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Ejercicio 3. Vectores - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Vamos a considerar que tenemos un polígono, como por ejemplo aquí que tenemos un pentágono 00:00:00
y los datos que me dan de ese polígono son las coordenadas de los vértices. 00:00:05
Importante que si me dan las coordenadas de los vértices yo sitúe los vértices bien, 00:00:13
es decir, en sentido horario o antihorario los vértices tienen que estar consecutivos 00:00:17
A, B, C, D, E o si habéis empezado al revés este sería el A, el B, el C, etc. 00:00:23
Los datos son las coordenadas de los vértices. 00:00:30
Sabemos calcular distancias. 00:00:33
Por ejemplo, si yo quiero calcular el lado AB, yo lo que hago es calcular el módulo del vector AB. 00:00:36
Puesto que tengo las coordenadas de los vértices, calcularía primero este vector, 00:00:47
el vector que va desde A hasta B 00:00:53
y luego el módulo de ese vector 00:00:58
también podría calcular por ejemplo una diagonal 00:01:03
por ejemplo si yo quiero calcular la longitud de la diagonal 00:01:09
AC, bueno, imaginar que va recto 00:01:13
pues igual yo calcularía la longitud de esa diagonal 00:01:19
calculando primero el vector AC, puesto que tengo las coordenadas del extremo y del origen de A y de C 00:01:26
y el módulo de ese vector me daría la longitud de esa diagonal. 00:01:44
De esta manera calculamos distancias. 00:01:49
Vamos a ver ahora cómo podemos calcular ángulos. 00:01:52
Imagina que yo ahora quiero calcular el ángulo que tenemos en el vértice E. 00:01:55
Vamos a llamar ese ángulo alfa. 00:02:02
En este caso, lo que vamos a hacer va a ser utilizar el producto escalar. 00:02:06
Y el producto escalar con dos vectores que tengan el origen en el vértice E. 00:02:13
Es decir, si yo quiero calcular el ángulo alfa, tengo que formar el vector ED y el vector DEA. 00:02:20
Los dos tienen que partir del mismo, tienen que tener origen aquí, en el vértice E. 00:02:40
De esa manera, el coseno de alfa, recordad que el producto escalar de EA por ED sería módulo de EA por el módulo de ED por el coseno del ángulo que forman 00:02:45
Y también, si sé las componentes de estos dos vectores, componente a componente, puedo calcularlo. 00:03:15
De esa manera, despejando coseno de alfa, sería el producto escalar de ea por ed, 00:03:21
dividido por el producto de los módulos de los dos vectores. 00:03:37
Alfa sería arco coseno de esta cantidad. 00:03:42
La calculadora me va a dar el resultado correcto, porque siempre me da el ángulo más pequeño, 00:03:57
es decir, no me va a dar nunca este ángulo de aquí, sino el que hemos definido como ángulo formado por dos vectores, el correcto. 00:04:04
Si el coseno es positivo, es que ese ángulo va a ser agudo, menos que 90. 00:04:15
Y si es mayor que 90, si está entre 90 y 180, pues entonces el coseno será negativo. 00:04:21
En todo caso, la calculadora, cuando yo calcule arco coseno de esta cantidad, directamente me da el ángulo correcto. 00:04:31
No tengo que hacer ninguna corrección. 00:04:39
Como ejemplo vamos a hacer este ejercicio. 00:04:41
En un rombo, como el de la figura, me dan los vértices 00:04:43
Y me piden calcular el perímetro del rombo, la longitud de las diagonales y los ángulos 00:04:52
En un rombo los lados son iguales 00:05:00
Entonces, si me piden el perímetro del rombo, puedo calcular uno de los lados 00:05:06
y luego multiplicar esa longitud por 4 para calcular el perímetro. 00:05:12
Vamos a calcular, por ejemplo, el vector AB, que sería este, 00:05:21
extremo menos origen, sería menos 2 menos menos 3, 1, 00:05:37
y 0 menos 3 menos 3. 00:05:44
De tal manera que el módulo de A a B sería la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más menos 3 al cuadrado raíz de 10. 00:05:49
Como en el rombo todos los lados son iguales, el perímetro sería 4 raíz de 10. 00:06:14
Apartado B. 00:06:31
Longitud de las diagonales. 00:06:33
Aquí tenemos dos diagonales de longitud distinta. 00:06:34
Vamos a calcular cada una de ellas. 00:06:40
Por ejemplo, vamos a empezar por la diagonal menor. 00:06:46
Calculamos el vector de b, coordenadas del extremo menos las del origen, menos 2, menos menos 4, 2. 00:07:00
Y la segunda componente sería 0, 0, menos 0, 0. 00:07:11
De tal manera que el módulo de este vector, como una componente es cero, me quedaría dos. 00:07:17
Esta sería la longitud de la diagonal menor. 00:07:31
Bueno, se ve claramente porque si lo representamos como las coordenadas en el eje Y son cero, 00:07:44
de menos cuatro a menos dos, pues van dos unidades. 00:07:50
Y aquí nos va a salir seis unidades la diagonal mayor, pero vamos a hacerlo también. 00:07:54
El vector AC que me daría la otra diagonal 00:07:57
Pues menos 3 menos menos 3 sería 0 00:08:06
Y menos 3 menos 3 menos 6 00:08:11
El módulo pues me da 6 00:08:15
Longitud de la diagonal por último 00:08:20
Los ángulos del rombo 00:08:40
Los ángulos del rombo son iguales 2 a 2 00:08:42
Este ángulo es igual que este y luego este ángulo es igual que este 00:08:45
Vamos a calcular primero este de aquí, por ejemplo 00:08:53
Vamos a llamarle ángulo alfa 00:09:00
Para ello voy a construir los vectores AB y AB 00:09:02
Los dos con vértice en A 00:09:11
AB tiene coordenadas, bueno esto ya lo teníamos de antes, 1, menos 3 00:09:14
Y el AD tiene coordenadas, menos 1, menos 3 00:09:28
El coseno de alfa será el producto escalar de AB por AD 00:09:43
Dividido por sus módulos, por el producto de los módulos 00:10:00
1 por menos 1 más menos 3 por menos 3 que es 9 00:10:07
Así que en el numerador quedaría menos 1 más 9, 8 00:10:25
Y en el denominador los módulos estos son iguales porque los lados son iguales 00:10:31
Y el módulo de cualquiera de ellos pues es la raíz de 10 00:10:38
Así que aquí me quedaría raíz de 10 por raíz de 10, 10, simplificando, 4 quintos. 00:10:49
Y de aquí el ángulo alfa, pues sería arco coseno de 4 quintos. 00:11:09
36 grados, 52 minutos, vamos a poner casi 12 segundos. 00:11:35
Para el otro ángulo, bueno, puedo utilizar también otro resultado 00:11:45
Es que en un cuadrilátero la suma de todos los ángulos tiene que ser 360 00:12:00
Es decir, que dos veces alfa 00:12:09
Dos veces alfa 00:12:12
Si aquí le llamamos beta a este ángulo 00:12:14
Más dos veces beta 00:12:17
Tiene que ser igual a 360 00:12:22
es decir, alfa más beta, 180 grados 00:12:25
con lo cual beta sería el suplementario de este ángulo que acabamos de calcular 00:12:32
también podríamos calcularlo como hemos hecho con el ángulo alfa 00:12:40
pero esto sería más rápido 00:12:46
143 grados, 7 minutos, 48 segundos 00:12:49
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 16:14
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
13′ 03″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
40.39 MBytes

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