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Derivadas 1ª parte - Contenido educativo

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Subido el 25 de marzo de 2020 por Genoveva M.

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Buenos días. Empezamos el tema de derivadas. Lo primero que podemos hacer es definir a qué se llama tasa de variación media de una función en un intervalo a b, que es f en b menos f en a partido de b menos a. 00:00:03
Gráficamente, ¿qué representa? 00:00:22
Esta curva de aquí es la función. 00:00:24
Este punto, este valor es a. 00:00:27
Voy a la función y esto es f de a. 00:00:29
Este punto es b, voy a la función y este punto es f de b. 00:00:31
El numerador de esta expresión que estamos considerando es justamente esta medida. 00:00:35
El denominador es justamente esta medida. 00:00:41
Como tengo este cociente, esta medida entre esta medida justamente es la pendiente de esta recta. 00:00:44
Por tanto, la tasa de variación media de una función en un intervalo AB es la pendiente de la recta que pasa por los puntos AF de A y BF de B. 00:00:49
Con frecuencia, al intervalo, en vez de llamarlo AB, se le llama A, A más H. En ese caso, tendríamos una definición parecida. Esto es A y esto es A más H, esto es F de A, el valor aquí es F de A más H. 00:01:04
Lo mismo, la tasa de variación media es la pendiente de esta recta. 00:01:22
A veces lo que se quiere medir es lo que varía la función justamente en un punto. 00:01:29
Entonces lo que se hace es considerar que esta variación h se va haciendo cada vez más pequeña. 00:01:34
Como yo quiero saber exactamente aquí, esto tiende a cero y se define la tasa de variación instantánea como este límite. 00:01:42
Y justamente ese límite va a ser la derivada. 00:01:50
La derivada de una función en un punto se representa por f' de a y es justamente este límite. 00:01:53
Si yo miro este límite cuando h tiende a cero, el denominador es cero y sería una expresión en principio que no tendría mucho sentido. 00:02:02
Lo que sucede es que el numerador, cuando h es muy pequeñito, también va a tender a cero. 00:02:09
Entonces el cociente en muchos casos va a ser un número real. En ese caso es la derivada. 00:02:15
Por ejemplo, calcular la derivada de esta función en x igual a 3. 00:02:22
Significa que tengo que sustituir aquí la a por 3. 00:02:28
La a por 3 ahí, la sustituyo aquí y aquí. 00:02:32
Sustituyo como f de x es x al cuadrado, f de 3 más h, 3 más h al cuadrado y f de 3, 3 al cuadrado. 00:02:37
Desarrollo, es una identidad notable y simplifico. 00:02:45
La h y la h aquí se va y me queda h más 6, cuando h tiende a 0, 0 más 6 es 6. 00:02:49
Y ya lo tendría. 00:02:56
Nos interesa a veces, en vez de hallar la derivada de la función en un punto 3, 00:02:59
hallar la función derivada global. 00:03:03
Que no sea en 3, que sea en cualquier punto x. 00:03:07
Eso es lo que se llama función derivada. 00:03:09
Y la definición es parecida a la anterior, en lugar de a se pone x. 00:03:12
Esa es la definición de derivada. 00:03:17
La derivada de una función es el límite cuando h tiende a cero f de x más h menos f de x partida de h. 00:03:23
Una definición un poco labriosa. 00:03:30
Vamos a hallar la derivada de algunas funciones elementales aplicando esa regla. 00:03:32
Por ejemplo, si yo tengo la función f de x igual a 5, pongo la definición de derivada. 00:03:38
Y ahora calculo f de x más h. 00:03:44
Si la función vale siempre 5, f de x más h es 5. 00:03:46
f de x es 5, me queda 0 entre h, que es 0, y ahora ya calculo el límite. 00:03:50
El límite cuando h tiende a 0 de 0 es 0. 00:03:56
Bueno, pues esto no solo ocurre con f de x igual a 5, f de x igual a 7, f de x igual a 9, 00:04:00
f de x igual a k, cualquier valor real, la derivada siempre vale 0. 00:04:04
Otro ejemplo importante, la derivada de la función identidad, f de x igual a x, 00:04:10
significa que f de 5 vale 5, f de 7 es 7, f de m vale m. Vamos a aplicar la definición que sería 00:04:16
todo esto. f de x más h, pues x más h. f de x, x. Simplifico la x, se va con la x, me queda h entre 00:04:22
h. h entre h vale 1 y el límite de 1 es 1. Tenemos la segunda regla, la derivada de la función 00:04:31
en identidad, si queréis, de la bisectriz del primer cuadrante es 1. Vamos a un tercer ejemplo. 00:04:39
f de x igual a x cuadrado. Aplico la fórmula, pongo lo que vale, desarrollo, simplifico, podéis comprobar 00:04:47
que sale 2x, la derivada es 2x. Ya no hacemos ninguna más, podríamos hacer la derivada de x cubo 00:04:56
haciéndolo igual, o de x elevado a n. Pero lo que vamos a hacer a partir de ahora es ya dar las reglas directamente. 00:05:03
Reglas sin necesidad de aplicar la definición, reglas que tenéis que saberos de memoria. 00:05:10
Y están aquí las primeras reglas para poder derivar un polinomio. 00:05:16
La primera que hemos calculado, si y igual a k es un número, 5, 7, pi, lo que sea. 00:05:23
La derivada, 0. Si es y igual a x, la derivada de x, 1. 00:05:28
Si es y igual a x cuadrado, la derivada de 2x. Esas las hemos deducido. 00:05:35
Una potencia de x, y igual a x elevada a n. 00:05:41
Bueno, pues se puede demostrar que no lo haremos, que la derivada es n, el exponente, por x, la base, elevado a n menos 1. 00:05:44
Derivada de operaciones con funciones, la derivada de la suma. Pues la suma de la derivada, facilísimo. 00:05:53
La derivada de un número por una función es el número por la derivada de la función. 00:05:59
Empezamos. Por ejemplo, la derivada de x elevada a 6. Apartado a. Aplico esta regla. Sería el exponente 6 por x elevada a 5. Es mecánico. 00:06:05
x elevada a 9, 9x elevada a 8. x elevada a 4, pensarlo. x elevada a 7, pensarlo. Y x elevada a 3, pensarlo. 00:06:15
Vamos ampliando. Tengo un número por una potencia. Aplico esta fórmula. Es el número por la derivada de esa potencia. 00:06:25
5x elevado a 4 derivado es 5 por la derivada de x elevado a 4, que es la fórmula esta, 4x elevado a 3. 00:06:33
Multiplico 20x elevado a 3, se hace directamente, se dice 5 por 4, 20x elevado a 4 menos 1, 3. 00:06:43
Hacer vosotros estas de aquí. 00:06:55
Apartado de, si tenemos una suma, aquí tenemos que la derivada de la suma es la suma de la derivada. 00:06:57
Lo único que tenemos que hacer con cada uno de estos términos, con la recta igual que no lo he puesto, 00:07:04
la derivada de cada uno de estos términos, aplicar lo que hemos visto aquí. 00:07:10
3 por 2, 6x elevado a 2 menos 1, más 5x, 5 por la derivada de x es 1, que la tenemos ahí más arriba. 00:07:13
La derivada de x es 1, que es una de las deducidas. 00:07:25
Menos 4, la derivada de 4 es una constante, es 0. 00:07:28
Derivar lo siguiente. 00:07:32
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Genoveva Morales Collado
Subido por:
Genoveva M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
99
Fecha:
25 de marzo de 2020 - 14:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PERIDIS
Duración:
07′ 35″
Relación de aspecto:
1.88:1
Resolución:
1920x1020 píxeles
Tamaño:
538.57 MBytes

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