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Introducción a la derivada - Contenido educativo

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Subido el 10 de julio de 2023 por Juan M.

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Introducción geométrica al concepto de derivada.

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En este vídeo voy a presentaros la introducción geométrica al concepto de derivada. 00:00:02
Ya os he comentado en clase anteriormente que el concepto de derivada viene asociado al concepto de recta tangente. 00:00:09
En este caso, al de la recta tangente a una curva. 00:00:17
Recordad que partimos de la base de tener ya presentes históricamente unos ejemplos artesanos 00:00:21
sobre los cuales poder dibujar una curva y queremos poder calcular la expresión analítica de la recta tangente a la curva en un punto. 00:00:26
En este caso, nosotros partimos de una curva dibujada mediante la gráfica de una función f y de un punto x sub 0, en este caso un punto de la gráfica, 00:00:37
el menos 0 con su x sub 0 y con f de x sub 0. No lo tenemos aquí dibujado, pero podría estar cerca del menos 0,4, 00:00:47
pero el x sub 0 está cerca del 0,6. Ya está. Y lo que querríamos es calcular la expresión analítica de esta recta azul. 00:00:54
Recordad que para conseguir la expresión analítica de una recta en el plano necesitamos un punto que tenemos, 00:01:01
en principio lo hemos señalado nosotros, sus dos coordenadas x sub 0 y f de x sub 0, calculable o si no, 00:01:07
mediante las coordenadas iniciales, necesitamos también su pendiente. 00:01:13
En este caso, GeoGebra tiene una herramienta que nos permite calcularla gráficamente, fácil, 00:01:18
y me dice que la pendiente de esta recta tangente azul es 0,2. 00:01:24
¿Qué ocurre? Nosotros, para poder calcular la pendiente de una recta simétricamente, 00:01:28
necesitamos dos puntos. ¿Y cuál era el problema que planteamos esta mañana? 00:01:33
Que esta recta azul, esta tangente, solo conocemos un punto de ella, en este caso, el de la gráfica. 00:01:37
¿Qué ocurre? Pues que de alguna manera queremos intentar calcular esta pendiente o aproximarla. 00:01:44
¿Cuál es la aproximación más sencilla o más lógica a resolver este problema? 00:01:51
Pues dibujar las diferentes rectas que podemos calcular su pendiente. 00:01:57
En este caso, coger dos puntos. 00:02:02
Un punto que sea el de mi función original, en donde quiero calcular la tangente, 00:02:04
la asociado a X0 y otro punto asociado a un X0 más A, le he añadido una cantidad. Así estoy un poco a la derecha del X0 inicial. 00:02:09
¿Qué ocurre? Si yo me voy acercando, haciendo este X0 más pequeño, me voy acercando, los dos puntos vienen a ser más o menos lo mismo 00:02:18
y podemos pensar que la pendiente es la misma. ¿De acuerdo? Entonces, ese va a ser un poco nuestro planteamiento inicial. 00:02:26
A ver si es verdad. 00:02:32
Os he hecho un adelanto al mover el deslizador, que es la diferencia que le añadimos al x sub cero, pero lo podemos ver. 00:02:34
Recordad también que el cociente de metal, como está aquí la fórmula, es la diferencia en y partido de la diferencia en x. 00:02:42
Si nosotros estamos planteando que la diferencia en y es la diferencia de altura y la diferencia en x, 00:02:48
tal y como lo tenemos planteado nosotros con un x sub cero y un x sub cero más a, 00:02:55
que hemos añadido una cantidad, el incremento en x es justo ese valor a, ¿de acuerdo? 00:02:58
Es el que vamos a ir haciendo cada vez más pequeño y que aparece aquí dibujado también. 00:03:03
¿Cuál es la diferencia de altura? Pues va a ser el f de este punto, el de x sub 0 más a, menos el de este, ¿de acuerdo? 00:03:07
Que es f de x sub 0, tal y como aparece aquí, ¿vale? Aquí tenemos la expresión. 00:03:16
Esta mañana os he presentado clase que la derivada la definimos como el límite cuando a tiende a cero de esta expresión. 00:03:20
Que ocurramos arquimétricamente que entonces ese concepto que hemos introducido de derivada viene a representar, viene a calcular la pendiente de la alta por agente, que es lo que buscamos. 00:03:29
¿De acuerdo? Vamos a hacerlo muy rápidamente, un modelo dinámico y vamos a ver cómo al acercarnos con el viso externo más alto, esto es haciendo a cada vez más pequeño, 00:03:40
Las dos rectas, la roja y la azul, se van aproximando tanto como queramos y sus pendientes son la misma. 00:03:49
Las dos rectas van a ser indistinguibles y las pendientes iguales. 00:03:56
Recordad que este proceso de acercamiento es ese proceso de cálculo del límite que hemos hecho analíticamente en temas anteriores 00:04:01
y ahora asociado al concepto de derivada. Vamos a verlo geométricamente y con esto terminaré. 00:04:08
vemos claramente 00:04:13
como voy haciendo la recta 00:04:15
con menor 00:04:18
inclinación 00:04:20
vamos viendo como se modifica 00:04:21
con el incremental que es su pendiente 00:04:24
según me voy acercando 00:04:26
al punto 00:04:27
me voy acercando 00:04:29
fijaros que ya voy haciendo 00:04:31
cada vez más cerca 00:04:33
también tened en cuenta que aunque estén muy cerca 00:04:35
las dos rectas siguen siendo muy diferentes 00:04:37
la pendiente una dobla a la otra 00:04:40
con una diferencia de 0,12, o sea que hay que tener cuidado. 00:04:41
Ahora lo voy a hacer manualmente para que se vea lentamente bien 00:04:45
y vamos viendo cómo se va acercando, se va acercando 00:04:49
esta diferencia de los dos y el punto va a ser al final indistinguible 00:04:53
y deberíamos llegar. Bueno, aquí lo encontramos, ¿de acuerdo? 00:04:57
Es curioso porque las dos rectas, debido a que GeoGebra aproxima también, 00:05:02
Ya lo hemos visto en otros casos. Es muy útil, pero la aproximación hace tener un pequeño error, como vemos aquí. Por eso hacemos, ah, incluso más pequeño. Repetir conciencia incremental no es lógica. 00:05:09
Pero bueno, tened en cuenta que si nosotros lo hacemos analíticamente, vamos a obtener justo ese valor de la pendiente de la recta tangente y, por ende, vamos a poder resolver el problema que históricamente introduce el cálculo de la derivada. 00:05:19
Muchas gracias y espero haberos ayudado a entender, aunque solo sea un poco mejor, el concepto de derivado. 00:05:36
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Juan Martín Álvaro
Subido por:
Juan M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
22
Fecha:
10 de julio de 2023 - 12:39
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES NTRA. SRA. DE LA ALMUDENA
Duración:
05′ 44″
Relación de aspecto:
1.88:1
Resolución:
1280x680 píxeles
Tamaño:
27.77 MBytes

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