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Definición de determinante - Contenido educativo

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Subido el 20 de julio de 2018 por Manuel D.

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Se muestra la definición de determinante y se explican sus distintas partes. También cómo calcularlo para matrices 2x2 y 3x3 (regla de Sarrus)

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de Matemáticas 2 de segundo de bachillerato. 00:00:02
Presento a continuación una herramienta que va a resultar esencial tanto en el álgebra como en la geometría. 00:00:12
Se trata de determinante de una matriz. 00:00:19
Con el determinante de una matriz vamos a poder resolver sistemas de ecuaciones, calcular rangos y calcular inversas de matrices. 00:00:22
En este vídeo vamos a presentar la definición e intentar entenderla un poco. Ya veréis que va a resultar un tanto extraña. 00:00:29
Vamos pues a dar la definición de determinante. Para que un determinante pueda calcularse, la matriz debe ser cuadrada. 00:00:36
Entonces, si tenemos una matriz cuadrada de dimensión n por n, el determinante, y se va a escribir entre líneas verticales en lugar de entre paréntesis, 00:00:44
es un número que se calcula de la siguiente forma, con una fórmula que como veis es muy rara, imagino que no se entiende, 00:00:51
así que vamos a ir deteniéndonos poco a poco en esa fórmula y explicando cada una de sus partes. 00:01:00
Entonces, empezamos con la primera parte a entender qué es S sub n. S sub n es el conjunto de las permutaciones, 00:01:04
es el grupo de permutaciones de n elementos. ¿Qué es una permutación? Bien, pues una permutación, 00:01:12
Se estudian las permutaciones en combinatoria en cuarto de la ESO. Lo vamos a recordar en un momento, es muy sencillo. Si tenemos un conjunto de elementos, ahí tenéis cuatro personas, una permutación de esos elementos es simplemente una reordenación de los mismos en la que, pues por ahí tenéis que la secuencia 1, 2, 3, 4 se ha permutado en la 3, 4, 2, 1. 00:01:17
Bien, eso es una permutación. Las permutaciones las podemos denotar de esa forma, como una primera fila el orden de partida y la segunda fila, 3, 4, 2, 1, el orden de llegada. 00:01:41
Bien, ¿cuántas permutaciones hay en un grupo de permutaciones de n elementos? Bueno, pues hay n factorial. n factorial, que es el número n por n-1 por n-2, etc., hasta multiplicar el 3 por 2 por 1. 00:01:56
Y eso, ¿son números grandes? Pues por ejemplo, ese sub 5, si tuviésemos que calcular un determinante de orden 5, tendríamos que trabajar con 120 permutaciones. 00:02:09
Si tuviésemos, sin embargo, que calcular un determinante de orden 4, el número de permutaciones serían 4 factorial 24. 00:02:20
Bien, volvamos a la definición y vamos a intentar entender esa otra parte de la definición. 00:02:27
Es decir, cómo se comporta la permutación a la hora de elegir qué términos de la matriz multiplico. 00:02:33
Bien, como los primeros subíndices siempre van a ser 1, 2, 3 hasta n, va a querer decir que vamos a elegir un término por cada una de las filas. 00:02:40
Mientras que las columnas van a ser una permutación de estos números, es decir, también vamos a elegir un término de cada columna. 00:02:48
En nuestro ejemplo tendríamos los términos a1, 3, a2, 4, a3, 2 y a4, 1. 00:02:55
¿Dónde están esos términos? Bueno, pues si buscamos en la matriz, esos términos los tenéis situados ahí. 00:03:00
¿Y qué hay de especial en esta ordenación de los términos de la matriz? 00:03:06
Hemos elegido cuatro términos que verifican que están cada uno de ellos en una fila 00:03:12
y cada uno de ellos también en una columna distinta. 00:03:16
Sumando, todos los términos van a estar en filas y columnas distintas. 00:03:19
Por tanto, para calcular el determinante habría que calcular todos estos productos 00:03:22
de todas las posibles permutaciones, que verifiquen esto, 00:03:26
y añadir un signo. ¿Qué es el signo de una permutación? 00:03:29
Bueno, pues el signo de una permutación es un signo más o menos en función de si la permutación se llama par o impar. 00:03:34
Bueno, vamos a ver cómo se calcula este signo con el ejemplo que estamos teniendo entre manos, 3, 4, 2, 1. 00:03:41
Si queremos ordenar estos números 3, 4, 2, 1 en el orden natural 1, 2, 3, 4, ¿qué podemos hacer? 00:03:46
Pues el término 1, el último, lo podemos colocar mediante lo que se llaman transposiciones en el primer lugar. 00:03:52
¿Cuántas transposiciones hemos utilizado? Pues 3. 00:04:00
Si ahora vamos a colocar el 2 en el segundo lugar, lo que tendremos que utilizar es una cuarta transposición y una quinta transposición. 00:04:03
En total, ¿cuántas transposiciones hemos usado? 5. 00:04:12
Con lo cual, el signo va a ser negativo porque el número de transposiciones es impar. 00:04:15
Bueno, y eso es el signo. 00:04:21
Entonces, ¿cuántas permutaciones pares hay en total? 00:04:23
Pues la mitad justo. 00:04:26
¿Y cuántas impares? La mitad. 00:04:28
¿Eso qué significa? 00:04:29
Pues que en el determinante, en la fórmula del determinante, nosotros vamos a tener la mitad de términos con signo más y la mitad de términos con signo menos. 00:04:30
¿Qué habría que hacer para un determinante 4x4? 00:04:39
Pues bueno, pues habría que calcular 24 permutaciones. 00:04:41
Madre mía, 24, casi nada. 00:04:46
Luego hay que calcular, bueno, primero que no falte ninguna y luego pues habrá que calcular sus signos. 00:04:48
Después hay que calcular los productos de todo esto con su signo y después sumar todo. 00:04:54
Total, un jaleo de cuidado. ¿Qué podemos hacer? ¿Cómo podemos arreglar esto? Pues desde luego no vamos a operar así. Esto todo va a ser mucho más sencillo. 00:04:58
Nos va a bastar con aprender a calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3 y a partir de estos vamos a poder calcular si lo necesitásemos determinantes de órdenes mayores. 00:05:08
Y en realidad la definición no la vamos a usar. O sea que nos vamos a limitar a utilizar el determinante porque tiene muchas utilidades prácticas, pero no vamos a partir de la definición teórica nunca. No os preocupéis. 00:05:18
Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el determinante de 2x2. Bueno, pues en este caso solo va a haber dos permutaciones en el grupo simétrico de dos elementos. 00:05:30
así que en realidad hay solo dos sumandos, uno con más y otro con menos, ahí los tenéis. 00:05:41
Muy fácil, la diagonal principal iría con más, la secundaria iría con menos. 00:05:44
Y pues hay que multiplicar los elementos de la diagonal y restarles los de la complementaria y listo. 00:05:49
Por ejemplo, ese determinante, el determinante de la matriz 1 menos 2 menos 2, 6, sería 1 por 6 menos menos 2 por menos 2. 00:05:54
Ojo con los signos, que va a haber muchos signos negativos. 00:06:02
Total, 2. Se hace la cuenta y listo. 00:06:05
¿Qué pasaría en un determinante de 3 por 3? 00:06:08
Bueno, esto se le llama regla de Sarrus, esta regla mnemotécnica, lo vais a ver, tenéis ahí una pedazo de fórmula, son seis términos, porque es 3 factorial, 3 por 2 por 1, 3 con signo más y 3 con signo menos. 00:06:10
Entonces, ¿cómo van los signos? Bueno, pues los tres primeros van con signo más, que corresponden a esos términos que veis ahí señalados en verde. Es muy fácil de recordar, esto lo vais a recordar enseguida. 00:06:22
Los otros van a ir con signo menos, el de la diagonal secundaria y los otros dos triángulos. Esos con signo menos. Pues para calcular el determinante hay que operar y listo. 00:06:34
Vamos a hacer un ejemplo. Hacemos un ejemplo, ahí tenéis ese determinante, calcularíamos los que van con más, que son esos, los que van con menos, cambiados de signo, que serían esos tres, 00:06:47
y luego pues lo que habría que hacer pues es operar operamos esos números y al final el resultado es 16 y ese es el valor del determinante 16 00:06:58
bueno pues esto ha sido todo en próximos vídeos vamos a profundizar sobre las aplicaciones y las propiedades de los determinantes de matrices cuadradas 00:07:06
hasta luego un saludo 00:07:16
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
559
Fecha:
20 de julio de 2018 - 23:17
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 19″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
68.74 MBytes

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