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6_3. PAU. Aparcamiento - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a resolver este ejercicio.
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Nos dicen, un aparcamiento del centro de una ciudad ha diseñado esta tarifa
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donde T es el tiempo de estancia en horas y C de T el precio en cursos.
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Viene dada por una función definida a trozos, como podéis ver.
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Nos piden determinar A para que el precio no dé saltos, es decir, que C sea continua,
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para el valor obtenido comparar que cuanto más tiempo se deja el coche, más se paga,
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y luego comprobar que el aparcamiento anuncia nunca pagarás más de 20 euros.
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¿Es cierto?
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¿Cuánto tiempo puede dejar el coche un cliente que solo quiere gastar 16 euros?
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Pues vamos a resolverlo.
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Vale.
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Bueno, para que no des saltos, tendremos que comprobar que esta función es continua.
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Es decir, tendremos que comprobar...
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¿Qué tenemos que comprobar? Bueno, primero observamos que esta función en sus trozos de definición es continua, porque 3t es continua y a por t menos 20 entre 3 más 1 es continuo para t mayor y 4.
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Por tanto, solo tendremos que estudiar la continuidad en el punto de empalme, es decir, en t igual 4.
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Y para ello tendremos que comprobar que f, f' no, f, f de 0, tampoco, perdón, f de 4 es igual al límite cuando x tiende, bueno, no tengo hoy la tarde,
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Cuando x no, cuando t tiende a 4 de f de t.
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Esto es equivalente a hacerlo como se ha hecho en clase de por pasos, ¿no?
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Primer paso, f de 4. Bueno, pues f de 4 tenemos que es 12.
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2, el límite cuando t tiende a 4 de f de t.
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Como T4 es el punto donde cambian, pues esto nos va a derivar en dos límites.
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Cuando T tiende a 4 por la izquierda de P de T, que en este caso es 3T, y nos va a salir 12.
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Y límite cuando X tiende, madre mía, la he cogido con X.
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cuando t tiende a 4 por la derecha
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y ahora pues hará esta función
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a por t menos 20 partido de t más 1
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y esto va a ser igual a 4 por a menos 20 partido de 5
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para que el límite exista estas dos cosas tienen que ser iguales
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Así es que 12 tendrá que ser igual que 4a menos 20 partido de 5.
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Despejando la t, obtenemos, digo la t, la a, obtenemos que a vale 20.
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Es decir, para a igual 20 esa función es continua.
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Vamos a dejar esto en pequeñito para seguir haciendo el ejercicio.
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Lo dejo así.
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Bien.
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Bien, ahora pongo aquí el apartado B sabiendo que ya A es 20, pues realmente lo que tenemos es que CT es igual a 3T si 0 menor que T menor que 4.
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Y ahora vamos a tener aquí 20t menos 20 partido de t más 1, si t mayor que 4.
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Aquí me ha faltado el menor o igual.
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Esto hace que sea continua.
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Y fijaros que está definida el intervalo 0, 4.
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Vamos a hallar la derivada para responder a la pregunta b.
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C' de t, pondremos que es 3, si 0 menor que t menor que 4, y ahora si le damos la segunda parte, pues será 20 por t más 1 menos 20t por 1,
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todo eso por 1 partido de t más 1 al cuadrado
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y todo esto si t mayor que 4
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bueno, voy a seguir en otra página porque aquí se me acaba
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resumiendo, teníamos que c' de t
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era igual a 3
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y aquí va a quedar
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si hacemos la cuenta que antes aparecía
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pues t más 1 al cuadrado. Esto va a ser, esto va a ser aquí 0 menor que t menor que 4 y aquí t mayor que 4.
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Bueno, pues entonces acabo de darme cuenta que esto que acabo de escribir aquí no está bien porque es t mayor que 4.
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Vale, vamos a examinar esa derivada, ¿vale? Bueno, ya vemos claramente que entre 0 y 4 la derivada es positiva, o sea que c' es positiva, solo tenemos que averiguar si es derivable en 4.
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Como la función es continua, para calcular la derivada lateral podemos hacer esto, que va a ser 3.
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Y la derivada por la izquierda, por la derecha, perdón, va a ser, sustituimos, 40, esto es 5 al cuadrado, 40 entre 25.
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Por lo tanto, no sale derivable. Es decir, es continua, pero no es derivable en t igual 4.
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Pero para responder a nuestra pregunta del apartado b, que era para el valor de a obtenido, comparar que cuanto más tiempo se deja el coche, más se paga.
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Bueno, viendo la derivada, c' siempre es positiva.
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¿Esto qué nos indica? Pues, bueno, es positiva y además continúa en t4.
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entonces esto nos indica que es creciente en su dominio, en su dominio, y por tanto, si es, la derivada es positiva y la función implica que es creciente en su dominio,
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la respuesta es de cuanto más tiempo pasa, más se paga, ya hemos respondido.
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Vamos con el apartado C, el apartado C nos pide que veamos que nunca va a pasar de 20 euros
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Bueno, ¿qué concepto matemático nos están proponiendo si queremos saber que no pasa esto de 20?
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Pues este límite, claro, para la que hemos calculado en realidad es este límite
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no es 20 t menos 20 partido de temas 1 dividiendo entre el monomio de mayor
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grado porque ambos son polinomios nos damos cuenta que esto es 20
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es decir que en igual 20 o si quieres igual 20 hay una asíntota horizontal es
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decir de 20 no vamos a pasar como c ya hemos visto es creciente y c igual 20
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es una asíntota pues podemos concluir que no pasará 20 nunca va a alcanzar 20
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bueno también lo podríamos haber visto teniendo en cuenta que 20
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esta función si la dividimos es decir si hacemos la división vamos a obtener esto
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luego fijaros, esta parte siempre va a estar fija
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y está ahí restando, pero nunca va a restar más de 20
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porque esto siempre va a ser más pequeño
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vamos a ver el caso de los 16 euros
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bueno, recordamos que CDT es igual a 3T
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si 0 menor que T, menor o igual que 4
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y luego teníamos 20t menos 20 partido de t más 1, si t mayor que 4.
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Bueno, vemos que por este trozo nunca supera los 12 euros
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y por este trozo queremos saber el tiempo que tiene que estar con 16,
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porque aquí no va a obtener nunca 16 euros,
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con lo cual podríamos poner 20t menos 20 partido de t más 1,
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Igual a 16
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Esto despejando
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Sale
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T igual 9
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Luego podrá dejar el coche
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9 horas
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Y no pagará más de 16 euros
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Luego la respuesta
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Al apartado C son 9 horas
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Y con esto hemos hecho el ejercicio
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Luis Muñoz Casado
- Subido por:
- Jose Luis M.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1
- Fecha:
- 10 de noviembre de 2026 - 20:23
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES PROFESOR JULIO PÉREZ
- Duración:
- 12′ 55″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 25.75 MBytes