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Clase 7-3-2024 Tema 6. Geometría en el espacio - Contenido educativo

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Subido el 7 de marzo de 2024 por Diego R.

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Bueno, pues hoy comenzamos con el último de los temas de este trimestre, 00:00:00
que es la geometría en el espacio. 00:00:04
Ya hemos visto la geometría en el plano en dos dimensiones, 00:00:06
ahora nos vamos a las tres dimensiones. 00:00:09
Y este es el bloque de contenido teórico que tenemos en el aula virtual. 00:00:11
Como en temas anteriores de geometría hay muchas definiciones, 00:00:17
bueno, pues ahí está, podéis leer tranquilamente. 00:00:21
Igual que las fórmulas, vamos a tener una tabla con fórmulas, 00:00:26
Pues ahí está a vuestra disposición, se supone que todo hay que sabérselo, pero con vistas al examen ya os anticipo que yo lo que os pondré serán cosas que sean más de razonar, no tanto de memorizar, es decir, todo aquello que se pueda deducir, principalmente. 00:00:30
Este es el contenido teórico 00:00:46
y en primer lugar 00:00:58
lo que vamos a ver va a ser 00:01:00
un esquema de los cuerpos geométricos 00:01:02
que vamos a ver 00:01:06
Os tiene que sonar que 00:01:07
un cuerpo geométrico 00:01:09
por la definición son aquellos 00:01:12
que están en el espacio 00:01:14
que van a estar delimitados al final 00:01:16
¿Por qué? Por unas caras. 00:01:18
Van a ser unas figuras cerradas delimitadas por unas caras en las tres dimensiones. 00:01:20
Estos cuerpos geométricos se van a clasificar en unos poliedros o bien en unos cuerpos redondos. 00:01:25
¿Dependiendo de qué? Pues de que todas sus caras sean planas. 00:01:31
Pensad en un dado. Un dado es un cubo. 00:01:35
Un dado, por ejemplo, una pirámide, tiene unas caras que delimitan la figura. 00:01:38
Son planas. 00:01:44
O también podemos encontrar unos cuerpos redondos donde no podemos hablar como tal como caras, realmente la definición no es una cara plana, realmente es una figura curva, ¿vale? Pues una esfera, una esfera, una pelota, un cilindro, un cono, ¿vale? 00:01:45
Entonces, en todos los poliedros habrá unas características y unos elementos básicos como son las caras, las aristas, los vértices. 00:02:06
En cambio, en los cuerpos redondos va a haber una altura, pero va a haber unos radios, ¿vale? 00:02:17
Cuando estamos hablando de algo de curva y además cuando está el círculo por medio, pues el radio va a ser importante para el cálculo de áreas o volúmenes, ¿vale? 00:02:22
Porque en los cuerpos geométricos, en el espacio, vamos a poder calcular principalmente cuánto mide un elemento que desconocemos de la figura o también las áreas laterales. En un cilindro, pensar una lata de un refresco. 00:02:34
Si fuera un cilindro exacto, porque siempre tiene la parte de arriba, si fuera un cilindro exacto, pues calcular el área lateral y el área de las bases, de las tapas, abajo y arriba, me permitiría calcular cuál es la cantidad de chapa de metal que tiene esa lata. 00:02:48
en cambio el volumen sería calcular 00:03:05
cuánto líquido puedo echar yo dentro 00:03:08
son dos cosas diferentes 00:03:10
una cosa está en dos dimensiones 00:03:11
porque esa chapa, si yo la corto o la estiro 00:03:13
está en dos dimensiones 00:03:15
en la realidad tiene un poquito de 00:03:17
de grosor, de volumen 00:03:20
pero para hacer ese ejercicio 00:03:21
pensamos en que es una cara 00:03:24
lateral 00:03:26
y el volumen es lo que nos lleva a las tres 00:03:26
dimensiones 00:03:29
antes, previamente, se pueden recordar 00:03:31
algunas definiciones básicas de elementos en el espacio 00:03:34
que no voy a entrar mucho en ello 00:03:36
pero aquí las tenéis, de lo que son las posiciones 00:03:37
relativas en el espacio, por ejemplo 00:03:40
de dos planos 00:03:42
un plano es una superficie 00:03:43
llana, sin relieve 00:03:46
que solo cuenta con dos dimensiones 00:03:48
quizás hasta donde 00:03:51
hemos trabajado antes, cuando hablábamos 00:03:52
de figuras en el plano 00:03:54
dos planos pueden ser paralelos 00:03:55
es decir, nunca se cortan 00:03:59
pueden ser secantes, se cortan 00:04:00
en este caso dos planos se cortan en una recta, o bien pueden ser coincidentes, es decir, al final tienen todos los puntos en común y es el mismo plano. 00:04:02
También podemos ver la posición relativa de una recta con respecto a un plano, igual que antes, la recta puede ser paralela al plano, 00:04:13
puede ser secante o bien puede estar contenida, puede estar dentro de lo que es el propio plano. 00:04:22
Por otro lado, se puede ver la posición también con dos rectas en el espacio. Dos rectas se pueden cortar, se pueden cruzar, porque en el espacio se pueden cruzar. Pueden ser paralelas o también pueden ser coincidentes. 00:04:28
también tenemos distintos 00:04:48
ángulos en el espacio 00:04:50
¿vale? y aquí tenemos definiciones 00:04:53
desde que es un ángulo diedro, un ángulo poliedro 00:04:55
ángulos 00:04:57
cóncavos, convexos 00:04:59
todo esto del ángulo diedro, si es una cosa que se llama 00:05:00
el diedrico, que hace tiempo se usaba 00:05:02
se daba mucho en clase, que era 00:05:04
el dibujo, al final, dibujo técnico 00:05:06
¿vale? que nosotros no vamos a tener 00:05:08
¿vale? pero lo que es el 00:05:11
diedrico, y bueno aquí tenéis 00:05:12
una serie de actividades básicas 00:05:14
con todo esto nos vamos a ir a lo que es un poliedro 00:05:16
un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por polígonos 00:05:20
y los elementos básicos que vamos a tener 00:05:24
son las caras, que al final son las que van a delimitar la figura 00:05:27
las aristas, que es la intersección de dos caras 00:05:32
y por lo tanto van a ser segmentos 00:05:36
por ejemplo de arriba a abajo 00:05:39
y claro, comienza en un vértice y va a terminar en un vértice 00:05:41
Los vértices son las intersecciones de tres o más aristas 00:05:46
Ángulos planos son los que forman dos aristas que convergen 00:05:50
Los ángulos diédricos son los formados por dos caras que son adyacentes 00:05:58
Mirad aquí, el ángulo diédrico, dos caras que son adyacentes 00:06:03
Y el ángulo poliédrico es el que está formado por tres caras 00:06:08
y las diagonales al final 00:06:10
son en este caso segmentos 00:06:15
y los prolongados serían 00:06:18
rectas que unen dos vértices 00:06:19
no consecutivos de una misma cara 00:06:21
o de distintas caras 00:06:23
¿vale? 00:06:25
para entender mejor 00:06:27
cuando una figura es 00:06:29
cóncava o convexa, pues aquí lo veis 00:06:32
con el dibujo, en el cóncavo 00:06:33
es cuando al final, por algún sitio 00:06:35
digamos que la figura se mete hacia adentro 00:06:37
Y ya aquí hay unos ángulos que son más grandes 00:06:39
¿Vale? 00:06:42
Hay en los poliedros 00:06:45
Una fórmula muy importante 00:06:47
Que nos dice que en cualquier poliedro 00:06:48
El número de caras más el número de vértices 00:06:50
Es igual al número de aristas más 2 00:06:52
¿Vale? Esto es lo que se llama el terma de Euler 00:06:54
Entonces si yo sé 00:06:57
De un poliedro cuántas caras tiene 00:06:59
Y cuántas aristas tiene 00:07:01
No hace falta que yo me esté contando 00:07:03
Todos los vértices 00:07:06
Aplicando la fórmula 00:07:07
yo podría resolverlo, imagina que en el examen 00:07:08
yo os digo que un poliedro 00:07:11
tiene, yo os digo 00:07:13
número de caras y el número de vértices 00:07:15
me vengo a la fórmula y digo número de caras 00:07:17
número de vértices, arista 00:07:19
no lo conozco, x, más 2 00:07:21
lo resuelvo 00:07:23
¿vale? 00:07:25
dentro de los poliedros, destacan los que son 00:07:28
los poliedros regulares 00:07:31
¿vale? que son aquellos 00:07:32
donde todas sus caras son en el mismo 00:07:34
polígono ¿vale? 00:07:36
Y son polígonos regulares. ¿Cuáles son? Pues estos cinco. El tetraedro, que tiene cuatro caras que son triángulos donde los tres lados son iguales. El cubo y aquí lo que es el desarrollo plano, es decir, si yo pudiera cortar el plano y extenderlo. 00:07:38
Esto lo habéis hecho más de una vez 00:07:59
Que en un folio tenéis esta figura, la recortáis 00:08:00
Empezáis a doblarla, pegáis las pestañitas 00:08:03
¿Vale? 00:08:06
Y os queda un cubo, un tetraedro, el octaedro 00:08:07
El dodecaedro 00:08:10
Y el icosaedro 00:08:12
El icosaedro tiene 00:08:14
Veinte caras, veinte triángulos 00:08:16
Los tipos de 00:08:19
Poliedros, ¿vale? 00:08:22
Después hemos ido a otras figuras un poco 00:08:23
Más, bueno, por ejemplo 00:08:25
La pirámide 00:08:27
¿Vale? 00:08:28
Esto ya no son regulares. Fijaros, por ejemplo, en la pirámide podéis ver que las caras son triángulos y en este caso me encuentro con que la base que está dibujada es un hexágono. 00:08:31
En una pirámide nos encontramos con que yo tengo unos cuantos triángulos, tres o más triángulos que tienen un vértice en común, que es este vértice de la pirámide. 00:08:41
y luego abajo voy a tener un polígono 00:08:51
este polígono 00:08:56
¿cuántos lados va a tener? 00:08:57
pues tantos como 00:09:00
caras laterales tenga la pirámide 00:09:01
si es una pirámide que tiene 8 caras laterales 00:09:03
pues la base va a ser un octógono 00:09:06
si la pirámide 00:09:07
tiene solo 4 caras laterales 00:09:09
4 triángulos 00:09:11
la base ¿qué va a ser? 00:09:12
un rectángulo o un cuadrilátero 00:09:15
porque no sabemos si 00:09:18
todos los triángulos son iguales o no 00:09:19
habrá pirámides regulares y irregulares 00:09:22
¿vale? el prisma 00:09:24
en el cual al final yo tengo 00:09:26
un polígono y lo levanto 00:09:28
en altura, ¿qué tenemos? 00:09:30
bueno, el tetraedro es un caso particular 00:09:34
donde todos son triángulos 00:09:36
todas las caras, ¿vale? 00:09:37
octaedro, cubo, dodecaedro, eicosahedro 00:09:39
estos son los polígonos regulares que hemos visto antes 00:09:41
¿vale? tenemos los regulares y estos dos 00:09:43
que son los 00:09:45
dentro de los irregulares los más conocidos 00:09:47
¿vale? el prisma y la pirámide 00:09:49
En el prisma, lo que os decía, tenemos un polígono y lo levantamos en altura. Luego vamos a ver cómo se calcula el volumen de estas figuras. Pero mirad, me quedan las dos dimensiones en el plano. Yo puedo calcular cuáles son las áreas laterales, cuánto mide cada una de estas caras laterales. 00:09:51
Si os fijáis en las caras laterales, ¿qué son? 00:10:16
Rectángulos. 00:10:18
Pues si yo conozco cuánto mide el lado de la base del pentágono 00:10:20
y conozco la altura de la figura, yo puedo calcular el área de esta cara. 00:10:26
Si hablamos de un prisma regular, donde lo que es la base es un polígono regular, 00:10:32
todas las caras laterales van a ser iguales. 00:10:37
Pues si yo conozco cuál es el área de una de ellas, las 5 son iguales. 00:10:39
Multiplico por 5 y tengo el área lateral entera. 00:10:43
¿La base? Pues si la base es un polígono regular, su área es perímetro por apotema partido 2. 00:10:46
Si la base fuera un rectángulo, pues el área de la base sería lado por lado. 00:10:55
Se puede calcular el área de la base. 00:11:02
Como son dos, digamos la etapa de abajo y la de arriba, pues habría que multiplicar por dos. 00:11:04
¿Quiero el área total? Pues sumo todas las áreas. 00:11:09
¿vale? 00:11:11
en cambio para el volumen 00:11:13
para calcular el volumen es decir 00:11:15
si yo pudiera hacer un agujerito 00:11:17
y empezar a llenarlo de líquido 00:11:19
y yo digo, oye, ¿cuánto cabe? 00:11:20
¿vale? yo quiero calcular 00:11:23
cuál es el volumen, ¿vale? 00:11:25
en unidades cúbicas, ¿vale? 00:11:27
si aquí lo medimos, imaginar en centímetros 00:11:28
si la longitud del lado 00:11:31
es en centímetros 00:11:34
la del área la damos en centímetros cuadrados 00:11:34
y el volumen 00:11:38
que son las tres dimensiones 00:11:39
Sería centímetros cúbicos elevado a 3, ¿vale? 00:11:41
Bien, ¿qué haría en este caso? 00:11:44
En un prisma regular 00:11:47
Yo calculo cuál es la base, el área de la base 00:11:48
Área de la base 00:11:50
Área de un único, de las dos tapas, de sólo una de ellas 00:11:51
¿Vale? De la de abajo 00:11:55
Y luego, calcular la altura es como si este pentágono se fuera superponiendo hasta llegar arriba 00:11:57
¿Vale? 00:12:03
Si yo conozco la altura, será área de la base por la altura 00:12:05
si yo tuviera 00:12:10
una figura 00:12:13
que no fuera 00:12:16
ni siquiera tan regular 00:12:17
imaginar 00:12:20
para la pantalla 00:12:20
con vistas al sale 00:12:23
tenemos una figura 00:12:28
que yo puedo dar 00:12:30
mediciones, digo bueno pues es que esto mide 00:12:32
esto mide 00:12:37
esto mide 00:12:41
no sé, me meto los datos ahora mismo 00:12:43
¿vale? 12 y 5 00:12:45
bueno, aquí falta calcular 00:12:48
cuánto mide esto, cuánto mide esto 00:12:49
pues sí, restando, pero tú al final puedes 00:12:51
descomponer una figura 00:12:53
en distintas partes 00:12:54
calculo el área de esta figura 00:12:56
la de esta otra, y calculo el área total 00:12:58
esto lo vimos el otro día 00:13:01
imagina que yo digo que sobre esta 00:13:03
superficie, ¿vale? 00:13:05
voy a levantar un prisma 00:13:08
un prisma es que de aquí en altura 00:13:09
levanto 00:13:11
esa L para arriba 00:13:13
¿vale? o esta es 00:13:15
digamos la base de un edificio 00:13:16
ya que a partir de aquí levanto un edificio 00:13:18
de 20 metros de altura 00:13:20
¿cuál es el volumen? 00:13:21
el volumen va a ser el área 00:13:24
de la base, es decir, el área de esta figura 00:13:26
multiplicada por la altura 00:13:29
que tengamos del edificio, no habría que hacer más 00:13:31
¿vale? 00:13:33
a ver 00:13:34
bueno, aquí tenéis que estar 00:13:37
también para descargar en el aula virtual 00:13:39
bueno, las fórmulas 00:13:41
del área y el volumen de todos los cuerpos geométricos 00:13:44
ya os digo que a mi no me gusta 00:13:46
que las memoricéis 00:13:48
lo suyo será 00:13:50
que las podáis razonar, sería lo ideal 00:13:52
por ejemplo en un prisma recto 00:13:54
que la base es un cuadrado 00:13:56
o un rectángulo perdonad 00:13:58
no hace falta que yo me esté 00:14:00
calculando cuál es el área de la base 00:14:02
la altura, perímetro, apotema, según si es un 00:14:04
rectángulo o si es un 00:14:06
pentágono 00:14:08
al final son figuras, yo tengo que sumar las áreas 00:14:09
y para el volumen 00:14:12
que es el área de la base por la altura 00:14:13
un ortoedro 00:14:15
estos son rectángulos 00:14:18
todas las caras laterales, es un caso particular 00:14:19
de prisma 00:14:22
un rectángulo que lo levanto en altura 00:14:24
a ver, aquí me viene una fórmula 00:14:26
que me puede aprender, dice dos veces A por B 00:14:28
A si, es que de mirar 00:14:30
es que resulta que 00:14:31
A por B es como el rectángulo de aquí de la base 00:14:33
este que ves aquí 00:14:36
y yo tengo dos, el de abajo y el de arriba 00:14:37
pues dos veces A por B 00:14:40
no os memoricéis estas fórmulas 00:14:41
se razonan 00:14:43
cuántas caras tengo y voy calculando 00:14:44
el área de cada una de ellas y luego al final lo sumo 00:14:47
¿vale? en cambio 00:14:49
el volumen, fijaros, área de la base 00:14:50
la base es un rectángulo de lados A y B, A por B 00:14:53
y lo multiplico 00:14:55
por la altura, la altura en este caso es 00:14:57
esta otra lista que mide C 00:14:58
pero es lo mismo, área de la base por la altura 00:15:00
¿vale? 00:15:03
es decir que esto 00:15:05
no quiero que os lo aprendáis de memoria 00:15:06
no os va a aportar nada 00:15:08
¿vale? y es mejor 00:15:10
razonarlo 00:15:12
luego tenemos las pirámides 00:15:13
que las vamos a ver ahora después, pues igual aquí están las fórmulas 00:15:16
el cilindro, el cono 00:15:18
la esfera, ¿vale? está todo 00:15:20
en el aula virtual 00:15:22
bueno, aquí tenemos 00:15:24
casos con prototiprima según la base 00:15:29
si es triangular, cuadrangular, pentagonal 00:15:32
o incluso alguno que es 00:15:34
oblicuo, ¿vale? por ejemplo 00:15:36
esta figura que es como las torres Kiu 00:15:38
por ejemplo, ¿vale? 00:15:39
bueno, aquí vemos que para 00:15:42
calcular el área y el volumen 00:15:44
como se hace, o la fórmula del área, como sale 00:15:46
área de lateral más dos veces área de la base 00:15:48
que el volumen es área de la base 00:15:50
por la altura, lo que ya os he dicho antes 00:15:52
¿vale? y aquí explica un poquito más 00:15:53
los tipos de prismas, ¿vale? 00:15:59
su desarrollo 00:16:01
esto para verlo con calma 00:16:02
¿vale? 00:16:04
o entender lo que os decía, de que para calcular el volumen 00:16:06
es como si esa base, en este caso 00:16:09
el pentágono, yo fuera poniendo distintas capas 00:16:11
una encima de otra, entender el porqué 00:16:13
de las cosas, ¿vale? 00:16:15
La pirámide, que ya la hemos definido antes, ¿vale? Aquí la tenemos en imagen. 00:16:16
Y uno de los elementos nuevos es el apotema de la pirámide, ¿vale? 00:16:22
El apotema de la pirámide es el segmento que va desde el vértice hasta el punto medio del lado de la base, ¿vale? 00:16:30
Es el apotema, ¿vale? 00:16:41
De aquí, de la cara lateral de la pirámide, ¿vale? 00:16:44
¿Eh? 00:16:50
El círculo es otra cosa. 00:16:50
Luego, la altura de una pirámide nos va a ir desde el vértice. 00:16:58
Si yo desde el vértice dejo caer, imaginaos una cuerda con una piedra a plomo, 00:17:03
va a caer perpendicular, en este caso al suelo, pues va a perpendicular al suelo esta altura, ¿vale? 00:17:09
aquí tenéis 00:17:14
igualmente, bueno, distintos dibujos 00:17:17
según si la base de la pirámide 00:17:19
es triangular, cuadrangular, pentagonal 00:17:21
pueden ser también oblicuas 00:17:23
y aquí viene 00:17:25
explicado 00:17:27
de cómo se puede obtener 00:17:28
el área, el área de la pirámide 00:17:31
el área central va a ser el área de la base 00:17:33
que depende de la figura que tengamos 00:17:35
puede ser un cuadrado, un pentágono, un hexágono 00:17:37
y luego vamos a tener 00:17:39
el área lateral 00:17:41
la de todos esos 00:17:42
triángulos 00:17:44
bueno 00:17:45
la fórmula del área lateral 00:17:47
¿cuál va a ser? 00:17:50
en este caso 00:17:53
aquí viene una de ellas que es el perímetro por la altura 00:17:54
partida 2 00:17:56
es una de ellas 00:17:57
no lo he compartido bien en la pantalla 00:17:58
cambiate cuando puse la fórmula 00:18:06
y no se ha visto 00:18:08
perdonar a los que vean luego el vídeo 00:18:09
Bueno, todas estas imágenes que están aquí de la pirámide 00:18:12
Están en la aula virtual, ¿vale? 00:18:16
Nos ha visto en la pantalla 00:18:18
Bueno, llegábamos aquí, ¿vale? 00:18:20
Donde tenemos todas las fórmulas 00:18:23
Pues tenemos también que el área lateral es 00:18:27
El perímetro de la base por el apotema partido 2 00:18:29
Perímetro de la base por el apotema partido 2 00:18:35
aquí viene el volumen 00:18:41
la base por altura, distintos tipos de pirámides 00:18:44
troncos de pirámides 00:18:46
no vamos a ver 00:18:48
pero el tronco de pirámides es que le cortamos un trozo 00:18:49
de la parte digamos superior donde está el vértice 00:18:51
y aquí viene todo esto desarrollado 00:18:53
esto es más complejo 00:18:56
no lo vamos a ver con vistas al examen 00:18:57
y los poliedros 00:19:01
semi-regulares 00:19:03
pues igual aquí tenemos muchos casos 00:19:04
mucha casuística 00:19:06
y bueno unos ejemplos 00:19:07
pues si queréis verlos tranquilamente. Cuerpos de revolución. Los cuerpos de revolución 00:19:10
son los que se forman al girar una figura plana alrededor de una recta o de un eje. 00:19:15
Los tres principales son el cilindro, el cono y la esfera. El cilindro se consigue al girar 00:19:22
un rectángulo 00:19:33
sobre uno de sus lados 00:19:35
¿vale? eso con un folio se ve muy bien 00:19:37
porque es un folio 00:19:39
si aquí la solución de los ejes se queda 00:19:40
¿vale? 00:19:42
¿qué tenemos? pues nos da lugar 00:19:45
a esta figura que tengo 00:19:47
un círculo abajo y otro arriba 00:19:48
esas son las bases y una superficie lateral 00:19:50
pero la superficie lateral 00:19:53
realmente 00:19:55
va a ser como si fuera un folio 00:19:56
va a ser un rectángulo 00:19:59
este área lateral 00:20:01
¿vale? si tú pudieras cortarlo 00:20:04
eso 00:20:06
es un rectángulo 00:20:07
¿por qué? porque mirad 00:20:10
lo que es 00:20:12
la parte de abajo 00:20:14
o sea, si esto es una cinta que yo corto y estiro 00:20:16
es todo el borde de la circunferencia 00:20:18
de la base 00:20:20
la longitud de la circunferencia 00:20:21
es 2 por pi por el radio 00:20:24
pues este lado, el largo es 00:20:26
2 pi r, 2 pi r es esa longitud 00:20:28
Y el otro lado es la altura, la altura del cilindro por la altura 00:20:30
Pues el área lateral es 2πr por h, lado por lado, área de un rectángulo 00:20:35
Las tapas, las bases, son círculos 00:20:39
Su área, π por el radio al cuadrado 00:20:42
¿Qué yo quiero calcular el volumen? 00:20:45
Pues como antes va a ser área de la base, área del círculo por la altura 00:20:48
¿Vale? Área de la base, π por el radio al cuadrado 00:20:51
Y multiplicado por la altura 00:20:54
Aquí tenéis también las fórmulas del cilindro. 00:20:57
El cono se consigue al hacer girar un triángulo sobre uno de sus lados. 00:21:04
Aquí lo veis. 00:21:10
Y uno de sus elementos nuevos o característicos es este, que está aquí de color amarillo, que se llama generatriz. 00:21:12
Es decir, de este lado que parte de lo que va a ser el vértice. 00:21:19
Y aquí hay un triángulo rectángulo. 00:21:27
Esto quiere decir que en ese ejercicio, si yo requiero conocer estos tres elementos, 00:21:30
el radio de abajo de la circunferencia, la altura del cono y la generatriz, 00:21:35
si yo conozco dos, el tercero de los lados lo puedo calcular usando el teorema de Pitágoras. 00:21:43
Eso hace que el ejercicio pueda complicarse un poco más, porque no tienes todos los datos. 00:21:52
y tienes que calcular el profalte usando 00:21:55
el teorema de Pitágoras 00:21:58
bueno, aquí tenéis el desarrollo 00:21:59
y la fórmula del área 00:22:01
que el área lateral va a ser 00:22:03
por un lado, el área de la base 00:22:05
el área total 00:22:08
es el área de la base 00:22:10
más el área lateral 00:22:11
que el área lateral es pi por el radio 00:22:13
por la generación 00:22:16
porque esto no llega a ser toda una circunferencia 00:22:17
¿vale? 00:22:19
y el volumen, ¿cuál sería en este caso? 00:22:21
el área de la base por la altura 00:22:23
pero partido 3 00:22:25
partido 3 porque aquí 00:22:27
si os dais cuenta 00:22:29
en el área de la base 00:22:30
cuando lo subo en altura 00:22:32
no obtengo todo 00:22:35
no como cilindro 00:22:36
en la esfera 00:22:37
se consigue 00:22:41
al hacer girar 00:22:43
una semicircunferencia 00:22:44
sobre su 00:22:47
diámetro 00:22:49
el área 00:22:50
4 por pi por el rededor cuadrado 00:22:52
el área de la esfera y el volumen 00:22:55
4 tercios por pi 00:22:57
por el radio al cubo 00:22:59
ya que estamos con la 00:23:01
esfera, vamos a ir a una aplicación 00:23:04
concreta que es la esfera terrestre 00:23:07
esto posiblemente 00:23:10
lo hayáis visto en el ámbito 00:23:11
social, a nivel 1 00:23:13
o en el nivel 2 00:23:15
y las coordenadas geográficas 00:23:17
la Tierra realmente 00:23:19
no es una esfera 00:23:22
siempre se dice que está achatada por los polos 00:23:23
pero es más irregular todavía 00:23:26
y realmente tiene una forma que se llama de geoide 00:23:27
vamos a suponer 00:23:29
que la Tierra es una esfera perfecta 00:23:31
¿vale? 00:23:34
hay algo que conoces todos, la longitud y la latitud 00:23:37
el ecuador 00:23:40
los paralelos 00:23:41
los trópicos 00:23:43
todo eso lo habéis visto 00:23:45
en una esfera vamos a poder dibujar 00:23:46
lo que se llama unas circunferencias máximas 00:23:50
y unas circunferencias menores 00:23:52
o unos círculos máximos 00:23:54
¿vale? bien, mirad 00:23:56
en la figura se ve mejor 00:23:58
yo puedo dibujar 00:23:59
unos círculos de toda la esfera 00:24:02
unos círculos que pasen por los polos 00:24:04
¿vale? 00:24:06
por arriba, va para abajo 00:24:08
y continúa por detrás 00:24:10
¿vale? es como si cuando coges una moneda 00:24:11
la pones en la mesa y la haces girar 00:24:14
que gráficamente se ve o visualmente se ve 00:24:15
esa esfera mientras se mueve 00:24:18
Bien, pues el lado que no está apoyado de la moneda, ¿vale? 00:24:20
Esto sería, ¿lo veis? 00:24:28
Por otro lado, tenemos otros círculos, ¿vale? 00:24:31
Todos los que pasan por los polos son círculos máximos, ¿vale? 00:24:34
Porque este círculo se hace girar, consigues toda la figura. 00:24:40
lo mismo nos sucede 00:24:45
¿vale? con otro círculo máximo 00:24:47
que no pasa por los polos que es el del ecuador 00:24:50
que está en el centro 00:24:52
¿vale? 00:24:53
pero luego existen otros que son paralelos 00:24:56
paralelos al del ecuador 00:24:58
hacia arriba ¿vale? 00:25:00
como si yo tuve un plano, voy subiendo, voy cortando 00:25:02
pues los cortes cada vez son más 00:25:04
pequeñitos en los círculos 00:25:06
¿vale? una naranja no es lo mismo 00:25:07
que la parte por la mitad 00:25:10
así la parte es por arriba 00:25:11
Pues al final lo que has cortado menos y te sale más pequeñito. 00:25:13
Esto nos va a dar lugar a la longitud y a la latitud. 00:25:18
La latitud va a ser si estamos más arriba o más abajo. 00:25:26
Y eso nos va a dar lugar a lo que se llaman los paralelos. 00:25:33
Por ejemplo, sobre el ecuador, si yo voy hacia arriba por uno de estos círculos máximos o hacia abajo, 00:25:36
Yo voy a ver cuál es la latitud 00:25:42
¿Cuántos grados? 00:25:45
En este caso de 0 a 90 00:25:47
Hacia arriba, norte o hacia abajo, sur 00:25:48
¿Vale? 00:25:50
El punto P, como voy hacia arriba 00:25:52
Va a ser una latitud norte 00:25:53
En este caso me dice que es 45 grados 00:25:55
¿Vale? 00:25:57
Si fuera hacia abajo sería sur 00:25:59
Por otro lado 00:26:00
Dentro de todos estos círculos 00:26:03
Que vienen del polo norte hacia el polo sur 00:26:05
¿Vale? 00:26:08
Son los que se van a llamar meridianos 00:26:09
Y el paralelo son los horizontales. De los meridianos hay uno que es el que vamos a usar como referencia. Igual que de los paralelos, de estos círculos horizontales, cogemos como referencia el Ecuador, aquí vamos a coger el que pasa por Greenwich, el Observatorio Astronómico de Greenwich. 00:26:11
Y se llama Meridiano de Greenwich, que pasa por España, que pasa por la provincia de Zaragoza, que pasa por Alicante, por tenerlo de referencia. 00:26:31
Y a partir de ahí vamos a contar la longitud a su derecha y a su izquierda. 00:26:42
Longitud oeste-oeste. Bueno, hacia la derecha es el este y hacia la izquierda será oeste. 00:26:50
Es más 00:26:57
Hasta 180 00:26:58
Mira 00:27:05
Estas rayitas 00:27:06
Esto ya me voy al plan 00:27:09
Estas rayitas que veis aquí 00:27:10
De arriba a abajo en negro 00:27:13
No dejan de ser 00:27:15
Algunos meridianos 00:27:17
Claro, realmente la circunferencia 00:27:20
Tiene 360 grados 00:27:21
Si yo me pongo a dividir, bueno, tengo hasta 360 grados 00:27:23
Y esos grados tendrán sus minutos, sus segundos 00:27:25
¿Vale? 00:27:27
Entonces todas las 00:27:29
Esas círculos máximos 00:27:31
Que yo digo dibujen 00:27:34
Son meridianos 00:27:35
Bien, este que está aquí punteado 00:27:37
De color rojo es el meridiano de Greenwich 00:27:39
¿Vale? 00:27:42
¿Qué sucede? 00:27:43
Esto lo vamos a usar también para conocer 00:27:45
Los usos horarios 00:27:47
¿Vale? 00:27:48
Los usos horarios son las horas 00:27:50
Y sabéis que cuando nos movemos de países 00:27:52
cambian las horas 00:27:55
¿con qué criterio? 00:27:56
a ver 00:27:59
os cuento lo que es la teoría 00:28:00
luego ya cada país ha hecho lo que ha considerado oportuno 00:28:02
¿vale? aquí veis del mismo color 00:28:05
los países que tienen la misma hora 00:28:07
¿vale? pero la cosa está que 00:28:08
el día 00:28:11
perdón, el día 00:28:12
el día tiene 24 horas ¿no? 00:28:13
¿sí? 00:28:17
¿y la circunferencia cuántos grados tiene? 00:28:19
360 00:28:22
bueno, pues yo digo 00:28:22
Cuando yo me vaya moviendo, yo quiero que si yo me voy moviendo a lo largo de todas las circunferencias de la Tierra, cuando yo doy una vuelta entera, digamos que hayan transcurrido como 24 horas cambiando de los usos. 00:28:24
Pues voy a dividir lo que es 00:28:41
Todo el 00:28:43
Voy a hablar del plano porque lo que tenemos aquí 00:28:44
Lo que es la versión plana de la Tierra 00:28:46
¿Vale? Voy a dividir la Tierra 00:28:49
En 24 usos horarios 00:28:51
En cada uno de ellos es una hora más 00:28:52
Donde yo comience, al siguiente es una hora más 00:28:55
Más uno, más dos, más tres 00:28:57
Claro, cuando yo dé la vuelta entera 00:28:59
La diferencia que va a ser 00:29:00
Pues un día 00:29:01
Que de hecho la hora, no sé si sabéis que 00:29:03
Donde dicen en Navidades 00:29:06
A lo mejor en Año Nuevo que comienza 00:29:08
el año, el primer país donde comienza 00:29:10
en Australia 00:29:12
pues, tomamos como referencia 00:29:14
para la hora Australia y a partir de ahí 00:29:17
empieza a correr, claro, en el uso 00:29:18
horario anterior va a tardar casi 00:29:20
un día 00:29:22
en que sea año nuevo 00:29:23
¿vale? bueno 00:29:26
la cosa viene que para ver cuál es la 00:29:28
y con vistas a los ejercicios 00:29:30
¿cuántos grados 00:29:32
hay entre cada uno de estos 00:29:36
usos horarios? 00:29:38
Si yo tengo 360 grados, a ver si aquí está desarrollado, vamos a ver, creo que aquí venía, no sé si aquí me he explicado o no. 00:29:40
Los 360 grados que tenemos lo vamos a dividir entre las 24 horas, porque yo quiero 24 zonas, y me da 15 grados. 00:30:02
Luego, cada una de estas regiones, ¿vale? Cada una de esas regiones, entre cada 15 grados tengo un usuario. 00:30:09
yo podría pensar que si, bueno, pues entre el 0 y el 15 00:30:19
entre el 15 y el 30 en cuanto a grados 00:30:22
pero no, y por eso os pongo 00:30:24
este plan, ¿vale? 00:30:26
que esto es lo que hace que sea un pelín más complicado 00:30:28
este plan 00:30:30
si os fijáis, el uso nuestro, el de España 00:30:31
la línea discontinua 00:30:34
que es los 0 grados 00:30:36
meridiano de Greenwich, está en mitad 00:30:38
del uso, ¿os dais cuenta? 00:30:40
¿sí? vale, que ya va 00:30:43
de 15 en 15 grados 00:30:44
pero no va del 0 al 15 00:30:46
Realmente va de 7 grados y medio 00:30:47
Oeste a 7 grados y medio 00:30:51
Oeste 00:30:54
De 7 y medio a 7 y medio 00:30:54
¿No? 00:30:56
Si yo me vengo hacia la derecha, hacia Europa 00:30:57
Diría, vale, pues de 00:30:59
Si a la derecha de Greenwich es el 7 y medio 00:31:01
El siguiente va a ir de 7 y medio más 15 00:31:04
Pues de 7 y medio a 22,5 00:31:06
A 22,5 00:31:08
¿Cómo vamos a hacer ejercicios? 00:31:09
Que nos vamos a encontrar ahora 00:31:12
Mirad, y aquí viene un poco 00:31:14
el criterio que tenemos que tener, mirad, este 00:31:16
dice 00:31:18
a ver, que en pantalla ya no sé lo que tengo 00:31:19
mostrando 00:31:22
estaba mostrando este 00:31:26
ahora me lo voy a ir 00:31:27
nos dice, la ciudad A 00:31:29
tiene una longitud de 123 grados 00:31:34
oeste, y la ciudad B 00:31:36
23 grados 00:31:38
este 00:31:40
la ciudad B 00:31:41
como es este, va a la derecha 00:31:43
de Greenwich 00:31:46
digamos que si nos estamos mirando el plano 00:31:47
Cuando miramos a España, pues la ciudad B tiene que estar hacia Italia, para allá, a la derecha, porque el este, tú piensas, el norte está arriba, el sur está abajo y el este a la derecha, oeste a la izquierda. 00:31:50
En lo que es el plano, el este va aquí hacia la derecha y el oeste hacia la izquierda, ¿vale? A partir de aquí, ¿vale? Y estos son los puntos cardenales, norte, sur, este y oeste, ¿vale? 00:32:06
entonces, claro, sobre esta línea roja 00:32:24
23 grados, este, pues para acá 00:32:26
el otro era 120 00:32:27
o 120 algo 00:32:30
o este, pues me tengo que venir para acá 00:32:32
120 grados, claro 00:32:34
yo tendría que ver cuántas regiones 00:32:36
atravieso 00:32:38
¿vale? 00:32:39
entonces aquí me dice que, yo tengo dos ciudades 00:32:42
me da cuáles son, en este caso 00:32:44
la longitud de ambas de ellas 00:32:46
dice, calcula la hora que es en la ciudad B 00:32:47
cuando en la ciudad A 00:32:50
son las 10 horas 00:32:52
da igual que me digan las 10 horas 00:32:54
que las 18 horas 00:32:56
yo lo que necesito saber es 00:32:57
cuál es la diferencia horaria 00:32:59
entre Barcelona y Boston 00:33:01
eso es lo que yo necesito saber 00:33:04
en estos ejercicios 00:33:07
yo no voy a trabajar con lo que tenemos en el reloj 00:33:09
voy a trabajar con la hora según el uso horario 00:33:11
según el uso horario 00:33:14
no si el país 00:33:15
le suma una hora más, una hora menos 00:33:17
porque es verano, porque es invierno 00:33:19
o porque en Europa se ha decidido 00:33:20
pues que al final casi todos los países 00:33:23
bueno, de Europa Central 00:33:25
mantienen el mismo horario 00:33:27
veis aquí 00:33:28
que comparta 00:33:30
en el mapa 00:33:32
se ven del mismo color los países que tienen el mismo horario 00:33:34
fijaros que toda esta parte de Europa 00:33:37
todas tienen el mismo horario 00:33:39
y aquí hay distintos usos 00:33:40
¿vale? 00:33:44
incluso dentro del mismo uso 00:33:45
está el Reino Unido 00:33:47
Francia y España 00:33:48
y sin embargo sabéis que en el Reino Unido 00:33:50
es una hora menos, que realmente es la que a nosotros nos correspondería. Pero, bueno, 00:33:52
por distintas razones se ha decidido, o se decidió que no, que tuviéramos la hora más 00:33:59
de Francia, de Alemania, que esto tiene su contexto histórico, ¿vale? Que no sé de 00:34:05
aquí donde lo hablemos. Luego ya nos gustará más o no por cultura también, ¿vale? Pero 00:34:09
que veáis que deberíamos de tener la misma hora. Entonces, en los ejercicios no vamos 00:34:17
olvidar de esa digamos unidad de mantener la misma hora porque además muchas veces no puedes 00:34:20
hacerlo justo porque pasa una línea de un meridiano tú tienes que ver también tus fronteras mirar en 00:34:27
eeuu en zonas cuadradas pero será también por las regiones que hay entonces en nuestro caso 00:34:31
Yo tengo que ver cuántas regiones hay 00:34:44
¿Vale? 00:34:46
Y mirad, esta frase es importante 00:34:50
Que la tengáis en cuenta 00:34:51
Vamos a dividir las longitudes 00:34:53
Entre 15 00:34:56
Porque son grupos de 15 00:34:57
Para saber 00:34:59
Desde el meridiano de Greenwich 00:35:01
Cuánto mido hacia la izquierda o hacia la derecha 00:35:03
Yo voy a dividir entre 15 00:35:05
Y si el resto 00:35:06
Es menor de 7 grados 00:35:09
Y 30 minutos 00:35:12
¿Vale? O de 7 y medio 00:35:13
En ese caso, el cociente es la diferencia de uso de horarios de cada ciudad con el mediano. 00:35:15
La cosa viene aquí. 00:35:25
Si es menor, ese resto lo omito. 00:35:27
En cambio, si el resto es mayor que 7,5, entonces hay que sumar una unidad al cociente. 00:35:33
Mira, 123 grados. Si yo divido 123 grados entre 15, me va a dar de cociente 8 y de resto 3. 00:35:40
aquí, me dice 00:35:51
una ciudad tiene 123 grados 00:35:56
longitud oeste 00:35:58
entonces, el 123 00:36:00
123, yo lo divido 00:36:02
entre 15, me da 00:36:07
8 y de resto 3 00:36:08
¿vale? 00:36:10
yo ya sé que atraviesa 00:36:12
8 usos 00:36:14
8 usos, ¿vale? 00:36:16
pero me fijo a este 3, ¿vale? 00:36:18
Si lo pongo en el examen 00:36:20
Bueno, al final va a ser 00:36:22
O 7 o 8, no vamos a estar con el 7,5 00:36:25
No os voy a poner minutos, va a ser números 00:36:28
Ahí exactos 00:36:29
Como este número es más pequeño que 7,5 00:36:31
Estos son 00:36:33
Usos, ¿vale? 00:36:37
Son 8 00:36:39
El otro era 00:36:39
¿Cuántos usos era? 00:36:41
Grados 23, que era un A 00:36:44
23 grados, pues 23 grados 00:36:45
lo divido entre 15, me da 1 00:36:48
y del resto me da 8 00:36:50
¿8 mayor que 7,5? 00:36:52
sí, pues aquí son 00:36:54
dos usos 00:36:56
son dos regiones de estas, sí, como dos horas 00:36:57
luego, ¿cuál va a ser la 00:37:03
diferencia? 00:37:04
en total 00:37:07
desde medidas de Greenwich son 00:37:07
8 por un lado y 2 por el otro son 00:37:10
10 horas, la diferencia son 10 horas 00:37:12
pues entre esos dos lugares 00:37:14
hay 10 horas de diferencia 00:37:17
¿Qué hacemos? 00:37:19
La diferencia horaria entre I y B es de 10 horas 00:37:22
Pues se suma 00:37:24
A ver, que luego compartas 00:37:25
Se suma, es de 10 horas 00:37:28
Luego en B son, en vez de las 10 00:37:30
Pues 10 más 10 00:37:32
20 horas 00:37:34
20 horas porque, mirad 00:37:35
Digo, vale, la diferencia son 10 horas 00:37:37
En vez de la ciudad son las 10 horas 00:37:39
Y en la B va a ser 00:37:43
10 horas más o 10 horas menos 00:37:44
Las 10 es 00:37:46
en la ciudad B, la ciudad B es la que está 00:37:48
y dice 00:37:50
calcula la hora en B cuando en la ciudad 00:37:52
A son las 10, la ciudad A 00:37:54
es longitud oeste, a la izquierda 00:37:56
del mapa, vale 00:37:59
y la B es este, a la derecha 00:38:00
del mapa, tal como yo me voy 00:38:03
hacia la izquierda, son menos 00:38:05
horas, y tal como voy 00:38:07
hacia la derecha, son más horas 00:38:09
en el plano 00:38:10
para entenderlo 00:38:11
son 10 horas menos 00:38:13
en la ciudad B 00:38:16
no, en Ciudad B son más horas 00:38:18
estamos en España, ¿vale? 00:38:19
si yo me voy 00:38:23
hacia Estados Unidos o a Sudamérica 00:38:23
o me voy de viaje 00:38:26
son menos horas 00:38:27
¿vale? a lo mejor 00:38:29
si para acá son 5 00:38:31
usos horarios, pues son 5 horas menos 00:38:33
en cambio si me voy hacia la derecha 00:38:36
me voy desde España hacia Rusia 00:38:38
son más horas, claro 00:38:40
es que el sol sale por el este y se va por el oeste 00:38:42
amanece antes por el este 00:38:45
Por eso es más 00:38:46
Entonces como me dicen que son las 10 de la mañana 00:38:48
En la ciudad B, que andará por aquí 00:38:50
Para ser exacto dice 8 usos horarios 00:38:52
Pues en el 8, fijaros, andará por aquí 00:38:55
¿Vale? 00:38:57
En la otra ciudad que está por aquí 00:39:00
Hacia la zona de Italia, pues fijaros 00:39:02
Son más horas 00:39:04
En Italia va a ser 10 horas más 00:39:05
¿Que hubiera sido al revés? 00:39:08
Os digo que son las 10 de la mañana 00:39:10
En un lugar de longitud este 00:39:11
En el otro, ¿cuánto será? 00:39:14
menos horas, habrá que restarlo 00:39:16
pero aquí la clave 00:39:17
es que yo divido entre 15 00:39:19
y me fijo en los restos 00:39:23
si el resto es 00:39:24
menos de 7 y medio 00:39:26
me olvido del resto 00:39:28
si el resto es superior 00:39:30
a 7 y medio, es que se ha saltado 00:39:32
al siguiente uso horario 00:39:34
eso 00:39:35
esto viene aquí explicado 00:39:36
y la explicación es para ver que 00:39:39
ese 7 y medio es la meridiana de Greenwich 00:39:41
y 7 grados y medio a la derecha y a la izquierda. 00:39:44
¿Vale? 00:39:48
Por eso se contempla lo de los 7 y medio. 00:39:49
¿Vale? 00:39:51
En el examen perfectamente os podría poner 00:39:53
tenemos dos ciudades con 00:39:55
longitudes, las que correspondan. 00:39:56
¿Vale? 00:39:59
¿Cuál es la diferencia horaria entre ellas? 00:40:01
O en una de ellas son las 00:40:03
5 de la tarde, ¿qué hora es en el otro? 00:40:04
Pero la clave es calcular 00:40:07
la diferencia horaria. 00:40:08
¿Vale? 00:40:11
Cogemos las dos longitudes y dividimos 00:40:12
entre 15 00:40:14
miramos los restos 00:40:15
si es mayor o menor que 7,5 para sumar 00:40:18
uno o no sumarlo 00:40:20
y luego, si uno es longitud este 00:40:21
y el otro es longitud oeste, se suma 00:40:24
pensar que os doy dos países 00:40:26
que estén al este 00:40:28
os doy dos usos que correspondan 00:40:29
con la India, uno sea la India 00:40:32
y el otro está en Alemania 00:40:34
los dos son este 00:40:36
bien, pues no tengo que sumar 00:40:38
los dos usos 00:40:39
porque los dos están en el este, tendré que restar 00:40:41
al grande y al pequeño 00:40:43
porque si uno está en el uso 6 00:40:46
del este y otro en el 2 del este 00:40:48
realmente son 4 lugares 00:40:50
lo que le separa 00:40:51
6 menos 2, 4, ¿vale? 00:40:53
Claro, pero si los dos 00:40:57
los dos países están en el este 00:40:58
uno va a estar en el uso horario 2 00:41:00
y otro en el uso horario 6 00:41:02
¿pero cuánto le separa? 00:41:04
6 menos 2, 4, 4 horas 00:41:06
no es lo mismo que yo tenga 00:41:08
6 al este y 2 al oeste 00:41:10
porque se ve nuestra referencia 00:41:12
aquí de Greenwich, si yo lo estoy mirando 00:41:14
en el mapa son 6 a la derecha 00:41:16
y 2 a la izquierda, y 6 más 2 00:41:18
por simplificarlo así 00:41:21
así sería 00:41:34
bueno, aquí también se habla un poquito también 00:41:35
de los mapas 00:41:48
entonces si pasa de 7 y medio 00:41:50
le vas a sumar 1 00:41:53
Bueno, de los mapas, sobre todo, aunque aquí vienen cosas explicadas y distintos tipos de mapas, un mapa no deja de ser una proyección sobre una superficie plana. 00:41:54
Eso va a hacer que haya siempre unas distancias que no van a ser exactas. Eso quiere decir que va a haber deformaciones. 00:42:09
Cuando tú ves el típico mapa mundi 00:42:16
Hay países que parecen que son muy muy grandes 00:42:19
Y luego no son tantos 00:42:22
No tienen tanta región 00:42:24
Simplemente es esa proyección 00:42:25
Tal como estés más pegado 00:42:26
Con la proyección mercatoria 00:42:29
Que es la más habitual 00:42:31
Más pegado a los ponos 00:42:32
Más grande se va a hacer 00:42:34
Y eso se ve aquí 00:42:37
Fijaros 00:42:39
Tan grande puede ser toda esta región 00:42:40
cuando realmente 00:42:43
si os fijáis en lo que es la circunferencia 00:42:46
es donde menos reacción hay 00:42:48
arriba 00:42:50
en lo que es una esfera 00:42:52
¿vale? esto hace que haya una pequeña distorsión 00:42:54
existen distintas proyecciones 00:42:57
¿vale? 00:42:59
esta es la clásica 00:43:01
la más conocida pero 00:43:03
podríamos ver, fijaros 00:43:04
esta otra proyección, como cambia totalmente 00:43:06
y la zona de Europa se ve súper chiquitita 00:43:08
¿vale? 00:43:10
son mapas que bueno se puede haber usado o una proyección cónica también la forma por aquí que 00:43:12
sepáis que existen distintas formas digamos de de hacer estas proyecciones una se usará por más 00:43:18
porque tengan más sentido sobre todo a nivel cartográfico por ejemplo vale pero al final 00:43:25
la tradicional es esta es la que más conocemos pero bueno un poco también para que sepamos de 00:43:31
cómo funciona. Aquí tenéis enlaces al desarrollo de los cuerpos, las fórmulas de los cuerpos 00:43:37
geométricos, aquí tenéis todas las fórmulas y para ampliar aquí un poquito también de 00:43:44
geometría dinámica y con actividades para poder jugar y aquí nos habla un poquito más 00:43:51
de los cuerpos geométricos y volúmenes con actividades interactivas. Y con esto quedaría 00:43:57
visto lo que es el temario de este segundo trimestre. Y finalizamos el bloque de la geometría. 00:44:04
Subido por:
Diego R.
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Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
7 de marzo de 2024 - 20:22
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB SIERRA NORTE
Duración:
44′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
384.52 MBytes

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