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PAU Matemáticas II Septiembre 2016 B 3 - Contenido educativo
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Vamos a resolver el problema de selectividad de la PAU 2016, septiembre, modelo B, ejercicio 3, que tenemos aquí.
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Y es un ejercicio bastante sencillo de cálculo del volumen de un tetraedro, en el que los cuatro puntos que tiene el tetraedro serán el origen de coordenadas
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y los puntos de intersección de un plano que pasa por estos tres puntos con cada uno de los ejes coordenados.
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Lo primero que vamos a hacer es pintar los tres puntos A, B y C que les tenemos aquí y ahora para hallar las coordenadas del plano que los contiene, o sea, la ecuación del plano que lo contiene, pues simplemente resolvemos este determinante.
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determinante, donde hemos puesto en la primera fila las coordenadas de x y z menos el punto
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a, en la segunda fila hemos puesto las coordenadas del vector a b, es decir, b menos a, y en
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la tercera fila las coordenadas del vector a c, es decir, c menos a. Resolvemos ese determinante
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y nos sale la ecuación del plano. Como todos los coeficientes que salen son pares, pues
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hemos decidido dividirlo todo por 2 para que salga más sencillo. Si utilizamos la herramienta
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de GeoGebra, plano que pasa por 3 puntos, pues rápidamente nos pintaría el plano de
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una manera más sencilla, como vemos coincide la ecuación con la nuestra, vemos que los
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3 puntos están sobre dicho plano, poniéndolo así, y entonces se ve perfectamente. Ahora
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Ahora lo que vamos a hacer, lógicamente, es pintar el punto 0, 0, 0, que es el P1, los puntos A, B y C ya no los vamos a necesitar, ni siquiera el plano tampoco, bueno, el plano lo vamos a dejar hasta que hayamos los puntos de corte, porque a ojímetro se pueden ver, ¿vale?
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Y, como decíamos, vamos a calcular los puntos de corte añadiendo a nuestro plano las coordenadas del eje X, que son el corte de los planos Y0 y Z0.
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Entonces nos sale este sistema de ecuaciones, que si le decimos al ordenador que no lo resuelva, pues da menos medio 0,0, que lo añadiremos aquí como el punto P2.
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Ahora añadimos el eje Y, resolvemos y el punto 0, menos 1, 0 lo añadimos como P3
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Seguimos añadiendo el eje Z ahora y resolvemos y el punto 0, 0, 1 tercio le añadimos como P4
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Ahora que ya tengo los 4 puntos, pues es momento de quitar ya el plano
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y podemos hacer para que se vea mucho mejor, pues ampliar que se vean los cuatro puntos.
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El 0, 0, 0, menos un medio 0, 0, 0, menos uno 0 y 0, 0, un tercio.
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Simplemente ahora construyo el tetraedro para que le veáis, ahí está,
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y su volumen, lo vamos a hacer en cas, será un sexto del determinante del producto mixto,
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del determinante de los vectores P1, P2, P1, P3 y P1, P4.
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Lo bueno que tiene es que como P1 es 0, 0, 0, en realidad son las coordenadas de P2, P3 y P4 los vectores,
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lo que nos facilita claramente hacer el determinante, que encima sale diagonal.
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el determinante sale un sexto y dividido otra vez por seis
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pues sale que el volumen es un treinta y seisavo de la unidad cúbica
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si hubiéramos construido un cubo de unidad uno
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pues nos habría cabido treinta y seis como esto
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y así hemos terminado el ejercicio
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- Autor/es:
- Pablo J. Triviño Rodríuez
- Subido por:
- Pablo Jesus T.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 156
- Fecha:
- 9 de marzo de 2017 - 18:45
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES CARMEN CONDE
- Duración:
- 04′ 12″
- Relación de aspecto:
- 1.82:1
- Resolución:
- 1920x1056 píxeles
- Tamaño:
- 21.60 MBytes
