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Distancia entre puntos y entre punto y recta. - Contenido educativo

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Subido el 26 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Buenos días, 26 de noviembre, ¿no? 00:00:00
Del 25, dime. 00:00:05
Uf, I don't know enough from here. 00:00:10
I'm not sure. 00:00:13
Uf, es que realmente, es lo que os dije antes. 00:00:16
A ver, para la parte de geometría que tenéis el día 16, 00:00:20
todo lo que hemos visto en los temas 1, 2, 3, 4 son necesarios. 00:00:24
es necesario, porque se hace al final 00:00:27
con rango, con tal 00:00:30
discutir sistemas de ecuaciones 00:00:32
lineales, porque al final un plano 00:00:34
es un sistema de ecuación 00:00:36
una ecuación de tres incógnitas 00:00:37
es un plano, entonces cuando tienes 00:00:40
tres planos lo que tienes es un sistema de tres ecuaciones 00:00:42
con tres incógnitas, entonces todo 00:00:44
lo que hemos dado del tema 1, 2, 3 y 4 00:00:46
que es discutir sistemas 00:00:48
con matrices, determinantes y demás 00:00:50
todo eso es necesario 00:00:52
para 00:00:54
para geometría 00:00:55
que luego yo te pregunte cosas que no son 00:00:57
de geometría precisamente 00:01:00
con propiedades 00:01:01
de determinantes o por ejemplo con matrices 00:01:04
que te pueda poner matrices singulares 00:01:06
y demás, pues puede caer 00:01:08
evidentemente 00:01:10
puede haber problemas por ejemplo 00:01:10
problemas puede 00:01:15
haber, si es que 00:01:17
lo que si el problema, el único problema 00:01:19
que yo veo es que es 00:01:21
a segunda hora 00:01:23
Y entonces tenemos que estar aquí 00:01:25
Empezar los 5 minutos antes 00:01:28
Y los 5 minutos después 00:01:30
Intentaré hablar con Carlos 00:01:31
Pero siempre le estoy quitando a este hombre tiempo 00:01:33
¿Vale? 00:01:36
Porque lo tenemos que hacer los martes 00:01:37
Venga 00:01:40
Bueno chavales 00:01:40
La distancia 00:01:42
Venga 00:01:44
La distancia entre dos puntos 00:01:46
Lo más fácil que pueda haber 00:01:49
Ya lo dijo, no me acuerdo quién fue 00:01:50
Lo dijo ayer 00:01:53
que la distancia entre dos puntos 00:01:55
creo que fuese en don, si no me equivoco 00:01:57
¿verdad? entonces, por ejemplo 00:01:59
tenemos el punto A 00:02:01
y yo tengo el punto A, chavales 00:02:03
por ejemplo, el que le gusta 00:02:07
a Martín, que es un 2-3 00:02:09
y el punto B, yo que sé 00:02:11
menos 5 00:02:13
menos 2, 0 00:02:15
¿vale? entonces, ¿cuál es la distancia 00:02:17
que hay entre el punto A y B? 00:02:20
¿cuál es la distancia que hay 00:02:21
entre A y B? 00:02:23
que son dos puntos. Pues lo que se hace 00:02:25
al final, fijaros, chavales, que si yo 00:02:27
tengo aquí el punto A, por ejemplo, 00:02:29
y aquí tengo el punto B, ¿cuál es la 00:02:31
distancia siempre más corta entre 00:02:33
dos puntos, chavales? 00:02:35
¡Guau! 00:02:37
¡Guau! ¿Quién me ha dicho eso? 00:02:40
Los Bialé, ¿vale? 00:02:43
La distancia 00:02:46
más corta entre dos puntos 00:02:47
es siempre una recta. 00:02:49
Claudia, ¿vale, mi arma? 00:02:51
¿Eh? 00:02:54
Venga, te queremos, Claudia 00:02:55
Entonces, ¿qué es lo que ocurre, chavales? 00:02:57
Que yo lo que tengo que hacer realmente 00:03:00
¿Vale? Yo lo que tengo que hacer realmente 00:03:02
Es aquí, hallar el vector 00:03:04
AB, ¿verdad? Porque, chavales 00:03:06
Si yo tengo el punto A 00:03:08
Tengo el punto B, y yo hago 00:03:10
Una recta, realmente es lo mismo 00:03:12
Que si yo tengo el vector AB o el vector 00:03:14
BA, ¿sí o no? ¿Y qué propiedades 00:03:16
Tenían siempre los vectores? Tenían tres 00:03:18
Propiedades, que era el módulo, la dirección 00:03:20
Y el sentido, y el módulo 00:03:22
que era, lo que medía, ¿vale? 00:03:24
Entonces, si yo hago 00:03:27
el A, B 00:03:28
o B, A, me da igual, lo voy a hacer 00:03:30
con los dos para que veáis que es exactamente 00:03:32
lo mismo, pues 00:03:34
entonces, el A, B 00:03:36
que es menos 6, ¿verdad? 00:03:38
Menos 4, 0. Menos 3, 00:03:40
perdona. 00:03:42
Y el otro, si lo hago 00:03:43
A, B, es 6, 00:03:46
4, 3. Lo único que 00:03:48
cambia, chavales, es 00:03:50
el sentido, ¿vale? 00:03:52
Pero sin embargo, si yo hago el módulo tanto de uno como de otro, ¿vale? 00:03:54
Si yo hago el módulo tanto de uno como de otro, pues me va a dar igual, ¿por qué? 00:03:58
Pues porque precisamente elevamos al cuadrado, ¿vale? 00:04:03
Si yo quiero hallar el módulo de AB, es realmente la raíz de qué? 00:04:06
De menos 6 al cuadrado más menos 4 al cuadrado más menos 3 al cuadrado, ¿de acuerdo? 00:04:12
Igual si hago con b, pues yo tengo la raíz de 6 al cuadrado más 4 al cuadrado más 3 al cuadrado, que precisamente se eleva al cuadrado para evitar precisamente la dirección, ¿vale? 00:04:19
Entonces, ¿esto qué es? Al final, la raíz de 36 más 16 más 9, aquí igual, 36, lo veis como ya aquí se igualan, más 9 porque están elevados al cuadrado, y esto es la raíz de, esto es 25, 25, 61, ¿no? 00:04:37
Pues esto es la distancia que hay chavales 00:04:57
Unidades aquí 00:05:02
Unidades entre dos puntos 00:05:03
La fórmula esta de aquí 00:05:06
¿Qué es lo que hemos hecho realmente con esta fórmula? 00:05:08
Pues restamos las componentes X de uno con el otro 00:05:11
Le damos al cuadrado 00:05:13
Le sumamos la resta de las componentes Y 00:05:14
Las elevamos al cuadrado 00:05:17
Y las componentes Z las elevamos al cuadrado 00:05:19
Al final que estamos haciendo elevando al cuadrado 00:05:22
El que es precisamente el vector 00:05:23
¿Vale chavales? 00:05:25
¿Sí? Eso es lo más fácil, ¿verdad? Pues venga. Y ahora, chavales, vamos a hallar la distancia de un punto a una recta. Y aquí hay una fórmula, ¿vale? Aquí hay una fórmula, pero a mí me gusta más, a mí me gusta más, porque yo soy antifórmula, razonarlo. 00:05:27
Y aquí, aquí, a lo mejor lo que dijo Claudia puede llevar algo de razón, ¿vale? 00:05:50
Entonces, chavales, realmente, si yo tengo aquí una recta, ¿vale? 00:06:01
Yo tengo aquí una recta, ¿vale? 00:06:05
Mi recta R. 00:06:08
Y yo tengo aquí mi punto P, ¿vale? 00:06:10
¿Cuál es la distancia realmente entre P y R? 00:06:14
Y esto es súper importante, es súper importante. 00:06:18
Porque claro, tú dices, ¿cuál es la distancia de P a R? Pues lo que dices, la distancia está de aquí a aquí, o esta de aquí, o esta de aquí, o esta de aquí, o esta de aquí. 00:06:22
Entonces es súper importante saber que la distancia que hay entre un punto y una recta, necesitamos la proyección ortogonal de ese punto sobre la recta, ¿vale? 00:06:33
Es decir, yo tengo que formar un ángulo de 90 grados, ¿vale? Aquí. Es decir, si yo proyecto ortogonalmente mi punto P aquí, ¿vale? La distancia que hay realmente entre P y la recta es la distancia que hay entre el punto P y su proyección ortogonal sobre la recta, ¿vale? 00:06:45
lo veis chavales 00:07:09
entonces esto a que os recuerda 00:07:14
este punto B 00:07:16
a que os recuerda chavales 00:07:17
el punto medio pero el punto medio 00:07:19
de que? 00:07:22
del punto simétrico 00:07:23
vale 00:07:25
ahora si vale Claudia 00:07:26
este precisamente si es el punto 00:07:28
si yo hallo aquí el punto 00:07:30
y además una preguntilla chavales 00:07:32
la distancia que hay entre 00:07:34
P y R 00:07:36
¿Es la misma o diferente que la distancia que hay 00:07:37
respecto al punto simétrico AR? 00:07:41
Eh, vale 00:07:44
Es la misma, la misma 00:07:45
la pubertad, lo que hace 00:07:47
¿Vale? Es efectivamente la 00:07:48
misma, ¿de acuerdo? 00:07:51
¿Sí? ¿Vale? 00:07:53
Entonces, chavales, precisamente por ser la misma 00:07:55
yo me valgo de B, que no sé si os acordáis 00:07:57
de los ejercicios tipo 00:07:59
esta era la proyección 00:08:01
ortogonal de P 00:08:03
en R. Entonces, chavales 00:08:07
Si nos vamos al libro, ¿vale? Si nos vamos al libro, pues aquí nos explica todo bien detallado y demás. 00:08:09
Realmente hay como tres métodos, ¿vale? Tres métodos para hallar la distancia de un punto a un plano, ¿vale? 00:08:21
Entonces, el del método del plano perpendicular, pues si os fijáis, es el que hemos hecho para ver el punto simétrico, ¿verdad? 00:08:28
Si yo quiero hallar el punto simétrico, ¿qué es lo que hallamos? Pues hallamos el plano que es perpendicular a R que pase por P. Y luego la intersección de P con la recta es precisamente la proyección ortogonal de P sobre la recta. 00:08:37
¿Vale? Y entonces ya tengo dos puntos, pues yo ya tengo la distancia realmente, ¿vale? 00:08:58
Entre el punto y la recta. ¿Sí? Ahora lo vamos a hacer, ¿vale? 00:09:04
Y después, el método del punto genérico. Este, para mí, es más lioso, ¿vale? 00:09:09
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo puedo coger un punto genérico de mi recta, ¿vale? 00:09:15
El punto R, que llaman aquí, y si os fijáis, todo punto de la recta, al final, 00:09:19
depende del parámetro lambda o del parámetro t que estemos utilizando, ¿no? 00:09:26
Un punto genérico es, si yo tengo mis ecuaciones en paramétrica, 00:09:31
pues van a depender de ese parámetro, ¿verdad? 00:09:35
Entonces, si lo que impongo es que P sub r sea perpendicular a r, 00:09:37
porque precisamente de todos los puntos que tengo en mi recta, 00:09:43
yo impongo que sea perpendicular porque yo lo que busco aquí, chavales, 00:09:48
es que aquí haya 90 grados, ¿vale? 00:09:52
Ahora vamos a hacer el ejemplo de los tres métodos para que lo aprendamos, ¿vale? Entonces yo ahí ya hallo la condición de lambda que cumple que precisamente su producto escalar sea cero y entonces sustituyo en la recta y ya tengo el punto, ¿vale? El punto de la intersección, ¿sí? 00:09:55
O el tercero, que está más relacionado con geometría, si os fijáis, yo aquí, ¿qué tengo, chavales? Yo tengo aquí mi recta, mi recta, lo diré, mi recta R y tengo aquí mi punto P, ¿verdad? 00:10:12
Entonces, chavales, si yo cojo un punto genérico de la recta R, ¿vale? 00:10:27
Y lo uno con el punto P, yo tengo aquí un vector, ¿verdad? 00:10:34
Que va de R a P, ¿sí o no? 00:10:39
Y yo luego tengo aquí también el vector director, el vector director de la recta, ¿vale? 00:10:41
Entonces, ¿qué ocurre? 00:10:49
Que si recordamos un poco, cuando yo hacía el producto vectorial de dos vectores, 00:10:50
Lo que me daba era el área del paralelogramo, ¿os recordáis que era el área del paralelogramo? 00:10:55
Y justo lo que me piden a mí, que es la distancia de P a la recta, es esta altura, es la altura del paralelogramo, ¿vale? 00:11:01
Entonces, ¿cuál es el área de todo paralelogramo? ¿Cuál es el área de todo paralelogramo? 00:11:10
Base por altura, ¿vale? Base por altura. 00:11:18
Entonces, ¿qué ocurre? Que la altura, la altura precisamente, chavales, es la, lo diré, el cociente entre el área por la base, ¿vale? ¿Cuánto vale el área? 00:11:20
Pues el área es el producto vectorial de un punto genérico, un punto genérico RP con, bueno, un punto genérico no, perdón, yo cojo un punto y un punto de la recta al que yo quiera, ¿vale? Y hallo el vector RP y luego le hago su producto vectorial por el vector director de la recta, ¿vale? 00:11:36
Y luego lo divido precisamente la base, que es, la base es el módulo de ese vector director, ¿vale? Y entonces cualquiera de los tres me va a dar, me va a dar bien, ¿vale? ¿Lo vemos? Porque a mí es así, ¿eh? 00:11:59
A ver, a mí el que más me gusta 00:12:17
porque geométricamente me sirve 00:12:21
yo utilizo el primero 00:12:23
pero el segundo tampoco está mal 00:12:25
yo el que más coñazo veo es este 00:12:27
para mí, pero bueno 00:12:29
es que al final es lo de siempre 00:12:31
hay tres métodos, los tres son válidos 00:12:33
cada uno el que esté más cómodo 00:12:36
¿vale? 00:12:38
a mí el que más me gusta es este porque lo veo 00:12:38
yo a mí este 00:12:41
tiene razón 00:12:43
pero este a mí se me olvida siempre 00:12:45
¿Vale? A mí este se me olvida siempre 00:12:46
Este de aquí 00:12:49
Entonces, claro, cuando lo veo, ah, hostia, pues sí, es verdad 00:12:50
Pero, porque a lo mejor no tengo yo esa visión espacial 00:12:52
Que necesito, ¿sabes? 00:12:56
Pero a mí se me olvida 00:12:58
Este de aquí no es difícil, pero también se me suele olvidar 00:12:59
Y a mí el que nunca se me olvide es el del plano perpendicular 00:13:03
¿Vale? ¿Sí? 00:13:07
Venga, vamos a hacer este ejemplo de aquí 00:13:09
Pero lo vamos a hacer nosotros, ¿vale? 00:13:11
Como ya sabemos la solución para no equivocarnos 00:13:13
venga 00:13:15
chavales, tenemos este ejercicio 00:13:18
¿vale? y tenemos que 00:13:22
calcular la distancia 00:13:24
vamos a hacerlo por el 00:13:26
primer método ¿vale? 00:13:27
el primer método, esto realmente 00:13:30
yo, ah, una cosilla, lo que si me 00:13:32
encuentro mucho de ustedes 00:13:34
en los exámenes que nos hacen 00:13:35
los dibujos, yo dibujo fatal pero 00:13:38
siempre un dibujo ayuda mucho ¿vale? 00:13:40
entonces yo os recomiendo que 00:13:43
dibujéis ¿vale? aunque sea 00:13:44
un mojón el dibujo. Mire, esta es la 00:13:46
recta R. 00:13:48
No, pero te ayuda aquí yo. 00:13:50
Para mí no, porque lo pido. 00:13:52
No, lo que pasa es que hay 00:13:55
gente que si hubiera dibujado en el examen 00:13:56
hubiera sacado más notas. 00:13:58
¿Vale? 00:14:03
Entonces, chavales, la distancia realmente 00:14:04
entre P y la recta 00:14:06
es esto de aquí. 00:14:08
¿Vale? Esta es la distancia. 00:14:10
¿De acuerdo? Y entonces, ¿qué ocurre? 00:14:12
Que si yo hallo la proyección 00:14:14
ortogonal de p sobre la resta es este punto y de acuerdo pues la distancia entre en la distancia 00:14:16
entre p y r es igual a la distancia que hay entre p y el punto y de acuerdo y aquí tenemos ya el pi 00:14:24
y es matemática más entonces el primer método que hacemos pues hallamos plano perpendicular a 00:14:34
r que pasa que pasa porque además que esto cuánto tardamos realmente chavales en hacer esto no 00:14:44
tardamos nada medio minuto porque porque el vector directo me aquí un punto de pr pr que es aquí 105 00:14:54
verdad hay otra cosa que también nos aconseja vale que me encontrado fijáis que aquí os dejan 00:15:04
un huequito, vale 00:15:10
entonces intentadlo dejar también a ustedes 00:15:12
vale, intentad 00:15:14
dejar cuando estéis en paramétrica 00:15:16
aunque sea un cero, dejar un hueco 00:15:18
y entonces la primera columna 00:15:20
que sea la del punto 00:15:22
y luego ya la segunda columna la que va 00:15:23
con lambda, conteo, el parámetro que queráis 00:15:26
porque me he encontrado gente 00:15:28
a mí también con las bullas a veces me pasa 00:15:29
que yo lo escriba a lo mejor porque 00:15:32
tengo la costumbre de escribirlo todo junto 00:15:34
y ahora elijo en el vector directo 00:15:35
o en el punto largo que no le corresponde, ¿vale? 00:15:38
Entonces, chavales, 1, 0, 5 es esta y el vector director es menos 2, menos 1, 1, ¿verdad? 00:15:42
¿Sí o no? 00:15:49
Entonces, el plano perpendicular pi, que es perpendicular a r, ¿qué ocurre? 00:15:51
El n sub pi también es menos 2, menos 1, 1, ¿verdad? 00:15:57
Por lo tanto, ¿qué ocurre? Que yo tengo menos 2x menos y más z más d igual a 0. ¿Estáis de acuerdo conmigo o no? Y ahora, ¿qué ocurre? Como yo quiero, ¿cuántos planos perpendiculares a la recta A hecha? ¿Vale? Infinitos. 00:16:02
Pero el único que pasa por el punto P, es decir, P pertenece a ese plano pi, ¿vale? ¿Qué ocurre? Pues tiene que verificar esta ecuación. Por lo tanto, el punto P, P sub r, ¿vale? ¿Qué es 1, 0, 5? Pues entonces, menos 2 por 1, menos menos 2 por 1, menos 0, más 5, más d igual a 0. 00:16:20
pues de cuánto vale 00:16:46
menos 3 si no me equivoco, ¿no chavales? 00:16:47
corregirme 00:16:52
si me equivoco, ¿vale? 00:16:52
entonces el plano pi que es 00:16:53
menos 2x menos y 00:16:56
más, ¿me he equivocado? 00:16:58
tiene que pasar por pi 00:17:01
no por pi 00:17:02
hostia, claro, yo 00:17:02
lo había escrito bien, vale 00:17:05
gracias padre, perdonad 00:17:07
tiene que pasar por pi 00:17:11
el punto pi, si yo lo había escrito bien 00:17:13
P, que es 5, pertenece al plano pi. 00:17:18
Entonces, ¿qué ocurre? 00:17:23
Es menos 2 por 5, menos menos 1, más 6, más D, igual a 0. 00:17:24
Por lo tanto, ¿D cuánto es? 00:17:34
Esto es 3, ¿no? 00:17:35
Entonces, esto aquí es un más 3. 00:17:41
¿Vale, chavales? 00:17:43
¿Sí o no? 00:17:44
¿Mariela, bien? 00:17:46
Y ahora lo que yo quiero hacer es que y, precisamente, pertenece a la intersección de r y pi, ¿vale? 00:17:46
Y entonces, ¿qué ocurre? ¿Qué es lo que voy a hacer? 00:17:56
Voy a poner aquí en cada x, y, z del plano, voy a poner las paramétricas de la recta, ¿vale? 00:17:59
Menos 2 que multiplica 00:18:07
1 menos 2 lambda 00:18:11
Menos 00:18:12
Menos lambda 00:18:14
Más 5 más lambda 00:18:15
Más 3 00:18:18
Igual a 0 00:18:19
Y aquí lo que yo os pido chavales 00:18:21
Muchas bullas en los exámenes 00:18:23
Relaja la raja por favor 00:18:26
Y hace todo bien 00:18:28
Hace todo bien porque es que me encuentro luego 00:18:29
Y sobre todo 00:18:32
Lo que a mi me interesa mucho 00:18:33
es que luego comprobéis, ¿vale? 00:18:36
Entonces, esto ya vale que es menos 2 más 4 lambda, ¿verdad? 00:18:38
Más lambda, más 5, más lambda, más 3, igual a 0. 00:18:42
Cojo las lambda, esto que es 6 lambda, ¿no? 00:18:49
Y esto que es más 6, igual a 0. 00:18:53
Por lo tanto, lambda me sale menos 1, ¿vale? 00:18:56
Claudia, aquí tienes también un ejemplo, ¿vale? 00:19:01
De que no siempre lambda es 0, ¿vale? 00:19:04
Aunque tú estabas con dos rectas, era otra cosa, pero que no puedes hacer esas afirmaciones, ¿vale? 00:19:06
Entonces, lambda es igual a menos 1. 00:19:12
Por lo tanto, chavales, ¿cuál es el punto y? 00:19:14
Pues yo sustituyo en mi recta la lambda igual a 1, ¿sí o no? 00:19:17
Y entonces, y sub x, que es menos 1 menos 2 por menos 1, esto es 1, ¿verdad? 00:19:23
Y sub y es menos menos 1, que es 1. 00:19:30
Y la z 00:19:34
Y su z 00:19:36
5 más menos 1, que es 4, ¿verdad? 00:19:37
¿Sí o no? 00:19:44
La x es 1 00:19:46
Es 1 menos 1 00:19:48
Y x es 3 00:19:52
La 3 00:19:53
Ah, que esto es un 1 positivo, ¿no? 00:19:54
Vale, perdona, te había puesto aquí un menos, ¿no? 00:19:58
Vale 00:20:02
Esto es un 1 y da un 3, ¿verdad? 00:20:02
Vale, gracias 00:20:05
3, 1, 4, ¿no? 00:20:06
Es el punto, ¿no? 00:20:09
¿Sí? 00:20:10
Entonces, el punto Y es 3, 1, 4. 00:20:11
Vamos a mirarlo aquí. 00:20:16
Yo creo que está 3, 1, 4. 00:20:17
¿Vale? 00:20:21
Vamos bien. 00:20:22
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:20:24
Que realmente la distancia de P a R es, 00:20:25
si yo hago el vector P, 00:20:32
lo voy a hacer en otro color ahora, ¿vale? 00:20:33
P, Y. 00:20:36
p sub i ¿cuánto vale? 00:20:37
la p vale 5 menos 1 es 6 00:20:41
yo también 00:20:43
que luego me he encontrado 00:20:43
gente que se ha equivocado 00:20:47
¿vale? entonces 00:20:48
cuando voy a hallar esto 00:20:50
intento que estén juntitos lo máximo posible 00:20:52
¿vale? 3, 1, 4, lo escribo otra vez 00:20:55
que no hay problema 00:20:57
entonces esto es menos 2 00:20:58
esto es 2 y esto es menos 2 00:21:00
¿no? y entonces 00:21:03
¿cuál es el módulo de p sub i chavales? 00:21:04
pues el módulo de p sub i 00:21:07
es 4 más 4 más 4 00:21:09
que es igual a raíz de 12 00:21:12
¿vale? 00:21:13
¿sí o no? 00:21:15
¿por qué? 00:21:18
¿por qué se hace con P? 00:21:19
¿con P? 00:21:21
porque la distancia del punto 00:21:23
a la recta 00:21:25
¿es la misma que hay con el PR? 00:21:26
¿el PR es la misma? 00:21:30
la distancia de P a P sub R 00:21:31
no tiene 00:21:39
si coincide que el PSUR 00:21:40
es igual que Y, sí, pero no tiene 00:21:42
por qué. PSUR es un punto genérico de la 00:21:44
recta. Bueno, un punto genérico no, 00:21:46
un punto de la recta, perdóname. Si yo hago 00:21:50
lambda igual a cero, 00:21:51
si yo hago lambda igual a cero, es esto 00:21:54
de aquí. ¿Vale? 00:21:56
¿Sí o no? 00:21:59
Entonces no puedes hacer la distancia 00:22:00
de P a PR porque no 00:22:02
es la ortogonal. 00:22:04
Yo tengo aquí 00:22:07
una recta. 00:22:08
Claro, a ver, si yo es que he dibujado la recta así, aquí dibujo el punto, el plano es este de aquí. 00:22:12
Este plano, ¿vale? Es perpendicular a la recta y contiene al punto P, ¿vale? 00:22:20
Y la intersección del plano y la recta es este punto, este punto I. 00:22:26
¿Pero lo entiendes lo que estamos haciendo o no? 00:22:32
Sí, sí. 00:22:34
¿Cómo lo digo con el PR? 00:22:35
El PR al final aquí no te aporta nada, ¿vale? 00:22:36
No te aporta nada el PSUR, ¿vale? De hecho, lo suyo aquí, yo que os recomendaría, chavales, yo cuando hago esto, intento que este punto que me dé aquí, con la calculadora tengo que hacer cálculos rápidos de tal forma que efectivamente me compruebe que pertenece a la recta y al plano, ¿vale? 00:22:41
De hecho, al plano, esto de aquí, esto sería menos 6 menos 1, menos 7, y 4 más 3 es 7, pero esto no pertenece al plano. Y aquí, lo único, si esto es 3, esto, la lambda, ¿vale? Bueno, la lambda sabíamos que valía menos 1, o sea, que si yo hago menos 1 aquí, precisamente me sale 3, 1 y 4, ya lo tengo. Entonces, lo suyo es que lo comprobéis siempre, ¿vale? Que no se tarda nada. 00:23:01
entonces ese es el punto de intersección 00:23:25
realmente este I 00:23:28
es la proyección ortogonal 00:23:30
de P sobre la recta 00:23:32
y esa es la distancia que hay 00:23:33
entre el punto y la recta, ¿lo veis? 00:23:35
raíz de 12 00:23:38
unidades, ¿vale? 00:23:39
el punto genérico 00:23:43
chavales, lo tenemos aquí 00:23:44
¿vale? el punto genérico 00:23:46
lo voy a explicar sobre esto de aquí para ir 00:23:48
un poquito más rápido, ¿vale? 00:23:50
entonces chavales, un punto genérico de la recta 00:23:51
¿Qué es? Pues aquel que yo cojo el x y z y que me depende del parámetro. 00:23:54
Os acordáis que la resta era 1 menos 2 lambda, menos lambda y 5 más lambda. 00:23:58
Lo tenemos aquí, ¿verdad? 00:24:03
Un punto genérico P sub g, por ejemplo, P sub g, es este de aquí, ¿vale? 00:24:04
Que él le llama R. 00:24:11
Es un punto genérico de la resta. 00:24:12
Entonces, ¿cuál es el vector RP? 00:24:14
Pues yo resto el punto P a ese punto genérico y me sale 4 más 2 lambda menos 1 más lambda, 1 menos lambda. 00:24:17
Claro, claro. Hago la resta y me da esto de aquí. 00:24:27
¿Y qué ocurre? Fijaros, lo que yo estoy haciendo es, tengo este punto genérico R y tengo aquí mi punto P, ¿vale? 00:24:34
Y entonces, yo lo que esfuerzo es, ¿cuál es el punto de la recta? ¿Cuál es el punto de la recta que al hacer el producto vectorial, perdón, a escalar entre RP y el vector SU y el vector director es cero? Pues, precisamente, aquel punto que es P'. ¿Lo veis, chavales, o no? 00:24:40
¿Lo hago yo a mano todo? 00:25:08
¿Lo hago yo a mano? 00:25:11
Venga, vamos 00:25:13
Segundo método 00:25:14
Venga, me tenéis que dictar un momentillo 00:25:16
La frase, ¿vale? 00:25:19
Segundo método, chavales 00:25:21
Decirme 00:25:22
¿X es igual a qué? ¿A 1 menos 2 lambda? 00:25:23
¿Y la Y? 00:25:27
¿Menos lambda? ¿Y la Z? 00:25:30
5 más lambda 00:25:32
Dime, hijo 00:25:33
¿Eh? 00:25:33
A mí es el primero, pero fíjate ahora en el segundo tampoco es una pollada. 00:25:35
1 menos 2 lambda, esto es menos lambda y 5 más lambda. 00:25:40
Este es el punto genérico de la recta, ¿vale? 00:25:44
Punto genérico. 00:25:47
Punto genérico. 00:25:50
Fijaros que yo aquí lo que tengo es mi recta R. 00:25:51
Tengo aquí el punto P. 00:25:56
Y yo aquí, por ejemplo, cojo un punto genérico R que puede ser cualquiera que esté aquí, ¿vale? 00:25:58
Y entonces, ¿qué ocurre? Que yo lo que voy a hacer es que, fijaros, por favor, chavales, el vector RG, ¿vale? ¿Cuál es la distancia realmente? Si yo el punto lo tengo aquí, ¿sí o no? Entonces, lo que yo estoy buscando es que, ¿dónde está el vector director de la recta? El vector director de la recta, por ejemplo, está aquí, ¿verdad? 00:26:03
ya está, ¿no? 00:26:24
venga, este es el vector 00:26:28
director de la recta, ¿vale? 00:26:30
y yo lo que estoy buscando es 00:26:32
que este vector rp 00:26:33
¿vale? sea precisamente 00:26:35
este de aquí 00:26:38
¿vale? este se, yo estoy 00:26:39
buscando realmente 00:26:42
de todos los r que hay 00:26:43
que son genéricos, busco este de aquí 00:26:46
que lo voy a llamar mejor que rp' 00:26:47
¿vale? de tal forma que si yo 00:26:49
hago el producto, fijaros que aquí 00:26:52
a un ángulo recto. Si yo 00:26:53
hago el producto escalar 00:26:55
de d sub r con este vector 00:26:57
de aquí, me tiene que dar cero. 00:26:59
Es el único que me da 00:27:01
cero. Cualquier otro punto 00:27:03
y uno, si os fijáis, entre 00:27:05
d sub r y este, yo tengo aquí un arfa. 00:27:07
¿Lo veis? 00:27:10
Y si yo cojo este r, 00:27:11
aquí tengo... 00:27:13
Bueno, ya sabéis que yo dibujo fatal. 00:27:15
Esto es una beta. ¿Lo veis, chavales? 00:27:17
Entonces, ¿qué es lo que busco 00:27:20
realmente? Esto es una beta. 00:27:21
Lo que yo busco es que haya 90 grados. 00:27:23
¿Y cuándo hay 90 grados? 00:27:26
Cuando el producto escalar es 0. 00:27:27
¿Vale? 00:27:30
Entonces, ¿cómo procedo, chavales? 00:27:30
Pues yo hago el PR, por ejemplo. 00:27:32
Y PR es el punto P, ¿cuál era? 00:27:35
¿Me podéis decir, por favor? 00:27:38
5 menos 1, 6. 00:27:40
5 menos 1, 6. 00:27:41
Y mi punto R es este de aquí. 00:27:43
Pues si yo hallo el PR, es 1 menos 2 lambda menos 5, 00:27:45
que es menos 4 menos 2 lambda, ¿verdad? 00:27:50
Esto es menos lambda más 1, 1 menos lambda, ¿verdad? 00:27:53
Y esto es menos 1 más lambda. 00:27:58
¿Lo he hecho bien? 00:28:01
Creo que sí, ¿no? 00:28:02
Vale, gracias. 00:28:03
Entonces, ¿ahora qué busco? 00:28:04
Que mi d su r, d su r, ¿qué es? 00:28:05
Menos 2, menos 1, 1. 00:28:08
¿Lo veis? 00:28:11
¿Y ahora qué busco realmente, chavales? 00:28:11
¿Qué es lo que busco? 00:28:14
Pues yo busco que p su r por d su r para que sean perpendiculares, ¿vale, Leo? 00:28:15
Para que sean perpendiculares, ¿cuánto vale su producto escalar? 00:28:22
Pues entonces, ¿qué hago, chavales? 00:28:28
Hago el producto escalar de todo esto. 00:28:30
¿Y esto qué es? 00:28:32
8 más 4 lambda, ¿verdad? 00:28:35
Menos 1 más lambda. 00:28:38
Menos 1 más lambda y es igual a 0. 00:28:41
¿Lo veis? 00:28:44
Esto es 6 lambda. 00:28:45
Igual que antes, me da lo mismo, ¿lo veis? 00:28:47
6 lambda más 6 igual a 0. 00:28:49
Lambda es igual a menos 1. 00:28:53
¿Vale? Este quizá es el mejor método más rápido. A mí es que igual. Yo estoy acostumbrado al otro, pero fijaros que al final llegamos a la misma conclusión, que lambda es igual a menos 1. Entonces, ¿cuál es ese punto genérico R? O el P'. Entonces, P' es para lambda igual a menos 1. Entonces, ¿qué es? Aquí es un 3, ¿verdad? Aquí es un menos 2, ¿no? 00:28:55
ah, 3, 1 00:29:25
es verdad, porque es menos 1 00:29:28
3, 1 y 4 00:29:29
me da el mismo punto, es que me tiene que dar el mismo punto 00:29:31
¿lo veis? 00:29:34
¿pero veis por qué lo he hecho así o no? 00:29:35
¿sí? 00:29:38
entonces ya lo tengo, la distancia 00:29:40
entre P 00:29:42
entre P y R 00:29:43
la distancia entre P y R 00:29:45
es la misma que la distancia 00:29:48
entre P, P' 00:29:50
y esto que es la raíz 00:29:51
de 3 al cuadrado más 1 al cuadrado 00:29:53
y no, tengo que hallar 00:29:55
el punto p, p prima 00:29:59
el vector, perdona 00:30:01
que era p, p prima y el p cuánto 00:30:02
era, 5 menos 1 00:30:05
6, ¿no? entonces esto es 00:30:07
menos 2, esto es 2 00:30:09
y esto es menos 2, ¿verdad? entonces esto es la raíz 00:30:11
de menos 2 00:30:13
al cuadrado más 2 al cuadrado 00:30:15
más menos 2 al cuadrado 00:30:17
que era raíz de 12 00:30:20
unidades, ¿vale chavales? 00:30:21
Venga, y el tercer método que para mí es más de sustituir, de hacer el producto vectorial menos 2 por esto de aquí, ¿vale? 00:30:23
Y menos 1 por esto de aquí, más 1 por todo esto de aquí, ¿vale? El producto escalar. 00:30:39
Y ahora, chavales, el método del producto vectorial, ¿vale? 00:30:46
Yo cojo un punto cualquiera, este lo voy a hacer mejor aquí, ¿vale? Yo lo pongo aquí para ir más rápido, que si no... Tercer método, ¿vale? Este es el tercer método, que es igual de válido, nos va a dar exactamente lo mismo, ¿vale? 00:30:56
Tercer método 00:31:11
¿Vale? Yo cojo un punto 00:31:13
Que si os fijáis 00:31:16
Es el 1, 0, 5 00:31:18
¿Cómo consigo el 1, 0, 5? 00:31:19
Haciendo que lambda sea 0, ¿verdad? 00:31:21
Tengo mi punto P 00:31:23
Y entonces si yo hallo RP 00:31:25
¿Vale? Pues tengo aquí 00:31:26
El 4 menos 1, 1 00:31:29
¿Vale? Que es este vector de aquí 00:31:31
¿Lo veis? 00:31:33
Y luego yo tengo el vector director de la recta 00:31:34
Que es menos 2 menos 1, 1 00:31:37
¿Vale? Entonces 00:31:39
al final este vector director 00:31:40
y este vector que de unión 00:31:42
entre un punto ya 00:31:45
específico, este no es genérico, este es 00:31:46
específico, y mi punto P 00:31:48
pues me forma este paralelogramo 00:31:50
¿sí o no? 00:31:53
entonces el área de todo este paralelogramo 00:31:54
era precisamente 00:31:56
el producto vectorial 00:31:57
de RP con el vector director 00:32:00
¿sí o no? 00:32:02
y entonces ¿qué ocurre? 00:32:04
que como 00:32:05
la distancia es igual a h 00:32:07
yo tengo que el área es igual a base por altura, ¿sí o no? 00:32:09
¿De dónde la altura? 00:32:16
¿A qué es igual? 00:32:18
Al área partido de la base, ¿sí o no? 00:32:20
¿Y el área qué era? 00:32:26
Pues precisamente el RP este vectorialmente con D, ¿vale? 00:32:28
El módulo partido por el módulo del vector director. 00:32:33
entonces, ¿cuánto vale 00:32:38
PR? hemos dicho 00:32:41
RP, que diga, RP 00:32:42
es 4 menos 1 00:32:44
1, y el vector director 00:32:47
de D era menos 2 00:32:49
menos 1, 1, si yo hago el producto 00:32:51
vectorial 00:32:53
¿esto cuánto sale? esto es menos 00:32:54
más 1, 0, ¿verdad? 00:33:05
si o no 00:33:09
4 más 2, 6 menos 6 00:33:09
y es menos 4 00:33:12
Cállalo ya, hostia 00:33:14
Menos 4 00:33:18
Menos 2, menos 6 00:33:22
¿Vale? 00:33:26
Si yo hallo el módulo de esto de aquí 00:33:27
Que tengo que hallar el módulo 00:33:29
¿Vale? 00:33:30
¿Esto qué es? 00:33:31
Lo voy a poner aquí abajo, ¿vale? 00:33:31
Es la raíz cuadrada de 0 al cuadrado 00:33:33
Más menos 6 al cuadrado 00:33:36
Más menos 6 al cuadrado 00:33:38
Partido de... 00:33:41
¿Cuál era el vector director? 00:33:43
Menos 2 al cuadrado 00:33:45
más menos 1 al cuadrado 00:33:47
más 1 al cuadrado, ¿vale? 00:33:50
¿Esto qué pasa? Que esto es 00:33:52
6 raíz de 2, ¿verdad? 00:33:54
Esto de aquí es 00:33:58
4, 5, 6, es raíz de 6 00:33:59
raíz de 6 partido raíz de 6 00:34:02
¿Esto qué es? 00:34:06
Esto es raíz de 12 00:34:08
unidades, igual que antes, ¿lo veis? 00:34:09
Aquí es menos 6 también 00:34:11
Menos 4 00:34:17
Menos 2 es menos 6 00:34:19
Este de aquí 00:34:21
Segundo 00:34:23
El segundo sería 4 por 1 es 4 00:34:24
Menos 2 es más 6 00:34:27
Pero como hay que cambiarle el signo de aquí 00:34:29
Vale chavales 00:34:31
Entonces 00:34:33
Estos son 00:34:35
Los 3 métodos 00:34:37
Para hallar la distancia 00:34:38
de un punto a una 00:34:40
recta, entonces 00:34:42
chavales, una cosilla 00:34:44
a mi porque me gusta más el primer 00:34:46
método, porque me gusta más el primer método 00:34:48
porque es 00:34:51
parte del método que utilizaba 00:34:52
para hallar el punto simétrico 00:34:54
entonces ahora 00:34:56
para hallar la 00:34:57
distancia que hay entre un punto 00:35:00
y un plano, también 00:35:02
puedes hacer exactamente lo mismo 00:35:04
puedes hallar 00:35:07
La recta perpendicular al plano que pasa por el punto y la intersección de esa recta con el plano es precisamente la proyección ortogonal del punto sobre el plano. 00:35:09
Entonces a mí me gusta más el primer método, más que nada porque siempre es lo mismo. 00:35:24
Es decir, si yo quería hallar el punto simétrico de un punto respecto a una recta, yo hallaba el plano perpendicular. 00:35:29
y si yo tenía que hallar el punto simétrico 00:35:35
de un punto respecto 00:35:38
a un plano, hallaba la 00:35:39
recta perpendicular y es que ese plano y esa 00:35:41
recta no tardamos ni medio minuto en hallarlo 00:35:43
y luego lo que tenemos que 00:35:45
hacer es la intersección 00:35:47
del plano con recta o recta 00:35:49
con plano y ya tengo el punto 00:35:51
que me va a medir 00:35:54
la distancia entre ellos dos 00:35:56
por eso a mí me gusta más el otro método 00:35:57
porque no me toca aprender nada más 00:35:59
porque es la misma metodología 00:36:01
que cuando yo hago 00:36:04
el punto simétrico para hallar el punto 00:36:06
medio. ¿Vale? 00:36:08
¿Sí o no? 00:36:10
Hacerme cosillas y mañana nos veo. 00:36:12
¡Nos vemos el viernes! 00:36:14
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
26 de noviembre de 2025 - 18:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
36′ 23″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
80.51 MBytes

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