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Ej Repaso Geo12 - Contenido educativo
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Hola, vamos ahora con este ejercicio.
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Son tres cuestiones que tenemos que resolver, ¿vale?
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La primera, me piden calcular el ángulo formado por dos rectas R1 y R2.
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Las dos rectas vienen dadas en forma continua.
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A ver, el ángulo que forman dos rectas es el mismo ángulo que forman sus vectores directores, ¿vale?
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Entonces, bueno, vamos a ver cuáles son.
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Voy a ir poniendo, aunque no lo necesitemos, de la recta R1,
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Lo de siempre, tenemos el punto A, 0, menos 2, 1, lo voy a sacar todo, ¿vale? Y voy a llamar U a su vector directo, que es el 1, 2, 2, y de la recta R2 tenemos el punto B, que es el 1, ay, que se me ha ido, 1, 0, 3, ¿vale?
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y el vector que le voy a llamar v, que es el 2 menos 3, 2, ¿vale?
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Entonces, para calcular el ángulo, lo único que tengo que hacer es calcular el ángulo del vector u y v.
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¿Cómo podemos calcular el ángulo de dos vectores con lo que nosotros hemos visto hasta ahora?
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Bueno, pues utilizando el producto escalar, ¿vale?
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Recordáis que el producto escalar teníamos dos posibilidades.
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Por un lado teníamos que el producto escalar de dos vectores u por v era el módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman que le voy a llamar alfa.
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Pues de aquí si despejamos, el coseno de alfa es por tanto el producto escalar de los dos vectores partido por el módulo de u por el módulo de v.
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vale pues por lo tanto para calcular el ángulo pues lo único que tenemos que hacer es aplicar esa formulita
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venga vamos a ello coseno de alfa va a ser igual producto escalar de u por v
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pues esto será 1 por 2 es 2 2 por menos 3 es menos 6 y 2 por 2 es 4
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más 4 y aquí tenemos que hacer aunque si nos damos cuenta que lo de arriba directamente ya es 0
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me da lo mismo un poco el módulo pero para trabajarlo un poquito y recordarlo vamos a calcular los módulos
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El módulo de u sería la suma del cuadrado de cada uno de los elementos, es decir, 1 más 4 más 4, raíz de 9, por la otra raíz, que sería 4 más 4, 16, 16 más 9, 25.
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Los dos tienen raíces exactas, pero en el fondo esto directamente es 0.
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Entonces, lo único que tenemos que hacer es, ¿qué ángulo tiene por coseno 0? Pues 90 grados.
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Entonces, ¿qué significa? Pues que la recta R1 es perpendicular a R2.
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Ya hemos sacado el ángulo que forman las dos, ¿vale?
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Venga, el apartado B.
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Me dicen, calcula una recta R3 perpendicular a las rectas R1 y R2 y exprésala en forma paramétrica.
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Vale, a ver, lo primero, hemos escrito antes los vectores directores de U y V, ¿verdad?
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Está claro que no son proporcionales.
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A ver, no he dicho los vectores directores de U y V, no, quería decir los vectores directores de R1 y R2 que son U y V.
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Las coordenadas no son proporcionales, por lo tanto, está claro que las rectas se cortan
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y además ya sabemos con qué ángulos se cortan, porque el ángulo que están formando las dos es 90 grados, ¿vale?
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Entonces lo primero que vamos a hacer va a ser, o sea, para calcular una recta sabemos que necesitamos un punto y un vector director.
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Y ese vector director que yo estoy buscando, ¿cuál va a ser? Pues uno que sea perpendicular a ambas rectas,
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es decir, un vector que es perpendicular tanto a u como a v, es decir, lo que buscamos es el producto vectorial de los vectores u y v.
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Eso sería para tener el vector director, pero ¿cómo calculamos el punto?
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Bueno, pues como sabemos que las dos rectas son perpendiculares, vamos a buscar el punto de intersección de esas dos rectas
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y justamente ese va a ser el punto que pertenezca a la recta que estamos buscando, para asegurarnos que sea perpendicular a los otros dos.
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Entonces, a ver, da igual un poquito el orden, vamos primero con el vector director, le voy a llamar W,
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que va a ser el producto vectorial de u por v, ¿vale? Es decir, i, j, k, flechitas, y ahora ponemos el vector u que es el 1, 2, 2,
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el vector v que es el 2, menos 3, 2 y calculamos el vector.
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Esto sería 4, menos menos es más, 4 más 6, 10.
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En la j sería 2, menos 4, menos 2 con el menos 2.
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Y en la k sería menos 3, menos 4, menos 7, si no me equivoco.
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Y ahora, la pregunta es, ¿cómo se calcula la intersección de dos rectas si nos vienen así en continuas?
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¿O cómo se calcula la intersección de dos rectas cuando estamos en el espacio?
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Porque cuando estamos en el plano es muy sencillo, solo tenemos que resolver el sistema.
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Bueno, pues en este caso para calcular el punto de intersección lo más fácil es escribir las ecuaciones en forma paramétrica, igualar las incógnitas, la x con la x, la y con la y, la z con la z y calcular el valor de los parámetros, ¿vale?
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Es decir, a ver, empezamos escribiendo la primera ecuación, R1 en forma paramétrica y sería,
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bueno, no sé cuántas rayitas he puesto, esto sería x menos 0, voy a llamar a los parámetros lambda y nu, ¿vale?
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Al de la primera le voy a llamar lambda, sería x igual a lambda, la coordenada y sería menos 2 más 2 lambda, ¿vale?
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Y la Z sería 1 más 2 lambda también. La R2 sería X igual a 1 más 2 lambda, lambda no, perdón, más nu, tiene que ser diferente de parámetro, ¿vale?
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Y igual a 0 menos 3 lambda, menos 3 nu, perdón, que se me va otra vez, y z que tiene que ser igual a 3 más 2 nu.
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Y ahora lo que hacemos con estas 6 ecuaciones es igualar x con x y con y, z con z, es decir, me quedaría que lambda es igual a 1 más 2 nu, ¿vale?
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que menos 2 más 2 lambda es igual a menos 3 nu, y la última, que 1 más 2 lambda es igual a 3 más 2 nu.
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Ponemos un poquito más, bueno, voy a dejar la primera, ya que la tengo despejada, la voy a dejar directamente,
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lambda igual a 1 más 2 nu, y voy a jugar con las otras dos, las voy a colocar. Si la coloco me queda aquí 2 lambda más 3 nu igual 2, ¿vale?
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Y la tercera ecuación me queda 2 lambda menos 2 nu igual a 3 menos 1, 2. A ver, daros cuenta que es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas,
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por lo tanto voy a tener bastantes soluciones, ¿vale?
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Entonces, vamos a utilizar, voy a hacer una reducción de las dos últimas.
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Si hago una reducción de las dos últimas y las restos me quedan 3 menos menos 2n,
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2nu me queda 5nu, 2 menos 2 es 0 y de aquí lo que obtengo es que la nu es 0.
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He dicho que tendríamos infinitas soluciones, no quería decir eso.
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Lo que quería decir es que es un sistema, o sea, cuando tiene infinitas soluciones
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es porque es un sistema compatible y determinado.
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Pero en este caso concreto, como sé que la intersección es un punto en concreto,
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sí que voy a obtener unos valores fijos, ¿vale?
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Por un lado, la nu vale 0, y ahora utilizo la primera ecuación,
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que no la había utilizado, para obtener el valor de lambda.
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Y lambda va a ser 1, ¿vale?
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Si os fijáis, para ver que todos los valores están bien,
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si yo sustituyera en cualquiera de las dos ecuaciones de abajo,
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estos valores, obtendría lo mismo si la nu es 0, como hemos calculado, 2 lambda es igual
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a 2, ¿vale? Y ahora, ¿qué es lo único que tengo que hacer? Pues calcular el punto correspondiente
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y vamos a comprobarlo en las dos ecuaciones para verlo. La lambda era con la r1, ¿verdad?
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Pues si este valor lo sustituyo en r1, lo que obtengo es el punto x es lambda, es decir,
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1, menos 2 más 2 lambda, menos 2, menos 2 más 2 que sería 0 y 1 más 2 lambda, 1 más
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2, 3, ¿vale? Y si yo sustituyera el valor de nu en R2, el punto que obtendría sería
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1 más 0, 1, menos 3 por 0, es decir, 0 y 3 más 0, 3, ¿vale? Veis que el punto que
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hemos obtenido es exactamente el mismo, es el punto de intersección. Bueno, pues ya
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lo tenemos todo. Para el punto, o sea, para el apartado B, entonces lo que estábamos
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buscando es la recta R3 y me dicen que la exprese de manera paramétrica. Vale, pues
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Entonces R3 va a ser X, Y, Z, el punto es el 1, 0, 3, 1, 0, 3, y el vector director es el 10, 2, menos 7, por lo tanto, más 10T, 2T, menos 7T, ¿vale?
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con t un número real, he puesto t ahora para no volver a ponerla
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pues este sería el ejercicio, el apartado b
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y ahora el apartado c me dicen que cuál es la ecuación general del plano pi
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que contiene a r1 y a r2, pues a ver
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voy a subir un poquito, voy a dejar solamente el apartado del b
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que es lo que necesito, me piden la ecuación
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de un plano, no sé si le llaman
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¿Cómo le llaman? ¿Le llaman de alguna manera? Del plano pi que contiene a r1 y a r2.
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O sea, quiero un plano pi de tal manera que r1 está contenida en pi y que r2 está contenida en pi.
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Vale, pues lo tenemos todo, ¿verdad? Porque lo podemos hacer de dos formas.
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Uno es utilizando los vectores directores r1 y r2, o sea, de la recta 1 y de la recta 2,
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porque van a ser los vectores directores del plano
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o también podemos utilizar el vector normal del plano
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que es justamente el vector W que acabamos de calcular antes
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pero necesitamos un punto, ¿qué punto vamos a utilizar?
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pues el que acabamos de calcular, sabemos que el punto
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lo voy a llamar A, el que acabamos de calcular
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1, 0, 3, si es el punto de intersección
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de las dos rectas y las dos rectas están en el plano
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este punto también pertenece a pi
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¿vale? entonces lo podemos calcular o bien
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utilizando los vectores directores o bien a partir de estos dos calcular el vector normal del plano
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va a coincidir con el vector w que hemos calculado en el apartado anterior, que es el 10, 2, menos 7.
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Lo podemos hacer de esta manera o si no directamente con los vectores directores, ¿vale?
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Y el punto. Si lo hacemos de esta forma, la ecuación del plano vendría dada por 10 por x menos el punto, x menos 1,
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más 2 por y menos el punto, y menos 0, que no hace falta ponerlo así,
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menos 7 por z menos 3, y esto lo igualamos a 0.
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Entonces aquí me queda que esto es 10x, lo voy a ir haciendo de cabeza ya,
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más 2y menos 7z, y los términos independientes que me quedan son menos 10,
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menos 10 más 21, pues me queda más 11, igual a 0.
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Pues este es el plano pi que me estaban pidiendo.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
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- Francisca Beatriz P.
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- Fecha:
- 20 de abril de 2026 - 0:57
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 13′ 11″
- Relación de aspecto:
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