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DISCUSIÓN de un Sistema que dependen de un PARÁMETRO - Contenido educativo

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Subido el 14 de marzo de 2021 por Esteban S.

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Hola, ¿qué tal estáis alumnas y alumnos del segundo bachillerato? 00:00:03
Estamos aquí para hacer un problema muy importante, muy importante. 00:00:08
Este problema es muy importante por dos motivos. 00:00:12
Uno, porque para resolver bien este problema hay que entender perfectamente 00:00:15
muchísimos conceptos que habéis aprendido de matrices, de determinantes y de sistemas de ecuaciones. 00:00:20
Y el otro motivo es que precisamente por lo que acabo de decir, este problema aparece muchísimas veces, por no decir casi siempre, o por no decir siempre, en los exámenes. 00:00:29
El problema consiste en discutir un sistema que depende de un parámetro M. 00:00:44
Os recuerdo que un parámetro M es un valor, es una letra en este caso, que puede tomar el valor que vosotros queráis. 00:00:51
En este caso pertenece a R. 00:01:02
Así que este sistema de aquí, en verdad, son infinitos sistemas. 00:01:04
Un sistema es este sistema sustituyendo la M por 5, otro por 7, otro por menos 2 y otro por raíz de 5. 00:01:08
Hay infinitos sistemas. 00:01:15
Y discutir el sistema, ya sabéis también que discutir el sistema es decir, si va a tener solución o no, es decir, si es compatible o incompatible, y en el caso de que sea compatible, decir si tendrá una solución, determinado, o infinitas soluciones, indeterminado. 00:01:16
Pero todo esto sin resolver el sistema, esa es la gracia de discutirlo, que es averiguar esto sin resolverlo. 00:01:37
Bueno, sabemos que la discusión se basa en el estudio de dos matrices, ¿sí? 00:01:46
La matriz A, que es la matriz de los coeficientes, y la matriz ampliada. 00:01:51
Y lo único que hay que estudiar de estas dos matrices no es otra cosa que el rango. 00:01:56
Así que todo se reduce a estudiar el rango de A y el rango de la matriz ampliada. 00:02:02
Vamos a empezar por el rango de la matriz A, la matriz de los coeficientes. 00:02:08
¿Por qué se empieza por esta? 00:02:12
Pues muy sencillo, se empieza por esta porque esta matriz es cuadrada 00:02:14
Y al ser cuadrada es mucho más fácil estudiar el rango 00:02:18
Lo primero que hacemos para situarnos en el problema es ver cuánto puede valer este rango 00:02:21
El rango de la matriz puede valer 1 o 2 o 3 00:02:27
4 ya no puede valer porque nadie en el mundo puede meter dentro de esta matriz 00:02:30
Un determinante de 4 por 4, luego ya no puede ser el rango 00:02:35
Y os repito, que el rango de la matriz, esta será 3, si encuentro un determinante de orden 3 que no valga 0. 00:02:39
¿Por dónde empezamos? Pues estudiando el rango 3. Al ser una matriz cuadrada voy a empezar de aquí hacia allá, que es lo más fácil. 00:02:54
Así que lo primero que hay que estudiar es el determinante de A. Yo estudio este determinante. 1, 1, 2, 2, 2, m más 4. Ya aviso que este vídeo va a ser un poquito largo, pero tenéis la suerte que podéis dar al stop y luego continuarlo. 00:03:02
Bueno, lo primero que hay que hacer es hallar este determinante. Y aquí volvemos a decir otra cosa que estamos ya no cansados de decirlo, estamos encantados de decirlo, pero lo repetimos una vez. El alumno o la alumna que se confunda al hallar un determinante ya es un error catastrófico que arrastra con ese error a todo el problema entero. 00:03:21
así que por favor, no os confundáis al 00:03:44
determinante, ¿cuál es la manera 00:03:46
de no confundirse? pues haber hecho muchísimos 00:03:48
determinantes, bueno 00:03:50
pues hay que hacer este determinante 00:03:52
empezamos, esto sería 00:03:54
2, tal, pam, pam 00:03:56
como yo ya me sé lo que sale y lo tengo preparado 00:03:58
ya está, este determinante 00:04:00
me sale m 00:04:02
menos m cuadrado 00:04:03
este es el momento perfecto para parar 00:04:05
el vídeo, lo coges en la hojita 00:04:08
lo haces y que te salga eso 00:04:10
Ese es el determinante 00:04:12
Lo primero que estudiamos 00:04:15
Lo primero que hay que estudiar es 00:04:17
Para qué valores de M 00:04:18
Este determinante vale 00:04:20
Muy bien 00:04:22
Esto de aquí se llama una ecuación 00:04:26
Bueno, esta ecuación 00:04:28
Que difícil, ¿eh? 00:04:31
¿Cómo se resuelve esta ecuación? 00:04:34
Pues sacando factor común 00:04:35
Sacamos factor común 00:04:36
¿Dónde lo pongo aquí? 00:04:39
Sacamos factor común 00:04:42
Y me quedaría 00:04:43
M por 1 menos M igual a 0 00:04:44
pues ya tengo que el primer factor igual a 0 00:04:47
y aquí el segundo factor igual a 0 00:04:50
1 menos m igual a 0 00:04:54
que me dice que m es 1 00:04:56
pues ya empieza aquí el festival 00:04:59
¿qué ha pasado ahí? 00:05:03
no pasa nada, arreglado está 00:05:06
así que ya sé que cuando la m vale 0 y la m vale 1 00:05:07
pues ese determinante vale 0 00:05:10
¿qué sabemos ya con seguridad? 00:05:12
lo que sé con seguridad lo voy a poner en verde 00:05:16
Que es la solución. Lo que ya sabemos con seguridad es que si la M no vale ni 0 ni 1, este determinante ya no es 0. 00:05:18
Como este determinante es de 3 por 3, ya se asegura entonces que si M no vale 0 ni M vale 1, este determinante, el determinante de A, no es 0. 00:05:33
Luego yo ya sé seguro que el rango de A es 3 00:05:49
Muy bien 00:05:54
¿Y cuánto vale el rango de la ampliada? 00:05:56
El rango de la ampliada, que es la matriz A más otra columnita 00:05:59
Pues como muchísimo puede ser 3 00:06:02
Luego ya tengo clarísimo que el rango de la ampliada es 3 00:06:05
¿Por qué? Porque no puede ser 4 00:06:11
Porque nadie puede meter en una matriz de 3 por 4 un determinante de 4 por 4 00:06:13
bueno pues ya tengo que estos dos rangos son iguales esto ya me asegura que el 00:06:18
sistema es compatible compatible bueno y como este rango es igual al número de 00:06:26
incógnitas número de incógnitas que estrés como yo 00:06:38
ya sé que es igual al número de incógnitas esto me asegura que es un 00:06:44
sistema compatible de terminado es decir que tiene una única solución 00:06:48
así que vamos fenomenal ya sabemos que si la m no vale ni cero ni uno el 00:07:02
determinante de la matriz de los coeficientes no es cero luego ya sé que 00:07:09
el rango es 3 y el ram y la ampliada como lo único que he hecho ha sido añadir una 00:07:13
columna pues sigue siendo 3 porque no puede ser 4 de acuerdo importantísimo lo 00:07:18
que he dicho y importantísimo 00:07:25
no sé si queda claro lo de que el rango de la ampliada no puede ser 4 mira lo 00:07:31
voy a poner a la no pasa nada voy a poner porque luego lo voy a borrar como 00:07:35
éste como voy a poner aquí luego le aburra 112 vaya esteban no te acuerdas 36 00:07:39
menos 2, vale, bueno, lo voy a poner, este es el rango de la ampliada, esta es la ampliada, 00:07:47
perdón, muy bien, repito, en esta ampliada, esta ampliada no puede ser rango 4x4, porque 00:07:53
aquí no se puede poner un determinante de 4x4, como ya he encontrado este de 3x3, que 00:08:02
era la ampliada, que no vale 0, pues ya sé que el rango es 3, pero 4 no puede ser, porque 00:08:11
Aquí no se puede poner un determinante de 4 por 4. 00:08:16
Dicho está, lo borro y continuamos con este problema apasionante. 00:08:19
Una única solución. 00:08:28
Ya está. 00:08:29
Bueno, seguimos con el problema apasionante. 00:08:30
Este problema tan apasionante, pues ya sé para todos los valores del parámetro m, 00:08:32
sé lo que pasa con todos menos con 2. 00:08:36
No sé lo que pasa ni con el 1 ni con el 0. 00:08:39
Vamos allá. 00:08:43
Vamos entonces ahora caso por caso. 00:08:44
Voy a empezar por el 0. 00:08:46
Por el 1 voy a empezar. 00:08:47
voy a dejar el 0 para el final 00:08:48
así que esto lo borro 00:08:50
lo borro 00:08:52
lo borro 00:08:55
y lo borro 00:08:57
y lo borro 00:08:59
y lo borro 00:09:00
esto no lo he podido borrar 00:09:01
pero ahora no me acuerdo como se borra 00:09:03
ah si ya se como se borra 00:09:05
jolín esto es perder tiempo 00:09:10
perdonadme perdonadme de verdad 00:09:12
vaya por dios 00:09:15
no lo se borrar ahora esto 00:09:17
ahora 00:09:19
Muy bien, bueno, pues ahora vamos al caso de M igual a 1 00:09:21
Vamos a ver qué pasa si la M es igual a 1 00:09:26
Yo ya sé lo que pasa, si M es igual a 3, compatible determinado 00:09:29
Si M vale 5, compatible determinado 00:09:35
Si M vale 7, compatible determinado 00:09:38
¿Qué pasa si M vale 1? No lo sé, pero lo voy a estudiar ahora 00:09:40
Si M vale 1, lo que os aconsejamos siempre es que 00:09:42
Vamos a escribir el sistema, si no nos cuesta nada 00:09:46
vamos a ver qué pasa, si m es igual a 1, si m es igual a 1, el sistema es este, 2x más 2y, 5z, 6x más y más z igual a 3, este es el sistema, muy bien, 00:09:49
Como siempre tenemos que estudiar, ya lo dejo ahí, la matriz de los coeficientes, la matriz A, voy a poner quién es, la matriz de los coeficientes, pues 1, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 1, 1, muy bien, empiezo, importantísimo, pregunto, el rango de A, puede ser 1, o puede ser 2, o puede ser 3, lo pongo, lo pongo, 00:10:09
lo voy a poner, no lo pongas profesor, no lo pongas, porque ya sabes que no puede ser 3, es que el rango no puede ser 3, ¿por qué?, porque este determinante ya sé que cuando la m vale 1, este determinante vale 0, como solo hay un determinante de 3 por 3, ya sé que el rango no puede ser 3, esto es importante, esto es importante, porque el único determinante de 3 por 3 es este que hay aquí, como ya sé que vale 0, pues el rango no puede ser, ¿vale?, ¿qué tengo que hacer?, estudiar, 00:10:38
Los determinantes de 2 por 2 que hay dentro de esta matriz, a ver si hay alguno que no vale 0. 00:11:08
Voy a empezar por 1, y al momento tenéis que protestar. 00:11:15
Voy a empezar por este, voy a empezar por este, a ver qué me decís. 00:11:19
Ya estoy oyendo cosas, ya estoy oyendo cosas, ya estoy oyendo cosas, ya estoy oyendo cosas, 00:11:24
que claro, profesor, no empieces por ese que se sale 0. 00:11:29
Claro que no. Mal, profesor. 00:11:33
empieza por uno que no sea cero 00:11:36
porque ya sabes hacerlo 00:11:38
hombre, muy bien 00:11:40
vale, voy a coger este 00:11:41
uno que no sea cero 00:11:43
este lo miro un poquito y ya está 00:11:44
muy bien 00:11:47
voy con este menor, acordaros que esto se llama un menor 00:11:49
5, 1, 1 00:11:54
vamos a ver lo que vale, esto 00:11:55
recuerdo que es un determinante de 2 00:11:57
por 2, bueno pues este determinante 00:11:59
vale 2 menos 5 menos 3 00:12:02
bien, como este determinante es distinto de 0 00:12:04
como ha pasado esto 00:12:08
yo ya sé seguro que el rango de A es 2 00:12:10
porque he encontrado un menor de 2 por 2 00:12:15
que no vale 0 00:12:18
si hubiera valido 0 00:12:20
tengo que seguir buscando 00:12:21
tengo que seguir buscando 00:12:23
bueno, pues esto ya me da una tranquilidad 00:12:25
y ya me vengo aquí 00:12:27
y voy escribiendo mi solución 00:12:28
si M vale 0 00:12:30
yo ya sé, profesor, alumno, lo que queráis, que el rango de A 00:12:32
vale 2. Genial. Vamos a estudiar 00:12:37
ahora el rango de la ampliada. El rango de la ampliada 00:12:41
pongo aquí la matriz ampliada, es esta 00:12:44
os recuerdo que la matriz ampliada es la matriz 00:12:49
de los coeficientes, que ya la tengo súper estudiada, a la que le añado 00:12:53
los términos independientes. Aquí, como es 00:12:57
una matriz cuadrada y empezamos hacia adelante y lo primero que pongo es que el rango de ampliada 00:13:03
fijaros ya no puede ser uno no puede ser uno porque he encontrado hay un determinante este 00:13:09
determinante de aquí que es dos por dos ya no vale cero y luego el rango de esta matriz puede ser dos 00:13:16
pero también puede ser tres porque ahora puede ser tres o tres muy bien que tendría que hacer ya lo 00:13:22
dicho, aquí viene un concepto importante, tendría que estudiar 00:13:32
los determinantes de 3x3, todos los que hay, pero 00:13:36
tenemos la suerte que no hace falta estudiar todos porque tenemos un concepto 00:13:39
que ya sabéis cuál es, que es el concepto de Orla 00:13:44
¿Qué es Orla? Es muy fácil, es decir, es 00:13:47
que para estudiar, no hay que estudiar todos los determinantes de 3x3 00:13:51
basta con estudiar los determinantes de 3x3 00:13:56
que contengan a este determinante que he visto que no vale cero. 00:13:59
Así que mirad, primero voy a poner una cosa y la voy a hacer mal. 00:14:07
Cojo esto y le voy a añadir la columna 1, 1, 2, 1, 1, 2. 00:14:11
Y me decís, profesor, eso no lo hagas, porque esto es la matriz de los coeficientes. 00:14:16
Claro, esta es la matriz de los coeficientes, ¿para qué la voy a estudiar si ya sabía que valía cero? 00:14:21
Fuera. Mal, profesor. Muy bien. 00:14:25
¿Qué tengo que hacer? Pues orlarlo con la columna que he añadido nueva, por tanto, gracias a que orlamos, solo hay que estudiar un determinante de 3x3, solo uno, fijaros que gran avance, pero por eso es importante que pongáis 3x3, o sea, que pongáis orlar, perdón. 00:14:27
Bueno, calculamos este determinante, os lo calculo yo, luego en casa lo miráis y me sale 2 distintos. 00:14:47
Como es distinto de 0, ya he encontrado un determinante que no vale 0, luego ya sé que el rango de la ampliada es 3. 00:14:57
Genial. Luego me vengo aquí a mi respuesta y ya tengo que el rango de la ampliada es 3. 00:15:06
bueno pues como tengo que estos rangos son diferentes yo ya sé que el sistema 00:15:14
es incompatible lo siento por ti incompatible por tanto no 00:15:20
tiene solución 00:15:28
veis que el vídeo está haciendo un poco largo por favor ya sabéis que si por lo 00:15:32
que sea hay un colapso pues lo para y si luego seguimos que me 00:15:37
queda me queda aquí puesto una cosa mal no pasa nada me doy cuenta antes de que 00:15:43
vosotros os dierais cuenta que esto es que esto es m igual a 1 00:15:51
vale muy bien he corregido lo siento me doy cuenta si m es igual a 1 sistema 00:15:58
incompatible me queda el caso m igual a 0 vamos a por el caso es igual a 0 00:16:05
así que me vengo aquí vamos a borrar todo vamos a borrar todo 00:16:12
este problema claro parece largo porque estamos explicando todo pero luego 00:16:20
cuando es muy importante que lo hagáis y lo practique y mucho porque luego en el 00:16:24
examen claro ya estoy diciendo contra el examen bueno 00:16:29
no hay ninguna pista pero es muy importante en la bau por cierto tenéis 00:16:39
muchísimos problemas de este tipo genial vale pues vamos al caso m igual 0 así 00:16:44
que ya sólo me queda el caso m igual 0 si m es igual a 0 00:16:53
vamos a ver si ya puede ir un poquito más deprisa lo primero que hacemos 00:17:00
escribe el sistema que no te cuesta nada este es el sistema 0 44 esto es 6 esto 00:17:03
Es x más 0 más z igual a 0 más 2, 2. 00:17:16
Bueno, me pongo mi matriz de los coeficientes, en la cual yo ya sé que el rango de a puede ser 1 o 2, no puede ser 3 porque ya sé que ese determinante vale 0. 00:17:22
Y voy a ver si encuentro en esta matriz un determinante de 2 por 2 que no valga 0. 00:17:39
No voy a cometer el error ese, no, ya me voy directamente a este. 00:17:44
este determinante por cierto va a jugar un papel importantísimo importantísimo 00:17:48
vale este determinante es 2 entonces ya tengo este mente 2 distinto de 0 y es un 00:17:54
determinante de 2 por 2 luego ya sé que el rango de a es 2 00:18:02
genial fenomenal muy bien me tengo aquí escribo mi solución 00:18:09
ponlo bien que estaba en verde muy bonito o si me vale 0 yo ya sé que el 00:18:17
rango de a es 2 muy bien que tengo que estudiar ahora la ampliada vamos a la 00:18:27
ampliada profesor 1 1 2 2 2 4 1 0 1 insisto que la ampliada es la de los 00:18:34
coeficientes a la que se le añade una columna muy bien bueno pues lo mismo no 00:18:41
tengo que estudiar todos los determinantes, bueno, lo mismo no, voy a poner primero 00:18:48
que el rango de la ampliada puede ser como poco 2, porque 00:18:52
ya he encontrado este determinante que no vale 0 00:18:56
o puede ser 3, puede ser 3 y al añadir la otra columna 00:19:00
consigo que el determinante no sea nulo 00:19:04
genial, pues nada, ¿qué hago? lo que he dicho antes, orlamos 00:19:07
orlamos 00:19:12
Ahora había insistido otra vez en orlar 00:19:15
Orlamos, así que orlamos 00:19:18
Era, lo voy a poner en azul para que sea mejor 00:19:20
Me pongo mi determinante que no vale 0 00:19:23
Y lo completo con lo que he añadido 00:19:25
Bueno, pues al hacer este determinante 00:19:28
También sale 0 00:19:31
¿Eh? Mira, sale 0 00:19:32
Alguien podría decir, profesor, ya sé por qué sale 0 00:19:35
¿Por qué? Porque la fila 2 es el doble de la fila 1 00:19:37
Perfectamente dicho 00:19:40
Pero escríbelo 00:19:41
Vale 0 porque F2 es igual al doble de F1 00:19:43
muy bien, mirad, bueno y aquí la gracia 00:19:46
aquí sí que vais a entender la gracia 00:19:48
de Orlan, la gracia de Orlan es 00:19:50
que habéis encontrado un determinante que vale 0 00:19:52
pues ya no tenéis que seguir buscando a ver 00:19:54
si hay alguno que no vale 0 00:19:56
porque ya sabemos seguro 00:19:57
que no hay, por eso 00:20:00
el rango de la ampliada 00:20:02
yo ya se aseguro que no es 3 00:20:04
solo con estudiar este 00:20:06
luego vale 2 00:20:07
genial, luego 00:20:10
ya pongo aquí que el rango 00:20:12
de la ampliada 00:20:14
es 2 00:20:17
muy bien 00:20:19
pues como estos dos rangos son iguales 00:20:21
gracias al teorema de Rochefoumenius 00:20:23
yo sé que este sistema es compatible 00:20:25
o sea que va a tener solución 00:20:27
y ahora como este 2 00:20:28
es menor que el número de incógnitas 00:20:31
que el número de incógnitas 00:20:34
será 3, pues al ser menor 00:20:35
yo ya sé que es 00:20:37
indeterminado 00:20:38
¿qué significa indeterminado? que va a tener infinitas soluciones 00:20:40
luego tiene infinitas soluciones genial seguimos muy bien que nos dice el 00:20:43
problema que resolvamos para mí igual 0 vamos a resolver para mí igual 0 vamos a 00:20:56
resolver para mí igual 0 y me voy a parar aquí que es muy importante lo que 00:21:03
hemos dicho mira así que ahora me piden que resuelva este 00:21:08
sistema entonces no sé qué hay tengo que resolver tengo que resolver este sistema 00:21:12
m igual al ser un sistema compatible indeterminado 00:21:23
ya sé que es compatible indeterminado el acabo de calcular aquí 00:21:28
entonces me tengo que fijar en este menor importantísimo este menor es la 00:21:32
clave de todo este de aquí este de aquí es el menor que me ha asegurado que el rango es 2 00:21:39
es la clave de todo asegurarme ese menor que es este de aquí lo voy a poner aquí este es el menor 00:21:49
que me ha asegurado que el rango es 2 vale pues entonces mirar cómo se resuelve este 00:21:56
me borro esto 00:22:03
he aprendido ya a borrarlo 00:22:10
fenomenal, bueno pues 00:22:13
y esto también lo borro 00:22:15
entonces, como 00:22:17
este menor es el que 00:22:21
por decirle así, es el que me ha dicho que tiene 00:22:23
rango 2, es el que me da, por decirle así 00:22:25
la información del sistema 00:22:27
la clave, en este se basa el sistema 00:22:28
pues entonces, lo que 00:22:31
hago es lo siguiente, lo que está 00:22:33
fuera de este menor, adiós 00:22:35
esto ya no me vale 00:22:37
no me vale 00:22:38
Porque eso al añadirlo, acordaros que no servía para nada porque seguía el rango es 2. 00:22:40
Muy bien. 00:22:45
Y entonces, y esto que queda aquí fuera, esta incógnita que queda fuera, es a la que le voy a convertir en parámetro. 00:22:45
Y así he pasado de ese sistema a este sistema. 00:22:56
2i más 4z es igual a 6 menos 2x que es menos 2t porque la x vale t. 00:23:00
Y aquí tengo que z es igual a 2, la x pasa restando menos x, que pongo menos t. 00:23:08
Bueno, vuelvo a insistir en la clave de elegir este determinante, el que no ha valido 0. 00:23:17
Si alguien por error, por ir deprisa, hubiera elegido este de aquí, lo pongo así, ya tendría todo el problema mal. 00:23:25
todo el problema mal, hay que elegir 00:23:33
el núcleo 00:23:36
o el grupito de incógnitas 00:23:38
que nos ha dicho que el rango 00:23:40
vale 2, muy bien 00:23:42
bueno, pues ahora hay que resolver esto, pues ya está 00:23:43
casi resuelto, porque mira 00:23:46
la Z aquí ya está resuelta 00:23:47
que vale este, y ahora aquí 00:23:49
lo pongo, en vez de Z pongo eso 00:23:52
y vamos a ver lo que me queda 00:23:54
esto me quedaría 00:23:55
lo voy a poner así 00:23:57
2Y es igual a 6 menos 2T 00:23:59
menos 4z 00:24:01
y ahora en vez de z voy a poner lo que vale 00:24:03
¿cuánto vale z? 2 menos t 00:24:06
¿vale? pues ahí voy a poner 00:24:08
2 menos t, ¿de acuerdo? o sea aquí he hecho el cambio 00:24:09
este, z es igual a 2 menos t 00:24:16
bueno, ¿qué me queda aquí? pues me queda 00:24:17
a ver si lo hago rápido 00:24:20
6 menos 2 00:24:22
4 menos 2 00:24:24
son 2t 00:24:27
menos 8 00:24:28
menos 2 00:24:30
por tanto y 00:24:32
es t menos 1, luego ahora ya sí 00:24:34
en rojo, solución 00:24:38
acordaros, que un problema tiene solución 00:24:40
perdón, perdón, lo retiro 00:24:44
un problema tiene respuesta, una ecuación 00:24:46
tiene solución, bueno, y ponemos 00:24:49
la sincónita, por favor ordenad las sincónitas que no cuesta 00:24:52
nada poner x y z, no cuesta nada 00:24:55
bueno, la x vale t, la y me ha salido t menos 1 00:24:58
aquí está y la Z ha salido 2 menos T 00:25:01
para que esté todo bonito 00:25:05
le pongo nombre 00:25:08
compatible indeterminado 00:25:10
indeterminado 00:25:12
y digo que tiene infinitas 00:25:14
soluciones 00:25:16
¿alguien me dice alguna solución? 00:25:18
¡sí profesor! 00:25:21
por ejemplo, para T igual a 7 me sale una solución 00:25:22
¿qué solución sale en parete 00:25:25
igual a 7? pues 7 00:25:27
y z2 menos 7 menos 5 00:25:30
pues ya tengo una solución 00:25:33
bueno, lo voy a poner en pequeñito 00:25:34
y voy a despedirme 00:25:38
el vídeo ha durado bastante, 25 minutos 00:25:39
lo siento 00:25:42
pero 00:25:42
era necesario 00:25:44
bueno, así que 00:25:47
ya está, acordaros 00:25:52
que esto que hay aquí 00:25:53
es la respuesta importantísima 00:25:55
necesitamos 00:25:58
que hagáis muchos problemas de estos 00:26:02
para coger práctica, para que cojáis práctica. 00:26:03
Bueno, espero que os haya servido este vídeo. 00:26:07
El que dominará esto, que le sirva para repasarlo 00:26:12
y el que no lo tenga muy claro, que a ver si lo aprende. 00:26:15
Bueno, muchas gracias por habernos escuchado. 00:26:19
Un saludo a todos, a todas. Adiós. 00:26:22
Subido por:
Esteban S.
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14 de marzo de 2021 - 19:12
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Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
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26′ 25″
Relación de aspecto:
1.85:1
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