Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Teorema de la probabilidad total - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 2 de abril de 2019 por Manuel D.

530 visualizaciones

Se demuestra el teorema de la probabilidad total mediante las fórmulas de la probabilidad condicionada y de la intersección. Se explica un ejemplo sencillo

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

presentamos a continuación el teorema de la probabilidad total imaginaos que tenemos 00:00:02
el espacio muestral que está dividido en una serie de sucesos disjuntos vamos a poner que 00:00:12
sean solamente tres en caso de ser más pues sería muy parecido el tema de la probabilidad total 00:00:19
Entonces, tenemos tres sucesos, A1, A2 y A3, de forma que el espacio muestral queda descompuesto como unión disjunta de estos tres sucesos. 00:00:24
Cuando ocurre esto, por ejemplo, imaginémonos que vamos a coger un animal al azar de una tienda de animales y tenemos solamente perros, gatos y pájaros. 00:00:41
Entonces, evidentemente, ningún animal puede estar a la vez en dos de los tres sucesos. 00:00:53
Bien, supongamos que tenemos un cuarto suceso que interseca a todos ellos. 00:01:00
Por ejemplo, este de aquí, que vamos a llamar suceso B. 00:01:04
Y nos interesa calcular la probabilidad de este suceso B. 00:01:10
Bien, este suceso B, por ejemplo, imaginemos que nos planteamos que dentro de la tienda de animales esta, 00:01:14
algunos animales pueden tener una cierta enfermedad. 00:01:26
¿Qué probabilidad va a haber de que la enfermedad, de que un animal esté enfermo, ha cogido el azar? 00:01:30
Pues bueno, en este tipo de problemas de probabilidad se utiliza la probabilidad total, 00:01:36
porque nos interesa calcular la probabilidad total de un determinado suceso desglosado, 00:01:43
tenemos las probabilidades desglosadas en una partición del espacio muestral. 00:01:47
Entonces, lo importante que es, bueno, pues que vamos a, tenemos que recordar la fórmula de la probabilidad condicionada 00:01:52
que nos decía que, pues, era esta la fórmula, recuerdo 00:02:01
Y de esta fórmula despejando obteníamos esta otra para la intersección 00:02:05
Bueno, entonces, ¿cómo vamos a calcular la probabilidad de B? 00:02:14
Pues la probabilidad de B será la probabilidad de B intersección a sub 1 00:02:24
es decir, la probabilidad de que el animal esté enfermo y que sea un perro, en este caso, 00:02:30
más la probabilidad de que esté enfermo y que sea un gato, 00:02:37
más la probabilidad de que esté enfermo y que sea un pájaro. 00:02:41
Y ahora, bien, utilizamos esta fórmula de la probabilidad de la intersección a partir de la condicionada, 00:02:47
sustituyendo aquí para cada una de estas tres probabilidades. 00:02:54
Y tendremos lo siguiente. 00:02:57
Y esta es la fórmula de la probabilidad total. Fácil, ¿verdad? 00:02:59
Bien, ¿qué pasaría si tuviésemos, en el caso general, n sucesos? 00:03:17
Si tuviésemos el espacio muestral descompuesto como unión disjunta de n sucesos, disjunta se entiende 2 a 2, cada pareja de sucesos no se interseca, 00:03:21
entonces la probabilidad de B es la suma de las intersecciones 00:03:32
es decir, lo podemos utilizar la anotación de sumatorio 00:03:38
será la probabilidad de cada uno de los sucesos 00:03:41
por la probabilidad del suceso que nos ocupa el B 00:03:45
condicionado a que estamos en el caso A sub i 00:03:49
y esta es la fórmula genérica cuando tenemos más de tres sucesos 00:03:52
Bueno, pues este tipo de problemas normalmente se pueden presentar en forma de diagrama de árbol 00:03:56
Imaginémonos, por ejemplo, que vamos a elegir un animal dentro al azar 00:04:05
Bueno, pues la primera opción que nos preguntamos es ¿qué tipo de animal es? 00:04:09
Pues tendremos que puede ser un perro, un gato o un pájaro 00:04:13
Y una vez que sabemos el tipo de animal que es, pues tenemos tres opciones 00:04:19
o bien, quiero decir, dos opciones, o bien que se presenta el suceso B 00:04:26
pero ojo, esto es B condicionado a que estamos en el caso A sub 1 00:04:31
o bien nos no ocurre el caso B sabiendo que estamos con un perro. 00:04:35
Y así con todas ellas, es decir, aquí hemos llegado hasta el suceso A 00:04:42
y aquí habríamos llegado hasta el suceso B, pero quiero decir hasta la sub 2 y aquí hasta la sub 3 00:04:46
y aquí estaremos en el A sub 1, ¿sí? 00:04:52
Bien, pues ahora de aquí tenemos solo dos opciones, o bien B o bien B complementario. 00:04:55
Pero ojo, este suceso de aquí es el suceso B sabiendo que es un gato, que estamos en el la sub 2, igual con el otro. 00:05:02
Tendríamos en el último caso, pues B sabiendo que es un pájaro. 00:05:12
En definitiva, nos interesa saber la probabilidad total, la probabilidad de estar enfermo. 00:05:18
Pues será la suma de este, este, más este. 00:05:24
Pero las probabilidades, sabéis que en el árbol se multiplican. 00:05:29
Es decir, que para llegar de aquí a aquí, para llegar de aquí a aquí y para llegar de aquí a aquí, 00:05:33
en ambos tres casos tendremos que multiplicar con lo que. 00:05:39
Y después, por último, sumar estos tres posibles caminos. 00:05:43
entonces la probabilidad de b descompondrá como suma de estas tres probabilidades 00:05:49
de estos tres caminos y cada uno de los caminos se calcula multiplicando 00:05:56
probabilidad de a sub 1 por probabilidad de b sabiendo que estamos en el caso a sub 1 00:06:00
y así con los tres caminos 00:06:06
y esto pues evidentemente estas tres se suman y aquí hay que multiplicar 00:06:07
vamos a ver un ejemplo 00:06:13
Bueno, imaginémonos que tenemos dos urnas, la primera con tres rojas y dos bolas verdes 00:06:15
La segunda con una bola roja y dos bolas verdes 00:06:22
Supongamos que hacemos dos extracciones 00:06:25
Vamos a coger en primer lugar una bola de aquí y la vamos a pasar a la segunda urna 00:06:28
Una bola, no sabemos cuál a priori 00:06:34
Y después vamos a extraer de la segunda urna una bola y nos preguntamos a ver de qué color es 00:06:37
Nos están pidiendo que calculemos la probabilidad de que la segunda bola sea roja 00:06:44
Bueno, pues lo más sencillo es hacer un diagrama de árbol 00:06:50
Siempre que haya una serie de sucesos consecutivos, en este caso dos 00:06:59
Es decir, empezamos por la primera abstracción y sabemos que puede ser una bola roja o una bola verde 00:07:03
Y después, para la segunda abstracción, sabemos que puede ser también o bien roja o bien verde 00:07:10
Pero ojo, en estos casos aquí tenemos probabilidades condicionadas 00:07:16
Como vimos en el ejemplo, en la explicación de la teoría 00:07:25
Bien, entonces ahora hay que marcar las probabilidades de cada una de las ramas 00:07:28
Aquí, ¿qué probabilidad habrá? Pues 3 quintos 00:07:33
Porque 3 de cada 5 son rojas 00:07:36
Y 2 quintos acá 00:07:39
En realidad no nos interesa saber todas las ramas 00:07:41
Porque nos interesa saber solo que la segunda bola sea roja 00:07:47
Es decir, queremos llegar hasta aquí o bien hasta aquí. 00:07:49
Es decir, que en realidad lo que buscamos es la probabilidad de que la primera bola sea roja, esta de aquí, 00:07:54
por la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera fue roja. 00:08:04
Y a esto le tenemos que sumar, este sería el primero de los caminos. 00:08:11
Lo voy a escribir aquí. 00:08:14
Y a esto le tenemos que sumar este resultado que también nos es favorable. 00:08:18
Es decir, que la primera sea verde y la segunda roja. Esto es, la probabilidad de que la primera sea verde por la probabilidad de que la segunda sea roja, sabiendo que la primera fue verde. 00:08:22
Ahora, ¿qué tenemos que hacer? Pues completar estas dos probabilidades de aquí y esta probabilidad más esta sumarla y listo. 00:08:36
Bueno, entonces, para esta, si sacamos de la primera una bola roja, la composición de la urna va a ser dos bolas rojas, dos bolas verdes. 00:08:45
Con lo que aquí la probabilidad de sacar una bola roja será de 2 cuartos. 00:08:53
Esta es esta probabilidad de aquí. 00:08:57
Así que lo escribiríamos 3 quintos, probabilidad de que la primera sea roja, por 2 cuartos, 00:09:00
probabilidad condicionada de que la segunda sea roja sabiendo que la primera también lo fue. 00:09:08
Y a esto hay que sumar este camino de aquí. 00:09:14
Si la primera extracción es una bola verde, te vamos a tener 3 bolas verdes y una roja, 00:09:16
Con lo que la probabilidad de sacar una roja será de 1, 1 de 4, 1 cuarto. 00:09:21
Operando, hemos terminado el problema. 00:09:32
Bueno, espero que os haya gustado el vídeo. 00:09:35
Nos vemos en el próximo que va a tratar sobre el teorema de Bayes. 00:09:37
¡Hasta luego! 00:09:40
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
530
Fecha:
2 de abril de 2019 - 16:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
09′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
198.11 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid