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5_6. PAU. Triángulo+Rectangulo - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a resolver este problema de optimización.
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Nos dicen que disponemos de una barra metálica de 10 metros y debemos construir esa figura.
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En el apartado A nos dicen que calculemos el área, perdón, la altura del triángulo equilátero en función de X.
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Pues vamos a ello.
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Esa es fácil, voy a hacer aquí arriba, porque si tenemos un triángulo equilátero,
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Pues ya sabemos que esto es x, esto es x, esto es x y la altura coincide en el punto medio.
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Por lo tanto, si llamamos a la altura h, pues usando Pitágoras tendremos que h al cuadrado,
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por usarlo de formas como es, sería h al cuadrado más el otro cateto, que es x medios al cuadrado,
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debe ser igual a la hipotenusa al cuadrado.
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Esto va a quedar h cuadrado más x cuadrado partido de 4 igual a x cuadrado
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Luego h cuadrado es igual a x al cuadrado menos x cuadrado partido por 4
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Que es igual a 3x al cuadrado partido por 4
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Tomando la raíz sacamos que la altura es raíz de 3 partido por 2 x
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Bueno, pues ya tenemos el apartado A hecho.
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Vamos con el B.
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El B nos dice en el área que sea máxima.
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Entonces, si volvemos a poner la figura, deberemos poner otra letra más.
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Porque esto es X, esto es X, esto es X, esto es Y, esto es Y y esto es X.
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Así es que el área de esta figura va a ser igual.
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El área del triángulo, que es base por altura.
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La base x, la altura es h, pero la h hemos sacado, que es esto,
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partido por 2 más el área del rectángulo.
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Esta sería la función.
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Vamos a llamar objetivo, por ejemplo.
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Observamos que tiene dos letras.
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Así es que, ¿podemos relacionar x con la y?
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Pues sí, porque la barra mide 10 metros y con 10 metros tenemos que cubrir los tres lados del triángulo
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x más x más x más y más y más x, o dicho de otra forma, 4x más 2y es igual a 10.
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Simplificando obtenemos 2x más y es igual a 5
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Y entonces podemos deducir que y va a ser 5 menos 2x
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Por tanto, voy a bajar un poco
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En nuestra función área va a quedar así
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Ya operando va a quedar raíz de 3 por x al cuadrado partido por 4
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más x por 5 menos 2x, esto va a quedar raíz de 3x al cuadrado partido de 4 más 5x menos 2x al cuadrado.
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Pero, como nos piden el área máxima, pues esta función de aquí nos da el área de esa figura en función de x.
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Así es que si derivamos a'x, pues ya sabemos que esto va a ser 3.
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Ahora, la derivada de 2x, de x cuadrado es 2x, más 5 menos 4x.
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O sea, que esto va a quedar raíz de 3 partido por 2x más 5 menos 4x.
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Necesitamos averiguar que diga cuándo la derivada se hace a cero.
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Esto va a equivaler a resolver esta ecuación.
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Si agrupamos un poco las x, pues vemos que tendremos que raíz de 3 partido por 2 menos 4x es igual a menos 5.
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Por lo tanto, la x va a salir igual, va a ser, bueno, lo voy a hacer aquí, raíz de 3 menos 8 partido de 2, esto es por x, igual a menos 5.
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Por lo tanto, la x va a ser igual a menos 10 partido de raíz de 3 menos 8.
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Aquí pasa algo. Vamos a ver qué pasa.
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Aquí podríamos decir, si queremos aproximar la x con la calculadora,
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nos va a salir que la x es aproximadamente 1,95.
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Bueno, como aquí la segunda derivada es fácil, la voy a hacer.
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La segunda derivada aquí va a ser raíz de 3 partido por 2, menos 4.
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Así es que la segunda derivada de x es menor que 0, siempre.
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Entonces, a' de menos 10 partido de raíz de 3 menos 8 es menor que 0.
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entonces es un máximo
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por tanto resulta que
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dependemos de cortar la barra
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si lo queremos dar con números
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irracionales así
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y poner que es aproximadamente
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1,595 metros
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y la altura tendrá que ser
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pues 5 menos 2 por x
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pues a mi me sale
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1.809 metros
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y con esto está resuelto el problema
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Luis Muñoz Casado
- Subido por:
- Jose Luis M.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 2
- Fecha:
- 12 de noviembre de 2026 - 12:59
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES PROFESOR JULIO PÉREZ
- Duración:
- 07′ 32″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 16.79 MBytes