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(1) Crecimiento-Decrecimiento-MÁX-MíN de una función - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2020 por Esteban S.

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hola hola qué tal estáis chicas y chicos del segundo bachillerato vamos a hacer este 00:00:02
problema importantísimo que consiste en estudiar el crecimiento de crecimiento y 00:00:08
los máximos y mínimos relativos de una función este proceso que voy a explicar y que muchos 00:00:13
de vosotros ya sabéis pero está bien recordar vais a tener lo que utilizar muchísimo a lo 00:00:21
largo de vuestra vida porque si vais a tener que muchas veces vais a tener funciones y tenéis que 00:00:26
saber si crece o decrece y tenéis que saber si hay máximos o mínimos pues claro que sí no hace 00:00:33
falta incidir en esto que ya sé que lo sabéis voy a recordar un poquito qué significa esto de 00:00:40
relativos que significa máximos y mínimos relativos estoy dibujando una función muy bien 00:00:45
voy a dibujar, voy a señalar el máximo relativo que tiene 00:00:55
el máximo relativo es este punto negro, ¿qué significa máximo relativo? 00:00:59
¿qué significa que este punto negro es un máximo relativo? 00:01:04
pues significa, mirad, que en un entorno de la función 00:01:07
este valor aquí es el máximo de los que hay 00:01:11
¿veis? este punto es el máximo de estos que estoy señalando 00:01:14
por eso este de aquí se le llama máximo 00:01:18
relativo, claro, está bien dicho, bien puesto el nombre 00:01:24
muy bien, vamos a ver si tiene mínimos relativos, pues si tiene mínimos relativos 00:01:28
los puntos en azul, en azul y en azul, ¿por qué son mínimos 00:01:32
relativos? porque como antes, en un entorno 00:01:36
de este punto, o alrededor de este punto, el punto azul es 00:01:40
más pequeño que todo esto, por eso se llama mínimo relativo y aquí 00:01:44
lo mismo, mínimo relativo, por eso se le llama mínimos 00:01:48
relativos mínimos relativos hay este y este bueno vamos a ver fijaros que aquí 00:01:52
este punto de aquí no es un mínimo relativo porque si hago un entorno 00:02:03
estos de aquí son mayores luego ese no es un mínimo relativo 00:02:08
así que son los mínimos y máximos relativos que tienen en común estos tres 00:02:13
puntos ya lo sabéis tienen en común que si yo dibujo sus 00:02:17
tangentes resulta que esas tangentes son horizontales luego la derivada es cero 00:02:23
esto es importante lo dejo ahí en el aire pero es importante muy bien voy a 00:02:29
volver a estos mínimos relativos y voy a señalar uno de estos mínimos relativos 00:02:34
que es este de aquí este mínimo que hay aquí además de ser un mínimo relativo 00:02:38
también es 00:02:49
Mínimo absoluto, ¿por qué absoluto? 00:02:51
Porque ningún valor de la función, ningún valor de la función está por debajo de él. 00:02:57
Por eso este mínimo, además de ser relativo, también es absoluto. 00:03:04
Fijaros que en cambio esto no pasa con el máximo relativo, 00:03:09
no le podemos dar la categoría de absoluto a este de aquí, ¿por qué? 00:03:13
Porque este es el máximo de los que tiene al ladito del sí, pero hay valores por aquí y por aquí que son mayores que él, ¿de acuerdo? 00:03:17
Entonces, terminando, diríamos que esta función que he dibujado ahí de mala manera tiene un máximo relativo, 00:03:28
tiene dos mínimos relativos y además uno de esos mínimos relativos también es un mínimo absoluto, 00:03:35
pero en cambio no tiene máximo absoluto. 00:03:42
Esto creo que queda claro. 00:03:46
Lo voy a borrar, lo podría dejar ahí, pero bueno, lo voy a borrar para que no nos moleste. 00:03:48
Y entonces vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento. 00:03:53
¿Cómo empieza el estudio del crecimiento y decrecimiento de cosas que tengan que ver con funciones? 00:03:57
Pues todos los estudios esos siempre empiezan de la misma manera. 00:04:01
Siempre empiezan de la misma manera. 00:04:06
¿Cómo? Pues estudiando el dominio. 00:04:08
Así que lo primero que tenemos que hacer es estudiar el dominio de la función. 00:04:10
Así que lo primero que hacemos es escribir el dominio de la función. 00:04:15
El dominio de una función, como es una función racional, es un cociente 00:04:20
Son todos los valores reales menos los que anula el denominador 00:04:25
Y el denominador se anula para x igual a 3 00:04:28
Porque x menos 3 vale 0 si x igual a 3 00:04:30
Bueno, este punto, que es un agujerito 00:04:36
Es un agujero que tiene el dominio 00:04:40
Pues es un punto que va a jugar un papel importantísimo 00:04:42
Acordaros que todos los estudios de las funciones empiezan con el dominio 00:04:47
lo siguiente que tenemos que hacer es calcular la derivada 00:04:50
ahora sí, si queréis podéis parar el vídeo 00:04:53
darle al stop y calcular la derivada 00:04:56
yo la voy a calcular 00:04:59
y la derivada, yo en el cociente siempre empiezo por el denominador 00:05:02
porque es que se me olvida muchísimo poner 00:05:06
que esto va al cuadrado, pues ya lo pongo y así no se me olvida 00:05:08
y después de operar un montón, o no tanto 00:05:11
pues esto sale, esta es la derivada 00:05:15
Lo siguiente que tenemos que hacer es resolver esta ecuación 00:05:17
¿Por qué resolvemos esta ecuación? 00:05:26
Porque para saber cuál es el signo de la derivada 00:05:29
Yo quiero estudiar el signo de la derivada 00:05:34
¿Por qué quiero estudiar el signo de la derivada? 00:05:39
Porque hemos aprendido en clase que si el signo es positivo 00:05:42
El de la derivada, la función crece 00:05:45
Y si el signo es negativo, el de la derivada, la función decrece 00:05:47
La derivada tiene esa virtud, que su signo nos dice cómo se comporta la función 00:05:52
¿Cómo se estudia el signo en una expresión? 00:05:58
Pues para estudiar el signo en una expresión, ya sabéis que lo que hay que hacer es factorizarla 00:06:01
Y una vez que esté factorizada, es muy fácil estudiar el signo 00:06:06
Entonces, para factorizar una función, ya sabéis que tenemos que ver los valores que hacen cero 00:06:10
Entonces, yo quiero estudiar para qué valores esta expresión vale cero 00:06:16
esto de aquí es un cociente y un cociente vale 0 si el numerador es 0 00:06:25
¿cómo se resuelve esta cociente de segundo grado? 00:06:32
por favor no lo hagáis con la fórmula 00:06:34
gracias 00:06:36
entonces esto es 0 00:06:37
es agrafato común 00:06:40
y si x es igual a 0 00:06:42
muy bien 00:06:45
pues ya tengo aquí los valores que hacen 0 la derivada 00:06:45
si x es 0 la derivada es 0 00:06:49
si x es 6 la derivada es 0 00:06:53
Pues además con esto ya sé también que puedo escribir la derivada de esta manera 00:06:56
Voy a poner en rojo porque esto es muy importante para poder calcular 00:07:04
Así que la derivada es esto, x al cuadrado menos c 00:07:08
Y ahora en vez de poner x al cuadrado menos 6x 00:07:13
Como ya he resuelto, o sea con esto y con esto, ya sé que esto de arriba es x por x menos 6 00:07:18
Genial 00:07:27
Luego ya tengo aquí mi derivada 00:07:28
Muy importante esta derivada 00:07:31
Ya tengo aquí mi derivada 00:07:32
Para estudiar el signo 00:07:35
Vamos a ver como se estudiaba el signo 00:07:38
De la derivada 00:07:40
O el signo de cualquier expresión que tengamos 00:07:43
Lo que había que hacer 00:07:44
Ya lo sabéis 00:07:46
Señalamos nuestra recta real 00:07:48
Nuestra recta real 00:07:50
Que ahí están los valores x 00:07:52
¿Qué teníamos que señalar en nuestra recta real? 00:07:53
teníamos que señalar los valores que anulan la expresión, en este caso tengo que señalar el 0 y el 6, muy bien, y ahora viene una cosa importantísima, 00:07:56
pero ojo, ojo, atención, también tenemos que señalar aquí los valores que no estén en el dominio, los agujeros del dominio, mejor dicho, 00:08:07
y aquí había un valor que no estaba en el dominio que era el 3 00:08:17
luego este punto hay que señalarlo aquí también 00:08:21
por favor que no se os olvide esto 00:08:25
que ya los profesores sabemos por experiencia que se os olvida mucho 00:08:27
no, siempre hay que ponerlo 00:08:30
por favor, hay que señalar los puntos que anulan la derivada 00:08:33
y también los agujeros del dominio 00:08:38
vale, ya está 00:08:40
ya lo tenemos señalado 00:08:43
entonces ahora tenemos que estudiar el signo de la derivada 00:08:44
signo de f' de x 00:08:47
y sabiendo el signo de la derivada 00:08:51
voy a saber 00:08:53
cómo se comporta la función 00:08:55
comportamiento 00:08:57
de f de x 00:09:00
ahí lo tenemos 00:09:03
ya que tengo aquí mi tablita que la voy a hacer 00:09:07
esta tablita hay muchas formas 00:09:09
de hacerlo, pero bueno, yo lo voy a hacer así 00:09:11
pero hay muchísimas formas 00:09:13
aquí hago estas divisiones 00:09:14
muy poquito, ahí con puntitos 00:09:17
poquito 00:09:19
Muy bien, muy bien. ¿Qué sé de esta tabla? Solo sé tres cosas. Sé lo siguiente, que ¿cuál es el signo de la derivada cuando la x vale 0? Pues yo sé que la derivada ahí vale 0. ¿Cuál es el signo de la derivada cuando la x vale 6? Yo sé que ahí es 0. 00:09:20
Y lo otro que sé es que el punto 3 no está en la función. Voy a poner aquí este punto 3, no pertenece al dominio de la función. Lo pongo ahí, ya quedó un poco grande, pero bueno, no pasa nada. Vale. 00:09:37
vamos a estudiar el signo ahora muy bien cómo se estudia el signo en este tramo de aquí lo voy 00:09:50
a pintorregear así como se estudia aquí valores menores que cero pues hay que poner un valor un 00:09:58
valor menor que cero ponerlo en la derivada o sea ponerlo aquí sustituir ahí y ver el signo me da 00:10:03
igual el valor que salga lo único quiero es el signo qué valor puedo coger menos que cero pues 00:10:09
Cojo el menos 30, para que no tenga confusión. 00:10:13
Menos 30, ahí voy. 00:10:16
Y aquí sería menos 30, negativo, o sea, negativo por negativo, positivo. 00:10:18
Y fijaros que el denominador, como está elevado al cuadrado, siempre es positivo. 00:10:25
Este denominador siempre es positivo. 00:10:28
Me olvido de él. 00:10:31
Así que esto es menos por menos, más. 00:10:32
Cojo un valor entre 6 y 3, pues el 2. 00:10:35
Aquí pongo un 2, aquí negativo, me sale negativo. 00:10:37
un valor entre 3 y 6, ya estoy en este cachito de aquí, pues el 4 00:10:41
4 es positivo, 4 menos 6 negativos, negativo 00:10:46
cojo un valor que es mayor que 6, estoy en este tramo, el 80 00:10:49
positivo, positivo, positivo, muy bien, con esto sé 00:10:53
lo siguiente, ¿qué significa que la derivada sea 00:10:57
positiva? que la función crece, esto es muy importante 00:11:01
¿qué significa que la derivada sea 0? no lo sé, no puedes contestar 00:11:05
todavía vale. ¿Qué significa que la derivada sea negativa? Que la función decreza, decrece, que la 00:11:09
función decrece y que la función crece. Con esto ya puedo contestar lo importantísimo. Vamos al 00:11:14
punto este que era x igual a 0. ¿Qué pasa en x igual a 0? Pues es una función que la derivada 00:11:24
vale 0 y pasa de crecer a decrecer. Esto significa que en el punto A, 0, lo que sea, es un máximo 00:11:31
relativo. Muy bien. En el punto 3, ¿qué hay? Pues hay un agujerito. Bien, alguien que no 00:11:41
se canse y diga, yo no me conformo con decir que hay un agujero, pues puede decir que en 00:11:49
x igual a 3 hay una asíntota vertical, porque el límite, cuando x se acerca a 3 de la función, 00:11:54
nos sale valores o más infinito o menos infinito, muy bien, y en este último punto, que es el punto B, otro punto clave, punto 6, lo que sea, es un mínimo relativo, mínimo relativo, vale, vamos a seguir y vamos a rellenar algo de aquí que nos causa mucho problema también, ¿qué pasa con las segundas coordenadas estas?, bueno, no las he puesto porque estas segundas coordenadas ya no tienen gracia, bueno, si tienen gracia, pero ya son obligadas, ¿cuál es la segunda coordenada de este punto?, 00:12:00
Pues F de 0. 00:12:31
¿Cuál es la segunda coordenada del punto B? 00:12:33
Pues F de 6. 00:12:35
Muy importante, por favor, es F de 0 y F de 6. 00:12:37
Hay que sustituir en la función. 00:12:41
Vale. 00:12:44
¿Quién es F de 0? 00:12:44
En la función. 00:12:45
Acordaros que la función, ahora se ve muy bien, 00:12:47
acordaros que la función es la X cuadrado partido por X menos 3, 00:12:52
pues cuando X vale 0, pues esto es 0. 00:12:54
¿Y cuando vale 6? 00:12:57
Eso de ahí es 6 al cuadrado, es 36, 00:12:59
entre 3, 36 00:13:01
entre 3, 12 00:13:04
muy bien, pues ya casi podemos dibujar la función 00:13:06
vale, lo último 00:13:12
que me queda, que nos gusta 00:13:14
también, es decir, es lo siguiente 00:13:16
¿cómo puedo 00:13:18
decidir si estos máximos 00:13:20
relativos y mínimos 00:13:22
relativos son también 00:13:24
absolutos o no? muy bien, para eso 00:13:26
hay que estudiar el comportamiento 00:13:28
de la función cuando va más infinito y menos infinito 00:13:30
entonces lo voy a 00:13:32
hacer rapidísimamente, mirad, lo hago aquí y vais a entenderlo. ¿Cuál es el límite 00:13:34
cuando x tiende a más infinito de f de x? Pues este límite es el límite de x cuadrado 00:13:40
partido por x menos 3. Muy bien, como esto es infinito entre infinito, mirando los grados, 00:13:48
ya lo hemos hecho millones de veces, pues esto sale más infinito. Fijad, lo que significa 00:13:53
que cuando la x toma valores muy grandes, la función toma valores muy, muy, muy, muy 00:13:58
grande, pues esto significa que este máximo no es absoluto, esto significa que este máximo 00:14:03
no es absoluto, no es absoluto, porque eso no es relativo, porque la función, y si halláramos 00:14:09
el límite cuando x tienda menos infinito, ya lo hago muy rápido, por favor, porque 00:14:18
esto ya lo sabemos, esto es menos infinito, pues esto es que significa que ya, que este 00:14:24
de aquí no es absoluto, luego esto solo va a ser 00:14:29
esta función tiene máximos relativos, mínimos relativos, pero no son absolutos 00:14:32
ninguno de los dos, vale, lo último que nos queda es dibujar la función 00:14:37
si queremos, la podemos querer dibujar, ah bueno, esperar, esperar, esperar 00:14:41
que me falta contestar, me falta contestar, vale, no pasa nada 00:14:45
f crece 00:14:49
en menos infinito cero 00:14:53
unión 6 más infinito 00:14:57
F decrece 00:14:59
cuidado 00:15:04
0,3 unión 00:15:05
3,6, el 3 no lo puedo poner 00:15:07
está prohibido 00:15:09
el punto A0,0 00:15:10
es un 00:15:12
máximo relativo 00:15:14
no sé si lo he dicho antes 00:15:16
ya no me acuerdo que en Inglaterra 00:15:19
en los países anglosajones 00:15:21
a los máximos y mínimos relativos le llaman 00:15:22
máximos y mínimos locales 00:15:25
Porque son máximos y mínimos localmente en un trocito, en un entorno. 00:15:26
Y esto es un mínimo relativo. 00:15:33
Esta función no tiene máximos ni mínimos absolutos. 00:15:36
Ya solo falta dibujarla. 00:15:40
Para dibujarla, cuidado, esta función, como es una racional, el grado de arriba es 2 y el de abajo es 1, pues tiene una asíntota. 00:15:42
Bueno, pues aquí la tenía dibujada. 00:15:52
Vamos a verla. 00:15:54
aquí la tenía dibujada, muy bien, mirad 00:15:54
aquí puedo pintar, tomaba ya punto, este punto rojo 00:15:58
era el máximo relativo, este punto azul 00:16:03
el mínimo relativo, perdón que salga así, lo siento 00:16:07
no sabía que iba a salir así, madre mía, lo siento, pero no voy a repetir el vídeo 00:16:10
pero bueno, esta línea de puntos es la asíntota vertical en x igual a 3 00:16:14
y esta otra línea de puntos que hay ahí, pues es la asíntota 00:16:19
bueno, siento que el vídeo ha sido 00:16:23
un poco largo, pero es un vídeo muy importante 00:16:27
espero que lo veáis detenidamente 00:16:31
y que veáis bien 00:16:34
como lo hemos hecho todo, ya no sé, no tengo nada más que decir 00:16:38
espero que os haya interesado, un saludo y muchas gracias 00:16:44
por escuchar y por ver el vídeo 00:16:46
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
530
Fecha:
7 de noviembre de 2020 - 16:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
16′ 50″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
635.18 MBytes

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