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Hola, buenas tardes. Vamos a ver esta presentación donde podemos repasar un poco las funciones
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y las diferentes formas y características que hemos estudiado de las funciones.
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Lo primero, vamos a recordar lo que era una función. Una función hay que recordar que es una correspondencia
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entre dos conjuntos, tal que a cada valor de la variable independiente x le corresponde
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un único valor de su variable independiente y recordamos todos que habíamos dicho que una
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función no la podíamos imaginar como si fuera pues una caja negra o un robot de cocina en la
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que nosotros introducimos algo como pueden ser unos ingredientes que sería la variable
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independiente dependiendo de lo que queramos cocinar pues cada uno elegirá unos ingredientes
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independientemente vale por eso llamamos a la variable x la llamamos independiente porque cada
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uno elegirá una cosa distinta y le va a corresponder un único valor es decir le va a
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fabricar le va a producir con esos ingredientes un único valor de esa variable que hemos llamado
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dependiente que es la y de acuerdo como podemos representar una función pues muy bien una función
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podemos expresarla de diferentes formas. Una de ellas, como hemos visto, puede ser un enunciado.
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Recordar un enunciado es una serie de palabras que nos van a hacer pensar un poquito más y tendremos que traducirla.
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Entonces, ponemos aquí un ejemplo en el que dice que tenemos un coche que va a una velocidad constante de 100 km hora
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Y nos preguntan que cuál es la función que estudia el espacio que recorre ese coche en función del tiempo.
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Pues bien, nosotros tenemos un enunciado y ahí hay una forma de expresar una función.
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A lo mejor lo que tenemos que hacer es traducir.
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¿Y cómo traducimos? Pues traducimos a través de una fórmula.
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esa fórmula que sería otra forma de expresar una función pues sería escribir f de x
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recordamos que la y es una función que depende de una variable independiente llamada x
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y entonces nosotros lo que hacemos es escribir una expresión algebraica
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que relaciona todas las cosas que nos viene explicada en el enunciado que hemos leído anteriormente
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Por ejemplo, tenemos esta expresión algebraica que dice que f de x es igual a 100 por x, donde 100 es un valor constante y que nos indica que la x va a ser el tiempo que va a ir pasando para que podamos saber cuál es el espacio que ha recorrido.
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¿De acuerdo? Bien, una vez que hemos visto la fórmula, nosotros si quisiéramos representar una función, otra forma de hacerlo sería a través de una tabla de valores.
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Seguimos utilizando el mismo ejemplo del coche en el que ahora lo que vamos a hacer es traducir esa variable dependiente e independiente en unos valores que nosotros podamos conocer.
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Por ejemplo, hemos dicho que la variable independiente es el tiempo, en este caso las horas, y la variable dependiente es el espacio que yo voy a recorrer cuando voy con una velocidad constante.
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Por eso mi variable dependiente, la y, es medida en kilómetros.
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Por tanto, nosotros lo que vamos a hacer son diferentes, para diferentes valores de x,
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para diferentes valores de esa variable independiente, vamos a ir calculando su correspondiente valor y.
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por ejemplo tenemos el 1, para el 1 cuando nosotros lo sustituimos en esa fórmula que hemos creado a través del enunciado
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pues podemos saber cuánto va a valer la Y que le corresponde
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si cogemos el valor 2, lo mismo, podemos calcular su valor Y
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y si cogemos 4, que es otro valor distinto, podemos encontrar su correspondiente valor Y
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Y por último tendríamos otro valor, cualquiera, en este caso hemos puesto 10 y obtenemos también su valor y correspondiente.
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Bien, pues una vez que tenemos el enunciado, hemos podido traducirlo a una fórmula, esa fórmula nos ha permitido generar una tabla de valores.
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La última forma de expresar una función sería a través de la gráfica.
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En esa gráfica nosotros vamos a utilizar lo que llamamos ejes coordenados y para ello dibujamos dos rectas perpendiculares, el eje X, conocido también como eje de abscisas, es donde vamos a representar esa variable independiente.
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Y luego tendríamos el eje y que correspondería a esa variable de pendiente y en el ejemplo que estamos utilizando sería el espacio que yo he recorrido.
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puedo situar en mi plano los diferentes valores que he generado en mi tabla de valores
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y cuando yo los lleve a mi gráfica podré unirlos y por tanto podré dibujar
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la gráfica que me permite identificar esa relación que hay entre el espacio y el tiempo
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¿De acuerdo? Pues bien, una vez que hemos visto las diferentes formas de expresarla, pues vamos a estudiar algo que es muy importante en cualquier tipo de función.
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¿Y eso qué es? Pues el dominio y el recorrido. ¿Qué es el dominio?
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Vamos a pensar que el dominio es esa sombra que me genera mi función cuando yo puedo poner un foco que esté paralelo al eje x.
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Por tanto, dominio va a ser todos esos valores de x, todos esos valores de esa variable independiente x, para los cuales yo voy a poder tener un valor y.
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¿De acuerdo? Si nosotros pusiéramos un foco aquí arriba, pues mi dominio sería la sombra que me genera sobre ese eje x, la función f, cuando yo coloco un foco aquí arriba.
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¿De acuerdo? ¿Cómo lo vamos a expresar? Pues expresaremos siempre el dominio de esa función como los valores que pertenecen a los números reales para los cuales esa función va a existir.
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A veces será la recta real, a veces serán intervalos de esa recta real
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o varios intervalos que tendremos que representar mediante uniones.
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A continuación lo que vamos a ver es el recorrido.
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El recorrido es la imagen de esa función proyectada sobre el eje Y.
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Es decir, en este caso lo que estamos haciendo es poner un foco paralelo al eje Y
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Y la sombra que me va a generar esta función que tenemos aquí sobre el eje Y, es decir, este trocito es su sombra, es lo que nosotros vamos a llamar recorrido o imagen de esa función, ¿vale?
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Y vamos a decir que son los valores que toma esa variable dependiente y, ¿de acuerdo?
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Es decir, todos esos valores de y que yo voy a coger y para los cuales yo he podido calcular su valor.
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A continuación vamos a ver algo también necesario para poder entender lo que es una función y en este caso son los puntos de corte.
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Vamos a estudiar los puntos de corte con los ejes. ¿Y qué ejes tenemos? Tenemos el eje X o eje de abscisas y el eje Y o conocido también como eje de ordenadas.
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Entonces, cuando nosotros queremos calcular el punto cuando corta este eje, el eje x, nosotros lo que vamos a hacer es decir que la y, que la función de esa x vale c.
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Y por tanto, lo que nos va a quedar es una ecuación que tendremos que resolver.
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Dependiendo de la expresión algebraica de esa función, pues tendremos una ecuación más o menos fácil de resolver.
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Si tenemos una expresión algebraica que es un polinomio, pues si es un polinomio de primer grado al igualar a cero,
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obtenemos una ecuación de primer grado que todos sabemos resolver.
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si lo que tenemos es un polinomio de segundo grado
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pues entonces lo que tendremos será una ecuación de segundo grado
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que tendremos que resolver
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y así sucesivamente dependiendo de las expresiones
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¿de acuerdo?
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todos estos puntos de corte con el eje x
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van a tener una forma característica de ellos
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y siempre son iguales
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siempre la primera coordenada
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es decir, la x
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va a ser el valor que nosotros hayamos calculado
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hayamos obtenido al resolver la ecuación
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y la coordenada y siempre tiene el mismo valor
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siempre, ¿vale? 0
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cortes con el eje x puede tener muchos
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puede tener muchos, ¿de acuerdo?
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cuando cortan la función al eje y
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¿vale? pues ese punto tiene que ser único
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¿de acuerdo? para que sea
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si es una función solamente puede cortar
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una sola vez al eje y
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Y como vamos a obtener ese valor, pues vamos a calcular ese punto dando la condición que indica que corta ese eje.
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¿Cuál es esa condición? Pues que la x vale 0.
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Si la x vale 0, entonces nosotros podremos calcular cuánto vale la y,
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porque se transforma en lo que hemos trabajado ya, que es el cálculo del valor numérico de un polinomio cuando la x vale 0.
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Entonces, calcularíamos a través de esa expresión algebraica el valor de la y sustituyendo en esa expresión el valor de la x cuando vale cero.
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Los puntos de corte con el eje y tienen siempre la misma forma, cero y el valor de ese polinomio, de esa expresión algebraica cuando la x vale cero.
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¿De acuerdo? Aquí vemos un ejemplo en el que podemos ver una función que corta al eje x y al eje y. Corta el eje x en un punto, dos y tres, en tres puntos.
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cada uno de ellos tendrá las coordenadas que indique el valor de la X
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en este caso será el menos 2, 0
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en este caso será el un medio, 0
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y en este otro caso será el 3, 0
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por otro lado si nosotros quisiéramos ver cuál es el punto de corte con el eje Y
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tendríamos que fijarnos dónde corta la gráfica a este eje que corta en este punto
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Ese punto lo obtendríamos cuando hubiéramos sustituido en la expresión algebraica el valor x igual a 0
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Y obtendríamos ese valor
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Pues fenomenal, vamos con la siguiente cosa que tenemos que aprender
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Y esa siguiente cosa es la continuidad
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Esa característica que nos permite conocer mucha información sobre las funciones
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La continuidad debemos entenderla como esa capacidad que tenemos cuando nosotros dibujamos una función de poderlo hacer sin levantar el lápiz del papel. Intuitivamente es algo muy lógico y muy sencillo, pero nosotros tendremos que averiguar cuándo ocurre eso.
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Esto solamente en tercero de la ESO vamos a poder saber si la función es continua o no mirando a una gráfica
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Si no tenemos la gráfica o no hemos dibujado esa gráfica nosotros no vamos a poder decir dónde es continua o no es continua
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Si queremos saber si una función es continua lo que tenemos que ver es que cuando yo observo su gráfica la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel
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y por tanto, si esto ocurre, pues la función será continua.
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¿Qué va a pasar en caso contrario?
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Pues si yo tengo que levantar el lápiz del papel en algún momento,
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pues en ese punto, en ese valor de x, la función ya no es continua
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y presentará lo que se conoce como punto de discontinuidad.
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Entonces vemos en este ejemplo que yo tengo que dibujar esta función,
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llego aquí, levanto el lápiz del papel
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me vengo aquí y sigo dibujando
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si nos fijamos en este caso
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pues vemos que en el punto x igual a 1
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se produce esa discontinuidad
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en otros casos pues en vez de aparecer así
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aparecerá de otra forma y habrá que ver
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cuáles son esos puntos
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pues algo también muy sencillo
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la continuidad y por último vamos a ver qué es eso de la monotonía monotonía monotonía algo que
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es aburrido verdad bueno pues monotonía en una función pues nos va a indicar pues cuando crece
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cuando decrece o cuando una función es constante cuando es muy monótona verdad bueno pues creciente
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creciente lo que tenemos que entender es que la gráfica de nuestra función está creciendo
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está aumentando el valor de la y a medida que aumenta el valor de la x
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nosotros recordar que nosotros nos movemos desde la izquierda hacia la derecha del eje x
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si a medida que aumenta mi valor de x aumenta mi valor de la y
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Entonces estoy diciendo que ahí, en ese intervalo, recordad, intervalo, la función crece
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En el caso contrario, ¿vale?
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Puede ocurrir que decrezca, es decir, estemos bajando una cuesta, ¿verdad?
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¿Vale? Pues que está ocurriendo que a medida que va aumentando el valor de la x
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Lo que va disminuyendo es el valor de la y
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Bien, pues a veces ocurre ni una cosa ni la otra
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Entonces, en ese caso estaríamos, como conocemos, una función constante.
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Una función constante es una función que es siempre paralela al eje x, ¿vale?
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Puede aumentar el valor de la x, pero el valor de la y siempre es el mismo, ¿de acuerdo?
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Y esto nos generará, pues, cuando veamos los tipos de funciones, pues, funciones muy concretas, ¿de acuerdo?
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¿Verdad? Fácil, ¿no? Entender lo que es creciente, decreciente, constante, intervalos que habrá que representar de crecimiento y de decrecimiento, ¿vale?
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¿Y qué pasa cuando nosotros hablamos de que la función crece o que la función decrece? Pues si crece y luego empieza a decrecer es porque ha llegado a la cima de nuestra montaña, al máximo valor de esa montaña.
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Bueno, pues en ese punto encontraremos lo que se conoce como máximos, ¿de acuerdo? Y si yo bajo mi montaña y luego vuelvo a subir mi montaña, pues al bajar, al bajar he llegado al mínimo y volveré a subir, ¿de acuerdo?
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Vamos a ver en este ejemplo todas esas cosas que hemos dicho. Nosotros podemos crecer nuestra función y llegar a lo que se conoce como máximo y luego puedo bajar y llego a lo que se conoce como mínimo y luego puedo volver a subir.
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¿Vale? Pues esos tramos que diferencian un máximo de un mínimo nos hace ver los intervalos donde la función crece o decrece
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¿De acuerdo? Y eso habrá que tenerlo en cuenta
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Es un ejemplo donde podemos ver varias cosas, podemos ver los puntos de corte con el eje X
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Podemos ver los puntos de corte con el eje Y, que como hemos dicho solamente puede tener uno
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vemos donde crece la función y donde decrece la función
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y bueno, aparece alguna otra cosilla más que todavía no hemos visto
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pero que veremos en cursos posteriores
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bueno, espero que con todo esto que acabamos de repasar
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hayáis entendido esas características tan importantes
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que necesitamos conocer de las funciones
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Música
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- Subido por:
- Cristina C.
- Licencia:
- Reconocimiento
- Visualizaciones:
- 5
- Fecha:
- 2 de julio de 2023 - 17:29
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC MARÍA INMACULADA
- Duración:
- 18′ 20″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
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