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PAU. Recta tangente a f por un punto exterior - Contenido educativo

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Subido el 15 de noviembre de 2026 por Jose Luis M.

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Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio, que es el típico ejercicio de encontrar la recta tangente a una función dada, 00:00:00
pero tiene una peculiaridad que vamos a ver ahora. 00:00:07
Fijaros, el enunciado dice que encuentra toda la recta tangente a F, que pasen por el punto P, 2, 3, vale. 00:00:10
Pues yo lo primero que haría sería comprobar si ese punto está en la gráfica. 00:00:21
Con lo cual, si el punto P, que es 2, 3, pues vamos a ver si está en la gráfica. 00:00:25
Hacemos F de 2, que es igual a 8, más 12, menos 1, que es igual a 19, que es distinto de 3. 00:00:39
Luego, P no está en la gráfica F. 00:00:50
¿Esto qué quiere decir? 00:01:05
Bueno, pues si uno recuerda cómo es una función cúbica, que será así, pues imaginaros, puesto así a ojo totalmente, pues el punto P estará aquí. 00:01:06
¿Y qué nos piden? Pues rectas tangentes que pasen por ahí y que sean tangentes a la función. 00:01:18
Pues, por ejemplo, si hiciera esta así, pues aquí tendríamos un punto de tangencia. 00:01:25
Si esta función sigue, a lo mejor aquí, así, tendríamos otra tangencia por aquí arriba. 00:01:31
Bueno, no lo sabemos, así que tenemos que averiguarlo. 00:01:45
Lo que tenemos claro es que tenemos que hallar estos puntitos de tangencia, estos de aquí. 00:01:49
este por ejemplo pues será un punto A 00:01:59
y entonces si tengo el punto de tangencia 00:02:01
pues tengo ya para hacer la recta tangente 00:02:04
así que vamos a llamar ese punto A 00:02:07
que será un valor A 00:02:10
y por supuesto F de A 00:02:13
o sea que el punto de tangencia 00:02:15
pues tendrá coordenadas 00:02:18
A cubo más 3A cuadrado 00:02:20
menos 1 00:02:23
por otro lado una recta tangente 00:02:25
una recta en general siempre es así, ¿vale? Vamos a llamar esta recta R, que va a ser una recta tangente, así que esta por ser tangente y por pasar por P, 00:02:28
pues P pertenece a R, esto nos quiere decir que 3 es igual a, cambiando la equis por 2, nos tiene que salir 3, pero A también está en R, 00:02:42
porque es la tangente. Entonces, cambiando la equis por a, nos tiene que salir esto. 00:02:53
Luego esto va a ser así. a por m más n. Y nos queda un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas. 00:03:02
Vale, pues de la primera... Perdón, perdón, perdón, que estoy viendo ahí un 3. Esto no puede ser un 3, esto es una n. 00:03:16
Claro, porque he cambiado por n. 00:03:28
Vale, entonces de la primera ecuación puedo despejar la n, que será 3 menos 2m. 00:03:30
Y entonces en la segunda ecuación, pues sustituyo 3a cubo más 3a cuadrado menos 1, 00:03:36
va a ser igual a m, y ahora en lugar de n, pues pongo más 3 menos 2m. 00:03:45
Si reagrupo este 3, esto va a quedar así 00:03:52
a cubo más 3a cuadrado menos 4 igual a am menos 2m 00:04:00
Bien, si saco factor común m en el segundo miembro 00:04:09
Pues me va a quedar a menos 2 por m 00:04:19
Recordad que nuestro objetivo es encontrar A para saber el punto de tangencia. 00:04:26
En este caso voy a despejar M, porque M, al ser la recta tangente, M es la pendiente de la recta tangente. 00:04:31
Este dato es importante. 00:04:47
Por ejemplo, si llamamos R a la roja, pues yo ya sé la pendiente de la roja en función de A. 00:04:49
Pero por otro lado, la recta roja es tangente a la función F. 00:04:55
¿Y quién me da la pendiente de la recta tangente? Correcto, la derivada. Así es que f' de x es igual a 3x al cuadrado más 6x. 00:04:59
Y entonces la pendiente de la recta roja será f' de a, que es 3 al cuadrado más 6a. 00:05:13
Pero claro, esta pendiente y esta pendiente tienen que coincidir. 00:05:22
Esto nos lleva a que a cubo más 3a cuadrado menos 4 partido de a menos 2 tiene que ser lo mismo, 00:05:29
la misma pendiente que si la calculo por la derivada. 00:05:41
Y fijaros, ya solo tengo a. 00:05:46
Entonces, bueno, pues a multiplicar. 00:05:49
Esto va a quedar a cubo más 3a al cuadrado menos 4 igual a 3a al cuadrado más 6a por a menos 2. 00:05:52
Bueno, multiplicando esto usando la propiedad distributiva dos veces, voy a seguir por aquí. 00:06:06
Pues nos va a quedar a cubo más 3a cuadrado menos 4 igual a 6a cuadrado, perdón, cuadrado no, 6a cubo y más 6a cuadrado. 00:06:13
ya he multiplicado la a, ya era menos 2, menos 6a cuadrado menos 12a, vale, si ya reagrupamos 00:06:37
todo en un miembro, pues nos va a quedar 2a cubo, esto ya veo que se va, menos 3a cuadrado 00:06:47
menos 12a más 4 igual 0 00:06:58
vale, esto es un polinomio de grado 3 00:07:03
cuyo único método ha sido bote pronto es factorizar 00:07:10
y para ahorrarme pruebas pues voy a usar el teorema del resto 00:07:15
que ya sabéis que si cojo un polinomio p y lo divido entre x menos a 00:07:19
bueno voy a poner otra letra que no vamos a confundir 00:07:24
Y lo divido entre x, yo que sé, menos s, entonces p de s es el resto. 00:07:26
Y yo busco resto 0 para que sea factorizable. 00:07:42
Así es que voy a probar, como ya sabéis, con los divisores del término independiente. 00:07:45
Bueno, pues pruebo con 1 y esto me sale 2 menos 3 menos 12 más 4, que es 2 menos 3 menos 1 menos 1 menos 12 menos 13 menos 9, distinto de 0. 00:07:53
luego este no va a dividir 00:08:12
f de menos 1 00:08:14
pues va a quedar 00:08:16
menos 2 00:08:17
menos 3 00:08:18
más 12 más 4 00:08:21
distinto de 0 00:08:23
tampoco 00:08:25
voy a seguir con menos 2 00:08:26
2 por 00:08:29
menos 2, esto ya lo voy a hacer así 00:08:32
menos 2 00:08:33
al cuadrado 00:08:36
menos 12 por menos 2 00:08:37
más 4 00:08:40
Esto es menos 8 por 2, menos 16, menos 12, más 24, más 4, que es igual a 0. 00:08:41
Premio. Este factoriza. 00:08:52
¿Esto qué quiere decir? Pues que este polinomio va a ser a más 2 por algo. 00:08:55
¿Y qué es el algo? Pues aquí voy a hacer Ruffini para sacar lo que me queda dividido. 00:09:00
si no hemos hecho bien tiene que cuadrar 00:09:08
menos 2 bajo el 2 00:09:12
esto es menos 4 00:09:15
esto es menos 7 00:09:16
esto es 14 00:09:18
esto es 2 y esto es menos 4 00:09:19
y cuadra 00:09:22
por tanto tenemos que nuestro 00:09:23
polinomio 00:09:26
la ecuación inicial 00:09:28
bueno realmente polinomio 00:09:29
que ahora si en el fondo es 00:09:32
a más 2 00:09:38
por 00:09:39
a al cuadrado menos 7a 00:09:41
más 2 igual a 0. Y ahora 00:09:44
fácilmente nos salen ya las soluciones. Claramente 00:09:48
una va a ser a igual menor 2 00:09:52
ahí va a haber un punto de tangencia y ahora pues tendremos 00:09:56
que resolver la ecuación de segundo grado. Y esto pues a va a ser igual 00:10:00
al opuesto de b más menos 00:10:09
Menos 7 al cuadrado 00:10:13
Menos 4 00:10:17
Por 2 00:10:18
Cuidado 00:10:22
Que aquí se me ha puesto una raya de más 00:10:24
Esto es 2 00:10:26
Bueno, sigo 00:10:31
Partido de 4 00:10:34
Bueno, bueno, aquí un 2 y aquí un 2 00:10:35
Partido de 4 00:10:42
Esto es 7 más menos 00:10:45
49 menos 16 00:10:48
partido de 4 00:10:52
que es 7 más menos 00:10:54
la raíz de 33 00:10:57
partido de 4 00:10:58
luego tenemos 3 puntos de tangencia 00:11:00
el primero que lo voy a llamar a 1 00:11:02
el menos 2 00:11:05
el segundo 00:11:07
que lo voy a llamar a 2 00:11:08
pues va a ser la raíz positiva 00:11:11
y el tercero 00:11:13
va a ser con la raíz negativa 00:11:17
ahora sabemos que 00:11:19
una recta tangente cuando tenemos el punto de tangencia 00:11:28
es así, pues tenemos que hacer esto para cada valor 00:11:32
y aquí os voy a enseñar un truco, si ponemos que a1 es igual a menos 2 00:11:47
os voy a enseñar un truco con vuestra calculadora 00:11:53
mirad, la calculadora negra que tenéis 00:11:56
tiene una cosa muy interesante 00:12:02
que es que se le pueden meter funciones 00:12:04
entonces si yo cojo este botón 00:12:06
y digo 3, voy a definir F 00:12:09
y pongo aquí 00:12:12
x cubo 00:12:15
le doy aquí para bajarme 00:12:17
más 00:12:19
cuadrado 00:12:23
menos 1 00:12:24
acabo de meterle la función 00:12:26
y si ahora le vuelvo a dar al botón 00:12:28
le digo, bueno, pues calculame f de menos 2 00:12:30
y nos sale 3 00:12:35
entonces ya sabemos que para esta recta vamos a tener 00:12:40
y menos, ha salido 3, pues y menos 3 00:12:50
igual a f' de a por x menos menos 2 00:12:56
y tenemos que calcular f, bueno, f de a1, o sea, f de menos 2, f' de menos 2, perdón. 00:13:03
Pero fijaros, otro truco súper bueno es que en este botón, esta calculadora permite almacenar dos funciones. 00:13:12
Vamos a definir la g. 00:13:20
¿Y en la g qué vas a poner? La derivada de f. 00:13:22
3x al cuadrado más 6x, x. 00:13:24
Vuelvo a darle aquí al botón, y ahora le digo, no, pues cálculame g de menos 2, sale 0, o sea que esto es y menos 3 igual a 0 por x más 2, o sea que sale y igual 3, la primera recta tangente. 00:13:33
que casualidad es horizontal 00:14:02
casualidad porque 00:14:05
el punto me lo he inventado 00:14:08
vale, para A2 00:14:10
tenemos este 00:14:13
y vamos a repetir el mismo 00:14:15
paso, y ahora ya pues tenemos mucha ventaja 00:14:19
porque ya tenemos metida en la calculadora 00:14:21
la F y la G 00:14:23
vale, entonces yo voy a decirle 00:14:24
que me calcule F de 1 00:14:26
y le digo que va a ser 00:14:28
7 más 00:14:32
raíz de 33 00:14:34
abajo 4 00:14:36
aquí lo más probable es que me dé decimal 00:14:38
porque no trabaja con irracionales 00:14:41
vale, pues entonces 00:14:43
61 con 80 00:14:46
vamos a redondear 00:14:51
o sea que esto va a ser 00:14:53
y menos 61 con 80 00:14:54
ahora la derivada de ese valor 00:14:59
pero la derivada de ese valor 00:15:01
en nuestra calculadora 00:15:03
la teníamos en la función g 00:15:04
así es que voy y digo, bueno, pues calculamos el valor de g 00:15:07
en 7 más la raíz de 33 00:15:11
partido de 4 00:15:17
cierro el paréntesis y esto me va a dar 49,57 00:15:20
así es que esto es 49,57 00:15:32
7 por x menos 7 más raíz de 33 partido por 4. 00:15:41
Esta va a ser nuestra segunda recta tangente. 00:15:52
Y si vamos a por la tercera, pues hay que hacerse tanto mismo. 00:15:59
A3 va a ser igual ahora a 7 menos raíz de 33. 00:16:03
Así que esto va a ser, y volvemos a poner la calculadora, 00:16:10
F, valor, fracción 7, menos la raíz de 33, bajamos 4, paréntesis, y esto nos da menos 0,67. 00:16:13
Vale, como da menos 0,67 y aquí hay un menos delante, esto se va a transformar en más 0,67. 00:16:33
igual, que se me va 00:16:41
como aquí tenemos g 00:16:48
pues lo volvemos a hacer 00:16:53
el que no tenga la calculadora esta 00:16:56
pues lo tiene que hacer a mano 00:16:59
7 menos 00:17:00
raíz de 33 00:17:03
entre 4 00:17:05
cerramos 00:17:09
y nos da 00:17:11
2,17 00:17:13
así es que esto va a ser aquí 00:17:14
2,17 por 00:17:16
x menos 00:17:21
7 menos raíz de 33 00:17:23
partido por 4 00:17:25
nuestra tercera 00:17:27
recta tangente 00:17:30
y ahora para comprobarlo 00:17:33
todavía más 00:17:35
os lo voy a hacer con geogebra 00:17:36
mirad, si ponemos 00:17:38
aquí geogebra classic 00:17:42
metemos la función 00:17:45
x al cubo 00:17:54
x cubo 00:17:56
más 3x cuadrado 00:18:00
menos 1 00:18:02
bien 00:18:04
ahora vamos a decirle que el punto P 00:18:06
es el 2 00:18:08
el 2, 3 00:18:10
bueno, pues fijaros 00:18:13
bueno, lo voy a poner aquí porque parece que 00:18:21
está bien 00:18:23
ahora está bien la escala, sí, vale, pues entonces 00:18:24
lo que nos pide es la recta tangente 00:18:29
que pasan por aquí, fijaros, habíamos cogido una que era 00:18:30
i igual a 3, ahí la tenéis, la primera 00:18:34
si cojo la segunda 00:18:39
bueno, voy a bajar un poco la pizarra 00:18:42
para que se vea bien, así, mirad, si ahora pongo aquí 00:18:46
la segunda 00:18:56
i menos 61.80 00:18:57
igual a 49.57 por x menos, como este no lo he puesto, lo tengo con así, 7 más sqrt de 33 entre 4, y me sale esa recta, fijaros, parece que no, 00:19:05
Pero si echara para atrás, es que la tangencia, vamos a poner así, ampliarlo para que se vea súper bien, y esto lo voy a bajar, efectivamente va a ser tangente por aquí. 00:19:27
Luego sí. De todas maneras, también lo voy a comprobar para que lo baje o gebra. 00:19:42
Ahora, si calculamos la siguiente, sería y más 0.67 igual a 2.17 por x menos, paréntesis, 7 menos la raíz de 33 entre 4. 00:19:47
ahí sale la otra tangente 00:20:09
¿lo veis? 00:20:11
pero aún así, todavía lo voy a comprar con GeoGebra 00:20:13
mirad, voy a poner 00:20:15
que A1 era 3, ¿os acordáis? 00:20:17
A2 era 00:20:20
más 00:20:23
SQRT de 33 00:20:25
entre 4 00:20:27
bueno, como ya lo tengo apuntado 00:20:29
y A3 00:20:31
era igual a 00:20:33
7 menos 00:20:35
No sé si cubre de 33 entre 4. 00:20:38
Y ahora fijaros, como he puesto esos nombres, pues yo ahora puedo poner directamente las rectas. 00:20:44
Igual a 1. 00:20:50
No lo veis, pero vuelve a ser. 00:20:53
Bueno, no lo veis porque son todas negras. 00:20:54
Vamos a ponerle el color. 00:20:56
Mirad. 00:20:58
La primera azul. 00:21:00
La segunda la vamos a poner verde. 00:21:02
Y la tercera la vamos a poner naranja. 00:21:05
entonces fijaros, cuando yo he puesto esta calculada por GeoGebra, se pone encima de la mía primera, 00:21:08
luego esta la tenemos bien, si yo ahora digo y menos f de a2 igual a f' de a2 por x menos a2, 00:21:16
fijaros, se pone encima de la verde 00:21:26
y si ahora hago la tercera 00:21:29
y menos f de a3 00:21:37
igual a f' de a3 00:21:39
por x menos a3 00:21:44
pues se pone encima de la tercera 00:21:46
luego ahí tenéis el ejercicio completamente resuelto 00:21:48
con la calculadora, con el geogebra y a mano 00:21:52
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
José Luis Muñoz Casado
Subido por:
Jose Luis M.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
15 de noviembre de 2026 - 18:31
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR JULIO PÉREZ
Duración:
21′ 57″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
59.97 MBytes

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