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Teorem de Bolzano y recta tangente - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio.
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Nos dan funciones f y g
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y nos piden justificar, usando un teorema,
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que existe algún punto en el intervalo 1-10 en el que ambas funciones son iguales.
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Y luego nos piden calcular la ecuación de la recta tangente a la curva
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igual f de x con pendiente mínima.
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Pues venga, vamos al lío.
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Fijaros, así, sin mucho...
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Bien, pensar que esta función tenga que ser igual a esta, pues, imaginaos, vamos a dibujarla.
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Bueno, como ya sabéis, esta es una de grado 3, para 0 pasa por menos 1, así que imaginaos, será una cosa así.
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Y la otra es 6x, pasa por el 0, pues será así.
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Luego, así intuitivamente, pues sí, parece que se cortan.
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Pero fijaros, este punto tiene una peculiaridad, que vale, está en f y está en g.
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Pues voy a tomar esta función, que va a ser la resta, x cubo más 3x cuadrado menos 1 menos 6x.
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Justo en este punto lo voy a llamar c, esto tiene el mismo valor que esto.
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Luego, c sería un cero o una solución, es decir, h de c sería cero.
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Esto suena mucho al teorema de Borsano.
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De hecho, vamos a comprobarlo.
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O sea, al tomar h de x igual como la resta, x cubo más 3x cuadrado menos 1 menos 6x,
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bueno, si queremos ponerla como normalmente se pone ordenando los monomios,
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monomios, pues nos va a quedar así, 6x menos 1. Resulta que esto es un polinomio. Esto
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es continuo y derivable en todos los números reales, en particular en el intervalo 1-10.
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Así es que la primera condición de Bolzano, que sea una función continua, ya la tenemos.
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Ahora vamos a ver. h de 1. Bueno, pues h de 1 va a ser 1 más 3 menos 6 menos 1. Pues
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1 más 3, 4, 4 menos 6, menos 2, menos 2, menos 1, menos 3.
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Y h de 10, pues va a ser, pues, 1000 más 3 por 300, menos 60, menos 1.
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Que ya ni lo voy a calcular porque da positivo.
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Entonces, resulta que, si lo podemos poner como a veces aparece en HD1 por HD10, es menor que 0.
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Y h es continua en 1, 10, pues esto nos dice que Bolzano, el teorema de Bolzano, nos confirma que existe un c perteneciente a 1, 10 tal que h de c es igual a 0.
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Pero fijaros, entonces sería que c cubo más 3c cuadrado menos 1 menos 6c es igual a 0.
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Pero esto implica que c cubo más 3c cuadrado menos 1 es igual a 6c, pero es que esto es f de c y esto es g de c.
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Luego he encontrado un valor donde las dos funciones son iguales.
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Vamos con el punto B, el apartado B me pide una recta tangente a f, que no es necesario dibujarla pero ya sabéis que una cúbica será algo así, entonces nos piden la recta tangente en el punto donde la pendiente sea mínima.
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Bueno, pues lo primero que vamos a hacer es la derivada de x.
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La derivada de x nos va a quedar 3x cuadrado más 6x.
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¿Dónde tendrá esto pendiente mínima?
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O sea, esto nos da la pendiente de f, pero a su vez nos piden que la pendiente sea la más pequeña posible.
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Pues entonces, yo lo que quiero averiguar es si esto es la pendiente, cuando es el valor más pequeño, es decir, cuando esto tiene un mínimo.
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Nos están diciendo que calculemos la segunda derivada.
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Entonces, si igualamos la segunda derivada a 0, pues haremos que en x igual a menos 1,
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bueno, deberíamos estudiar el signo, pero ya se ve que va a ser un mínimo,
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en x igual a menos 1, f' tiene un mínimo.
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Es decir, si f' tiene un mínimo, significa que en este valor la derivada es el valor más pequeño posible.
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Y es justo la pendiente que nos piden. Entonces f' de menos 1 va a quedar 3 por menos 1 al cuadrado menos 6. Esto va a quedar 3 menos 6 que es menos 3.
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Luego aquí la pendiente es más pequeña posible, es m igual a menos 3.
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Por tanto, ya tenemos la pendiente.
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Y además tiene que ser en este valor, que es justo donde tiene la pendiente más pequeña.
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Por lo tanto, el punto es en x igual a menos 1.
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Entonces necesitamos calcular f de menos 1.
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que utilizando la fórmula, aquí va a ser menos 1, menos 1 al cubo, más 3 por menos 1 al cuadrado, menos 1.
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Esto va a ser igual a menos 1 más 3 menos 1, que es igual a 1.
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Entonces ya podemos poner nuestra recta tangente, que ya sabéis que va a ser igual a
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a y menos f de menos 1, la pendiente, que es menos 3, por x menos menos 1.
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Entonces esto va a quedar y igual a, bueno, no me quiero saltar pasos, como me habéis dicho que no me salte pasos,
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Pues sería y menos f de menos 1, que es menos 1, igual a menos 3x, este menos con menos es más, por este menos 3.
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Entonces y es igual a menos 3x menos 3 más 1, luego y es igual a menos 3x menos 2.
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Y esa es la recta tangente. Estaría guay que ahora con el geogebra hicierais el problema y comprobáis realmente que esta es la recta tangente.
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Y con esto pues está resuelto el ejercicio.
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Luis Muñoz Casado
- Subido por:
- Jose Luis M.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1
- Fecha:
- 15 de noviembre de 2026 - 8:32
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES PROFESOR JULIO PÉREZ
- Duración:
- 08′ 23″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 19.80 MBytes