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Campo creado por un plano infinito - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo utilizamos la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico creado por un plano infinito en todos los puntos del espacio.

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En este vídeo vamos a utilizar la ley de Gauss para calcularnos el campo eléctrico creado por un plano infinito 00:00:04
cuya densidad de carga ahora es una densidad superficial 00:00:10
y la representa la letra sigma que es la carga total dividido entre la superficie de este plano. 00:00:14
Como es un plano infinito tendremos una carga infinita y una superficie infinita 00:00:22
pero el cociente será constante y es esta densidad de carga. 00:00:26
pues bien, como vamos a utilizar la ley de Gauss 00:00:31
vamos a escribirnos la ley de Gauss 00:00:34
y lo que nos dice la ley de Gauss es que el flujo de campo 00:00:39
a través de una superficie cerrada 00:00:44
va a ser la carga que encierra esta superficie 00:00:50
entre epsilon sub c 00:00:57
Pues bien, ¿cómo vamos a utilizar aquí la ley de Gauss? 00:01:00
Ya hemos visto en vídeos anteriores que la ley de Gauss era muy útil cuando teníamos una simetría 00:01:05
¿Qué tipo de simetría tendremos en este caso? 00:01:10
Observamos que simetría esférica no, porque si me muevo en este ángulo 00:01:14
no tengo... sí que cambia el problema, me acerco al plano o me alejo 00:01:19
En este caso vamos a observar que si yo me muevo así, el problema no cambia 00:01:24
Y si me alejo de un eje, el problema tampoco cambia. Solo cambia si me muevo verticalmente a lo largo del eje Z. Por lo tanto, en las coordenadas, acercarme o alejarme de un eje, girar alrededor de ese eje, esto no cambia y sí cambia en el eje Z. 00:01:30
Esto es una simetría cilíndrica también y como tengo una simetría cilíndrica voy a elegir una superficie cilíndrica. 00:02:02
¿Cuál es la superficie cilíndrica que voy a elegir? Pues voy a elegirme un cilindro que entre en el plano como así y siga por abajo hasta que termine. 00:02:15
como este campo en principio podría depender de la distancia al plano 00:02:31
tendría mucho sentido que eso fuese así 00:02:36
vamos a decir que esta altura desde el plano hasta que termina el cilindro 00:02:37
le voy a llamar A 00:02:43
es la misma que esta altura desde el plano hacia abajo 00:02:44
hasta que termina el cilindro 00:02:49
también es A, sería menos A si queréis 00:02:51
pero la distancia es A 00:02:53
observemos cómo sería el plano 00:02:57
Vamos a suponer que esta densidad de carga es positiva, si no es positiva pues simplemente le pondremos un signo menos a la carga, la densidad de carga será negativa y los vectores que yo dibujo cambiarán de sentido. 00:03:00
¿Cómo será el campo eléctrico en estos puntos de A? Pues bien, como esto tiene simetría la única opción es que vaya como el eje Z. 00:03:11
si esto fuese así sería diferente si lo pidiese desde otro ángulo 00:03:21
por lo tanto para que no varíe necesito que vaya vertical 00:03:26
y suponiendo que la densidad es positiva se tiene que ir alejando 00:03:30
aquí abajo irá así 00:03:35
en cualquier punto sobre la superficie lateral de abajo irá hacia abajo 00:03:37
y en la superficie lateral de arriba irá hacia arriba 00:03:42
¿Cómo es el vector diferencial de superficie en este caso? 00:03:45
Pues fijémonos que, como en el caso del cilindro, tenemos las tapas y tenemos el lateral. 00:03:51
Sobre el lateral tengo diferenciales de superficie como estos. 00:03:59
Diferencial de superficie y diferencial de superficie. 00:04:03
Que son perpendiculares al campo eléctrico, que es lo que estoy pintando en azul, que no le he puesto nombre, vamos a ponérselo. 00:04:07
Campo eléctrico. 00:04:14
Observamos que el vector diferencial de superficie en la superficie lateral es perpendicular al campo. 00:04:18
Mientras que en las dos tapas el vector diferencial de superficie es paralelo al campo. 00:04:23
Por lo tanto, ahora esta integral de aquí la vamos a dividir en tres partes, igual que en el caso del cilindro. 00:04:35
Campo, producto escalar, diferencial de S a lo largo ahora es de todo el cilindro porque tenemos el circulito cerrado. 00:04:43
va a ser igual, ahora ya no le pongo el dibujito de cerrado, a la superficie lateral de campo por diferencial de S 00:04:50
más la tapa superior de campo por diferencial de S más la tapa inferior del campo por diferencial de S. 00:04:59
en el caso lateral hemos observado que forman 90 grados 00:05:16
por lo tanto el producto escalar será nulo 00:05:21
y este término desaparece 00:05:24
en el caso de la tapa superior y de la tapa inferior 00:05:28
ocurre una cosa curiosa y es que 00:05:30
como hemos elegido la misma distancia 00:05:32
hasta cada tapa 00:05:34
si yo ahora mismo le diese la vuelta al dibujo 00:05:36
lo que haría es la tapa inferior sería la superior 00:05:39
por lo tanto estas dos integrales de aquí 00:05:42
esta y esta 00:05:44
tienen que ser iguales, además este producto de aquí es simplemente el producto de módulos 00:05:45
porque los vectores son paralelos, por lo tanto esta integral de aquí la puedo escribir 00:05:55
estas dos, la pongo dos veces porque es la misma integral y ahora es la integral en una tapa 00:06:00
me da igual la inferior o la superior porque son iguales hemos dicho de este campo 00:06:07
por diferencial de s sin vectores porque ya son módulos porque son paralelos 00:06:12
de nuevo si este campo depende de algo simplemente podría ser de esta distancia al plano y esa 00:06:18
distancia al plano es constante por lo tanto el campo es constante y puede salir de la integral 00:06:25
y esto es dos veces el campo por la integral en la tapa de diferencial de superficie este 00:06:30
diferencial de superficie integrado en la tapa significa coger todos los trocitos de superficie 00:06:39
de la tapa es decir la superficie de la tapa que no le hemos puesto radio a este cilindro que hemos 00:06:43
escogido, vamos a ponérselo, esto de aquí es el radio r, por lo tanto la superficie de esta etapa, esto es 2e y la superficie de la c, el círculo, pi por r al cuadrado, que sería este 00:06:48
círculo de aquí o el de abajo, el que nos guste más. Esto sería la parte izquierda de esta integral, sin embargo, ahora la parte derecha no tiene dos casos, solo tiene un caso, 00:07:06
no puede estar dentro del plano porque como es un plano no puede estar dentro 00:07:16
entonces vamos a calcularnos la carga interior de este cilindro de color rojo que hemos dibujado 00:07:20
¿cuánto es esta carga interior? pues es esta carga que está aquí dentro 00:07:26
¿por qué? porque en la parte de volumen hacia arriba y en la parte de volumen hacia abajo no hay carga 00:07:30
solo hay esa carga que hemos marcado de color rojo 00:07:36
la carga interior por lo tanto va a ser igual a la densidad de carga 00:07:39
por la superficie interior, despejando de esta ecuación de aquí, pero la superficie interior 00:07:46
coincide con la superficie de la tapa, es decir, es sigma por pi r cuadrado. Esto es lo que pondremos 00:07:53
en la parte derecha de la ecuación y esto lo que pondremos en la parte izquierda, por lo tanto 00:08:02
podemos igualar y decir que dos veces el campo por pi r cuadrado es igual a sigma por pi por r cuadrado 00:08:07
dividido entre épsilon sub cero que es este épsilon sub cero podemos simplificar la superficie de la 00:08:18
tapa por eso no era muy importante el radio y obtenemos que este campo va a ser pasamos el 2 00:08:25
dividiendo y será sigma entre dos veces épsilon sur 0. ¿Qué observamos aquí? Si esta carga es negativa 00:08:34
cambia el sentido. ¿Cuál es el sentido? Pues bien, en la etapa superior hemos dicho que iba hacia arriba 00:08:43
y en la etapa inferior hemos dicho que iba hacia abajo. Para ponerle un vector a este campo 00:08:48
necesitaremos incluir algo más que simplemente el vector unitario y será un signo y este signo 00:08:54
lo vamos a escribir de esta forma que nos dice que si z es positiva el valor absoluto de z es el mismo z por lo tanto esto es más 1 00:09:03
si z es negativa el valor absoluto de z es el opuesto del z de arriba al dividir nos dará menos 1 y el vector unitario k 00:09:15
Ahora, si esto lo representamos en función de z, que es la variable que cambia, lo que vamos a ver es que, bueno, tengo que coger las z negativas también, si la z es negativa, hemos dicho que esto tenía un signo menos, esto tenía un signo más, por lo tanto, esto nos daba menos 1 y esto nos da un valor como este, 00:09:26
que es menos sigma entre 2 épsilon cero, mientras que si la z es positiva nos da exactamente lo mismo pero hacia arriba, esto es más sigma entre 2 épsilon cero. 00:09:58
aquí necesito dejar claro que no estoy representando el módulo del campo 00:10:17
porque el módulo del campo siempre sería positivo 00:10:23
entonces el módulo del campo simplemente sería continuar esta línea de arriba 00:10:26
lo que estamos representando aquí es k producto escalar con el campo 00:10:29
esto significa que cuando el campo vaya en el mismo sentido que k será positivo 00:10:36
cuando el campo vaya al revés que k que es aquí abajo será negativo 00:10:42
podemos extrapolar esto al caso de dos cargas, dos planos 00:10:47
es decir, si yo tuviese un plano como este 00:10:54
y luego tuviese un plano, vamos a dibujarlo de color verde por ejemplo 00:10:56
un plano como este 00:11:03
separados una distancia 00:11:04
podríamos hacer el cálculo con aquí sigma sub 1 00:11:09
y aquí sigma sub 2 00:11:19
lo que observaríamos es que a la izquierda del plano azul 00:11:22
si sigma sub 1 fuese, por ejemplo, positiva 00:11:26
tendríamos este campo de aquí 00:11:30
y a la derecha tendríamos este campo de aquí 00:11:33
a la derecha del verde, como está también a la derecha del azul, sería así 00:11:35
si sigma 2, por ejemplo, fuese positiva también 00:11:39
pues en este caso tendríamos esto 00:11:43
tendríamos esto y esto así 00:11:47
podríamos encontrar el caso en el que sigma 1 y sigma 2 coincidiesen 00:11:50
las dos fuesen positivas y tuviesen el mismo valor y en la zona central 00:11:55
como tenemos campos que son iguales porque no dependen de la distancia 00:11:59
pero de sentido opuesto cancelarían 00:12:03
y tendríamos únicamente campo a la izquierda de la placa azul 00:12:07
y a la derecha de la placa verde. Ahora bien 00:12:11
el caso más interesante de esto es cuando tenemos justamente 00:12:15
una carga negativa en el caso verde 00:12:19
Esta sigma 2 es negativa. Observemos que si es negativa, este campo va exactamente al revés de lo que hemos dibujado, iría hacia dentro del plano. 00:12:24
Por lo tanto, esto viene hacia acá, esto viene hacia acá y esto viene hacia acá. 00:12:32
Si resulta que sigma 1 es igual a menos sigma 2, es decir, tienen el mismo valor absoluto pero signo opuesto, 00:12:40
fuera se van a anular completamente y dentro van a tener el doble de campo 00:12:52
en este caso el campo entre 0 y d 00:12:59
esto sería z igual a 0 y esto sería z igual a d 00:13:06
va a ser sigma entre, es el doble de esto, por lo tanto sigma entre epsilon sub cero 00:13:13
Si aquí quisiéramos poner, por ejemplo, un dieléctrico, un material, alguna cosa, esta cosa tendría una permitividad relativa que deberíamos añadir aquí. 00:13:22
Si es vacío o es aire, pues esto será uno y no lo tendremos que poner. 00:13:36
Este ejemplo de aquí es un condensador que veremos en vídeos siguientes. 00:13:42
finalmente me gustaría comentar porque 00:13:48
esto de aquí no ha dependido de la altura 00:13:51
esta A no existe, no ha salido en ningún sitio 00:13:55
y el campo finalmente no depende de Z 00:13:59
aunque hemos dicho que sí, que cambia 00:14:03
la intuición nos podría decir que sí 00:14:04
pero fijémonos que este plano estamos diciendo que es infinito 00:14:06
tampoco puede ser un plano infinito 00:14:09
igual que no podía ser un cilindro infinito en el vídeo anterior 00:14:11
porque un plano infinito no existe, no tiene sentido. 00:14:13
Lo que vamos a tener es un plano muy muy grande comparado con esta distancia A 00:14:20
y entonces los efectos de los bordes no nos van a preocupar mucho. 00:14:24
Esto de aquí es lo que nos permite tener un campo constante a un lado del plano y al otro lado del plano. 00:14:28
Y así es como se calcula el campo creado por un plano infinito. 00:14:34
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Àngel M. Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
410
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 20:15
Visibilidad:
Público
Duración:
14′ 46″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
492.91 MBytes

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