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Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos (Prismas) - Contenido educativo
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Ejemplos del cálculo del área total y volumen de un prisma triangular (base un triángulo equilátero) y un ortoedro.
Estudiemos ahora las áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
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Recordar que un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales que llamamos bases
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y tantos paralelogramos o caras laterales como lados tenga la base.
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En este ejemplo tenemos un prisma de base pentagonal.
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Fijaros que la altura es la distancia perpendicular entre la base inferior y la base superior.
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observamos también el desarrollo plano de este prisma pentagonal está constituido
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por cinco rectángulos que son las caras laterales y dos pentágonos que son las bases el área del
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prisma lo podemos calcular de esta forma sumando todo el área lateral más dos veces el área de la
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base. El volumen del prisma siempre es el producto del área de la base, que en este caso vemos que es
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un pentágono regular, multiplicado por la altura. Recordad la distancia perpendicular entre la base
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inferior y la base superior. Vamos a resolver el siguiente ejemplo. Calcular el área total y el
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volumen de un prisma que mide 5 centímetros de altura y cuya base es un triángulo equilátero
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de 3 centímetros de lado. Comenzamos realizando un dibujo aproximado de nuestro prisma. Para
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ello dibujo la base aproximadamente un triángulo equilátero y por cada uno de los vértices
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levanto rectas perpendiculares. La de atrás la coloco con líneas discontinuas porque
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que no va a ser visible.
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Después coloco la base superior.
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Dibujamos la altura como la distancia perpendicular entre el centro de la base inferior y la base superior
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y colocamos los datos del problema, que son 3 centímetros del lado de la base y 5 centímetros la altura.
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Para resolver el problema también nos ayudarán a dibujar el desarrollo plano de nuestro prisma
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Está constituido por tres rectángulos que son las caras laterales y dos triángulos equiláteros que son las bases
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Colocamos los datos también del problema en el desarrollo plano
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El área total es igual a la suma del área lateral más dos veces el área de las bases
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Para calcular el área lateral tenemos que hallar tres veces el área de unos rectángulos
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que tienen 5 centímetros de largo y 3 centímetros de ancho
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Eso nos da como resultado 3 por 15 que es igual a 45 centímetros cuadrados
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Muy importante no olvidar las unidades de superficie
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A continuación vamos a calcular el área de la base
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Dibujamos la base que es el triángulo equilátero
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Y colocamos los datos
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Sabemos que el lado de este triángulo equilátero son 3 centímetros
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Para calcular el área de la base como es un triángulo, recordamos que la fórmula es base por altura entre dos.
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El problema es que no tenemos la altura.
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Dibujamos la altura como la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto.
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Observamos que aparecen dos triángulos rectángulos.
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Sabemos que la altura divide a la base en dos partes iguales.
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Así que conocemos un cateto de 1,5 centímetros y la hipotenusa de 3 centímetros.
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Recordando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado, es decir, 3 al cuadrado, tiene que ser igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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Realizando las operaciones tenemos que 9 es igual a 2,25 más h al cuadrado.
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Ahora pasamos el término 2,25 a la izquierda que pasa restando y nos queda esta igualdad.
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Nos queda h cuadrado igual a 6,75 y ahora realizamos la raíz cuadrada para saber la altura.
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Obtenemos que la altura es aproximadamente 2,60 centímetros.
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Hallamos ahora el área de la base con la fórmula base por altura entre 2
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Sustituyendo la base que mide 3 centímetros por la altura 2,60 dividido entre 2
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Obtenemos que el área de la base son 3,9 centímetros al cuadrado
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Así, el área total pedida será igual al área lateral, que eran 45 centímetros cuadrados, más dos veces por el área de la base, que nos ha dado 3,9 centímetros cuadrados.
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Es decir, 45 más 7,8 centímetros cuadrados, y así obtenemos el resultado.
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El área total es de 52,8 centímetros cuadrados
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Allá del volumen aplicamos la fórmula área de la base por altura
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El área de la base son 3,9 centímetros cuadrados multiplicado por la altura que son 5 centímetros
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El volumen es por tanto de 19,5 centímetros cúbicos
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Dentro de los prismas son de especial importancia los paralelepípedos
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que son aquellos en los cuales las bases son paralelogramos
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Por ejemplo, en el cubo la base son cuadrados
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y en el ortoedro tenemos que la base puede ser un cuadrado o por ejemplo un rectángulo
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Vamos a calcular ahora el área total y el volumen de un prisma rectangular
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rectangular, ortoedro, de 5 centímetros por 7 centímetros de base y 10 centímetros de altura.
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Comenzamos realizando un dibujo aproximado de nuestro prisma. Coloco las dos bases
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rectangulares y ahora voy a conectar los vértices de la base inferior con los de la superior con
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rectas perpendiculares al plano de la base inferior. Observar que la última arista no
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queda visible, por ello la dibujo con líneas discontinuas. Sobre el dibujo voy colocando los
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datos. La base tiene 5 centímetros por 7 centímetros de largo y la altura, que es la distancia
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perpendicular entre la base inferior y la base superior, es de 10 centímetros. También dibujamos
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el desarrollo plano aproximado de nuestro ortoedro. Las caras laterales son rectángulos de base 7
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centímetros, 5 centímetros, 7 centímetros y 5 centímetros y la altura es la altura del ortoedro
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que son 10 centímetros. Las bases son dos rectángulos de largo 7 centímetros y ancho 5
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centímetros. Vamos a calcular el área total como la suma del área lateral más dos veces el área
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de la base. El área lateral está constituido por estos cuatro rectángulos. Para calcular el área
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de todos estos rectángulos lo que vamos a hacer es sumar todas las bases, es decir, 7 más 5 más 7
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más 5, que fijaros que constituye el perímetro de la base, es decir, la suma de todos los lados de
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la base, multiplicado por la altura de estos rectángulos, que es la altura del ortoedro,
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es decir, los 10 centímetros. Realizando las operaciones obtenemos que el área lateral
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es de 240 centímetros cuadrados. Para calcular el área de una base, que es un rectángulo
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de dimensiones 7 por 5, multiplicamos 7 por 5 y nos da 35 centímetros cuadrados. Escribimos
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entonces que el área total es igual al área lateral que nos había dado 240 centímetros
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cuadrados más dos veces por el área de la base, porque hay dos bases, es decir, 2 por
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35 centímetros cuadrados. Realizando los cálculos tenemos 240 más 70 igual a 310 centímetros
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cuadrados. Finalizamos calculando el volumen del ortoedro con la fórmula área de la base por
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altura. El área de la base es 7 por 5 que es el área del rectángulo y la altura es 10 así que
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nos queda 35 por 10 igual a 350 centímetros cúbicos.
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- Autor/es:
- Miguel Gras Gigosos
- Subido por:
- Miguel G.
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- Fecha:
- 29 de marzo de 2024 - 16:44
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
- Duración:
- 10′ 55″
- Relación de aspecto:
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