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Determinantes. Matriz inversa. - Contenido educativo

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Subido el 4 de octubre de 2020 por Juan Pablo P.

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Propiedades de los determinantes y cálculo de la matriz inversa.

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bueno chicos vamos a empezar a hablar de el tema 2 que es el de los determinantes para ello os 00:00:00
estoy construyendo este vídeo que se basa en los apuntes de la marea verde no podéis también seguir 00:00:09
por vuestro libro que es de oxford pero me gusta un poquito más como está por aquí contado ha ido 00:00:14
recortando cosas y para formar pues yo creo que puede a ver qué tal queda bien entonces aquí 00:00:20
vienen las personas que lo hacen, de acuerdo, son ellos de aquí es donde han 00:00:28
sacado las cosas, la idea de lo que es un determinante y para nosotros, bueno, pues 00:00:33
aquí viene una definición, pero esta definición es un poquito complicada. Si 00:00:38
os fijáis, un determinante lo que hace es asociar a una matriz, esta matriz le 00:00:44
asocia un número en general el número sería todo esto para distinguir lo que 00:00:52
es matriz de determinante se ponen dos barras como si fuera tipo valor absoluto 00:00:59
de acuerdo hay que tener mucho cuidado para saber distinguir esto que son una 00:01:04
colección de números de esto que en realidad es un único número bueno qué 00:01:11
vamos a hacer? Nosotros vamos a dedicarnos a matrices cuadradas, pero que sean sencillas, 00:01:17
2x2, 3x3, incluso alguna 4x4, ¿de acuerdo? Y serán de esas matrices de las que calcularemos 00:01:23
nosotros sus determinantes. Bueno, pues para ello empezamos, ¿qué es el determinante 00:01:31
de una matriz 2x2? Pues el determinante de una matriz 2x2 se hace producto en cruz de 00:01:39
menos, producto en cruz, es a sub 1, 1 por a sub 2, 2, menos a sub 2, 1 por a sub 1, 2. 00:01:47
Bien, aquí lo tenéis, ¿de acuerdo? Hombre, nadie se lo aprende así. 00:01:55
Nosotros en realidad lo que vamos a hacer es 2 por 5, menos 4 por 3, como 2 por 5 son 10, 00:01:59
10 menos 12, igual a menos 2. 00:02:09
Es decir, hemos asociado a una matriz 2x2 un valor que es menos 2. 00:02:13
¿Qué pasa si mi matriz es 3x3? 00:02:19
Bueno, pues lo que se utiliza es la regla de Sarrus. 00:02:23
¿De acuerdo? 00:02:26
Que lo que viene a decir es, esta es la matriz 3x3, pues hay una serie de productos y sumas que hay que realizar. 00:02:27
¿Cuáles son? 00:02:36
Pues estarían primero estos productos, este por este por este, este por este por este, y este por este por este. 00:02:37
¿Vale? Si os fijáis es a su 1 1, a su 2 2, a su 3 3, a su 1 3, a su 2 1, a su 3 2, a su 1 2, a su 2 3, a su 3 1. 00:02:54
De acuerdo, y luego con signo negativo, tendríamos estos otros, vamos a borrar esto para que no se nos ligue, y con signo negativo tendríamos estos, esta es la diagonal, estos dos con esta, perdón, 00:03:04
Aquí borramos un poquito que se ha ido la línea, no toca este, a ver, a ver si somos capaces de borrarlo bien ya, aquí, vale, es esta, aquí, este por este, y estos dos por este, vale. 00:03:30
Entonces, si repasáis, son estos tres que están aquí 00:03:58
Aquí viene una pequeña explicación, parecida a la que yo os he contado 00:04:05
Pero esto, como se aprende, es haciéndolo directamente en un determinante 00:04:09
Entonces, aquí serían los que están en esta orientación 00:04:15
¿Vale? Sería 1 por 5 y por 1 más 4 por 0 y por 3, bien, 4 por 0 y por 3 más 2 por 6 y por menos 1. 00:04:20
Esos son los positivos, y luego con negativo vendrían los que están en esta otra posición, esta otra orientación, ¿vale? 00:04:52
que sería 3 por 5 por menos 1, menos, ahora haría este por este y por este, 4 por 2 y por 1, 00:05:08
y me faltaría el 6 por 0 y por 1, menos 6 por 0 y por 1, si os fijáis he dejado bien clarito que este es más, más, más, menos, menos, menos, 00:05:29
Bien, igual, 5, 0, menos 12, 5 más 0, menos 12, más 15, menos 8, menos 0. 00:05:49
Resultado, si sumáis los positivos son 20, los negativos son 20, pues sale 0. 00:06:09
¿De acuerdo? Bueno, vamos a pasar a estudiar las propiedades de los determinantes 00:06:15
Perdón, aquí se ha colado 00:06:21
Ah, vale, perdón 00:06:24
Ah, se lo he yo que me he saltado 00:06:27
Estábamos hablando de determinantes 3x3 00:06:29
Pues, ¿qué pasaría si yo quisiera hacer el cálculo de un determinante 4x4? 00:06:32
Bien, pues para ello necesito una serie de definiciones 00:06:37
Una de ellas es la de menor complementario 00:06:40
¿Vale? Bueno, pues, dado una matriz cuadrada A de orden n se llama menor complementario del elemento A sub ij y se representa por alfa sub ij al determinante de orden n-1 que sostiene eliminar la fila i y la columna j. 00:06:42
¿Eso qué significa? 00:07:04
Bueno, pues yo tengo mi matriz A, si yo quiero calcular el A sub 1, 2, 00:07:05
quiere decir que tengo que tachar la fila 1 y la columna 2. 00:07:10
Y ese sería el menor complementario alfa 1, 2. 00:07:16
Bien, vamos a hacer un ejemplo para nosotros. 00:07:20
Imaginad nuestra matriz, que nos gusta tanto, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 00:07:25
7, 8 y 9 00:07:32
¿Vale? 00:07:36
Pues si yo ahora quiero sacar el alfa 3, 2 00:07:38
Eso significa que tengo que tachar la fila 3, columna 2 00:07:43
Es decir, que me voy aquí 00:07:49
Tacho fila 3, columna 2 00:07:51
Y lo que me queda es este determinante 00:07:57
el 1, 3, 4, 6 00:08:00
de acuerdo 00:08:06
que bueno, si necesito hacerlo 00:08:07
pues este sería 6 menos 12 00:08:10
que vale menos 6 00:08:12
de acuerdo, pues este sería menor complementario 00:08:14
¿qué es el adjunto de un elemento? 00:08:19
bueno, pues el adjunto de un elemento 00:08:24
es el menor complementario 00:08:26
al que le añado un signo, que es positivo o negativo. 00:08:28
¿Y cómo se calcula ese signo? 00:08:36
Pues es menos 1 elevado a I más J. 00:08:38
¿Eso qué significa lo del I más J? 00:08:42
Pues es sumar la fila y la columna. 00:08:44
Vamos a hacer un pequeño diagrama. 00:08:48
Bien. 00:08:52
Esta es la primera posición. 00:08:55
Como sería la posición 1, 1, 1 más 1 es 2, es par. 00:08:57
La siguiente posición sería la 1, 2, que es 1 más 2, 3. 00:09:03
La siguiente posición, 1, 3, 1 más 3, 4. 00:09:08
Así veo que va a ir saliendo positivo, negativo, positivo, negativo. 00:09:13
¿Qué pasa en la posición 2, 1? 00:09:17
Que es negativa, porque 2 más 1 son 3, impar. 00:09:20
en la posición 2, 2 positiva 00:09:23
en la posición 2, 3 negativa 00:09:27
y así seguiría 00:09:29
si me fijo aquí también sería positiva 00:09:30
aquí sería negativa 00:09:32
hay que decir que esto seguiría hacia abajo 00:09:34
luego en un determinante 00:09:36
sea como sea 00:09:40
las posiciones van a llevar un signo asociado 00:09:43
eso es para el cálculo del adjunto 00:09:47
por ejemplo 00:09:49
volvamos a nuestro caso 00:09:51
Tenemos la matriz, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, es esta matriz, y ahora yo quiero saber el adjunto 2, 3. 00:09:53
pues me iría a la posición 2, 3 00:10:15
esta es la posición fila 2, columna 3 00:10:20
luego el signo negativo 00:10:25
y como es la fila 2, 3 00:10:28
haría tachar la fila 2 y la columna 3 00:10:32
entonces me quedaría el determinante 00:10:36
1, 2, 7, 8 00:10:41
¿De acuerdo? 00:10:46
Bueno, pues esa es la idea del adjunto 00:10:49
Todo esto me sirve para calcular ahora determinantes de orden mayor 00:10:51
¿Bien? Bueno 00:10:57
Cálculo determinantes por adjuntos 00:10:58
El determinante de una matriz 00:11:01
Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea 00:11:05
por sus adjuntos correspondientes. ¿Qué voy a hacer? Pues cojo esta línea, por ejemplo, y hago a su 1, 1 por su adjunto, 00:11:10
a su 1, 2 por su adjunto, a su 1, 3 por su adjunto. Y así se calcula el determinante. 00:11:20
Bien, por ejemplo, en esta matriz que hemos puesto aquí, he marcado para hacer algo por esta línea, 00:11:26
se podría hacer por esta, se podría hacer por esta, o por esta, por cualquiera de ellas, ¿vale? 00:11:31
Bueno, pues si yo hago el desarrollo por aquí, esto va a salir 00:11:36
El 1 por un determinante 00:11:40
Menos 2 por otro determinante 00:11:48
¿Por qué menos 2? 00:11:56
Bueno, pues menos 2 porque hemos dicho que esta posición es negativa y esta posición es positiva 00:11:58
La posición 3, pues aquí habría que poner más 3 por otro determinante y la posición del 4, esta de aquí, es una posición negativa, luego sería 4 por menos 4 por y otro determinante. 00:12:04
Y ahora, ¿cómo se hace el adjunto 1, 1? Pues quitando fila 1, columna 1, fila 1, columna 1, luego me queda el 1, 2, 3, 0, 0, 4, 1, 1, 0. 00:12:29
En la sub 1, 2, quito esta fila y esta, luego me queda el 0, 2, 3, menos 1, 0, 4, 3, 1, 0. 00:12:50
Lo mismo para la posición 3, 3, sería esta de aquí, que sería 0, 1, 0, 1, 3, menos 1, 0, 4, y 3, 1, 0. 00:13:09
Y para la última posición, la 1, 4, me quedaría este determinante de aquí. 00:13:33
que es 0, 1, 2, menos 1, 0, 0, y 3, 1, 1. 00:13:41
En realidad, he transformado un determinante de orden 4 en suma de 4 determinantes de orden 4. 00:13:54
Orden 3. 00:14:35
Lo de suma es un decir porque viene multiplicado por un número, ¿vale? 00:14:37
Y además con unos signos, pero más o menos para la idea es que he pasado de orden 4 a orden 3. 00:14:42
Bien, esto está muy bien para el cálculo, por ejemplo, de determinantes de matrices que tengan muchos ceros. 00:14:49
Por ejemplo, imaginaros, os doy una matriz, 1, 2, 3, 4 y 5, menos 1, 0, 2, 3 y 4, 0, 0, 0, 0, 1. 00:15:00
1, 2, menos 1, menos 2, 3, 0, 0, 0, 2, 1 00:15:24
Este determinante es un determinante 5 por 5 00:15:42
Sería muy complicado 00:15:48
Porque me saldrían 5 determinantes de 4 por 4 00:15:49
Y luego los 4 por 4 me saldrían de 3 por 3, pero si yo me di cuenta y desarrollo por aquí, saldría 0 por, más 0, bueno, perdón, sería menos, lo borramos un poquito, vale, sería menos 0 por, así más puntos suspensivos hasta que llego al último, al 1, 00:15:53
que como la posición es, vamos a vigilar la posición, sería, esta es más, esta es menos, esta es más, 00:16:25
luego esta es menos, luego esta es más, luego esta es menos, luego esta es más, 00:16:33
es decir, que le correspondería posición más 1 por, y ahora, si tacho todas las filas y las columnas correspondientes, 00:16:37
es decir, si tacho esta y esta, me queda 1, 2, 3, 4, menos 1, 0, 2, 3, 1, 2, menos 1, menos 2, 00:16:52
Y 0, 0, 0, 2 00:17:17
Bueno, pues para hacer este determinante 00:17:23
4 por 4 podría desarrollar por donde quisiera 00:17:26
Pero ¿qué pasa si desarrollo por aquí? 00:17:30
Pues que vuelva a salir 0 por, 0 por, 0 por 00:17:34
Y me queda 2 igual a 2 por 00:17:38
vale un tres por tres bueno vamos a tener un poquito de cuidado porque las posiciones son 00:17:44
más menos más menos más menos más de acuerdo estaba bien puesto pero es más y luego lo que 00:17:52
me quedaría aquí, entonces sería 00:18:04
la, el 1, 2 00:18:05
menos 1 00:18:09
0, 2 00:18:11
y 1, 2 00:18:13
menos 1 00:18:16
es decir, que un 5 por 5 00:18:17
que era muy complicado, al final 00:18:20
ha acabado siendo un 3 por 3 00:18:21
pero gracias a que había 00:18:24
muchos ceros, colocados 00:18:25
en alguna fila o en alguna columna 00:18:28
bien 00:18:30
bueno, pues vamos a ver 00:18:31
esto ya lo hemos contado, esto también 00:18:34
bueno, pues propiedades de los determinantes 00:18:36
la primera propiedad que veis ahí escrita 00:18:39
bien, lo que dice es que el determinante de una matriz cuadrada 00:18:43
y de su traspuesta es el mismo 00:18:47
bueno, aquí con mi maravillosa letra ya veis que pone 00:18:50
que a partir de ahora todo lo que digamos para las filas 00:18:54
vale para las columnas 00:18:57
muchas veces hablaremos de líneas 00:18:59
¿Vale? Y eso se engloba a las filas y las columnas. 00:19:02
Bueno, pues, segunda propiedad. 00:19:05
Si los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 00:19:08
¿Veis que aquí hay una columna multiplicada por un número? 00:19:17
Pues es como coger el determinante y multiplicarle por ese número. 00:19:21
En realidad muchas veces lo que se dice es que este número que hay aquí le podríamos sacar fuera 00:19:24
Da igual que esté en una fila o en una columna 00:19:33
¿Esto a qué nos lleva? 00:19:36
Pues esto nos lleva a lo siguiente, a que si tú tienes una matriz A, B, C, D 00:19:38
Y aquí está multiplicado por K, por K, por K y por K 00:19:46
esta matriz es la matriz K por A 00:19:52
pero sin embargo cuando tú haces el determinante de K por A 00:20:03
al hacer el determinante de K por A, K por B, K por C y K por D 00:20:10
¿cómo puedo sacar de aquí? 00:20:20
Una K me sale K por A, B, D, K por D 00:20:22
Y como puedo sacar otra K fuera, el resultado entonces es K al cuadrado por B, por C y por D 00:20:33
Digo, eh, ojo, si la matriz la multiplico por K y la matriz es 2 por 2, entonces el determinante sale multiplicado por K cuadrado. 00:20:45
¿Qué pasa si mi matriz es 3 por 3? 00:21:00
Pues si la matriz es 3x3, yo tendría aquí A, y aquí tendría K por una línea, K por otra línea, y K por otra línea, porque es 3x3. 00:21:04
Pues el determinante de K por A podría sacar una K, otra y otra, luego el determinante lo que sale es K al cubo por el determinante de A, ¿vale? 00:21:30
Así que mucho ojo que así como para multiplicar una matriz por un número se multiplican todos los elementos de la matriz, ¿de acuerdo? 00:21:53
Para multiplicar una matriz por un número se multiplican todos los elementos de la matriz. 00:22:04
Para multiplicar un determinante por un número basta con multiplicar solo una fila o una columna. 00:22:09
Si multiplico todo, lo que ocurre es que en dimensión 2, 2 por 2, lo que sale es k al cuadrado 00:22:17
Si es 3 por 3, k al cubo, ¿vale? 00:22:25
Recuerdo que estábamos hablando de una matriz 3 por 3, que no lo he puesto, pero por si acaso 00:22:29
Bueno, seguimos con las propiedades 00:22:34
A ver, aquí, vale 00:22:38
la propiedad 3 tiene que ver 00:22:41
con lo que podría ser 00:22:45
suma de determinantes 00:22:47
para poder sumar dos determinantes 00:22:48
lo que tiene que ocurrir 00:22:51
es que tienen que tener 00:22:53
obligatoriamente 00:22:54
dos 00:22:56
si es 3 por 3 00:22:58
dos columnas o dos filas iguales 00:23:00
y como se suman 00:23:03
se dejan las que son iguales 00:23:04
vale 00:23:07
y se suman las distintas, o al revés, si tengo en un determinante una columna que es fi suma de distintas columnas, puedo descomponerlo en suma de 2, ¿de acuerdo? 00:23:08
bueno el 4 si un determinante tiene los elementos de una fila nulos el determinante vale cero hombre 00:23:26
con lo que hemos contado antes eso ya se entiende muy bien porque si yo le desarrollo este 00:23:34
determinante por aquí sale cero por bueno sería en este caso menos cero porque la posición es 00:23:39
negativa, más 0 por 00:23:50
menos 0 por 00:23:53
lógicamente el resultado 0 00:23:56
bien, la propiedad 5 dice que si permuto 00:23:58
dos filas o dos columnas, el determinante 00:24:02
cambia de signo, vale 00:24:05
aquí si os fijáis 00:24:07
han cambiado 00:24:09
1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1 00:24:12
3, 2, 3, 3, 3, 1, ah vale 00:24:16
Ya veo. Están cambiadas esta y esta, y entonces hace que el signo cambie. 00:24:19
¿Qué pasa un determinante si tiene dos líneas, dos columnas iguales, dos filas iguales? 00:24:27
Pues el determinante vale cero. 00:24:37
¿Pero por qué? 00:24:39
Imaginaros. 00:24:41
Intercambio estas dos columnas. 00:24:45
si yo cambio estas dos columnas 00:24:47
el determinante cambia de signo 00:24:49
digo ya, pero si son iguales 00:24:51
no se nota la diferencia 00:24:53
pues habrá que pensar que vale un número 00:24:54
al que le cambio el signo y no pasa nada 00:24:57
pues ese número es el 0 00:24:59
¿de acuerdo? 00:25:01
bueno, si una matriz cuadrada 00:25:03
tiene dos columnas 00:25:05
proporcionales, su determinante 00:25:07
es nulo, ¿vale? 00:25:09
¿veis? esta es proporcional 00:25:12
a esta, ¿por qué? 00:25:13
bueno, pues también sabemos 00:25:15
que si está multiplicado por un número, este número podría sacarse fuera y quedaría K por, y saldría el A su 1, 1, A su 2, 1, A su 3, 1, y aquí me quedaría A, A, B, B, C, C. 00:25:17
Como tiene dos columnas iguales, valdría cero. 00:25:39
Bueno, si los elementos de una línea son combinación lineal de las restantes líneas, 00:25:44
pues ese determinante también vale cero. 00:25:51
Si os fijáis, esta es un número por esta, y esta es un número por esta. 00:25:54
¿Vale? Bueno, pues, por lo que sabemos de la suma de determinantes que hemos contado antes, esto se podría poner como dos determinantes sumados aquí a su 1, 1, a su 2, 1, a su 3, 1, a su 1, 1, a su 2, 1, a su 3, 1, a su 1, 2, 1. 00:26:01
a su 2, 2, a su 3, 2, aquí a su 1, 2, a su 2, 2, a su 3, 2, y este sería R por a su 1, 1, R por a su, vamos a borrar aquí un poquito, 00:26:32
que parece que está un poco a su 1, 1, a su 2, 1, y R por a su 3, 1. 00:26:57
Y por la propiedad anterior, este determinante vale 0. 00:27:13
En este de aquí, la ponemos un poquito más grande, 00:27:18
que sería S por A sub 1, 2, S por A sub 2, 2, y S por A sub 3, 2, y como la 2 y la 3 son proporcionales, también valdría 0, ¿de acuerdo? 00:27:23
Bueno, sigamos con las propiedades 00:27:45
Si a los elementos de una línea se le suma una combinación lineal de las restantes líneas paralelas 00:27:53
El determinante no varía 00:28:02
Bueno, este es muy importante, ¿vale? 00:28:04
Por eso pongo ahí un ojo, porque le vamos a usar mucho 00:28:07
Aplicaremos tanto para resolución de sistemas como para cálculo de valor de determinante 00:28:10
Algo parecido al método de Gauss 00:28:18
Y esto lo que nos viene a decir es que el método de Gauss que funcionaba bien el año pasado 00:28:20
También va a funcionar bien para los determinantes 00:28:25
¿De acuerdo? 00:28:28
En realidad este se parece al anterior 00:28:30
Yo tengo aquí tres columnas, pero esto lo puedo separar en tres determinantes. 00:28:35
Sería, primer determinante, a su 1, 1, a su 1, 2, a su 1, 3, a su 2, 1, a su 2, 2, a su 2, 3, a su 3, 1, a su 3, 2, a su 3, 3. 00:28:42
Primer determinante sumado con, tiene que tener las columnas iguales, esta y esta, ¿vale? 00:29:04
Para que veáis, tienen que ser estas las que se repitan. 00:29:16
Luego tengo a sub 1, 1, a sub 2, 1, a sub 3, 1, a sub 1, 2, a sub 2, 2, a sub 3, 2. 00:29:20
más y a sub 1, 1, a sub 2, 1, a sub 3, 1, a sub 1, 2, a sub 2, 2, a sub 3, 2 00:29:35
Y ahora aquí voy a poner esta columna que sale r por a su 1, 1, r por a su 2, 1, r por a su 3, 1. 00:29:51
Este determinante tiene dos filas proporcionales, digo perdón, dos columnas proporcionales, vale 0. 00:30:11
Y aquí sería poner el S por A sub 1, 2, S por A sub 2, 2, y S por A sub 3, 2. 00:30:18
Al igual que antes, este valdría 0, y este de aquí sería este de aquí. 00:30:33
vale y la propiedad 10 dice que el producto de dos matrices cuadradas es 00:30:42
igual al producto de los determinantes vale 00:30:48
bueno pues vamos a ver aquí que esto se ha desplazado 00:30:52
un poco a lo que vamos a hacer es cálculo de inversa para el cálculo de inversa 00:31:00
necesito definir un concepto que es el de matriz adjunta se dice 00:31:05
Se llama matriz adjunta de la matriz A a la matriz formada por los adjuntos de dicha matriz, y se la llama adjunto de A, ¿vale? 00:31:12
Aquí está el adjunto 1, 1, adjunto 1, 2, adjunto 1, 3, etc. 00:31:24
¿Cómo haríamos nosotros para calcular esto de aquí? 00:31:30
Bueno, pues lo que tengo que hacer primero es cuánto vale a su 1, 1, lo vamos a ir haciendo aquí al lado, 00:31:34
a su 1, 1 00:31:41
como la posición 1, 1 es positiva 00:31:44
sería así 00:31:47
y tendría que quitar la fila 1 00:31:48
columna 1 00:31:51
luego me queda el 5, 6 00:31:55
8, 9 00:31:59
el a su 1, 2 00:32:03
sería menos 00:32:08
y habría que quitar la columna 1, digo la fila 1, columna 2, luego el 4, 6, 7, 9, vamos a mejorar un poquito este 4 que le he dado un poquito, 00:32:10
Y el a su 1, 3, que es posición positiva, y 4, 5, 7, 8. 00:32:26
Bueno, uno de los errores principales que cometéis es el problema de los signos. 00:32:48
Entonces yo os recomiendo que aquí pongáis a su 2, 1, menos, a su 2, 2, más, y a su 2, 3, menos, un poquito este que ha salido como un poco churro, y así ya no se me va a olvidar el signo. 00:32:55
Aquí pongo el ASU3, 1, posición positiva, ¿vale? ASU3, 2, posición negativa y ASU3, 3, posición positiva, ¿vale? 00:33:20
Y ahora ya rellenar, porque muchas veces os podéis hacerlo, se os olvidan los signos y metéis la pata en el cálculo de la junta, ¿vale? 00:33:42
Bueno, pues el 2, 1 significa fila 2, columna 1, pues tengo que poner aquí el 2, 3, 8, 9. 00:33:50
2, 3, 8, 9. 00:34:00
El 2, 2, pues es quitar las de en medio, 1, 3, 7, 9. 00:34:03
El 2, 3, pues es quitar y queda el 1, 2 y el 7, 8. 00:34:10
vamos a quitar este de aquí que se ha ido un poco lejos 00:34:18
el 3, 1, pues aquí el 2, 3, 5, 6 00:34:22
el 1, 3, 4, 6 00:34:32
lo miráis ya vosotros despacio 00:34:37
y el 1, 2, 4, 5 00:34:38
pues esta matriz de aquí 00:34:43
es la que se conoce como adjunta de A, ¿vale? 00:34:49
Si queréis la adjunta a la matriz A, pues ahora la rellenamos, sería este de aquí, 00:35:00
Pues 5, 45 menos 48, menos 3. Este de aquí, 36 menos 42, menos 6, menos 6 con el menos que lleva adelante, más 6. 00:35:15
Bien, este, 32 menos 35, menos 3 00:35:31
Bien, 18 menos 24, menos 6 00:35:38
Con el menos que lleva delante, más 6 00:35:45
Vale, os pongo el más para recordaros 00:35:48
Y este también, que salía en negativo 00:35:50
Pero luego han cambiado el signo por lo que llevaban delante 00:35:53
9 menos 21, menos 12 00:35:56
Este 8 menos 14 menos 6, resultado, más 6 00:36:00
Aquí 12 menos 15 menos 3 00:36:09
Ya 6 menos 12 menos 6, que sale más 6 00:36:15
Y 5 menos 8 menos 3 00:36:21
Así se calcularía la adjunta, ¿vale? 00:36:26
Bueno, pues 00:36:31
¿Y cómo se calcula el determinante? 00:36:34
Bueno, pues, digo el determinante, la inversa 00:36:39
Si el determinante de A no es nulo, la inversa, ¿vale? 00:36:47
Todo esto, ¿de acuerdo? 00:36:54
Es, calculo la adjunta, luego la traspuesta de esa adjunta y uno entre el determinante 00:36:56
O también hay otra forma de hacerlo, que es uno entre el determinante 00:37:05
Primero calculo la traspuesta y una vez calculada la traspuesta, calculo la adjunta 00:37:11
vale a mí me gusta más esta segunda fórmula porque soy un poco despistado y 00:37:22
a veces se me olvida calcular esta traspuesta entonces por 00:37:31
ejemplo esta matriz si queremos hacer la inversa yo lo que hago aquí es lo 00:37:37
primero hacer la traspuesta y ya ese paso no se me olvida 1 2 3 1 3 5 1 4 6 de acuerdo y ahora tendría 00:37:42
que hacer la posición a su 11 se entiende que la estoy haciendo de la traspuesta vale y entonces 00:38:00
Entonces esta es posición positiva, como decíamos antes, y aquí sale el 3, 4, 5, 6. 00:38:11
El a sub 1, 2 es posición negativa y queda el 2, 4, 3, 6. 00:38:19
y el a sub 1, 3, que es posición positiva, 2, 3, 3, 5, ¿vale? 00:38:33
El a su 2, 1, que tiene posición negativa, por si alguien se está perdiendo, 2, 1, fila 2, columna 1, pues me quedan el 2, el 3, el 4 y el 6. 00:38:50
2, 3, 4 y 6 00:39:08
el a su 2, 2 00:39:14
que sería posición positiva 00:39:17
y como es el a 2, 2 00:39:19
pues queda el 1, 3, 1, 6 00:39:25
y el a su 2, 3 00:39:30
posición negativa 00:39:34
2, 3 00:39:36
2, columna 3, 1, 2, 1, 4 00:39:37
quedaría el a sub 3, 1 00:39:44
igual, más 00:39:55
a sub 3, 2, igual, menos 00:39:57
a sub 3, 3, igual, más 00:40:03
bien, me gusta poner lo de los signos pronto 00:40:08
para que no se me olvide, es un consejo que os doy 00:40:12
bien, bueno, para el 3-1 hay que quitar este 00:40:16
y este, con lo cual 00:40:19
me queda el 2-3-3-5 00:40:22
2-3-3-5, para el 3-2 00:40:26
pues me queda el 1-3-1-5 00:40:31
1-3-1-5, y para la posición 3-3 00:40:33
me queda 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 3, ¿de acuerdo? Bueno, pues, ¿cuánto vale el determinante de A? 00:40:39
Tendría que calcular lo que vale también el determinante de A, bien, lo muevo aquí, 00:40:53
determinante de A 00:40:59
empiezo por la diagonal 00:41:01
serían 1 por 3 por 6 00:41:08
18, 4 por 3 00:41:10
y 2 por 5 00:41:13
10, esas son las positivas 00:41:16
voy con la otra diagonal, sale 00:41:18
menos 9 00:41:20
menos 12 00:41:21
menos 20 00:41:24
resultados 00:41:26
eh, eh, perdón 00:41:27
he dicho 10 y he puesto 18 00:41:30
vale, si no recuerdo mal serían 18, 12 y 10, 30 y 10, 40, 40 menos 41 sale menos 1, bueno pues la inversa a menos 1 será 1 entre menos 1 multiplicado por la matriz, 00:41:32
esta de aquí, que serían 3 por 6, 18 menos 20 menos 2, este 2 por 6, 12 menos 12, 0, este 2 por 5, 10 menos 9, 1, 00:42:04
luego es el menos 2, 0, 1, es de 12 menos 12, 0, 6, menos 3, 3, bien, 4, menos 2, menos 2, 00:42:25
luego es el 0, 3, menos 2, y 2 por 5, 10, menos 9, 1, 5, menos 3, 2, con el menos, menos 2, y 3, menos 2, 1. 00:42:50
Bueno, revisamos por si acaso, no me haya confundido en alguna de estas 00:43:09
3, 3, 4 00:43:14
3, 4, 5, 6 00:43:18
2, 4, 3, 6 00:43:23
2, 3, 3, 5 00:43:27
Luego, para hacer el ASU2, 1 00:43:30
ASU2, 1, vamos a ver 00:43:36
no, aquí ha habido un fallo 00:43:39
porque he estado mirando 00:43:42
si os dais cuenta 00:43:43
vale, no está mal que me haya pasado porque así vosotros 00:43:45
lo veis también, vale 00:43:48
me he puesto 00:43:50
a mirar la matriz que no era 00:43:52
bueno 00:43:54
bien, vale, bueno, pues 00:43:57
aquí como una interacción 00:44:04
con los alumnos, uno no sabe cuando se equivoca 00:44:15
yo me he puesto a mirar aquí esta matriz 00:44:17
Y en realidad la que tengo que mirar es la transpuesta, ¿vale? Revisamos aquí el 3, 4, 5, 6, el 2, 4, 3, 6, el 2, 3, 3, 5, ¿vale? Luego serían, quitando este, el 1, 1, 5, 6, ¿vale? 00:44:19
Entonces, ponemos el 1, 1, 5, 6, el 1, 1, 3, 6, y el 1, 1, 1, 1, 3, 5. 00:44:40
Y ahora habría que hacer lo mismo, pero con este de aquí, ¿vale? 00:45:01
Entonces queda el 1, 1, 3, 4, 1, 1, 3, 4, 1, 1, el 2, 4 y el 1, 1, 2, 3, ¿vale? 00:45:05
Reviso por si acaso, esto está abajo, 1, 1, 3, 4, 1, 2, 1, 4, y 1, 2, 1, 3, ok, perfecto, bien, borramos esto de aquí dentro, revisamos, el determinante estaba bien, 00:45:29
y entonces sería este menos 2, 0, 1, menos 2, 0, 1, ese era el que estaba bien, este es 6, vale, se me ha olvidado, es 6 menos 5, 1 menos 1, 00:45:48
este es 6, menos 3, 3, 5, menos 3, 2, con el menos delante, menos 2, luego el menos 1, 3, menos 2, 4, menos 3, 1, 4, menos 2, menos 2, 00:46:14
saldría 2 con el menos delante y 3 menos 2, 1, luego saldría el 1 menos 2, 1, es decir que la matriz inversa, la a menos 1 sería 2, 0, menos 1, 1, menos 3, 2, 00:46:40
menos 1, 2, menos 1 00:47:12
bueno 00:47:16
por si acaso, como he calculado 9 números 00:47:19
si me podría equivocar, lo normal es comprobarlo 00:47:24
bien, entonces voy a multiplicar 00:47:28
por la matriz que me daban al principio 00:47:32
y vamos a ver 00:47:37
Si sale la identidad o no 00:47:39
1, 2, 3 00:47:42
1, 3, 5 00:47:44
1, 4, 6 00:47:47
Y cuando multiplico 2 por 1 es 2 00:47:50
Menos 1 sale 1 00:47:53
2 por 2 es 4 00:47:54
Menos 4 sale 0 00:47:55
2 por 3 es 6 00:47:57
Menos 6 sale 0 00:47:58
Luego 1 menos 3 más 2 00:48:01
0, 2 menos 3 más 8 00:48:12
1, de acuerdo, sería 2 y 8 00:48:16
10 menos 9, 1, menos 3 00:48:20
menos 15 más 12, 0 00:48:24
este, menos 1 más 2 menos 1 00:48:28
0, menos 2 más 6 menos 2 00:48:32
menos 4, 0, perdón, y quedaría 00:48:36
menos 3 más 10 00:48:40
menos 6, resultado 10 menos 9 00:48:42
luego, ahora sí, y me pongo 00:48:46
un bien 00:48:49
porque la había liado antes 00:48:49
vamos a ver 00:48:52
entonces, estamos acabando ya 00:48:54
para acabar, simplemente 00:48:56
la relación que tienen los sistemas 00:49:00
los determinantes 00:49:03
y las matrices 00:49:05
imaginaros que se os manda 00:49:06
que resolváis este sistema 00:49:08
Pues el año pasado os contamos el método de Gauss para resolverlo. 00:49:10
Este año, si os fijáis, si yo os digo multiplicar la matriz 1, 2, 3, 1, 3, 5, 1, 4, 6, por la matriz X, Y, Z. 00:49:15
Bien, bueno, pues esta por esta me saldría una x más 2y más 3z, bien, si os fijáis, este por este sale x más 2y más 3z, que coincide con esto de aquí, este por este sale x más 3y más 5z, y este por este, x más 4y más 6z. 00:49:39
Luego, este sistema y este producto de matrices representan lo mismo 00:50:06
Pero nosotros acabamos de estudiar que si yo tenía A por X igual a B 00:50:19
Y resultaba que eran matrices cuadradas y la A tenía inversa 00:50:27
Pues yo podía hacer a menos 1 por a y por x, colocaba el a menos 1 a la izquierda como lo he puesto en el otro miembro y me quedaba que la x era igual a a menos 1 por b. 00:50:32
Bueno, pues si esto es la A, esto es la X y esto es la B, yo tengo que la X es igual a A menos 1 por B. 00:50:48
Digo ya, pero es que, ¿qué es la X? La X es X, Y y Z. 00:51:02
Bien, ¿qué es la A menos 1? Es la inversa de esta matriz. 00:51:11
Y esta matriz, si la habéis ido mirando poco a poco, coincide con esta de aquí, ¿vale? La 2, 0, menos 1, 2, 0, menos 1, 1, menos 3, 2, 1, menos 3, 2, y menos 1, 2, menos 1. 00:51:16
Menos 1, 2, menos 1. 00:51:46
Y habría que multiplicarlo por el 1, 2, 3. 00:51:51
Pero si yo hago este producto, resulta que este producto me sale 2 menos 3, menos 1. 00:51:57
1 menos 6 más 6, 1. 00:52:05
Menos 1 más 4 menos 3, 0. 00:52:10
Es decir, que acabo de hallar que la X vale menos 1, que la Y vale 1 y que la Z vale 0. 00:52:15
¿De acuerdo? 00:52:28
Bueno, pues en el tema siguiente daremos cosas que tengan que ver con esto. 00:52:31
Este sistema se dice que es un sistema de Kramer, pero bueno, ya todo eso forma parte del tema que viene. 00:52:37
Bien, bueno, pues mucha suerte chicos y hasta la siguiente. 00:52:43
Gracias. 00:52:48
Subido por:
Juan Pablo P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
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Fecha:
4 de octubre de 2020 - 11:04
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Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
52′ 51″
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