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Máximos, mínimos y puntos de inflexión - Contenido educativo

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Subido el 15 de noviembre de 2026 por Jose Luis M.

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Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio. 00:00:00
Nos dan la siguiente función y nos piden calcular los extremos locales y o globales en el intervalo menos pi, pi 00:00:04
y comprobar la existencia de un punto en menos pi, pi que verifique que f' de c es igual a cero. 00:00:10
Y nos dan una sugerencia de más. 00:00:21
Bueno, vamos a empezar. 00:00:23
Bueno, como realmente nos piden los extremos, pues lo primero que tendremos que calcular será la derivada. 00:00:24
La derivada de f se puede interpretar de muchas formas aquí, pero fijaros que arriba, aquí no hay x. 00:00:30
Luego, se puede usar la regla del cociente, pero realmente no es necesario. 00:00:42
Por ejemplo, vamos a hacerlo de esta manera. 00:00:47
Yo me doy cuenta que esto, mi función puesta así, pues realmente como que hay un 1 y no hay nada de x, 00:00:51
Entonces realmente esta función la puedo interpretar así, y entonces se convierte en la derivada de una exponencial que es, creo que todo el mundo debería de saberla. 00:01:04
Esto va a ser menos 1 por más seno de x, y aquí hay que saberse bien la regla de la cadena, elevado a menos 2 por la derivada de la función que hay aquí dentro. 00:01:20
La derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es menos el seno. 00:01:35
Luego esto queda más seno de x. 00:01:40
Como veis, si ahora lo pongo todo, pues como nos da la función al principio, pues vamos a obtener esto. 00:01:45
Esto es en el numerador y en el denominador pues va a aparecer 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 00:01:55
Bien, es decir, marcamos aquí y ponemos aquí que f' de x es menos coseno de x más seno de x partido de 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 00:02:10
Ya tenemos calculada nuestra derivada. 00:02:38
Bien, vale, pues ahora ¿qué tenemos que hacer para hacer los máximos o los mínimos? 00:02:40
Pues f' de x igual a cero. 00:02:48
Ya sabéis que cuando hay una fracción solo se va a anular si se anula el numerador. 00:02:51
El numerador es esto y por tanto podemos resolver esto. 00:02:57
Vale, aquí tenemos dos posibilidades. 00:03:20
Voy a hacer las dos para que las veáis así en paralelo. 00:03:25
Bueno, posibilidad 1. No me doy cuenta de nada y decido que, por ejemplo, el coseno de x, pues ya sabéis que es más o menos la raíz de 1 menos el seno de x al cuadrado. 00:03:27
Si sustituyo, bueno, voy a coger solo un signo de la raíz, porque en el fondo me va a dar un poco igual. 00:03:52
Y esto es una ecuación trigonométrica normal. 00:04:03
Vale, entonces cogemos así, 1 menos seno al cuadrado de x, pues será igual a menos seno de x, si queréis. 00:04:08
Elevando todo al cuadrado, lo voy a poner en rojo. 00:04:19
Bueno, así es que se ve. Elevando todo al cuadrado, 1 menos seno al cuadrado de x es igual al seno al cuadrado de x, porque este menos también se va a elevar al cuadrado y va a quedar más. 00:04:22
Total que me queda esto. Lo voy a cambiar de lado que parece que me gusta más. 00:04:35
seno cuadrado de x es igual a 1 medio 00:04:42
por lo tanto, el seno de x es igual a más menos 00:04:45
1 partido por la raíz de 2 00:04:51
que es más menos, si racionalizáis 00:04:53
y fijaros que aquí ya 00:04:58
voy a bajar un poco, ahora subiré 00:05:01
acabo de obtener que 00:05:05
seno de x es igual a más menos raíz de 2 00:05:08
a todo el mundo le va a sonar que esta raíz, esta razón trigonométrica es la de pi cuartos 00:05:13
entonces vamos a tener que si seno de x es igual a raíz de 2 partido por 2 00:05:20
pues x sería igual a pi cuartos más 2kpi 00:05:28
y el otro ángulo que tiene también el seno raíz de 2 es 00:05:33
Si cogemos y dibujamos la circunferencia agonométrica, pues pi cuartos es este, pero este de aquí también va a tener el mismo seno. 00:05:41
Este ángulo va a ser pi menos pi cuartos, pues va a quedar pi menos pi cuartos, esto es 3pi cuartos más 2kpi. 00:05:57
Si hacemos lo mismo ahora para el seno de x, vale menos raíz de 2 partido por 2, por la misma razón esta circunferencia goniométrica va a salir que x es igual, vamos a poner que es menos pi cuartos más 2kpi y el otro raíz de 2 va a estar aquí, lo voy a poner en rojo para que lo veáis. 00:06:16
Es decir, este también va a ser menos raíz de 2 partido por 2 y este también va a ser menos raíz de 2 partido por 2. 00:06:48
Esto es menos pi cuartos y este sería, pues, podríamos decir menos 3pi cuartos más 2kpi. 00:07:01
Pero antes de dar una respuesta definitiva, debemos comprobar que esas son soluciones, efectivamente. 00:07:20
Vamos a comprobarlo. Si cogemos que x es igual a pi cuartos, entonces seno de pi cuartos más coseno de pi cuartos, esto es raíz de 2 partido por 2, más raíz de 2 partido por 2 es igual a raíz de 2. 00:07:26
Y esta no es solución. Esto se debe a que al elevar al cuadrado aparecen soluciones que no son. 00:07:45
Vale, si cogemos x igual a 3pi cuartos, lo voy a poner ya directamente. 00:07:54
El seno está aquí arriba, es raíz de 2 partido por 2, pero ahora el coseno es negativo. 00:08:02
Luego es menos raíz de 2 partido por 2, que es igual a 0. 00:08:11
Luego esta sí es solución. Vale, si sigo, pues si cojo x igual a menos pi cuartos, pues fijaros abajo que voy a tener que el seno de menos pi cuartos va a ser raíz de 2 menos raíz de 2. 00:08:15
y el coseno que está aquí, pues es raíz de 2 partido por 2, vuelve a salir 0, luego esta es solución. 00:08:34
Y nos queda la última, que fijaros, es este ángulo de aquí, pues vemos que el seno de pi menos 3pi cuarto va a ser negativo 00:08:50
y el coseno también va a ser negativo. 00:09:04
Luego esto da menos raíz de 2, esta no es solución. 00:09:08
Luego nuestras dos soluciones son esta y esta. 00:09:12
Lo voy a dejar aquí por un lado. 00:09:17
Ahora vamos a ver el otro método alternativo. 00:09:18
El otro método alternativo pasa por darse cuenta de que si tú tienes coseno de x más seno de x igual a cero, 00:09:21
pues puedo poner que el seno de x es igual a menos coseno de x. 00:09:34
Dividiendo todo entre coseno de x, pues resulta que me quedará seno de x partido de coseno de x igual a menos 1. 00:09:42
Pero ya sabéis que el seno entre coseno es la tangente. 00:09:54
Luego me está diciendo que la tangente de x es menos 1. 00:09:57
Y claro, vuelvo a pensar cuando la tangente es negativa. 00:10:00
La tangente va a ser negativa cuando el ángulo esté o aquí o aquí. 00:10:07
O sea, aquí en este ángulo o en este. 00:10:16
Eso nos va a decir que la tangente de x igual a menos 1 implica que o x es igual a menos pi cuarto más 2kpi. 00:10:20
O x es igual a este ángulo, que es 3pi cuartos más 2kpi. 00:10:32
Y si os fijáis, pues nos salen las mismas soluciones que teníamos antes. 00:10:41
Vale. Bueno, pues retomamos. 00:10:48
Me he quedado sin página. Vamos a hacer otra. 00:10:52
Bueno, voy a copiar aquí... Bueno, no sé cómo se copia. 00:10:58
Teníamos que en x igual a menos pi cuartos más 2kpi f' de x es igual a 0 00:11:06
Y en x igual a 3pi cuartos más 2kpi pasaba lo mismo 00:11:21
Bueno, realmente el 2kpi no nos va a dar falta porque nos dicen entre menos pi y pi 00:11:30
Y entonces podemos coger x igual a menos pi cuartos y x igual a 3 pi cuartos. 00:11:37
Pero claro, vamos a analizar los signos. 00:11:47
Entonces, la derivada, os recuerdo, era f de x igual a menos coseno de x más seno de x 00:11:50
partido de 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 00:12:03
O sea, que realmente el signo lo marca el numerador. 00:12:14
Bueno, pues ponemos aquí, vamos a poner aquí 0, 00:12:19
y aquí va a estar pues 3 pi cuartos, y aquí va a estar menos pi cuartos. 00:12:30
Pues vale, entonces, por ejemplo, si cambiamos la x por 0, pues aquí va a quedar coseno de 0 que es 1, seno de 0, o sea que aquí va a quedar negativo. 00:12:38
La función va a decrecer. 00:12:58
Si damos, por ejemplo, este valor aquí de pi, pues aquí coseno de pi va a ser menos 1, con este menos va a ser más, luego aquí va a ser más. 00:13:00
Y si le damos menos pi, por ejemplo, menos pi que va a coincidir con pi, esto va a ser menos 1, luego aquí vuelve a ser, bueno, he puesto ya las flechas pero realmente tenía que haber puesto más, menos, más, con lo cual ya vemos que en x igual a menos pi cuartos hay un máximo de movimiento relativo. 00:13:11
y en x igual a 3 pi cuartos hay un mínimo. 00:13:38
Pero claro, al darnos la función entre menos pi y pi, 00:13:47
pues nos dice el teorema de Bayester que hay un máximo y un mínimo absoluto. 00:13:54
Para averiguarlo tendremos que calcular el valor de cada punto donde hay un máximo mínimo relativo y también el valor en menos pi pi. 00:13:59
Vamos a comenzar. F de menos pi, ahora la hacemos sobre la función, es 1 partido de 2 más el seno de menos pi, más, menos, perdón, el coseno de pi, y entonces esto va a quedar, el coseno de menos pi, perdón, esto va a quedar un tercio. 00:14:13
Si hacemos f de pi, pues va a salir lo mismo. 00:14:38
Y ahora solo tenemos que averiguar f de menos pi cuartos. 00:14:45
Claro, acordaros que f de menos pi cuartos, en la circunferencia onométrica, pues el menos indica que vamos en sentido, en este sentido. 00:14:51
Luego ya tenemos que 2 más el seno de menos pi cuarto es claramente menos raíz de 2. 00:15:02
Voy a borrar aquí, que he puesto más, y es menos raíz de 2. 00:15:15
Menos raíz de 2 partido por 2. 00:15:22
Y sin embargo, el coseno de menos pi cuarto va a ser más raíz de 2. 00:15:25
Va a ser positivo, pero como es un menos, pues va a quedar así. 00:15:31
Luego esto es 1 partido de 2 menos raíz de 2. 00:15:34
Vale, y el otro, f de 3pi cuartos, pues vuelvo a dibujar su conferencia agonométrica, 00:15:40
voy a poner en rojo para que lo veáis bien. 00:15:49
3pi cuartos ahora es este ángulo, con lo cual vemos claramente que va a ser 1 partido de 2 más el seno, 00:15:51
de 3 pi cuarto es positivo, pero el coseno es negativo, que con el más, o sea, con el menos se convierte en más. 00:16:07
Luego esto es 1 partido por 2 más raíz de 2. 00:16:16
Si ahora los ordeno, pues fijaros, yo tengo que aquí f de menos pi, f de menos pi cuartos, f de tres pi cuartos y f de pi. 00:16:20
F de menos pi, hemos dicho que es un tercio. Este hemos dicho que es 2 menos raíz de 2. Este hemos dicho que es 2 más raíz de 2. Y este hemos dicho que es un tercio. 00:16:51
Y ahora tengo que ver cuál es el mayor y cuál es el menor. Bueno, pues viendo, está claro que el valor más pequeño está aquí porque sería 2 menos raíz de 2. 00:17:09
Este es el valor más pequeño, luego está la fracción más grande. 00:17:21
Luego hay un máximo absoluto en menos pi cuarto, 1 partido de 2 menos raíz de 2. 00:17:26
¿Cuál es el valor ahora más pequeño que hay aquí? 00:17:42
Bueno, pues teniendo en cuenta que 2 más raíz de 2 es más grande que 3, esta fracción es la más pequeña. 00:17:44
Luego resulta que el mínimo que era local ahora es absoluto y está en 3 y cuartos y vale 1 partido por 2 más raíz de 2. 00:17:51
Y con esto hemos resuelto el apartado A. 00:18:07
Vamos con el apartado B. 00:18:10
El apartado B nos decía que encontráramos que existe c perteneciente a menos pi, pi tal que f segunda de c es igual a cero y por tanto en c habrá punto de inflexión. 00:18:12
Y nos sugiere usar el teorema de error. 00:18:34
Bueno, fijaros, la segunda derivada es la derivada de la derivada, entonces si yo tengo f' de x era igual, acordaros, coseno de x más seno de x partido de 2 más seno de x menos coseno de x al cuadrado. 00:18:36
Si ahora esta es mi función, pues yo para usar el teorema de Rolle tendré que comprobar que f' es derivable en menos pi pi y además que f' de pi, de menos pi, es igual a f' de pi. 00:19:00
Bueno, pues vamos a comprobarlo. 00:19:21
¿f' es derivable? 00:19:22
Bueno, pues realmente sí es derivable. 00:19:27
si es derivable 00:19:29
porque es la división de funciones derivables 00:19:39
en el intervalo que nos dicen. Bueno, vamos a comprobar 00:19:45
f de menos pi es igual a un noveno 00:19:52
y f de pi 00:19:59
esto lo podéis sustituir con la calculadora, es igual a un noveno 00:20:03
entonces estamos en las hipótesis 00:20:07
del teorema de error, existe un c perteneciente a menos pi pi tal que la segunda derivada, 00:20:11
la derivada es igual a cero. Como esto es la segunda derivada, pues c será un punto 00:20:23
de inflexión. Bueno, también podríamos haber usado el intervalo menos pi cuartos 00:20:30
3 pi cuartos, por ejemplo 00:20:36
que está contenido en menos pi 00:20:39
porque ya sabiendo que menos pi cuartos 00:20:43
es igual a 0, que es igual a f de 3 pi cuartos 00:20:47
también se cumple el tema de Rolle, incluso este intervalo sería 00:20:52
más pequeño, incluso podríamos ir acotando hasta tener 00:20:56
el tamaño que quisiéramos 00:21:00
¿Vale? Por último, aunque esta derivada, para concretar ya y ser súper rigurosos, que f' segunda de c sea igual a cero, nos pone en el foco de que ahí puede haber un punto de inflexión. 00:21:03
Pero esto no lo garantiza por sí solo. Tenemos que comprobar la concavidad o convexidad, es decir, para ver que es un punto de inflexión, pero claro, tener en cuenta que justo en este intervalo aquí había un máximo y aquí había un mínimo. 00:21:27
Y como la función es continua, pues claramente si hace así, este punto será el C. 00:21:57
Y por tanto podemos comprobar sin hacer muchas más cuentas y teniendo en cuenta que esto es continuo, 00:22:04
o sea que la derivada es continua y que aquí hay un máximo y aquí un mínimo, es cóncava. 00:22:10
Digo, es punto de inflexión. 00:22:15
También podemos haber hecho la tercera derivada y comprobar que en ese punto es distinta de cera, 00:22:20
que es otro criterio que, bueno, no hemos visto. 00:22:24
Y con esto se queda resuelto el ejercicio. 00:22:27
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
José Luis Muñoz Casado
Subido por:
Jose Luis M.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
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1
Fecha:
15 de noviembre de 2026 - 8:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR JULIO PÉREZ
Duración:
22′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
47.79 MBytes

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