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Regla de Cramer - Contenido educativo

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Subido el 26 de julio de 2018 por Manuel D.

328 visualizaciones

Se explica cómo resolver un sistema compatible determinado usando la regla de Cramer

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato. 00:00:02
Vamos a hablar sobre la regla de Cramer en este vídeo. 00:00:11
Es una manera sencillísima para resolver sistemas de ecuaciones. 00:00:14
¿Os acordáis cuando resolvíamos sistemas mediante igualación, sustitución o reducción? 00:00:18
Bueno, pues ahora no va a hacer falta. 00:00:23
Vamos a calcular directamente los valores de las incógnitas mediante una serie de determinantes. 00:00:24
Directamente vamos a calcular su valor. 00:00:30
¿No es fantástico? Bueno, para ello vamos a empezar recordando cómo se podía escribir un sistema de ecuaciones de forma matricial. 00:00:32
Un sistema de ecuaciones de m ecuaciones con n incógnitas puede escribirse de una manera matricial, es decir, mediante el producto de una matriz de coeficientes por una de incógnitas, una columna de incógnitas y un término independiente a la derecha de la igualdad. 00:00:40
Esa ecuación se puede entonces resumir de la manera a por x igual a b, donde x es la incógnita, a y b son matrices de coeficientes. 00:00:55
Entonces, la idea es despejar la x, es decir, podemos calcular la inversa de a de manera que pase a la derecha, 00:01:03
pues esto solo se puede hacer si se verifican dos condiciones, que la a sea una matriz cuadrada y que se pueda calcular su inversa, 00:01:11
es decir, que el determinante no sea 0. Es decir, en nuestro caso, que la n sea igual a la m, 00:01:19
número de ecuaciones igual al número de incógnitas, y que el determinante sea no nulo. 00:01:25
Entonces, en ese caso, podremos despejar la a a la derecha como a a la menos 1, 00:01:29
multiplicando a ambos lados de la ecuación por a a la menos 1, y en ese caso, la x va a ser a a la menos 1 por b. 00:01:34
Entonces, la pregunta es, ¿se puede calcular este producto de una manera sencilla? Y la respuesta es afirmativa, sí se puede. Veremos cómo. Recordemos, antes de eso, que A a la menos 1 se puede calcular mediante determinantes como el adjunto de la traspuesta o la traspuesta del adjunto dividido por el determinante. 00:01:41
Recordemos también que esto significa que hay que calcular la matriz de adjuntos y luego transponer 00:02:01
Y bueno, pues transponer la matriz de adjuntos es simplemente cambiar el índice 00:02:07
Lo que antes estaba en filas lo ponemos en columnas 00:02:12
De manera que la cuenta que tenemos que hacer nosotros será esa que tenéis ahí en pantalla 00:02:14
1 partido por el determinante por la matriz adjunta traspuesta multiplicada por la columna de las b 00:02:19
Bien, entonces vamos a fijarnos cómo se calcularía una de las incógnitas, la x sub i 00:02:24
la que está en la fila Y, pues la operación que habría que hacer sería multiplicar esa fila y columna que tenéis ahí 00:02:29
y dividir por el determinante de A. Es decir, nos da esa fórmula que tenéis ahí que dice que para calcular X sub Y 00:02:36
habrá que hacer ese sumatorio donde, importante, la columna Y es fija. 00:02:44
Es decir, estamos calculando los adjuntos complementarios de la columna Y y multiplicándolos por los Bs. 00:02:49
en realidad lo que estamos haciendo es calcular un determinante de una matriz cuadrada desarrollándolo 00:02:55
por los elementos de la columna y que matriz cuadrada es la que estamos calculando bueno 00:03:02
pues la matriz a en la que hemos sustituido la columna y por la columna de los términos 00:03:06
independientes p en conclusión la fórmula se puede interpretar como que la x sub i se calcula 00:03:11
mediante la división de dos determinantes en el denominador el determinante de a en el numerador 00:03:17
el determinante de la matriz cuadrada que resulta de sustituir en A la columna I por la columna de términos independientes B. 00:03:22
Bueno, puede que la fórmula no haya quedado clara. Vamos a ver que es realmente sencillo utilizando el siguiente ejemplo. 00:03:31
Ahí tenéis un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Vamos a escribirlo de manera matricial. 00:03:38
Tendremos la matriz de coeficientes, que son los coeficientes de las incógnitas, la matriz columna de los términos independientes 0, 1, 1, 00:03:45
que es los términos de la derecha de la igualdad, y eso da pie a la ecuación matricial A por X igual a B. 00:03:52
Bien, entonces, importante los datos de la matriz A y la matriz B, que es con lo que vamos a calcular la regla de Cramer. 00:04:00
La X, primera incógnita, pues la X se va a calcular mediante la fórmula en la que hemos cogido la B y la hemos puesto en la columna primera. 00:04:08
Hacemos ese determinante en el numerador y en el denominador, dividimos y un séptimo nos da el resultado directamente de la X. 00:04:15
La Y, pues la B va en la columna 2 y el resto de columnas son como en la matriz A. 00:04:22
Dividido entre el determinante de la matriz A, total menos 3 séptimos y haciendo lo mismo con la Z, la B iría ahora en tercer lugar en la columna 3, pues nos da un séptimo. 00:04:29
Listo, se acabó. No hay que hacer nada, no hay que despejar, simplemente hay que calcular 4 determinantes y hacer 3 divisiones. 00:04:39
Y de esa manera calculamos directamente el valor de la X, de la Y y de la Z. 00:04:47
Bien, pues esto ha sido la regla de Cramer. Es muy útil para sistemas de dimensión 3, 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 00:04:51
Se puede utilizar también para los sistemas de 2x2, aunque realmente es un poco matar moscas a cañonazos. 00:04:57
Y a partir de dimensión 4 o más, pues realmente los determinantes son muy pesados de calcular computacionalmente. 00:05:03
No se usa. Se utilizan métodos más numéricos. 00:05:10
Bueno, espero que os haya gustado. Nos vemos en siguientes vídeos. Un saludo. 00:05:14
Valoración:
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
328
Fecha:
26 de julio de 2018 - 18:28
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
05′ 18″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
46.65 MBytes

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