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Casos Particulares - Contenido educativo

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Subido el 13 de enero de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver unos casos particulares para calcular los determinantes. 00:00:00
Lo primero que vamos a ver es unos ejemplos en los que el determinante siempre va a ser cero. 00:00:04
Si yo veo que se verifica alguna de estas propiedades, no me hace falta calcular el determinante, aplico la propiedad. 00:00:11
Antes de nada decir que cuando hablo de una línea en una matriz, me estoy refiriendo indistintamente a fila o a columna. 00:00:17
¿Vale? La primera propiedad, si una línea es cero, su determinante va a ser cero 00:00:25
¿Por qué va a ser así? Pues a ver, pongamos por ejemplo este determinante 00:00:31
Y vamos a poner por ejemplo, voy a poner siempre determinantes 3x3 ¿Vale? 00:00:35
La primera columna, eso, en la segunda columna la voy a poner todo ceros ¿Vale? 00:00:41
Y aquí pues los números que queramos 00:00:47
¿Por qué vamos a saber sin hacer cálculos? 00:00:50
Es decir, yo si veo esto, diría, como tengo una columna que todo es cero, ya sé que su determinante es cero 00:00:55
Pero vamos a ver por qué esto es así 00:01:02
A ver, fijaos, si yo aplico Sarrus, lo que obtendría es el primer producto diagonal principal 00:01:04
¿Qué ocurre? Que tiene un cero, por lo tanto el producto va a ser cero 00:01:10
El siguiente, vuelvo a tener un 0 en el segundo producto, 3 por 0 por 3 00:01:14
El siguiente, 0 por 2 por 1 00:01:20
Vuelve a haber un 0 00:01:23
Por lo tanto, todos esos son ceros 00:01:25
En la diagonal secundaria hay también un 0 00:01:27
Por lo tanto, es 0 00:01:30
En sus paralelas, 3 por 0 por 5 00:01:31
Veis que hay otro 0 00:01:34
Y en el otro triángulo que me falta, también hay un 0 00:01:36
Por eso el determinante de una matriz que tiene una línea que es 0 va a ser siempre 0 00:01:41
La segunda propiedad 00:01:48
Si tenemos dos líneas paralelas iguales, el determinante también va a ser 0 00:01:52
Vamos a ver porque si yo me calculo aquí 00:01:57
Voy a poner ejemplos sencillitos 00:02:00
Menos 1, 0, 1 00:02:02
Dos líneas paralelas iguales, pues por ejemplo estas dos 00:02:05
Y aquí el 2, 1, 2 00:02:09
Ya está este mismo 00:02:13
A ver, ¿por qué va a ser 0? 00:02:14
Fijaos, si yo aplico aquí otra vez, o sea, aplico Sarrus 00:02:18
Lo que obtendría es menos 1 por 0 por 2 00:02:20
Lo voy a ir calculando aquí abajo, ¿vale? 00:02:24
Menos 1 por 0 por 2 00:02:26
Más menos 1 por 1 por 1 00:02:29
Menos 1 por 1 por 1 00:02:32
Más 0 por 1 por 2 00:02:36
Y ahora tendríamos que poner los negativos, estos son los positivos 00:02:39
Los negativos son los de la diagonal secundaria 00:02:44
Menos 2 por 0 por 1 00:02:47
Menos 1 por 0 por 2 00:02:50
Menos 1 por 0 por 2 00:02:56
Menos 1 por 1 por menos 1 00:02:59
Y fijaos, ¿qué ha ocurrido? 00:03:02
Pues que vamos teniendo los mismos sumandos 00:03:08
Menos 1, 0, 2 en positivo 00:03:11
Y el menos 1 por 0 por 2 aquí le tengo en negativo 00:03:13
El sumando menos 1 por 1 por 1 ahí está en positivo 00:03:17
Y aquí le tengo en negativo 00:03:21
Y el último 0 por 1 por 2 en positivo aquí está en negativo 00:03:23
Por lo tanto siempre tengo su número y su opuesto 00:03:28
Que al sumarlo lo que me va a dar exactamente 0 00:03:30
¿Qué ocurre si las líneas paralelas no son solamente iguales sino que son proporcionales? 00:03:34
Bueno, pues justamente por la proporción vamos a obtener también lo mismo 00:03:41
Vamos a poner, por ejemplo, menos 1 en la que he cogido la primera fila de la otra 00:03:46
Y ahora voy a multiplicarla por menos 2 y me quedaría 2, 2, menos 4 00:03:53
Y vamos a dejar, por ejemplo, aquí la 1, 0 00:04:00
Nosotros ya sabríamos al verlo, al ver que estas dos columnas son paralelas, son proporcionales 00:04:03
Ya sabríamos que el determinante es 0 00:04:12
Pero ¿por qué va a ser así? Vamos a comprobarlo 00:04:14
Vamos a ir poniendo como antes los productos positivos 00:04:17
La diagonal principal, menos 1 por 2 por 1 00:04:20
Menos 1 por 2 por 1 00:04:23
Más el siguiente, menos 1 por menos 4 por 1 00:04:26
Menos 1 por menos 4 por 1 00:04:30
Más 00:04:35
Bueno, podríamos haber hecho aquí los productos para que hubiera sido más fácil 00:04:36
Me queda 2 por 0 por 2, para no escribir tanto 00:04:40
2 por 0 por 2 00:04:44
Y ahora lo negativo, ¿vale? 00:04:46
Fijaos que lo que estoy calculando es el determinante 00:04:49
Este de aquí, que no lo he puesto 00:04:51
Menos 2 por 2 por 1 00:04:54
2 por 2 por 1 00:04:57
menos, menos 1 por 2 por 1, menos 1 por 2 por 1, y menos 4 por 0 por menos 1, 4 por 0 por menos 1, y esto cuánto va a ser, pues a ver, el primero me da menos 2, el segundo más 4, este, el tercero es 0, esto me sale aquí menos 4, este me sale aquí menos por menos es más, por 2, más 2, y este vuelve a ser 0, 00:04:59
Que obtengo otra vez los sumandos opuestos. Por lo tanto, el total va a ser cero. 00:05:28
Y el último caso en el que el determinante va a ser cero es cuando lo que tengo es una combinación lineal. 00:05:36
¿Qué es una combinación lineal? Pues posiblemente ya no lo recordéis porque lo visteis en cuarto de la ESO cuando veíamos el tema de vectores y de rectas. 00:05:42
Una combinación lineal no es nada más que lo que soléis hacer cuando hacemos Gauss. 00:05:54
Cuando transformamos una ecuación en otra sumando o restando dos ecuaciones que previamente han sido multiplicadas, ¿vale? 00:05:58
Es decir, yo puedo decir que la ecuación 3 es, por ejemplo, dos veces la ecuación 1 más tres veces la ecuación 2. 00:06:07
Esto es una combinación lineal, ¿vale? 00:06:19
Cuando una, bueno, he puesto aquí ecuaciones, en nuestro caso serían filas o líneas, filas o columnas. 00:06:21
Si una de ellas podemos encontrar como un juego 00:06:27
Es decir, como si fuera una más la otra o menos la otra 00:06:30
Multiplicadas por algunos números 00:06:34
¿Vale? 00:06:36
Eso sería una combinación lineal 00:06:38
Vamos a verlo con un ejemplo 00:06:40
Igual que hemos hecho aquí 00:06:45
No voy a demostrarlo, sino vamos a ver con un ejemplo 00:06:46
Que efectivamente se cumple 00:06:49
Vamos a suponer que tenemos de primera fila 00:06:51
Menos uno la que tenía antes, dos uno 00:06:55
Vamos a poner las mismas que teníamos, menos 1, 2, 0 00:06:57
Y ahora vamos a poner como tercera fila la suma de las dos 00:07:01
Menos 2, 4, 1 00:07:06
Si nosotros al hacer esto nos damos cuenta que la fila 3 es la fila 1 más la fila 2 00:07:09
Yo no tendría que hacer ningún cálculo, diría que directamente el determinante es 0 00:07:20
Ahora vamos a ver por qué sería así 00:07:25
Vamos a ver cuánto sería este determinante 00:07:28
Aplicamos otra vez Arus 00:07:30
Menos 1 por 2 por 1 00:07:32
Menos 1 por 2 por 1 00:07:34
Ya voy a poner directamente el resultado 00:07:36
Menos 2 00:07:38
El siguiente sería menos 1 por 4 por 1 00:07:39
Menos 4 00:07:42
Y el siguiente sería 2 por 0 por menos 2 00:07:44
Más 0 00:07:46
El negativo 00:07:48
Menos 2 por 2 por 1 00:07:49
Sería menos 4 es decir 00:07:52
más 4 menos 00:07:54
menos 1 por 2 por 1 sería menos 2 con el menos 00:07:57
me queda 1 más 2 menos y el que me queda es 4 00:08:02
por 0 que es 0 por menos 1, 0 00:08:06
fijaos que vuelve a pasar lo mismo de antes, me quedan los sumandos opuestos 00:08:09
menos 4 con más 4 y menos 2 más 2, es decir que es 00:08:14
exactamente 0, ¿vale? bueno pues estos son 00:08:18
casos concretos en los que el determinante es 0. Ahora vamos a ver unos casos particulares 00:08:22
dependiendo del tipo de matriz. Si lo que tenemos es una matriz diagonal, ¿qué era 00:08:27
una matriz diagonal? Aquella que tenía todos los elementos 0 a excepción de los elementos 00:08:33
de la diagonal. Por lo tanto, bueno, siempre estoy llamando a la matriz, la podríamos 00:08:39
llamar como quisiéramos, ¿vale? Fijaos, yo que sé, menos 1, 2, 5, y todo lo demás 00:08:43
es cero. Bueno, pues la propiedad, el caso particular, las propiedades que verifican 00:08:50
este tipo de matrices, es que el determinante va a ser siempre el producto de la diagonal 00:08:59
principal, tanto en la diagonal como en la escalar como en la triangular, es decir, esto 00:09:05
va a ser siempre menos uno, en este caso por dos, por cinco, que sería menos diez. Y fijaos 00:09:10
por qué va a ser esto así, pues porque todo el resto de sumandos van a ser cero. Si yo 00:09:16
Hago Sarrus, sería diagonal principal menos 1 por 2 por 5, ¿vale? 00:09:22
No tiene ningún 0, es lo que he puesto. 00:09:26
Siguiente sumando, 0 por 0 por 0, pues eso ya sabemos que es 0. 00:09:28
El siguiente, 0 por 0 por 0, también es 0. 00:09:34
Diagonal secundaria, 0 por 2 por 0, tiene un 0, también es 0. 00:09:38
Siguiente, 0 por 0 por 5, también es 0. 00:09:44
Y el que me falta, 0 por 0 por menos 1. 00:09:47
Pues también es cero, ¿vale? Luego el único sumando que no es cero es justamente la diagonal principal. 00:09:51
¿Qué era una matriz escalar? ¿Lo recordáis? Una matriz escalar es una matriz diagonal, pero que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. 00:09:59
Por ejemplo, 2, 2, 2. 0, 0, 0, 0, 0, 0. Pues fijaos, ¿cuánto va a ser esto? Pues lo mismo, 2 por 2 por 2, 2 al cubo, 8. 00:10:08
¿Y por qué va a ser así? Pues exactamente por lo mismo que en el caso anterior. Es una matriz diagonal. 00:10:23
Si yo me pusiera a hacerlo por Sarrus, vería que todos los demás son ceros. 00:10:29
Y por último, una matriz triangular. Pues, por ejemplo, vamos a poner en la diagonal, no sé, 2 menos 1, 1, y vamos a poner los ceros en la parte de arriba. 00:10:33
Y aquí, pues, 1, fijaos que me estoy poniendo números sencillitos, ¿vale? Aunque en el fondo nos da lo mismo. 00:10:46
¿Qué os he dicho? He dicho que en estos tres casos el determinante va a ser siempre el mismo, es decir, sería 2 menos, el mismo quiero decir el producto de la diagonal principal. 00:10:53
No el mismo valor, menos 1 por 1, es decir, menos 2. 00:11:03
¿Y por qué? Pues exactamente por lo mismo que pasaba antes. 00:11:08
Diagonal principal, 2 menos 1, 1, y ahora en el resto de sumando siempre va a haber un 0. 00:11:12
1 por 1, por el 0 de arriba del todo, aunque he cogido un poco el otro. 00:11:17
El siguiente sería 0 por 0, por 2, también va a ser 0. 00:11:22
Diagonal secundaria, menos 2 por 1, por 0, también es 0. 00:11:27
1 por 0 por 1, también es 0. 00:11:32
Uy, se me ha subido un poquito. 00:11:36
Y el último, 0 por 1 por 2, pues tenemos un 0, también es 0. 00:11:38
Luego estos serían los casos particulares para poder saber si tenemos matriz diagonal, escalar o triangular, 00:11:43
que el determinante siempre va a ser el producto de la diagonal. 00:11:49
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
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Fecha:
13 de enero de 2025 - 1:01
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
11′ 55″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
33.79 MBytes

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