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Ángulo entre rectas mediante sus pendientes - Contenido educativo

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Subido el 3 de febrero de 2022 por Elena Y.

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Explicación de la fórmula y aplicación en un problema. Dada una recta, se pide calcular otra que forme un ángulo de 60º con ésta, y que pase por un punto dado. Geometría analítica. 1º Bachillerato Ciencias.

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Hola, bueno, os voy a realizar este problema. 00:00:01
Haya la ecuación de la recta que pasa por el punto A, 1-4 y forma un ángulo de 60 grados con la recta R, x-y igual a 1. 00:00:05
Para hacer este problema primero vamos a entender que, como puedo sacar el ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes. 00:00:14
antes de todo esto tenéis que entender que si yo tengo 00:00:23
un vector, un vector libre 00:00:27
lo voy a poner aquí en el origen de coordenadas 00:00:35
ese vector tiene una componente 00:00:37
x, la que sea, que solemos llamarla v sub x 00:00:44
una componente y, la que sea 00:00:48
que solemos llamarla vi, al final 00:00:52
esta componente me da cuánto sube 00:00:55
y esta componente de aquí me dice cuánto se mueve a derecha o izquierda 00:00:59
vale, si quiero considerar este ángulo de aquí 00:01:04
ese ángulo que me forma ese vector con el eje de las X 00:01:07
me doy cuenta de que la tangente de ese ángulo 00:01:13
sería igual al cateto opuesto 00:01:20
que veis que coincide con la componente Y del vector, o sea, lo que hemos llamado VI, 00:01:23
partido del cateto contiguo, que en este caso mide lo mismo que la componente X del vector. 00:01:30
Por lo tanto, esta expresión me da cuenta que coincide con la pendiente de una recta 00:01:40
si ese VI y VX fuera su vector director 00:01:49
¿verdad? o sea, si el vector director de la recta 00:01:53
fuera el vector VX 00:01:57
VI, resulta que su pendiente sería igual a la tangente 00:02:00
del ángulo que forma esa recta con el eje horizontal 00:02:07
¿verdad? con el eje de las X. Vale, una vez que tenemos eso claro 00:02:11
vamos a ver que ocurre si yo ahora lo que tengo son dos rectas 00:02:15
y ahora tengo aquí dos rectas 00:02:19
esos son mis ejes 00:02:24
y dos rectas 00:02:28
por ejemplo R 00:02:33
y por ejemplo la recta S 00:02:35
cada una de esas rectas 00:02:43
tendrá un ángulo 00:02:47
formando un ángulo distinto 00:02:50
con la horizontal 00:02:55
a este de aquí 00:03:01
lo voy a llamar alfa R 00:03:03
puesto que es el ángulo que forma la recta R con la horizontal 00:03:07
me da igual que lo miréis aquí, que lo miréis aquí 00:03:12
se ve que ese ángulo es el mismo, ¿verdad? 00:03:15
y luego tendría todo este ángulo 00:03:17
sería este ángulo, lo voy a llamar alfa S 00:03:20
que es el ángulo que forma la recta S con la horizontal 00:03:29
Bueno, todo esto yo quería ver el ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes 00:03:34
O sea, ¿cuál es ese ángulo que me está interesando a mí ver? 00:03:40
Este, que voy a llamar simplemente alfa 00:03:44
¿Vale? Ese es el ángulo que están formando la recta R con la recta S 00:03:47
¿De acuerdo? 00:03:52
Bueno, pues aquí si me doy cuenta 00:03:54
Resulta que yo puedo obtener alfa, este ángulo naranja 00:03:56
haciendo alfa S menos alfa R 00:04:03
vale, pues juntando estas dos informaciones 00:04:09
la de la tangente y la de las 00:04:15
que puedo obtener el ángulo que forman dos rectas 00:04:20
restando los ángulos que forman con respecto a la horizontal 00:04:24
resulta que la tangente de ese ángulo alfa 00:04:27
será igual a la tangente de alfa S menos alfa R 00:04:33
y esto con las fórmulas de la trigonometría 00:04:42
sabemos que es igual a la tangente de alfa S 00:04:48
menos la tangente de alfa R 00:04:56
entre 1 más el producto de las dos tangentes 00:05:00
como habíamos dicho 00:05:06
que la tangente era igual que la pendiente 00:05:14
claro, la tangente igual que la pendiente de cada recta 00:05:19
por lo tanto, esta ecuación 00:05:22
me quedaría como 00:05:25
que la tangente del ángulo que forman estas dos rectas 00:05:28
será igual a la pendiente de S menos la pendiente de R partido de 1 más la pendiente de S por la pendiente de R 00:05:35
pues esta es la fórmula que vamos a utilizar en este problemita 00:06:00
en este problemita me dicen que el ángulo que forman 00:06:06
vale 60 grados, voy a ver la pendiente que tiene la recta R 00:06:09
que recuerdo que la recta R es x menos y igual a 1 00:06:14
me la copio aquí, la recta R es x menos y igual a 1 00:06:18
por lo tanto sería fácil de esta ecuación sacar la ecuación general 00:06:27
simplemente habría que mover el 1 de lado 00:06:34
y esto está en forma general 00:06:39
en forma general os recuerdo que la información que me da 00:06:43
es cuál es el vector normal, el vector normal es el vector 1 menos 1 00:06:48
una vez que conozco su vector normal 00:06:52
yo puedo sacar su vector director haciendo un vector perpendicular 00:06:56
a este, habría que cambiar la componente x con la y 00:07:00
y a una de las dos componentes se le cambia el signo 00:07:04
Por lo tanto, podría decir que el vector director, el director de esta recta R, es el vector 1, 1. 00:07:07
Voy a llamar S a la recta solución que estoy buscando. 00:07:15
Entonces, solución de esta recta, sé que pasa por el punto A, que me lo han dado y vale 1 menos 4, 00:07:26
y sé que forma un ángulo de 60 grados 00:07:35
o sea, el ángulo entre DR y DS 00:07:40
este angulito son 60 grados 00:07:48
vale, bueno 00:07:53
me interesa de esta de aquí, de la R 00:07:57
me interesa también saber su pendiente 00:08:02
la pendiente de la recta R vemos que vale 1 00:08:04
porque sería VI entre VX 00:08:08
por lo tanto igual a 1 00:08:11
vale, ya tengo la pendiente de R 00:08:13
y aquí en la fórmula esta de la tangente 00:08:19
tengo todos los datos menos la pendiente de S 00:08:22
que la voy a calcular ahora mismo 00:08:27
digo que la tangente de alfa 00:08:29
que lo conozco, son 60 grados, me lo han dicho 00:08:33
es igual a la pendiente de S, no lo sé, la quiero calcular 00:08:36
menos la pendiente de R, si lo sé, vale 1 00:08:40
la he calculado antes, igual a 1 más la pendiente de S 00:08:45
que vuelve a ser un dato desconocido 00:08:49
por la pendiente de R 00:08:52
ahora simplemente tengo que despejar de aquí la pendiente de S 00:08:57
os recuerdo que la tangente de 60 es igual a raíz de 3 00:09:19
esto que estoy poniendo aquí es el denominador que lo he cambiado de lado 00:09:25
igual a MS menos 1 00:09:33
vale, si multiplico me queda raíz de 3 00:09:37
perdona, mr lo conozco, esto vale 1 00:09:43
esto es dato 00:09:51
esto lo conozco que vale 1 00:09:53
vale, multiplico raíz de 3 por 1 y raíz de 3 por ms 00:09:57
igual a ms menos 1 00:10:07
sigo despejando, cambiaría las ms a un lado y los términos independientes al otro 00:10:13
y sacando factor común ms me queda raíz de 3 menos 1 00:10:22
todo ello por ms igual a menos 1 menos raíz de 3 00:10:27
así que ms sería igual a menos 1 menos raíz de 3 00:10:33
partido de raíz de 3 00:10:42
menos 1 00:10:46
que esto como no nos gusta que se quede así 00:10:48
lo vamos a racionalizar 00:10:52
multiplicando y dividiendo por el conjugado 00:10:58
y aquí abajo me queda 00:11:03
suma por diferencia, diferencia de cuadrados 00:11:07
por lo tanto me quedaría raíz de 3 al cuadrado 00:11:09
menos 1 al cuadrado 00:11:13
y aquí arriba tendría que hacer la multiplicación de todos por todos 00:11:18
me quedaría menos raíz de 3 menos 1 00:11:23
he multiplicado el menos 1 por todo lo de aquí 00:11:27
y ahora menos raíz de 3 por todo lo de aquí 00:11:30
menos raíz de 3 por raíz de 3 es menos raíz de 3 al cuadrado 00:11:32
que se me va la raíz con el cuadrado 00:11:37
y menos raíz de 3 por 1 me queda menos raíz de 3 00:11:40
así que lo que me quedaría sería 00:11:45
abajo me queda 3 menos 1 que es igual a 2 00:11:50
y arriba me quedaría menos 2 raíz de 3 menos 4 00:11:55
simplifico entre 2 arriba y abajo y me queda menos raíz de 3 00:12:03
menos 2, vale, eso es lo que vale 00:12:09
la pendiente de S, una vez que tengo la pendiente de S 00:12:14
puedo calcular la ecuación 00:12:18
de la recta, porque 00:12:23
será del tipo, por ejemplo, vamos a hacer 00:12:28
la ecuación explícita que sería 00:12:32
I igual a MX más N, vale, pero la M 00:12:36
de la recta S, no de otra 00:12:40
¿vale? entonces aquí solo me faltaría calcular la N 00:12:42
puesto que la X y la Y sé por qué sustituirla 00:12:46
puesto que pasa por el punto 1 menos 4 00:12:50
¿vale? pues cuando X valga 1 y tiene que valer menos 4 00:12:53
pues en la Y pongo menos 4 00:12:58
en la M pongo menos raíz de 3 menos 2 00:13:00
por X que vale 1 00:13:05
más n, si despejamos de aquí la n 00:13:09
me queda menos 4 más raíz de 3 00:13:14
más 2 igual a n 00:13:18
por lo tanto n es igual a 00:13:20
menos 2 más raíz de 3 00:13:27
por lo tanto la recta que buscamos es igual 00:13:31
a menos raíz de 3 menos 2 00:13:35
por x más raíz de 3 menos 2 00:13:40
esto es la n que le he dado la vuelta para poner delante el positivo 00:13:48
y detrás el negativo 00:13:52
esta es la ecuación de la recta que forma un ángulo de 60 grados 00:13:53
con la que me habían dado, esta es la recta que yo he llamado S 00:13:59
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elena Yebra
Subido por:
Elena Y.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
97
Fecha:
3 de febrero de 2022 - 19:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES DOCTOR MARAÑON
Duración:
14′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1364x768 píxeles
Tamaño:
271.32 MBytes

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