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Factorización de polinomios - Contenido educativo

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Subido el 28 de octubre de 2020 por M.cristina G.

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Vamos a recordar los pasos que tenemos que seguir para factorizar un polinomio. 00:00:05
Recordad que factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios más sencillos, es decir, de menor grado. 00:00:10
Siempre que se pueda, de grado 1 o como mucho, de grado 2. 00:00:17
Lo primero que tenemos que hacer es extraer el factor común si se puede. 00:00:21
El segundo paso es utilizar las identidades notables, si es que se puede, para factorizar los polinomios. 00:00:26
y el tercer paso sería utilizar la regla de Ruffini combinada con el teorema del resto 00:00:31
y también con la prueba de la división, aplicando que el dividendo es igual al divisor por cociente más el resto. 00:00:37
Os dejo ahora cuáles son las tres identidades notables por si no las recordáis. 00:00:44
La primera es el cuadrado de una suma. 00:00:48
Os recuerdo que el cuadrado de una suma, es decir, a más b elevado al cuadrado, 00:00:51
es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. 00:00:55
La segunda es el cuadrado de una diferencia. 00:01:03
El cuadrado de una diferencia, es decir, a menos b elevado al cuadrado 00:01:06
es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. 00:01:10
Y por último, suma por diferencia. 00:01:16
ya sabéis que una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados 00:01:19
recordad que este lo hemos utilizado cuando hemos racionalizado denominadores 00:01:26
lo particular de las identidades notables es que normalmente las hemos utilizado en esta dirección 00:01:32
es decir, nos dan o bien esto o esto o esto y tenemos que conseguir la segunda parte de la igualdad 00:01:38
y ahora lo que vamos a hacer va a ser utilizarlo pues justo al revés, es decir, nos van a dar esto que está recuadrado en azul 00:01:47
y vamos a tener que averiguar la parte que está redondeada en rojo, es decir, lo que vamos a hacer va a ser utilizar las identidades notables 00:01:56
al revés de como estamos acostumbrados. Bueno, pues vamos con el primer ejemplo, vamos a factorizar el polinomio 00:02:05
x elevado al cubo menos 2x al cuadrado más x 00:02:11
entonces recordad que el primer paso es sacar factor común si se puede 00:02:17
bueno, si os fijáis en este se puede sacar factor común a la x 00:02:22
si hubiese algún número que se pudiera sacar también como factor común pues también se saca 00:02:28
en este caso lo que tenemos es lo siguiente 00:02:33
tenemos el polinomio x al cubo menos 2x al cuadrado más x 00:02:35
y en este caso podemos sacar factor común a la x, quedaría dentro del paréntesis x al cuadrado menos 2x más 1. 00:02:40
Es importante que recordéis que delante de esta x de aquí tenemos un coeficiente que es 1, 00:02:47
aunque no se vea, si hubiese un menos pues sería menos 1, pero es muy importante que lo escribáis ahí. 00:02:53
El segundo paso es utilizar las identidades notables. 00:02:58
Vamos a utilizar las identidades notables en este polinomio de aquí, que es el que tiene grado 2 00:03:03
y tenemos que intentar factorizarlo como polinomios de grado 1. 00:03:07
Si nos fijamos en este polinomio, la identidad notable que se le parece es el cuadrado de una diferencia 00:03:12
que os recuerdo que es el cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. 00:03:16
Si vamos comparando término a término, a sería x y b al cuadrado sería 1. 00:03:24
por tanto en principio este polinomio si corresponde con una identidad notable 00:03:31
debería ser x menos 1 elevado al cuadrado 00:03:36
es muy importante que comprobemos ahora 00:03:39
que el doble del primero por el segundo corresponde a menos 2x 00:03:41
si desarrollamos este cuadrado 00:03:44
esto será igual a x al cuadrado menos 2 por x y por 1 00:03:46
más 1 elevado al cuadrado 00:03:51
luego si se corresponde con lo que teníamos 00:03:53
por tanto el polinomio que tenemos 00:03:55
que recuerdo que era x al cubo menos 2x al cuadrado más x 00:03:57
que era igual que x por x al cuadrado menos 2x más 1 00:04:02
aplicando las identidades notables al segundo polinomio 00:04:07
x al cuadrado menos 2x más 1 00:04:11
nos quedaría que esto es igual que x por x menos 1 elevado al cuadrado 00:04:12
y ya tenemos factorizado el polinomio original 00:04:18
el polinomio original será x por x menos 1 elevado al cuadrado 00:04:21
Vamos a factorizar ahora un polinomio de grado 6. El polinomio a factorizar va a ser el siguiente. 00:04:25
Será x elevado a 6 más 5x elevado a la quinta más 7x elevado a la cuarta más 5x elevado a 3 más 6x al cuadrado. 00:04:32
Recordad, el primer paso sería sacar factor común a la x, si se puede, o si hay algún número al cual se le pueda sacar factor común, pues ese número. 00:04:43
en este caso como veis podemos sacar factor común a la x elevado a 2 00:04:52
así que nos quedaría que este polinomio es igual a x elevado al cuadrado 00:04:56
multiplicado por x a la cuarta más 5x elevado al cubo 00:04:59
más 7x elevado a 2 más 5x más 6 00:05:04
y ahora lo que tenemos que hacer es factorizar este polinomio 00:05:09
que subrayamos en rojo y que lo vamos a llamar b1 de x 00:05:14
para distinguirlo del b que teníamos antes 00:05:19
bueno, pues vamos a coger ese b1 00:05:22
que es el polinomio que tenemos subrayado en rojo 00:05:24
que es x a la cuarta 00:05:27
más 5x al cubo 00:05:28
más 7x al cuadrado 00:05:30
más 5x más 6 00:05:32
y lo que le ocurre a este polinomio 00:05:33
es que no se parecen nada a las identidades notables 00:05:35
por lo tanto lo que tenemos que hacer es 00:05:37
regla de Ruffini 00:05:39
empezamos buscando las posibles raíces 00:05:40
que son los divisores del término independiente 00:05:42
es decir, más 1 menos 1 00:05:44
más 2 menos 2 00:05:45
más 3 y menos 3 00:05:46
y más 6 y menos 6 00:05:47
Y el segundo paso aplicando el teorema del resto es mirar qué resto sale cuando sustituimos la x por un 1 00:05:48
Aplicando el teorema del resto 00:05:56
Bueno, al aplicar el teorema del resto, sustituir la x por un 1 00:05:57
Este número, como todos los términos son positivos, no es 0 00:06:01
Y vamos al siguiente divisor que sería el menos 1 00:06:04
Hacemos lo mismo, sustituimos la x por un menos 1 00:06:07
Queda esto, menos 1 a la cuarta más 5 por menos 1 al cubo más 7 por menos 1 elevado al cuadrado 00:06:11
más 5 por menos 1 más 6 00:06:17
y si desarrollamos esto es 00:06:20
1 menos 5 más 7 menos 5 más 6 00:06:22
que es distinto de 0 00:06:27
vamos a probar ahora con el 2 00:06:28
si probáis con el 2 00:06:30
que sería 2 a la cuarta más 5 por 2 elevado al cubo 00:06:32
más 7 por 2 elevado al cuadrado 00:06:36
más 5 por 2 más 6 00:06:39
tampoco sale 0 porque todos los términos son positivos 00:06:41
y ahora vamos a probar con el menos 2 00:06:44
con este al sustituir, como veis, ya lo hago directamente, quedaría 16 más 5 por menos 8 00:06:46
más 7 por 4, más 5 por menos 2 y más 6 00:06:53
al hacer las operaciones quedaría 16 menos 40 más 28 menos 10 más 6 00:07:01
que sí que es 0, por lo tanto el resto cuando dividimos el polinomio de 1 entre x más 2 00:07:08
Recordad que hay que cambiar de signo, es 0, así que lo que vamos a hacer es la división aplicando la regla de Ruffini. 00:07:14
Bueno, ahora lo que vamos a hacer es hacer la división aplicando la regla de Ruffini. 00:07:21
Recordad que nuestro polinomio de 1 era x a la cuarta más 5x elevado a 3 más 7x elevado al cuadrado más 5x más 6 y que lo vamos a dividir entre x más 2. 00:07:24
Por lo tanto, aplicando regla de Ruffini, escribimos en la primera línea los coeficientes del polinomio que queremos dividir, 00:07:36
es decir, 1, 5, 7, 5 y 6, que son los coeficientes del polinomio de 1. 00:07:42
Y ahora ponemos aquí el menos 2. 00:07:47
Bajamos el primer término, que sería 1, y vamos multiplicando, aplicando regla de Ruffini, 00:07:50
1 por menos 2 menos 2, sumamos, sale 3, y así sucesivamente. 00:07:55
Como os fijáis, el último cuadrado, que es el resto, sale 0, que era lo que queríamos. 00:08:00
y ahora lo que hacemos es aplicar la regla de la división 00:08:04
la prueba, dividendo es igual a divisor por cociente más el resto que es 0 00:08:07
si aplicamos la regla de la división tendríamos que el dividendo 00:08:12
que es x a la cuarta más 5x al cubo más 7x al cuadrado más 5x más 6 00:08:16
es igual al divisor que es x más 2, recordad, por el cociente 00:08:22
que tenemos los coeficientes abajo 00:08:27
x al cubo más 3x elevado a 2 más x más 3 más el resto que es 0 00:08:29
luego no añadimos nada 00:08:36
así que nuestro polinomio de inicio es x al cuadrado por el polinomio b1 00:08:37
ese polinomio x a la cuarta más 5x al cubo más 7x al cuadrado más 5x más 6 00:08:43
que acabamos de factorizar de manera más sencilla como veis aquí 00:08:49
Dimos ahora este polinomio por su valor, nos queda que es x más 2 por x al cubo más 3x al cuadrado más x más 3 00:08:54
Y a este polinomio le vamos a llamar b2 de x que es el siguiente que tenemos que factorizar 00:09:02
Pues vamos a ello, vamos a factorizar el b2 que era x elevado al cubo más 3x elevado al cuadrado más x más 3 00:09:10
Empezamos con los divisores de 3 00:09:20
Los divisores de 3 ahora son el 1, el menos 1, el 3 y el menos 3 00:09:24
Como veis se han reducido el número de divisores 00:09:31
Y vamos probando con cada uno de ellos 00:09:35
Con el 1 y con el menos 1 no hace falta 00:09:37
Porque ya hemos visto que no anulaban el anterior polinomio 00:09:39
Así que empezamos probando con el 3 00:09:42
Sustituimos y quedaría 3 al cubo más 3 por 3 elevado al cuadrado más 3 más 3 00:09:43
que es un número distinto de 0 puesto que todos los términos son positivos 00:09:50
probamos ahora con el menos 3, calculamos un valor numérico 00:09:54
que daría menos 3 elevado al cubo más 3 por menos 3 elevado al cuadrado 00:09:59
más menos 3 más 3 00:10:05
si hacemos las operaciones esto queda menos 27 más 27 menos 3 más 3 que es 0 00:10:08
por lo tanto vamos a hacer la división por Ruffini 00:10:17
escribimos los coeficientes del polinomio 00:10:19
que son 1, 3, 1 y 3 00:10:24
y vamos a dividirlo entre x más 3 00:10:29
es decir, la caja ponemos el menos 3 00:10:31
bajamos el primer término 00:10:33
y vamos multiplicando 00:10:36
1 por menos 3 es menos 3 00:10:37
sumamos y sale 0 00:10:39
multiplicamos, volvemos a sumar 00:10:40
y volvemos a multiplicar 00:10:43
y como veis al final sale de resto 0 00:10:44
¿esto qué quiere decir? 00:10:46
que el polinomio de sub 2 de x, que era x al cubo más 3x al cuadrado más x más 3 es 00:10:48
x más 3 por x al cuadrado más 1, aplicando que dividiendo es igual al divisor por el 00:10:55
cociente más el resto. Y si ahora sustituimos en el anterior, en el original, que era x 00:11:01
al cuadrado por x más 2 por x al cubo más 3x al cuadrado más x más 3, por su valor, 00:11:08
Nos quedaría que la factorización es x al cuadrado por x más 2 por x más 3 sustituyendo y por x al cuadrado más 1 00:11:16
Ese último polinomio x al cuadrado más 1 que llamaríamos b3 que es el que tendríamos que factorizar ahora 00:11:31
No tiene raíces reales puesto que los divisores del término independiente serían el más 1 y el menos 1 00:11:43
y las posibles raíces enteras serían estas dos 00:11:50
y como podemos comprobar x al cuadrado más 1 no es 0 ni cuando la x es 1 ni cuando la x es menos 1 00:11:53
por lo tanto el último polinomio no se puede factorizar 00:12:00
y el polinomio original que era de grado 6 queda factorizado como x elevado al cuadrado por x más 2 por x más 3 y por x al cuadrado más 1 00:12:03
Subido por:
M.cristina G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
28 de octubre de 2020 - 22:34
Visibilidad:
Público
Centro:
IES REY FERNANDO VI
Duración:
12′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
220.07 MBytes

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