encuentro en los derivados 00:49:34

Hacemos esta integral 00:49:38

Estoy integrando en X 00:49:41

Lo doy cuadrado es un número 00:49:43

Tengo que hacer la integral de la exponencial 00:49:44

Que es la misma exponencial 00:49:47

Así que, integral sencilla 00:49:49

Y hay que ir cuidado porque hay uno de los grandes cambios 00:49:50

De lo que lleváis haciendo 00:49:57

Toda la vida 00:50:00

Desde que os han explicado matemáticas 00:50:01

Las integrales 00:50:02

Os han dicho, siempre 00:50:03

Que cuando uno tiene una integral 00:50:06

Indefinida así 00:50:09

La integras 00:50:10

Y más c 00:50:12

Vale 00:50:13

Una cosa 00:50:16

Muy bien, ahora tenéis que recalibrar de esta manera. Aquí tengo que poner una constante, pero yo parto de una función de dos variables, x y. 00:50:17

Si yo pongo aquí el número 10 00:50:30

Y derivo 00:50:34

Respecto de X 00:50:35

Al derivar el número 10 00:50:37

Me va a dar 0 00:50:39

Perfecto, es una constante 00:50:40

Pero si yo pongo aquí tangente de Y 00:50:42

Y derivo respecto de X 00:50:45

La derivada de la tangente de Y 00:50:47

También es 0 00:50:49

Así que cualquier cosa que yo ponga aquí sumando 00:50:50

Que no dependa de X 00:50:53

Es una constante 00:50:55

Así que tengo que poner 00:50:56

todas las funciones 00:50:58

que dependen de Y. 00:51:00

No hay que poner más B. 00:51:03

Hay que poner esto. 00:51:05

Cualquier función 00:51:07

que dependa de Y, 00:51:08

si yo la doy de derecha a izquierda, 00:51:10

deriva aquí. 00:51:14

Derivada 00:51:16

respecto de X de esto. 00:51:16

Aquí la tenéis. 00:51:19

Derivada respecto de X 00:51:21

de una función donde no hay X. 00:51:22

Pero, 00:51:24

¿vale? Esto está haciendo 00:51:27

las veces de esto, porque estamos en dos variables, no en una. Bueno, pues ahora me 00:51:28

tengo que callar. Así que, segundo paso. Derivo la expresión que acabo de obtener 00:51:35

respecto de la otra variable. Yo he elegido, porque me ha dado la gana, integrar respecto 00:51:41

de X. Bueno, pues ahora derivo respecto de Y. Así que, siguiente paso, derivamos respecto 00:51:48

de Y. ¿Derivada de F respecto de Y? Pues parcial de F respecto de Y. Y ahora derivo 00:52:05

eso de ahí. 2Y elevado a X más 2 más la derivada de G. G'. Como no sé quién es 00:52:14

G, pues su derivada será G'. Lo mismo. Venga, estamos aquí. Elijo una, la que sea. He elegido 00:52:25

el impuesto primer paso me han derivado respecto de x íntegro en x 00:52:40

calculo la integral y como he integrado respecto de x en vez de añadir más c 00:52:49

tengo que añadir una función que sólo depende de la otra variable 00:52:55

que es lo que está haciendo las veces de mi constante 00:53:01

¿Entendido? 00:53:05

Ahora me tengo que hallar esto. 00:53:06

Entonces, para hallarme esto, como esta todavía no la he utilizado, voy a utilizarla. 00:53:08

Así que veo f de x y, esto de aquí. 00:53:14

Pues derivo respecto de y. 00:53:17

Así que digo, derivada de f respecto de y. 00:53:20

Pues parcial de f respecto de y. 00:53:23

Derivo esto respecto de y. 00:53:25

Aquí está. 00:53:28

Derivo esto respecto de y. 00:53:29

Aquí está. 00:53:31

Como se quiere g, pues g' 00:53:32

Y ahora tengo dos versiones de lo mismo. Tengo esto y tengo esto. Pues tienen que ser iguales. Las igualo. Igualamos y las dos versiones de la parcial de F respectores. 00:53:33

Así que me cojo esto de aquí arriba 00:54:02

Multiplico el paréntesis 00:54:08

Y lo igualo con esto que tengo aquí abajo 00:54:09

Tacho todo aquello que se puede ir 00:54:18

Y siempre va a haber cosas que se pueden tachar 00:54:29

Fijaros de aquí 00:54:31

Tengo esto de la izquierda 00:54:33

Y lo mismo a la derecha 00:54:35

A la papelera 00:54:37

Ya tengo G' de I 00:54:38

Es I 00:54:40

G' de I 00:54:41

Es I 00:54:46

Por tanto 00:54:49

g de i, íntegro, y cuadrado partido por 2, más c, ahora sí, porque g es una integral de mates 1, es una integral de una única variable, así que al final pongo el más c que llevo poniendo toda mi vida. 00:54:51

Ya tengo quien es g, e íntegra, porque esto es la derivada de g, así como es la derivada, quiero calcular la función, tengo que íntegra. 00:55:10

Pues ya tenemos f de 17 00:55:20

La pongo aquí arriba 00:55:24

Mirad, siempre queda como entre medias 00:55:26

De todo el tinglado 00:55:32

Aquí está f de 17 00:55:33

f de 17 es 00:55:34

Y cuadrado elevado a x más 2 00:55:40

Más g 00:55:43

Y g lo tengo ahí 00:55:47

Ya hemos calculado 00:55:48

La función potencial 00:55:54

Ya tenemos casi hecho el problema 00:55:57

Así que como veis 00:56:05

Es un método muy engañoso 00:56:09

Vale, no tengo que hacer una integral, pero tengo que hacer una integral. 00:56:10

De hecho, tengo que hacer dos. 00:56:13

Lo que pasa es que estas son siempre más bajas. 00:56:14

Bueno. 00:56:17

Ya sé que esa primera vez, según lo veis, dice, como algo de nunca, 00:56:23

al final, que estéis deseando que os tome esto. 00:56:26

Porque le pilléis el tranquillo. 00:56:28

Claro, hay que hacer una fórmula, ¿eh? 00:56:29

¿De acuerdo? 00:56:31

Siempre, elijo la X, elijo la Y. 00:56:33

Digo por ahí. 00:56:36

Integro respecto de Y. 00:56:38

Derivo respecto de X. 00:56:40

Y lo igualo a la otra. 00:56:42

Siempre lo mismo. 00:56:43

Que empiezo por la x 00:56:44

Y integro respecto de x 00:56:46

Derivo respecto de y 00:56:48

Y lo igualo a la otra derivada 00:56:49

¿Dónde está la pena? 00:56:51

Cuando me pongan tres variables 00:56:55

Yo la van a tener 00:56:56

Si tengo tres variables 00:56:57

Esto hay que hacerlo dos veces 00:57:00

Tengo que hacer lo primero respecto de x 00:57:02

Luego tengo que derivar respecto de y 00:57:04

Luego tengo que integrar en y 00:57:06

Luego tengo que derivar en z 00:57:07

El mecanismo es el mismo pero no tenemos variables 00:57:09

¿Vale? 00:57:13

¿Vale? Una vez que tenemos esto, la integral que nos han puesto, que es así, la sustituimos por esto 00:57:14

F en el punto final, nos han dicho que tenemos que calcular la integral desde A, el menos 1, 0, hasta B, que es el 1, 0 00:57:29

Así que el punto final es el 1, 0 00:57:41

Menos f 00:57:44

Donde empieza la integral 00:57:46

Que me han dicho que empieza en el menos 1, 0 00:57:49

Vale, pues ahora lo único que tengo que hacer es sustituir aquí 00:57:52

Donde vea una y como un 1 00:57:55

Pero, ahora ves 00:57:57

Donde vea una x como un 1 00:57:58

Donde vea una y como un 0 00:58:00

¿Cero? 00:58:02

Cero 00:58:04

Más cero 00:58:05

Menos 00:58:06

menos uno, cero 00:58:09

cero, cero 00:58:12

cero 00:58:14

o sea, tanta historia 00:58:15

para decir que la interrumpa es cero 00:58:17

¿vale? 00:58:24

c menos c, cero 00:58:25

así que no hay trabajo 00:58:26

no es que no haya trabajo 00:58:30

es que para ir de menos uno 00:58:32

al origen, a lo mejor son cinco julios 00:58:35

y para ir del origen al uno 00:58:37

son menos cinco julios 00:58:39

y claro, la integral, sumar los dos 00:58:41

Y me dice 0 00:58:42

Imaginaros que estáis empujando una caja 00:58:44

Subo un posapendiente 00:58:46

Curro yo 00:58:48

5 julios 00:58:50

Llego arriba, suelto la caja 00:58:51

Cae solita 00:58:53

Curro la gravedad 00:58:54

Menos 5 julios 00:58:56

Claro, al final todo el trabajo 00:58:57

5 menos 5, 0 00:58:59

Eso lo comentáis 00:59:00

Una pregunta, o sea, antes 00:59:02

Perdón que vuelva antes 00:59:06

Hemos integrado lo respecto de x y derivado lo respecto de y 00:59:07

Y luego derivado lo respecto de x 00:59:10

e integrado respecto a y 00:59:12

no, hemos 00:59:14

integrado en x 00:59:15

derivado en y 00:59:17

y luego he igualado dos expresiones 00:59:19

y al igualar esas dos expresiones 00:59:22

he llegado a esto 00:59:24

y aquí he vuelto 00:59:25

a integrar en y 00:59:29

porque esto ya solo depende de y 00:59:30

aquí integro con más más es 1 00:59:33

¿vale? 00:59:35

solo que en vez de hacerlo en x 00:59:36

como tengo en y, integro en y 00:59:37

¿vale? 00:59:40

¿Ha quedado claro primero? 00:59:42

¿La recta es final menos inicial? 00:59:44

Sí, sí. Final siempre. Punto final menos punto inicial. 00:59:46

Como me dicen que empiece en A y termina en B. 00:59:50

Apartado B. 00:59:53

¿Cómo es el campo? 00:59:57

Será x más... 01:00:05

3y y. 01:00:08

Vale. 01:00:11

¿Cuál es la derivada de esto respecto de y? 01:00:21

3. ¿Cuál es la derivada de esto respecto de X? 0. ¿Son iguales 3 y 0? No, no conservativo. 01:00:26

Así que, ¿segunda manera de hacerlo? No puedo. Así que ya solo me queda una manera, la forma directa. 01:00:38

¿Vale? Lo conservativo. Hemos dicho al principio que no me voy a meter en el jaleo del problema de Green, 01:00:46

Porque tendría que estar cerrando yo las curvas y todo el rollo 01:00:52

Así que, forma directa 01:00:55

Campo en lo conservativo 01:00:58

Utilizamos 01:01:00

La forma directa 01:01:08

Así que lo primero que tengo que hacer 01:01:16

Es parametrizar la cúbica que me han dado 01:01:19

Eso es lo primero que tengo que hacer 01:01:22

No te quiero frenar, de verdad 01:01:38

No, no, no, perdón 01:01:39

Que no es conservativo porque has derivado la X 01:01:40

Y la Y no son iguales 01:01:44

He derivado esto, que es P, respecto de Y. 01:01:45

Y me habéis contestado 3. 01:01:49

Esto hay que derivarlo respecto de X. 01:01:51

0. 01:01:54

Como 3 no es igual que 0, no es conservativo. 01:01:54

Porque para que sea conservativo, las dos derivadas parciales tienen que ser iguales. 01:01:57

¿De acuerdo? 01:02:01

Siempre P es la primera, Q es la segunda. 01:02:04

Ahora le dejo a B. 01:02:07

No, se ha roto la gravedad. 01:02:08

¿Vale? 01:02:10

Algunos de vuestros profesores no van a utilizar lo de P y Q. 01:02:11

Van a utilizar F1, F2 01:02:13

Otro van a utilizar F minúscula, G minúscula 01:02:15

Es una muy mala manera de nombrarlas 01:02:17

Porque en ecuaciones diferenciales 01:02:19

Todas las fórmulas siempre se utiliza P y Q 01:02:21

Y esto va a volver a salir en ecuaciones diferenciales 01:02:23

Por eso yo prefiero utilizar P y Q 01:02:26

Porque luego van a aparecer fórmulas 01:02:27

Que algunos de vosotros incluso las ponen en el examen 01:02:29

Te dicen 01:02:32

Al final del todo 01:02:33

Y tienes esta fórmula, tú sabrás donde la tienes que utilizar 01:02:34

Y veréis que pone parcial de P respecto de X 01:02:36

Parcial de Q respecto de T 01:02:39

Y así lo sabrás si tienes P y Q 01:02:40

P siempre es el primero, Q es el segundo, y ya está. 01:02:42

Un polinomio, como he hecho antes con la parábola, siempre se parametriza de la mejor manera, 01:02:48

que es X es T y la Y lo que medirá la fórmula. 01:02:53

Así que la parametrización es esta. 01:02:57

X es T, Y, pues T al cubo, menos T. 01:03:00

Lo que he llamado parametrización estándar. 01:03:07

¿Puedes repetir dónde he sacado el Y igual a X cubo menos Y? 01:03:09

Dice que hayamos tenido que hacer a través de esta curva. 01:03:12

Claro, en el apartado A no lo hemos utilizado porque no son integrales. 01:03:19

Pero aquí la tenemos utilizada. 01:03:22

T. ¿De dónde a dónde va T? 01:03:25

T es X. Lo acabo de decir yo. 01:03:30

¿Dónde empiezo? En el punto A. 01:03:33

¿Y cuánto vale la X en el punto A? Menos 1. 01:03:36

¿Y dónde termino? En el punto B. 01:03:40

¿Y cuánto vale la X en el punto B? 01:03:42

Uno. Luego voy de menos uno a uno. 01:03:44

Ya tengo los valores de T. 01:03:47

¿Vale? Repito. 01:03:50

T es X. Pues me fijo en la X. 01:03:51

Si hubiese dicho Y es T, me habría fijado en la Y. 01:03:54

¿Vale? 01:03:58

Pero es siempre mejor llamar a la X T. 01:03:59

Porque a vosotros las funciones o las ponen siempre I igual a no sé quién de T. 01:04:02

Perdón, no sé quién de X. 01:04:06

Lo relacionaréis. 01:04:07

¿Vale? 01:04:09

A derivar. Necesito la derivada de esto. Por tanto, 1, 3t cuadrado, menos 1. 01:04:10

Ya tenemos todo para poder montar nuestra integración. 01:04:24

Ahora, me han dicho ellos, cálculate esto. 01:04:28

Y nosotros vamos a calcular esto, que es lo que dice la teoría. 01:04:33

Esa es la integral de 2, que es una integral de más que es 1. 01:04:46

y aquí no me falta la norma 01:04:49

no, porque es un campo de vectorial 01:04:51

solo necesito la norma 01:04:53

en campos escalares 01:04:55

¿qué es lo que nos queda por hacer? 01:04:56

sustituir la parametrización 01:05:02

en el campo 01:05:04

el campo me lo han dado en función de x y de y 01:05:05

pero yo necesito ponerlo 01:05:08

en función de t 01:05:10

entonces, esto de aquí 01:05:11

es x de t 01:05:13

y esto de aquí 01:05:17

es y de t 01:05:19

Eso es lo que tengo que sustituir aquí. 01:05:22

Donde vea una X, T. 01:05:25

Donde vea una Y, T al cubo menos T. 01:05:28

Sustituimos. 01:05:31

Debajo aquí, para no pisar eso. 01:05:34

Entonces tengo el campo, una X, T. 01:05:37

Más tres, una Y. 01:05:40

T al cubo menos T, coma. 01:05:43

Otra Y, T al cubo menos T. 01:05:46

Producto escalar 01:05:50

Aquel vector de ahí 01:05:52

¿De dónde a dónde? 01:05:53

De menos uno a uno 01:06:00

Esta es la integral que tenemos que hacer 01:06:02

Que uno ve que va a ser un polinomio 01:06:04

Será un rollo, pero es un polinomio 01:06:06

Así que la integral es capital 01:06:08

¿Vale? 01:06:10

Pues nada, ahora nos toca hacer el producto escalar 01:06:13

Simplificar un poquito las cosas 01:06:15

Y calcular 01:06:17

¿Vale? 01:06:18

Hago el producto escalar 01:06:20

El de toda la vida 01:06:22

Primera por primera 01:06:25

Segunda por segunda 01:06:26

Uno por todo esto de aquí 01:06:27

Pues todo esto de aquí 01:06:30

Me queda 01:06:32

T más 01:06:34

3T al cubo 01:06:35

Menos 3T 01:06:37

Ya voy multiplicando para luego simplificar 01:06:39

Y ahora, segunda por segunda 01:06:41

Pues más 01:06:44

T al cubo menos T 01:06:47

3T al cubo menos 1 01:06:48

diferenciales 01:06:52

voy a subir arriba 01:06:55

seguimos multiplicando 01:06:57

simplificamos y llegaremos al polinomio 01:06:58

ya para integrar 01:07:00

mirad, estoy aquí 01:07:02

3t al cubo menos 2t 01:07:13

y ahora voy multiplicando 01:07:15

aquellos de ahí 01:07:22

3t a la quinta 01:07:22

menos 3t al cubo 01:07:25

menos 3t al cubo 01:07:29

y menos por menos más 01:07:34

T. Bueno, lo ordenamos un poquito. Este y ese fuera. Tres T al cubo, digo, tres T a 01:07:37

la quinta. Menos T al cubo, menos T. Interno. T a la sexta, sextos, con el T, T a la sexta 01:07:53

menos, con el 3 01:08:14

menos 01:08:16

t a la cuarta cuartos 01:08:18

menos t a la cuarta menos 01:08:19

menos 1, 1 01:08:21

pues también hace 01:08:24

porque eso es un polinomio par 01:08:26

y me da lo mismo sustituir en el 1 que en el menos 1 01:08:30

así que me va a quedar el mismo número 01:08:33

y le voy a restar el mismo número 01:08:34

tu problema para tu testado es este 01:08:35

pues es 01:08:42

ya habéis visto como 01:08:50

como 01:08:53

Esto ha quedado más o menos claro 01:08:56

Bien 01:09:04

Lo único que me queda 01:09:07

Por explicar 01:09:09

De integrales de línea 01:09:10

Es una aplicación 01:09:13

Del teorema de Green 01:09:15

¿Vale? 01:09:17

El teorema de Green 01:09:18

En el 90% de los casos va a ser 01:09:19

Para 01:09:22

Me ponen una integral 01:09:23

Complicadísima 01:09:25

o tremendamente aburrida de hacer 01:09:27

de línea 01:09:30

utilizo el teorema de Green 01:09:31

y me calculo la de la derecha 01:09:34

que os he puesto en el teorema de Green 01:09:36

que he dicho que es un integral doble 01:09:37

y mejoran las cosas 01:09:39

pero hay un caso en el que me conviene hacerlo al revés 01:09:40

en vez de hacer 01:09:44

un integral doble 01:09:45

utilizo el teorema de Green en el otro sentido 01:09:46

y la cambio por un integral de línea 01:09:49

y eso es 01:09:51

la aplicación del teorema de Green 01:09:53

que es calcular áreas 01:09:55

utilizando el Teorema de Grimm. Dentro del Teorema de Grimm, que le había llamado 3.2, 01:09:57

pues ahí mismo, aplicación Teorema de Grimm. 01:10:08

Yo tengo un dominio, D, el que sea, y el problema empieza. 01:11:40

Calculo el área. 01:11:44

Entonces, ahora resulta que tengo dos formas de hacerlo. 01:11:47

Primera, manera de calcularme el área del dominio D. 01:11:58

Como vimos en integrales dobles, el área de un dominio es la integral doble del número 1 sobre el dominio. 01:12:01

Esa siempre la puedo utilizar 01:12:14

Y si no me dicen lo contrario 01:12:17

Es la que suelo utilizar 01:12:19

Pero me puedo encontrar con un problema 01:12:21

Donde esa integral sea un tiro 01:12:24

¿Vale? 01:12:26

Y dices, hostia 01:12:27

O un problema donde me digan 01:12:28

No, utiliza el teorema de Green para allá 01:12:31

Aunque la integral no sea difícil 01:12:33

Me voy a ir 01:12:35

Entonces es donde viene la aplicación del teorema de Green 01:12:36

Si yo tengo D 01:12:39

C es la frontera 01:12:41

Hasta cerrada 01:12:43

Ya cumple lo primero que tiene que cumplir el teorema de Green 01:12:45

Segundo 01:12:47

La oriento yo de manera antihoraria 01:12:48

Y hacéis el dibujito 01:12:51

Y ponéis la curva orientada como he hecho yo ahora 01:12:52

De manera antihoraria 01:12:55

Y ahora me queda el campo 01:12:57

Bueno, pues F le tengo que poner yo 01:12:59

Y F utilizar siempre uno de estos dos 01:13:02

Que son los más fáciles 01:13:05

Si utilizamos 01:13:07

Cualquiera 01:13:10

De estos dos campos 01:13:18

el primero de ellos, este 01:13:20

el segundo de ellos 01:13:35

este 01:13:42

en ambos 01:13:44

se verifica 01:13:51

que la parcial de 01:13:54

Q 01:13:59

respecto de X 01:14:01

menos la parcial de P 01:14:04

respecto de Y 01:14:06

coger el campo F 01:14:10

en el campo F 01:14:13

Q es X 01:14:15

P es 0 01:14:16

¿Vale? 01:14:18

Luego la derivada de Q 01:14:21

Respecto de X 01:14:22

Para este campo 01:14:24

Es 1 01:14:25

Y la derivada de P 01:14:26

Respecto de Y 01:14:28

Es 0 01:14:29

1 menos 0 01:14:30

1 01:14:31

Con este 01:14:32

Derivada de Q 01:14:33

Derivada de P 01:14:37

Respecto de Y 01:14:38

Menos 1 01:14:39

0 menos menos 1 01:14:40

1 01:14:43

Así que utilice S 01:14:44

o utilice este, esto es 1. Por tanto, si yo aplico el teorema de Green, me dice que la 01:14:45

integral de f a lo largo de esta curva es la integral del número 1 sobre el interior 01:15:00

de la curva, o utilizando el campo G, lo mismo. La integral de G a lo largo de la frontera 01:15:12

es la integral del número 1 en el interior. Así que realmente me estoy hallando el aire. 01:15:22

O sea, ellos quieren que me calcule esto 01:15:33

Y o bien me obligan, o bien yo veo que es muy difícil 01:15:54

Me calculo una de estas dos 01:15:58

F y G no van a aparecer normalmente en el mucio 01:16:01

Nosotros ya sabemos cuáles son las que nos conviene utilizar 01:16:05

Hay más funciones que lo cumple 01:16:08

A lo mejor hago esto, profesor, y os pone 01:16:11

F más G, también a veces hace en el campo, menos IX 01:16:12

Y ese me da el doble de la mía 01:16:17

Bueno, pues si me da el doble de la mía 01:16:19

Lo que me dé lo divido entre dos y ya tengo la mía 01:16:21

¿Vale? Así que estos no son los dos únicos 01:16:22

Lo que pasa es que son los dos más fáciles 01:16:25

¿Listo? 01:16:28

Vale, pues ahora ya, si hemos terminado 01:16:30

Voy a limpiar la línea, me devuelvo 01:16:32

Otros saben, y ahí, vamos a seguir 01:16:34

Imaginamos por aquí 01:16:36

Bueno, vamos a hacer este 01:17:18

Son tres apartados, por aquí, 21 de mayo del 21, y este es de materiales, el ejercicio 01:17:19

Este es el enunciado para los intrapartados. Cuando uno lee esto, dice, bueno, fijo que 01:17:55

voy a tener que utilizar el termo adiviní, porque ya me están orientando la culpa de 01:19:19

forma positiva. Abatado, describe, que indica sus propiedades topológicas. Viene entre 01:19:22

paréntesis, que digamos si es abierto, si es cerrado, si está acotado, ese tipo de cosas, ¿vale? 01:20:05

Así que vamos a hacer el dibujo y una vez que tengo el dibujo delante, por ahí lo que es. 01:20:11

Es una parábola, que la vamos a tratar mucho. A ver, las parábolas solo pueden ser de dos 01:20:15

maneras. O son así, o son así. Así, si el numerito que multiplica x al cuadrado es positivo. 01:20:24

Así, si el numerito que multiplica x al cuadrado es negativo. Negativo. Luego es así. ¿Qué 01:20:32

punto de corte con los ejes y se acabó. Me da igual donde esté el máximo, de si eso no sirve para nada. No sirve para nada aquí, en general. 01:20:39

Así que punto de corte con los ejes. Con el eje y. ¿Es hacer x igual a cero? Pues cortan el 0,2. Con el eje x. Con el eje x es igualar el polinomio a cero. 01:20:47

Bueno, el 2 funciona, 6 más 2, 8, menos 8, o sea que el 2, 0 es 1, y el otro será, si este es el 2, tendría que ser el 1, 01:21:15

Si no, no veremos 01:21:38

Este igual a 0 01:21:42

Puede ser menos 3, más menos 01:21:45

9 01:21:47

4 por 2, 8, por 2, 16 01:21:47

Y entre menos 4 01:21:51

Así que me queda 01:21:54

Menos 3, más menos 5 01:21:56

Entre menos 4 01:21:59

Menos 3, menos 5, menos 8 01:22:01

Entre menos 4, 2 01:22:03

Y el otro, menos 3, más 5 01:22:05

Que es 2, 2 dividido entre 01:22:07

menos 4 01:22:09

el menos 1 medio 01:22:10

¿vale? 01:22:16

pues ya tenemos los dos puntos de corte 01:22:20

así que lo dibujo 01:22:22

pasa por menos 1 medio 01:22:24

o sea por aquí 01:22:30

y pasa por el 2 01:22:33

y aquí también por el 2 01:22:34

así 01:22:37

y me piden que me calcule 01:22:41

o sea que me piden 01:22:48

que me escriba R como la región del plano 01:22:50

encerrada por la palabra 01:22:52

en el primer cuadrante. 01:22:53

Así que R 01:22:56

es esto que va a ir. 01:22:57

Solo 01:23:01

lo que está en el primer cuadrante. 01:23:01

Ahí tenemos. 01:23:06

Y ahora me dicen que indique las propiedades 01:23:10

topológicas. 01:23:12

Está cerrada 01:23:15

y está acotada. 01:23:15

¿Vale? Es cerrado 01:23:18

porque tengo aquí el eje, 01:23:20

el eje y el arco de parábola. 01:23:22

hay una frontera cerrada 01:23:25

y además está acotado porque en ningún momento 01:23:26

se me va a estar infinito 01:23:29

lo tengo ahí delante de las narices 01:23:30

algo acotado es porque lo puedo encerrar 01:23:32

dentro de una circunferencia 01:23:34

y está claro que yo puedo dibujar una circunferencia 01:23:36

y tener todo dibujo dentro 01:23:38

así que R 01:23:39

acotado 01:23:41

y cerrado 01:23:43

y además ya me han puesto ellos 01:23:46

orientación 01:23:51

antihoraria 01:23:52

positiva 01:23:54

Luego, todos mis lados están orientados así, por propósito de la velocidad. 01:23:55

Y ya tenemos el apartado, por el que dan dos miserables puntos. 01:24:02

Vale, 20, no hay problema. 01:24:11

Luego el apartado B son cuatro, y el apartado C, catorce. 01:24:15

Así que ya sabemos lo que falta. 01:24:19

B, apartado D, nos dice, parametriza la curva indicando si la orientación dada por la parametrización coincide con la establecida. 01:24:25

Por aquí, parametriza la curva, parametriza C, indicando si coincide con la establecida. 01:24:42

Vale, yo voy a hacer que coincida con la establecida, porque voy a utilizar una parametrización para que no me sirva, porque ya veo que parametriza, orientación, si voy a utilizar el teorema de Grimm me interesa ya poner las cosas bien, ¿vale? 01:25:11

Entonces, yo tengo que parametrizar el borde, que son tres curvas, ¿vale? 01:25:42

Bueno, aquí dice parametrizar la curva, aquí habla de C, C es la curva que delimita, la curva que delimita son tres, C1, C2, C3, así que yo voy a parametrizar tres curvas. 01:25:48

La primera, el eje orix. C es la unión de estas tres cosas. C sub 1, pues llamo a su parametrización C sub 1, no menos por la vez. 01:26:03

Y tengo que parametrizar un segmento, el que va desde el origen de coordenadas hasta el punto 2, 0. 01:26:23

vale, el trocito que tenemos ahí 01:26:30

en el F 01:26:32

un segmento siempre 01:26:33

y cuando digo siempre es siempre 01:26:36

parametrizarlo de la manera 01:26:38

que yo voy a hacer, que no es la única 01:26:40

y que algunos de los otros profesores ponen otra 01:26:41

pero es que esta es la más sencilla 01:26:44

empezar en el punto donde empieza 01:26:45

el segmento 01:26:48

0,0 01:26:49

más 01:26:50

P 01:26:53

y ahora me hallo el vector que une 01:26:54

el principio con el final 01:26:58

que todos sabemos que se calcula 01:27:00

coordenadas del punto final 01:27:02

menos coordenadas del punto inicial 01:27:04

2, 0 01:27:06

menos 0, 0 01:27:08

o sea, me estoy bachando el vector director de una recta 01:27:10

2, 0 01:27:12

ya lo tengo parametrizado 01:27:14

¿vale? repito 01:27:17

pongo el punto donde comienzo 01:27:18

pongo t por el vector director 01:27:20

coordenadas del final 01:27:23

menos coordenadas del principio 01:27:24

de esta manera 01:27:26

Ahora, t siempre va de 0 a 1, siempre. Pero si no hago esta parametrización, t no tiene por qué ir de 0 a 1. Pero con esta, sí. 01:27:28

Y como lo habéis visto, se trata de parametrizar. Luego ya sé que tendré que ir allá para derivadas... 01:27:39

Aquí ahora en el apartado 2 me dicen sólo que lo parametrize. Parametrizar. 01:27:47

Paramétrico C2, la parábola. 01:27:52

Pues C2, ya sabemos cómo se parametriza la parábola. 01:28:02

Donde veo una X, pongo una T. 01:28:05

Y, dime. 01:28:08

¿Por qué la T va de 0 a 1? 01:28:10

Siempre, con esta parametrización, va de 0 a 1. 01:28:12

Fíjate, T vale 0. 01:28:14

Si T vale 0, ¿dónde empiezo? 01:28:16

En el 0, 0. 01:28:19

Y cuando T vale 1, ¿dónde terminas? 01:28:20

0, 0, más 2, 0. 01:28:23

En el 2, 0. 01:28:25

¿Empiezo? 01:28:27

Y termino. Y siempre puedo dar una cuenta. 01:28:27

¿Vale? Pero ojo, 01:28:30

tengo que parametrizar así, empezando con el principio 01:28:31

y poniendo el vector director 01:28:34

de final menos el principio. 01:28:35

Algunos de vuestros profesores cogen y vengan desde el final 01:28:37

y lo hacen al revés, porque en ese problema a lo mejor conviene. 01:28:39

Podría empezar desde el medio, 01:28:42

me voy a inventar otra. ¿Vale? 01:28:43

O sea, complicarme la vida, siempre lo hago. 01:28:46

C sub 2. 01:28:50

Aquello de allá arriba. 01:28:52

X es T. 01:28:54

Luego Y es 01:28:55

2. 01:28:57

Más 3T, menos 2T al cuadrado. 01:28:59

X va desde 2 hasta 0. 01:29:10

Voy al revés, por así decir. 01:29:17

Yo he dicho que X es T. 01:29:19

Lo que tengo que fijar es la X de mis puntos. 01:29:21

Aquí tengo dibujo. 01:29:27

¿Dónde empiezo? 01:29:29

Ahí. 01:29:30

Y aquí X vale 2. 01:29:31

Luego T vale 2. 01:29:32

¿Y dónde termino? 01:29:34

Aquí 01:29:35

Donde X vale 0 01:29:36

Luego T vale G 01:29:38

Así que yo puedo poner G 01:29:40

De 2 01:29:42

A 0 01:29:45

¿Vale? Va al revés, no pasa nada 01:29:46

Pues de 2 a 0, cuando ponga la integral 01:29:51

Pondré 2 abajo y el 0 arriba 01:29:52

Y los números uno pone como de la gana 01:29:54

Lo de poner el de abajo 01:29:56

El pequeño y arriba el grande, pues lo pondré ahí 01:29:57

No puedo dar la vuelta en ningún reto 01:30:00

Y ahora nos queda 01:30:02

C sub 3 01:30:04

Vale, pues C sub 3 tenemos 01:30:05

Por un lado, que es un segmento 01:30:16

Ya sé cómo debo hacerlo 01:30:20

Me cojo el punto en el que comienzo 01:30:22

0, 2 01:30:25

0, 2 01:30:26

Más C 01:30:28

Por el vector y director de ese segmento 01:30:30

Punto final, que es el origen de coordenadas 01:30:34

Menos el punto inicial 01:30:36

0, 2 01:30:39

Así que me queda 0, menos 0 01:30:40

Y 0, menos 2 01:30:41

o el cero menos dos 01:30:43

y así sé que siempre 01:30:46

t va de cero a uno 01:30:48

y lo podéis comprobar 01:30:50

que era el de arriba y luego el de abajo 01:30:52

¿cómo lo he dicho en el c2? 01:30:54

en el c2 he dicho 01:30:59

como es una parábola 01:31:00

a la x la llamo t 01:31:01

y entonces voy aquí, sustituyo por t 01:31:03

y ya tengo el cero 01:31:05

es lo que se llama estándar 01:31:06

por así decirlo 01:31:08

¿listo? 01:31:09

Bueno, ya le hemos apartado b. Y ahora viene el polvo. Apartado c. Y me da una integral y me dice que la calcule de dos maneras distintas. 01:31:13

Apartado c. 01:31:23

Pues calculamos. Tengo dos formas distintas. Ojo con cómo lo escriben. 01:31:26

Materiales en este drift, ¿no? 01:31:57

¿Vaya que no tiene materiales? 01:32:00

Está por plaza. 01:32:01

Bueno, bueno, es... 01:32:03

Él lo estima así, pero sé que algunos de vuestros profesores lo escriben de esta manera. 01:32:04

Así. 01:32:08

Ahora vamos a ver qué significa eso. 01:32:13

Porque uno lo dice, es que no es un mal campo. 01:32:15

¿Vale? 01:32:19

Esta integral es esto. 01:32:25

Han hecho esto. 01:32:38

¿Y veis? 01:32:43

Es el mismo producto. 01:32:44

¿Vale? 01:32:47

Esto de aquí es el campo. 01:32:48

Y esto de aquí es lo que yo os he puesto en la parte de teoría 01:32:51

Diferencial de R 01:32:55

¿Vale? 01:32:56

Lo de la izquierda es el campo 01:32:58

Producto escala 01:33:00

Diferencial de R 01:33:03

Esto es el diferencial de R 01:33:04

Esto es el campo 01:33:08

Pero lo dan ya multiplicado 01:33:09

Lo hacen varios de vuestros profesores 01:33:11

Así que hay que estar atentos 01:33:13

Porque hay que mirar dentro y sacar el campo 01:33:15

Cuidado con los signos 01:33:17

Y ojo que algunos son tan cabronazos 01:33:19

Que esto lo dan al revés 01:33:22

¿Vale? Y te pone 01:33:26

Menos X diferencial de Y 01:33:27

Más 3 diferencial de X 01:33:29

Y claro, tú según lo lees lo vas poniendo 01:33:31

Pues cuidado que a lo mejor lo han girado 01:33:32

Que eso es lo que van a decir 01:33:34

¿Vale? 01:33:35

Así que hay que estar muy atentos a esto 01:33:39

Ya tenemos el campo delante de las narices 01:33:40

F 01:33:43

Yo ahora tengo 3 opciones 01:33:44

Y me dicen que tengo que hacer la integral de dos maneras distintas. 01:33:46

Primera opción, directa, siempre. 01:33:50

Siempre puedo utilizarla. 01:33:52

Segunda opción, como lo de si es conservativo. 01:33:54

Si es conservativo tengo una segunda opción. 01:33:57

Tercero, teorema de Green. 01:34:00

Si desde que ha empezado el problema, olí a teorema de Green. 01:34:02

Orientada positivamente, la curva está cerrada, ya tengo las parametrizaciones de cada lado. 01:34:05

¿Vale? 01:34:10

Vamos a ver si es conservativo. 01:34:11

Derivada de P respecto de Y 01:34:12

Cero 01:34:16

Derivada de Q respecto de X 01:34:18

Menos uno 01:34:21

No es conservativo 01:34:22

Así que esa opción fuera 01:34:24

Luego tengo que hacerlo de forma directa 01:34:26

Y utilizando el teorema de P 01:34:29

Bueno, forma directa 01:34:31

Forma directa, sabemos que tenemos que hacer esto 01:35:15

F 01:35:27

Diferencial de R 01:35:28

pongo el simbolito, ya que he visto que la curva está cerrada 01:35:31

si queréis no lo pongáis, que no lo he puesto 01:35:34

vale, la curva era cerrada 01:35:36

y yo 01:35:38

me paso a 01:35:44

t sub f 01:35:45

t sub 0 01:35:47

f función de c 01:35:48

para la metodización 01:35:51

su derivada 01:35:54

diferencial de t 01:35:55

¿dónde está el t? que tengo tres curvas 01:35:56

como tengo tres curvas, me tengo que hacer 01:36:01

tres integrales, una por cada curva 01:36:02

y luego sumarlas 01:36:05

Necesito calcularme c' de la primera vez, porque necesito siempre la derivada de la 01:36:06

parametrización. Tenemos aquí la parametrización, 0, 0, la derivada es 0, derivo esto respecto 01:36:27

de t y me queda el vector 2, 0. Luego la derivada es el 2, 0. Y yo ya sé que t va de 0 a 1. 01:36:35

Pues ahora aplico lo de arriba, pero tengo que cambiar mi parametrización en el campo. 01:36:49

Así que me queda por calcular f de t. ¿Vale? El campo es el 1 menos x. En el 1 no hay ninguna 01:36:54

X y ninguna Y, así que no hay nada que cambiar. 01:37:07

El 1 es el 1. 01:37:09

Ahora, cuidado. 01:37:11

Menos X. 01:37:12

Tengo que ir aquí a la parametrización de C1 01:37:14

y ver quién es X. 01:37:17

X son las primeras componentes. 01:37:19

más 2 por T. 01:37:22

Luego la X es 2 por T. 01:37:25

Luego aquí tengo que poner 01:37:27

menos 2 por T. 01:37:28

Ya lo tengo todo. 01:37:31

Ya puedo quitar esta primera. 01:37:32

¿Entendido esto? 01:37:38

¿Cómo lo hemos montado? Campo derivada de la parametrización. Vale, pues ahora voy hacia la fórmula y sustituyo. Lo tenemos todo. 01:37:39

Y uno ya ve que dice, bueno, es un polinomio, no va a ser difícil. 01:37:48

Integrar entre un y cero de nuestro campo por la derivada de la parametrización. 01:37:52

Hago el producto escalar y me queda el número dos. 01:38:02

Pues que todas las integrales sean así. Dos. 01:38:04

¿Vale? La integral por la curva C sub 1, 2 01:38:13

Me subo de arriba y hay que hacer lo mismo por la curva C sub 2 01:38:19

Y luego por C sub 3 01:38:27

Y al final sumadas 01:38:30

Curva C sub 2 01:38:31

Pues me hallo su derivada 01:38:35

Tengo aquí la parametrización de Iorios 01:38:37

1, 3, menos 4 01:38:42

Y t va de 2 a 0. Va al revés. Y ahora tengo que sustituir en f. La primera componente es el número 1. La segunda componente es menos x. Aquí la x es t, nada más. Así que menos x, menos 0. 01:38:47

Y ahora monto la integral, que va de 2 a 0. 01:39:12

Cuidado con los límites, que van al revés. 01:39:20

Los tipos de imágenes. 01:39:28

El campo, por la derivada de la parametrización. 01:39:33

Nos va a quedar un polinomio, luego integral sencilla. 01:39:40

Primero por primero, 1. 01:39:46

Y ahora, segundo por segundo, ya voy multiplicando. 01:39:50

Menos t por 3, menos 3t, menos por menos más, 4t al cuadrado, diferenciales, e integramos el polinomio, t por aquí, 3t al cuadrado medios, 4t al cubo, tercios, ceros. 01:39:52

Si sustituyo por cero 01:40:22

Tengo que sustituir primero por el de arriba 01:40:24

Me queda cero menos cero más cero 01:40:26

Cero 01:40:28

Menos 01:40:29

Y ahora sustituyo por dos 01:40:32

Dos menos 01:40:34

Doce entre dos 01:40:36

Ocho 01:40:38

Por cuatro, treinta y dos tercios 01:40:40

Así que esto queda 01:40:43

Cuatro 01:40:47

Menos treinta y dos tercios 01:40:48

Si no me confundo, doce menos treinta y dos 01:40:53

2 menos 2, menos 20. Ya tenemos el segundo tramo. Tercer tramo, el otro segmento. ¿Cuál 01:40:56

es la derivada de esta parametrización? La derivada del 0,2 es 0. Aquí, 0,2. T entre 01:41:23

y ahora f de t, el campo es 1 menos x, y ahora me tengo que fijar aquí quién es x, 01:41:33

y fijaros que x es 0, más 0 por t, 0, o sea, ahora x es 0, luego 0, 01:41:47

pues genial para nosotros, campo más sencillo, t de 1, 0, y ahora monto la integral, 01:41:55

copio el campo 01:42:01

por 01:42:10

este 01:42:12

podríamos acabar 01:42:14

porque ese producto es para la 0 01:42:15

y la integral del 0 01:42:18

es la 0 01:42:20

así que 01:42:21

la integral 01:42:28

a lo largo 01:42:31

de toda la curva C 01:42:34

es 2 01:42:35

menos 20 01:42:37

3 01:42:40

6 01:42:40

Menos 14 01:42:42

Ese es el valor de la integral 01:42:45

Primera 01:42:49

¿Puede dar un valor negativo? 01:42:53

Sí, esto es un trabajo 01:42:56

Puede dar lo que quiera 01:42:57

Cero, positivo, negativo 01:42:58

¿Vale? 01:43:00

Aquí da negativo, voy a solicitar baja 01:43:03

¿Visto cómo se hace? 01:43:04

Ha resultado fácil la integral en sí 01:43:15

El rollo es todo lo anterior 01:43:17

¿Vale? 01:43:18

Afortunadamente aquí no sigo dando puntos por todas 01:43:20

Segunda manera de hacerlo 01:43:22

Aplico el teorema de Kirchner 01:43:25

Y cuidado con algunos de vuestros profesores 01:43:28

Porque no solo quieren que lo apliquéis 01:43:41

Sino que le convengáis de que se puede aplicar 01:43:43

Así que F es de clase F1 01:43:46

¿Por qué? 01:43:50

Porque el campo F es el campo 1 menos X 01:43:52

Que es un polinomio 01:43:54

Así que, ¿cómo es? 01:43:55

B, X, Y 01:43:59

Pertenece a clase C1 01:44:00

Y C 01:44:08

Incluido en el 2 01:44:09

Es una curva 01:44:12

Ahora voy a utilizar esta otra jerga 01:44:15

Que alguno de vuestros profesores 01:44:17

En vez de decir de Yorra 01:44:19

Dicen que las curvas son simples 01:44:20

Es lo mismo 01:44:21

¿Vale? 01:44:22

C es una curva simple 01:44:25

Cerrada 01:44:29

y con orientación 01:44:31

positiva. 01:44:36

¿Vale? 01:44:41

Antiorada. 01:44:42

Tal como os han dicho en el enunciado 01:44:43

y tal como tenemos nosotros 01:44:45

puesto en el dibujito 01:44:47

que hemos hecho en el apartado A. 01:44:49

Podemos aplicar 01:44:55

que la integral 01:44:56

que nos están pidiendo 01:45:04

coincide 01:45:07

con esta. 01:45:11

R es lo que han llamado, lo que hemos dibujado en el apartado A, que era el interior, la región 01:45:12

¿Vale? Como lo han llamado R, por ahí lo han llamado 01:45:36

Vale, el campo es el 1 menos X 01:45:39

Por tanto, la derivada parcial de Q respecto de X es menos 1 01:45:45

Y la derivada parcial de P respecto de Y es 0 01:45:51

Así que esto de aquí dentro es el número menos 1 01:45:55

Luego me queda esta integral 01:45:59

la integral del número 01:46:03

menos uno 01:46:05

sobre R 01:46:06

sacaré el signo menos fuera 01:46:08

y hacemos la integral doble 01:46:12

voy a poner otra vez 01:46:14

el dibujito R, porque ahora R 01:46:17

tenemos que ver si nos interesa ponerlo como dominio tipo uno 01:46:18

como dominio tipo dos 01:46:21

y calcular la integral doble 01:46:23

y ya veis que las integrales dobles 01:46:24

y triples volverían a salir 01:46:27

y aquí va, ¿sabéis? 01:46:28

pongo el dibujo 01:46:32

así 01:46:34

el 2 01:46:40

el 0 01:46:42

y esto de aquí 01:46:45

la parábola 01:46:46

que era 01:46:48

así o a lo mejor me lo estoy inventando 01:46:51

es esa 01:46:53

2 más 3x 01:46:55

para 01:46:57

muy bien 01:46:57

voy a poner esto como un dominio tipo 1 01:47:00

así que me meto dentro 01:47:03

y pongo 01:47:04

una vertical 01:47:06

De forma que R 01:47:08

Es esto 01:47:10

¿De dónde a dónde va la vertical? 01:47:12

De 0 a 2 01:47:17

Los valores de X 01:47:18

Así que X 01:47:20

Encerrado 01:47:26

Entre 0 y 2 01:47:27

¿De dónde a dónde va la Y? 01:47:30

La vertical empieza en el eje 01:47:33

Luego va al exterior 01:47:35

Y la vertical termina en la parábola 01:47:36

Donde la Y va al exo 01:47:38

Así que la Y va desde el 0 01:47:41

hasta esto 01:47:42

ya tenemos esto puesto como un dominio tipo 1 01:47:46

ya podemos hacer la integral 01:47:54

así que 01:47:55

esta integral de aquí 01:47:57

es menos 01:47:59

¿vale? ya saco el signo menos 01:48:07

¿cuál? 01:48:10

todo lo límite de la integración 01:48:12

estamos obligados a integrar primero 01:48:13

la Y 01:48:16

porque depende 01:48:18

de X 01:48:20

Integra por ahí viva 01:48:21

¿Vale? 01:48:30

Para no estar con... 01:48:55

Bueno, vale 01:48:57

Integra 01:48:57

Integra 01:49:01

Entre 0 01:49:13

Y 2 01:49:14

Vale, solo tengo que sustituir por 2 01:49:16

Porque cuando sustituyo por 0 01:49:20

Todos son 0 01:49:22

Entonces aquí aparece 4 01:49:23

Más 3 01:49:25

menos 01:49:29

16 01:49:32

tercios. 01:49:34

Esto de aquí sale. 01:49:37

¿Sabéis lo que es? 01:49:52

Esto es un cuadrado, o lo dado esto no es un tercio. 01:49:53

Tercio. 01:49:56

Ahí. 01:49:59

No, eso es 6. 01:50:06

Ya, el último también es 6. 01:50:07

¿Vale? 01:50:11

Así que eso de ahí dentro es 01:50:12

10 menos 16 tercios, 01:50:13

30 menos 16, 01:50:16

14 tercios, 01:50:17

Con el signo menos, pues cuadra, menos, catorce, así que, mismo intervalo, vale, y lógicamente, mismo, mismo, bueno, aunque sea cinco minutillos voy a poner uno, si eso lo comentamos, a ver. 01:50:19

Gracias. 01:51:04

Gracias. 01:51:48

Este fue el año pasado, 24 de mayo de 22, y en viernes, considera la rosa polar de tres pétalos, da igual, esto es, la curva determinada en polares, ese es el papel, que me la dan en polares, 01:52:26

R igual a coseno de 3 títalo 01:52:44

Tengo que dibujar el pétalo 01:52:46

Del semifrano derecho 01:52:49

Y me pone ahí que títalo va 01:52:50

Desde menos pi sextos 01:52:52

A pi sextos 01:52:54

¿Vale? O sea 01:52:56

La rosa que me dan 01:52:58

Que dependiendo del numerito que me pongan 01:53:03

Dentro de la función coseno 01:53:05

Son de 2, de 3, de 6 01:53:06

De los pétalos que me dan 01:53:08

Ponen esto 01:53:10

¿Vale? 01:53:11

Esa es la ecuación que nos han dado 01:53:17

Y lo primero que tengo que hacer es 01:53:19

Expresar la curva en coordenadas cartesianas 01:53:22

Con pruebas y la curva cerrada 01:53:24

Indica, bueno, esto ya lo haremos 01:53:26

Ahora solo voy a hacer el dibujo 01:53:27

Para que si podéis ir haciendo un programa 01:53:29

¿Vale? 01:53:31

¿Cómo voy a empezar la siguiente clase? 01:53:32

R coseno de 3 pi 01:53:34

Me dan los valores de tita 01:53:36

Entre los que tengo que dibujar 01:53:44

Pero pensad de esta manera 01:53:46

Tita se tendrá que pegar una vuelta 01:53:47

Por todo 01:53:50

Cero por pi 01:53:51

7 con 0 01:53:52

Esto es cos 0 de 1 01:53:53

O sea, cos 0 de 0 es 1 01:53:55

Luego cuando el ángulo va de 0 01:53:57

Yo estoy aquí 01:54:00

N 01:54:02

¿Vale? 01:54:06

Y ahora 01:54:08

¿Qué valor es el que tengo que tomar 01:54:09

Para que justo esté en cos 0 de pi medios 01:54:11

Que sé que es 0? 01:54:13

Pi sextos, para que vea 01:54:15

Porque 3 por pi sextos 01:54:17

Es pi medios 01:54:20

Y cos 0 de pi medios es 0 01:54:21

Por tanto, cuando yo volví a hacer desde 0 hasta pi sextos, que son 30 grados 01:54:23

R empezó valiendo 1 y termina valiendo 0 01:54:29

Algo así 01:54:34

R empieza valiendo 1 y cada vez se hace más pequeño 01:54:35

Y este ángulo, pi sextos 01:54:42

Y a mí me están diciendo, dibújatelo entre menos pi sextos y pi sextos 01:54:47

El coseno es simétrico 01:54:55

Como es simétrico, por lo mismo colado 01:54:57

es de tres pegados porque luego se ha hecho por aquí así y otro por aquí así es la curva entera 01:54:59

pero a mí solo me dicen lo de la derecha entonces curva cerrada la aviento positivamente ya voy 01:55:13

contestando las cosas y ya sé que si la curva cerrada voy a utilizar el green si el campo es 01:55:21

conservativo, el que me den por ahí, a lo mejor hago una cosa. No suele pasar, pero a veces pasa. La curva es cerrada. Si el campo es conservativo, no tienes que hacer nada, la respuesta es cero, siempre. 01:55:26

Porque si el campo es conservativo, podemos hallar f chiquitita. Y yo hago una resta, f en el punto final, menos f en el punto inicial. Pero claro, si la curva está cerrada, el punto final y el punto inicial es el mismo. 01:55:40

Así que hago F en el , menos F en el . 01:55:55

A veces se escapa por A y os lo pone. 01:56:00

Entonces, tenerlo eso siempre presente. 01:56:04

Curva cerrada con campo conservativo, ya hemos acabado. 01:56:06

Cero. Siempre. Siempre de siempre. 01:56:09

Lo siempre que os gusta a vosotros. 01:56:11

¿Vale? No hay tú. 01:56:13

Hay que explicar. Nada más. 01:56:15

¿Vale? 01:56:17

Bueno, el sencillo sabe todo esto. 01:56:19

Yo empiezo por aquí y el próximo dice. 01:56:21