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2Bto - 01 - Matrices - 10 - Potencia de matrices II - Contenido educativo

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Subido el 15 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este nuevo vídeo vamos a ver otro ejemplo de ejercicio de potencia de una matriz cuadrada. 00:00:11
Que no es otro que el ejercicio 1A del examen de selectividad, bueno de la PAU, que era previa a la EBAU, de septiembre de 2017 de la opción B. 00:00:21
En este ejercicio se daban tres matrices pero en el apartado A del ejercicio pedían que determináramos la matriz C elevada a 40 00:00:31
Matriz C es una matriz cuadrada de orden 2 00:00:41
Ya sabéis que obviamente no vamos a hacer 40 multiplicaciones sino que vamos a generalizar la potencia 00:00:45
Para ello lo que vamos a hacer es comenzar calculando la matriz de C al cuadrado, la potencia al cuadrado de esta matriz que se calcula, como ya sabéis, multiplicando la matriz por sí misma y viendo a ver qué pasa y a ver qué pinta tiene el resultado. 00:00:52
Lo escribimos por aquí y vamos haciendo las multiplicaciones 00:01:12
Tendríamos por un lado menos 1 por menos 1 más 0 por 3 00:01:18
Mirad, yo os recomiendo que cuando en estos ejercicios os quede menos 1 por menos 1 00:01:22
En lugar de escribir 1, escribáis menos 1 al cuadrado 00:01:27
Es una recomendación que yo os hago para este tipo de ejercicios 00:01:31
Esto de menos 1 al cuadrado es 1, ya sabéis, pero lo dejamos escrito así 00:01:38
Y bueno, en el segundo término, en el término 2, 1, tendríamos menos 1 por 0 más 0 por 1, que es 0 00:01:42
Aquí abajo tendríamos ahora 3 por menos 1 más 1 por 3, es decir, menos 3 más 3, que se hace 0 00:01:49
Y por otro lado tendríamos 3 por 0 más 1 por 1, que es 1, ¿vale? 00:01:57
En este caso, como es 1 por 1, no lo vamos a escribir como al principio, ¿vale? 00:02:02
Bueno, esto sería c al cuadrado, vamos a calcular ahora c al cubo, ¿de acuerdo? 00:02:07
Mira, bueno, como ya sabemos, pues c al cubo es lo mismo que c al cuadrado por c, ¿vale? Yo puedo descomponer la potencia y, bueno, escribirla gracias a la propiedad asociativa como quiera. 00:02:12
Entonces aquí lo que hago es directamente poner el resultado de c al cuadrado, ¿de acuerdo? Y justo detrás, pues nada, voy a multiplicar por la matriz original, ¿vale? Por menos 1, 0, 3, 1. 00:02:23
Bueno, una vez que tengo escrito esto voy haciendo las operaciones 00:02:36
Mirad, como primer término, el término en la posición 1, 1 00:02:40
Tendríamos menos 1 al cuadrado por menos 1 más 0 por 3 00:02:44
Es decir, menos 1 al cuadrado por menos 1 00:02:48
Que sería menos 1 al cubo, ¿vale? 00:02:52
Si esto lo quisierais escribir como número, pues sabéis que es menos 1 00:02:54
Pero es interesante que lo escribamos como potencia, ¿vale? 00:02:57
Porque si os dais cuenta va coincidiendo ya aquí el exponente 00:03:01
exponente con el exponente de la matriz, ¿vale? Entonces es interesante hacerlo así. 00:03:05
Como segundo término tendríamos menos 1 al cuadrado por 0 más 0 por 1 que es 0, aquí 00:03:10
tendríamos 0 por menos 1 más 0 por 3 que es 3 y luego 0 por 0 es 0 más 1 por 1 que 00:03:15
es 1. Daos cuenta de una cosa, mirad, ahora mismo no tenemos ninguna garantía como pasó 00:03:24
en el ejercicio anterior, donde teníamos la matriz B, no tenemos ninguna garantía 00:03:32
de que aquí y allá podamos generalizar nada. Sí que, si os dais cuenta, tenemos ciertas 00:03:36
similitudes de esta matriz, la matriz C al cubo, con la matriz original. Similitudes 00:03:44
en el sentido de que aquí en ambas tenemos un 3 y aquí en el primer término, donde 00:03:49
estaba aquí, menos 1 y aquí tenemos menos 1 elevado a 3, pues esto también tiene cierta 00:03:56
similitud, ¿vale? Porque menos 1 no es otra cosa que menos 1 elevado a 1, ¿vale? Y esta 00:04:00
matriz al estar sola es c elevado a 1, ¿vale? Tiene naturalmente el exponente 1. Entonces 00:04:05
aquí sí que encontramos cierta regularidad, pero sin embargo, jolín, choca, que no seguimos 00:04:12
la regularidad con c al cuadrado. Por tanto, lo que vamos a hacer es calcular una potencia 00:04:18
más, ¿vale? Vamos a calcular c a la cuarta. La vamos a poner aquí debajo. Sabemos que 00:04:24
c a la cuarta no es otra cosa que c al cubo por c, ¿vale? Vamos a escribir aquí el resultado 00:04:29
de c al cubo, 3, 1, y lo vamos a multiplicar por la matriz original, menos 1, 0, 3, 1, 00:04:35
¿de acuerdo? Así vamos haciendo las multiplicaciones en el primer término, menos 1 al cubo por 00:04:48
menos 1 más 0 por 3 sería menos 1 a la cuarta, podéis poner 1, ¿vale? Luego tendríamos 00:04:53
menos 1 al cubo por 0 más 0 por 1 que es 0, aquí tendríamos 3 por menos 1 más 1 por 3, es decir, menos 3 más 3 que es 0 00:05:00
y por último tendríamos 3 por 0 que es 0 más 1 por 1 que es 1. 00:05:10
Daos cuenta de una cosa, aquí, antes de seguir voy a marcar que aquí y aquí encontramos también cierta similitud, ¿vale? 00:05:15
Y aquí ahora, en esta que acabo de calcular, ya sí encuentro algo de similitud con la matriz de c al cuadrado. 00:05:24
Daos cuenta de una cosa, o sea, lo que es la diagonal secundaria tiene todos sus términos igual a cero 00:05:33
y en la diagonal principal el primer término aquí era menos uno al cuadrado y aquí es menos uno a la cuarta. 00:05:39
Por tanto, aquí cuando generalicemos en este ejercicio y en otro que haremos en clase, que es bastante parecido, 00:05:46
El otro de clase es, no sé si del modelo, no, no es del modelo, es de uno de los exámenes de julio de este año, ¿vale? 00:05:52
Del examen coincidente de julio 00:06:01
Entonces, ¿qué sucede? 00:06:03
Hay veces que no encontramos una potencia general, ¿vale? 00:06:06
Sino que encontramos como una tendencia para unas matrices, para ciertas potencias de unas matrices y otra tendencia para otras 00:06:12
¿En qué se basa esa tendencia? Se basa en la paridad del exponente 00:06:22
¿Qué quiere decir esto de la paridad? Pues daos cuenta que aquí estoy marcando en amarillo 00:06:26
He deducido la pinta que tienen las matrices que tienen su exponente impar 00:06:30
¿De acuerdo? Cuando el exponente es impar, el primer término está elevado a exponente impar 00:06:40
¿Vale? Y aquí en el término 2, 1, de la posición 2, 1 aparece un 3 00:06:44
Mientras que en las potencias de exponente par, c al cuadrado y c a la cuarta, también el primer término, bueno, pues como lo hemos puesto en general, aparece elevado a 2 o aparece elevado a 4, pero a diferencia de las otras, el término de la posición 2, 1 es 0, ¿de acuerdo? 00:06:49
¿Por qué es esto importante? Pues porque aquí mi ejercicio realmente lo que me está pidiendo es que determine la potencia número, bueno, la potencia 40, ¿de acuerdo? 00:07:10
40 es un número par, por tanto, la potencia 40 va a tener la siguiente forma, daos cuenta, el primer término va a estar aquí, bueno, si os dais cuenta, cuando yo hice c al cuadrado el primer término estaba elevado al cuadrado, cuando yo hice c a la cuarta el primer término estaba elevado a la cuarta, por tanto, es fácil deducir que cuando yo haga la potencia 40 el primer término estará elevado a 40, ¿vale? 00:07:23
Aquí tendré siempre un 0, en la posición 2, 1 también tendré un 0 y en la posición 2, 2 tendré un 1, ¿vale? Por tanto, bueno, pues es bastante fácil calcular que el término que, bueno, la potencia 40 de la matriz C sería una matriz identidad, ¿vale? 00:07:52
Ahora sí que voy a desarrollar la potencia del primer término, menos 1 elevado a potencia par es algo positivo, ¿de acuerdo? 00:08:17
Y el resto de términos pues ya los habría deducido. 00:08:26
¿Con qué os tenéis que quedar de este ejercicio? 00:08:30
Pues que hay veces en la que, al contrario que en el ejemplo anterior, calculáis la matriz al cuadrado, calculáis la matriz al cubo y os dais cuenta de que todavía no veis claro qué cosas hay en común, todavía no podéis generalizar. 00:08:31
En ese caso tenéis que sacar la potencia elevada a la cuarta e identificar si ya encontráis similitudes entre las potencias pares y las potencias impares. 00:08:45
Como luego os pedirán determinar cierta potencia que puede ser par o impar, pues ya tomáis la generalización de las pares o de las impares y expresáis el resultado. 00:08:54
Subido por:
Beatriz N.
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Fecha:
15 de septiembre de 2020 - 23:30
Visibilidad:
Público
Centro:
Sin centro asignado
Duración:
09′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
93.65 MBytes

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