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AL1. 5.1+5.2 Definición de rango de matrices. Cálculo mediante el método de Gauss - Contenido educativo

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Subido el 22 de agosto de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:18
de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos la definición 00:00:22
del rango de una matriz y su cálculo mediante el método de Gauss. 00:00:34
En esta videoclase vamos a estudiar el rango de una matriz. En la definición comenzamos 00:00:39
viendo qué es el rango por filas o bien el rango por columnas de una matriz. 00:00:53
Y como vemos aquí, se corresponde con el máximo número de vectores fila, en el caso del rango por filas, 00:00:58
o bien de vectores columna, en el caso del rango por columnas, que son linealmente independientes. 00:01:04
Esto de la independencia o la dependencia lineal lo vamos a ver un poco más adelante con un ejemplo. 00:01:10
Nosotros hemos definido por separado el rango por filas o por columnas como el máximo número de filas o columnas 00:01:17
que son linealmente independientes. Hay un teorema que me garantiza que el rango por filas y el rango 00:01:22
por columnas de una matriz van a ser ambos coincidentes, de tal forma que en general no 00:01:27
hablaremos del rango por filas o por columnas distinguiéndolos, sino que hablaremos sencillamente 00:01:32
del rango de una matriz. Y lo vamos a representar así, como veis, Rg de A, rango de A. Y va a ser 00:01:37
el máximo número de filas o columnas linealmente independientes. Tanto si argumentamos por filas 00:01:43
como os argumentamos por columnas, como veremos más adelante, llegaremos al mismo resultado. 00:01:48
Ambos rangos, por filas o por columnas, son iguales. Antes de discutir esto de la independencia 00:01:53
lineal, vamos a ver cuáles son las propiedades que le corresponden al rango de una matriz. 00:01:59
En primer lugar, el rango de una matriz va a ser menor o igual que el mínimo entre el 00:02:05
número de filas y de columnas. Tiene todo el sentido del mundo. Si el rango por filas 00:02:10
es el máximo número de filas o columnas linealmente independientes, nunca va a poder ser mayor que el 00:02:15
número de filas o de columnas. Puesto que el rango de filas y el rango por columnas coincide, nunca va 00:02:22
a poder ser mayor que el menor de ellos. Si tengo una matriz, por ejemplo, 2 por 3, el máximo número 00:02:28
de filas linealmente independientes va a ser 2, puesto que como mucho tengo dos filas. El máximo 00:02:34
número de columnas linealmente independientes va a ser 3, puesto que tengo tres columnas. Pero como 00:02:39
el rango por filas y por columnas coincide, si tengo como mucho dos filas independientes, 00:02:44
no puedo tener tres columnas independientes, puesto que como mucho el rango va a ser dos, 00:02:50
lo que comentaba. Va a ser menor o igual que el mínimo entre el número de filas y de 00:02:54
columnas. Por otro lado, el rango de una matriz va a ser un número no negativo, mayor o igual 00:02:58
que cero. Y el rango de una matriz va a ser cero, única y exclusivamente si todos sus 00:03:03
elementos son nulos. Esto es, si la matriz A, la matriz que yo estoy estudiando, es la 00:03:09
matriz nula de las dimensiones adecuadas. El rango de una matriz va a coincidir con el rango 00:03:13
de su matriz traspuesta y aquí hay otras tres propiedades que van a ser importantes con las 00:03:19
cuales vamos a poder diseñar un algoritmo para determinar el rango de matrices, con lo que 00:03:25
veremos dentro de un momento es el método de Gauss. Vemos que al intercambiar dos filas o 00:03:29
columnas en una matriz su rango no varía, esto es, el rango no depende del orden de las filas o de 00:03:35
las columnas. Vamos a ver cuáles son independientes y el orden no afecta. Si una matriz tiene toda 00:03:40
una fila o columna de ceros, entonces esa fila se puede eliminar y el rango no varía porque una fila 00:03:47
o una columna de ceros no computa para el rango. Lo que comentaba antes, fijaos, el rango de una 00:03:54
matriz sólo es cero si todos sus elementos son nulos, ninguna de las filas computa. Si una fila 00:03:59
columna es igual a otra se puede eliminar no computa para el rango y eso es porque si tengo 00:04:06
dos filas iguales en el fondo no tengo dos informaciones distintas pensando en que cada 00:04:11
fila aporta información dos filas iguales es una única información la de una de las dos filas puedo 00:04:17
eliminar una de ellas así que el rango varía sin que la información que contenga varía si tengo 00:04:22
una fila o columna que sea proporcional a otra también se puede eliminar. Nuevamente, si tengo 00:04:28
una fila y otra que sea, por ejemplo, su doble, no tengo dos informaciones, puesto que la información 00:04:36
de la segunda fila es el doble de la primera, es implícita en la primera. Una de las dos filas se 00:04:42
podría eliminar y el rango no varía. O bien, como podemos ver aquí, para finalizar con esta propiedad, 00:04:46
si una fila o columna es igual a una combinación lineal de las otras. 00:04:53
Esa fila también se puede eliminar si el rango varía. 00:04:57
Imaginémonos que tengo tres filas y resulta que la tercera es la suma de las dos primeras. 00:05:01
Bueno, pues la información que contiene no es independiente, no aporta una información nueva. 00:05:06
Se podría calcular sumando la fila 1 y la fila 2. 00:05:11
Aquí estoy intentando introducir a qué me refiero con dependencia o independencia lineal, 00:05:14
relacionándolo con la información contenida, ya sea por filas o ya sea por columnas. 00:05:19
Vamos a ver esto con un poco más de detalle con un ejemplo, 00:05:25
pero antes dejadme que veamos esta última de las propiedades. 00:05:28
Si sustituimos una fila o columna de una matriz por una combinación lineal de esta, 00:05:32
con coeficiente no nulo, esto es sin multiplicarla por cero, y otras, el rango no varía. 00:05:36
Si una de las filas o columnas la sustituyo por ella misma, 00:05:41
sumando una combinación de otras, dos veces la fila 1, más tres veces la fila 2, menos cuatro veces la fila 3, lo que quiera que sea, 00:05:45
todo eso que le estoy añadiendo a esa fila no modifica el rango. 00:05:54
Todo eso no modifica la información que contiene, es una información dependiente. 00:05:58
Así pues, ese tipo de operaciones no modifica el rango. 00:06:02
Esto, como veremos un poquito más adelante, estas propiedades me van a permitir determinar el rango de matrices utilizando el método de Gauss. 00:06:06
Antes de adelantarme, vamos a ver un pequeño ejemplo. 00:06:14
Supongamos que, como vemos aquí en estos ejemplos, se nos pide que determinemos el rango de estas matrices. 00:06:19
Estos ejercicios los resolveremos en clase y también serán resueltos en alguna clase posterior. 00:06:25
Pero fijaos durante un momento en esta matriz B. 00:06:30
Puesto que no todos sus elementos son nulos, el rango de esta matriz B va a ser distinto de cero. 00:06:35
Va a ser 1, 2, 3, 4, etcétera, pero no va a ser 0. Únicamente si fuera la matriz completa de ceros, el rango sería 0. 00:06:41
Esta matriz B tiene 4 filas y podemos contar que tiene 5 columnas. 00:06:50
El rango de la matriz B va a ser 1, 2, 3 o 4, puesto que el menor entre el número de filas, que es 4, y el número de columnas, que es 5, es 4, el número de filas. 00:06:55
Así pues, esta matriz B tendrá como mucho cuatro filas o cuatro columnas que van a ser linealmente independientes. Vamos a pensar por filas, que tal vez sea más sencillo en este momento. 00:07:05
La primera fila no es toda de ceros, así que aporta información y es relevante para el rango. El rango de la matriz B es al menos 1 porque esta primera fila, 1, 0, menos 1, 2, 3, por ejemplo, voy a argumentar con esta primera fila, no es toda de ceros. 00:07:18
Esta fila contiene una cierta información. Dependiendo de cómo esté codificada, pues será de un tipo o de otro, pero desde luego aporta información. 1, 0, menos 1, 2, 3. 00:07:34
La siguiente fila, 2, menos 1, 0, 1, 3, no es igual a la anterior y tampoco vemos que sea múltiplo de la anterior. 00:07:45
Aquí tengo un 2, aquí tengo un 1. Desde luego estos dos elementos no son iguales, con lo cual ya las dos filas no son iguales. 00:07:57
Podría ser a priori que la segunda fila sea el doble de la primera fila, puesto que este 2 es el doble de este 1, pero eso no se cumple con todos los demás elementos. 00:08:04
Con lo cual, la fila 1 y la fila 2 son linealmente independientes. No son todas de ceros y no son una igual a la otra o un múltiplo de la otra. 00:08:13
Así que, insisto, no sé cómo pueda estar codificada la información, pero desde luego la que aporta esta fila y la que aporta esta segunda fila van a ser distintas. 00:08:25
Vamos a por la tercera fila. 3, menos 1, menos 1, 3, 6. 00:08:33
En principio esta fila no es toda de ceros, luego aporta información. 00:08:39
Ahora, ¿esta información es relevante? 00:08:43
Bueno, pues para ello tendríamos que ver si esta fila es igual a alguna de las anteriores. 00:08:47
Así, a primera vista, desde luego no, porque aquí tengo un 3, aquí tengo un 2, aquí tengo un 1. 00:08:53
Evidentemente, esta tercera fila no es igual ni a la primera ni a la segunda. 00:08:57
También tenemos que descartar que esta tercera fila sea un múltiplo de alguna de las anteriores. 00:09:01
Bueno, podría ser 3 veces la fila 1, porque 3 por este 1 es igual a este 3, pero eso no ocurre con los demás. 00:09:06
Así que la tercera fila no es 3 veces la fila 1, ni es ningún tipo de múltiplo de la fila 1. 00:09:12
Podría ser que esta fila fuera múltiplo de la fila 2 00:09:17
De hecho, podría ser 3 medios multiplicado por la fila 2 00:09:21
Puesto que si multiplico 3 medios por 2, tengo este 3 00:09:24
Ahora, si intentar hacer lo mismo con todos los demás elementos, esto no ocurriría 00:09:26
Así que, en principio, esta fila no es un múltiplo de la fila 2 00:09:31
Aporta información distinta de la fila 2 00:09:36
Tendremos que también descartar que no sea una combinación lineal de las anteriores 00:09:38
Y en este caso hemos de descartarla porque podemos comprobar que esta fila 3 es la suma de la fila 1 y la fila 2. 00:09:44
Fijaos, 1 más 2 es este 3, 0 menos 1 es este menos 1, menos 1 más 0 es este menos 1, 2 más 1 es este 3, 3 más 3 es este 6. 00:09:53
La tercera fila no es independiente de las otras dos, puesto que se puede determinar utilizándolas. 00:10:03
De hecho, hay una combinación lineal, fila 1 más fila 2, que me produce esta fila 3. 00:10:09
Esta fila 3 no es independiente de las otras, no contiene una información distinta, es la fila 1 más la fila 2. 00:10:15
Conociendo esas dos filas podría determinar esta fila 3 y entonces no computa para el rango. 00:10:21
Cuando hablaba de combinaciones lineales me refería precisamente a esto, o cuando me refería a independencia lineal me refería precisamente a esto. 00:10:28
Una fila es linealmente independiente de las demás cuando no se puede determinar como una combinación lineal de las otras. 00:10:36
Esto es, las otras sumadas o restadas multiplicadas por un coeficiente distinto de cero, en principio. 00:10:44
Digo en principio porque no todos los coeficientes pueden ser cero. 00:10:50
Si multiplico cero por unas cuantas filas y luego sumo o resto, obtengo una fila que es idénticamente nula. 00:10:53
Y esa fila no aporta información, esa fila no es relevante para el rango. 00:10:58
Ahora que ya hemos visto cuál es esta definición de rango de matrices, podemos ver cómo podríamos utilizar el método de Gauss para poder determinar el rango. 00:11:03
Lo que he estado haciendo hace un momento de comprobar que una fila no es igual a las anteriores o no es múltiplo de las anteriores o no es combinación lineal de las anteriores no es muy factible, 00:11:15
puesto que las combinaciones lineales de las filas anteriores que podrían corresponderse pueden ser en principio bastante complicadas. 00:11:27
Aquí en este ejemplo estaba preparado la fila 3 era la fila 1 más la fila 2, pero podría haber tenido alguna combinación complicada como un tercio de la fila 1 menos dos tercios de la fila 2 que me produjera la fila 3 y no es tan fácil de ver a primera vista. 00:11:35
El método de Gauss me va a permitir determinar de una forma algorítmica cuál es el rango de una matriz. 00:11:50
Lo que vamos a hacer es utilizar las mismas transformaciones elementales que se estudiaban en primero de bachillerato a la hora de resolver sistemas de ecuaciones, sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, para convertir esta matriz en escalonada. 00:11:58
Y en el momento en el que esto lo hayamos hecho, ya hemos aplicado el algoritmo del método de Gauss hasta el final, el rango de la matriz va a ser igual al número de filas que no son todas conteniendo ceros. 00:12:12
Como vemos aquí, va a ser el número de filas con algún elemento no nulo, que no sean todos los elementos cero. 00:12:27
Volveremos a estudiar con más cuidado el método de Gauss cuando en una unidad posterior veamos cómo resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas o de más de tres ecuaciones con más de tres incógnitas utilizando el método de Gauss. 00:12:35
Con lo que hemos visto y recordando lo que habíamos estudiado del método de Gauss en el año anterior, podremos resolver estos dos ejercicios que resolveremos en clase y también resolveremos en alguna videoclase posterior. 00:12:50
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:13:03
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:13:12
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:13:17
Un saludo y hasta pronto. 00:13:22
Idioma/s:
es
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
23
Fecha:
22 de agosto de 2024 - 15:57
Visibilidad:
URL
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
13′ 50″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
34.19 MBytes

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