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5_3. PAU. Triángulo Isósceles - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio, típico de optimización.
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Nos dicen que calculemos la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8, cuya área sea máxima.
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Como siempre en estos problemas, conviene hacer un dibujo.
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Hacer un dibujo puede ser dibujar un triángulo isósceles que ya sabéis son dos lados iguales y uno desigual.
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Así es que poniendo nombres, esto sería la base, vamos a poner el lado y este también sería el lado porque son isórceles.
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El área va a venir siempre base por altura entre dos.
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Pero no tenemos la altura.
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La altura en un triángulo isórceles siempre es esta línea y en un triángulo isórceles divide esto en dos partes iguales.
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Así es que la h va a ser igual a el lado al cuadrado menos la mitad de la base al cuadrado.
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Operando, pues esto va a quedar 4l al cuadrado menos la base al cuadrado partido de 4.
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Este raíz de 4 lo voy a poder sacar y me va a quedar realmente que la altura es 4l al cuadrado menos la base al cuadrado entre 2.
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Por tanto, el área será la base por la altura, 4L cuadrado menos la base al cuadrado partido de 2, y a su vez partido de 2, que ya me estoy anticipando.
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Esto si lo opero, pues va a quedar b por la raíz cuadrada de 4l cuadrado menos b cuadrado partido de 4.
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Pero claro, tengo l y b.
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Y no voy a poder usar mucho dos letras, pero claro, me doy cuenta que si el perímetro es 8,
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su expresión matemática de lo que me están pidiendo es esto.
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es decir, dos lados más la base tiene que sumar 8
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y de aquí, pues por ejemplo, voy a poder despejar 8 menos b entre 2
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para dejarlo todo en función de la base
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por lo tanto, el área, ¿qué va a ser?
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va a ser la base por la raíz de 4
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por 8 menos b partido por 2 al cuadrado menos b al cuadrado y todo partido de 4.
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Si opero, pues esto va a quedar 4 por 64, que es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo
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menos el doble del primero por el segundo partido de 4, que también se lleva al cuadrado,
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menos b al cuadrado, y todo esto a su vez partido de 4.
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Si opero, pues tendré b por, bueno, ya veo que estos dos 4 se van y me van a quedar 64 más b al cuadrado menos 16b menos b al cuadrado partido de 4.
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Esto operando, pues va a quedar b por 64 menos 16b partido de 4.
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Que sacando factor común 16, esto va a quedar 4 menos b partido de 4.
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Que va a quedar b por la raíz cuadrada de 4 menos b.
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Bien, ya tenemos la función que nos da el área, dependiendo exclusivamente, lo voy a poner así, de la base, base por 4 menos b, vale, pues ahora vamos a buscar su máximo, para eso vamos a derivar usando la raíz del producto,
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La derivada de b es 1, por el otro sin derivar, más b por la derivada de la raíz, que ya sabéis que es un medio de 4 menos b,
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y ahora por la derivada del otro, porque estoy usando la regla de la cadena.
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Con lo cual queda 4 menos b, menos b, partido de 2, 4 menos b.
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y esto hay que igualarlo a 0
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para encontrar los valores críticos
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esto nos va a hacer
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que quede así
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4 menos b
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ya lo voy a igualar directamente
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bueno, este 2
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con este 2, esto es un 4, perdón
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no, no, no
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que me estoy liando, perdón, perdón
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que esto es menos 1
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la derivada de lo de adentro es menos 1
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Esto es un 2 y esto es un 2
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Esto va a quedar 2
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Al multiplicar las raíces quedaría la raíz al cuadrado
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Va a quedar así
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Resolviendo, pues esto va a quedar 8 menos 2b
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Igual a b
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Entonces la b vale 8 tercios
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Debíamos comprobar que es un máximo
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bueno, pues poniendo aquí 8 tercios
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si le damos un valor anterior a 8 tercios
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por ejemplo 0 a la derivada
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pues queda 2 y todo esto va a quedar 0
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queda positivo
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y aquí queda negativo
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o sea que la funcionaria aquí sube
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y en este trozo baja
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por lo tanto presenta un máximo
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que podríamos corroborar con el criterio de la segunda derivada
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Pero que no lo vamos a hacer porque aquí la derivada es complicada.
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Bueno, hemos sacado la base y recordamos que 2L más B era igual a 8.
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Así es que 2L más 8 tercios será igual a 8.
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Y por tanto la L nos sale 8 tercios.
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¿Qué nos está diciendo entonces?
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Que la base mide 8 tercios y los lados mide 8 tercios
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Entonces este triángulo es equilátero
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Que no entra en contradicción con el enunciado
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Porque Ixorceles es que tiene dos lados iguales
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En particular un equilátero tiene dos lados iguales
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O sea que realmente el triángulo que nos piden es un triángulo equilátero
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Cuyo lado es 8 tercios
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8 tercios
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Y 8 tercios
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este triángulo tiene área máxima
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y con esto hemos resuelto el ejercicio
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Luis Muñoz Casao
- Subido por:
- Jose Luis M.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1
- Fecha:
- 11 de noviembre de 2026 - 13:48
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES PROFESOR JULIO PÉREZ
- Duración:
- 08′ 55″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 17.91 MBytes