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DT2.GP.U12.1_ Elipse - Contenido educativo

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Subido el 25 de abril de 2025 por Carmen O.

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Bueno, en la clase de hoy vamos a empezar ya con la siguiente unidad, que son las curvas cónicas. 00:00:00
Entonces, dentro de las curvas cónicas se pueden ver que tenemos circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. 00:00:06
Se le llama curvas cónicas porque, digamos, son curvas que están encerradas dentro de un cono. 00:00:15
Si tú fijas aquí, verás que hay un cono y que este cono es doble y que lo podríamos prolongar hasta el infinito. 00:00:21
Entonces, por eso se le llama curvas cónicas 00:00:29
Porque al final son curvas que tenemos encerradas dentro de un cono 00:00:32
Vale, en este de aquí tenemos la circunferencia 00:00:36
Y si te fijas, podemos observar que si tú tienes este cono 00:00:39
Tienes este cono aquí 00:00:46
El plano que me define esta curva 00:00:50
El plano que define a esta curva, el plano secante 00:00:55
Es perpendicular al eje de giro del cono 00:01:00
¿Vale? 00:01:08
Cuando el plano secante es perpendicular al eje de giro 00:01:14
Lo voy a hacer más zoom para que se vea mejor 00:01:17
Cuando el eje es perpendicular al plano secante 00:01:19
El eje de giro del cono es perpendicular al plano secante 00:01:25
Ese plano, lo que me define dentro del cono 00:01:28
Es una circunferencia 00:01:31
¿Vale? 00:01:32
Vale 00:01:34
¿Qué ocurre en el caso de la elipse? 00:01:34
Pues la elipse, el plano secante ya no es perpendicular 00:01:37
Y digamos que tenemos esto así 00:01:42
Tienes tu cono, este sería tu eje de giro 00:01:44
Y resulta que este plano secante forma un ángulo aquí 00:01:53
Que es distinto del ángulo que forma la generatriz del cono respecto al eje de giro 00:02:05
Por ejemplo, si el ángulo que forma la generatriz con el eje de giro es alfa, el plano secante forma un ángulo con el eje de giro beta. 00:02:14
Y resulta que beta es mayor que alfa. 00:02:29
Entonces, cuando beta es mayor que alfa, lo que tengo es una elipse. 00:02:39
Esto no te lo tienes que saber de memoria. 00:02:44
Simplemente te lo estoy explicando porque tú una vez que te pongas a hacer ejercicios 00:02:46
Una vez visto esto, ya vas a entender un poco 00:02:51
Según el plano que tengas que te está cortando el cono 00:02:54
Ya vas a ver un poco qué figura estás formando 00:02:57
Entonces, parábola 00:03:00
¿Qué ocurre en la parábola? 00:03:03
Pues en la parábola, igual yo tengo un cono 00:03:04
Vamos a dibujarlo 00:03:07
Tengo un cono 00:03:10
Mi eje de giro del cono 00:03:13
y resulta que el plano secante es paralelo a una generatriz 00:03:20
y que este ángulo beta es igual a este plano alfa. 00:03:36
Beta es igual a alfa 00:03:52
¿Vale? 00:04:01
Y luego, ¿qué ocurre en el caso de la hipérbola? 00:04:03
A ver, aquí dentro el dibujo 00:04:06
Pues en el caso de la hipérbola 00:04:08
Queremos que así 00:04:11
Digamos que hace 00:04:12
A ver, vamos a poner 00:04:24
Que hace como así 00:04:26
¿Vale? 00:04:33
Entonces tienes alfa 00:04:34
Perdón, beta 00:04:36
No, alfa aquí, que he cogido el verde 00:04:39
Alfa 00:04:41
O sea, alfa siempre es 00:04:42
El ángulo que forma la generatriz 00:04:48
Con el eje de giro 00:04:50
Y beta es el ángulo 00:04:51
Que forma el plano secante 00:04:54
Con el eje de giro 00:04:56
Y en este caso 00:04:59
Beta es menor 00:05:00
Que alfa 00:05:02
Y cuando eso ocurre, lo que tú tienes 00:05:05
Es una hipérbola 00:05:08
¿Vale? Básicamente es esto 00:05:10
¿Hasta aquí bien? 00:05:14
Vale, pues ahora ya empezamos con lo que viene siendo un poquito ya la teoría 00:05:18
y cosas que sí me tengo que salir de memoria. 00:05:35
Vale, me dice, elipse, que es la primera curva cónica que estudiamos. 00:05:40
Dice, la elipse es una curva cerrada y plana. 00:05:45
Es el lugar geométrico de los puntos en el que la suma de las distancias a los focos, 00:05:49
f y f', esos son los focos, es constante e igual a 2a, la elipse es simétrica respecto de sus dos ejes. 00:05:54
Tenemos aquí un pequeño esquema, que esto se le llama el teorema de Dandelion. 00:06:07
Y te voy a explicar muy resumidamente qué es lo que quiere decir esto que aparece aquí, 00:06:15
esto es simplemente teoría, pero para que veas un poquito 00:06:19
qué es lo que tiene que ver con todo esto que nos dice aquí al lado. 00:06:23
A ver, yo tengo este cono, ¿lo ves? 00:06:27
Esto es mi cono, ¿vale? 00:06:32
Entonces, a ese cono le han pasado este plano de aquí secante. 00:06:34
Como aquí beta es mayor que alfa, lo que me está seccionando es una elipse. 00:06:42
Entonces, esa elipse tiene aquí dos focos 00:06:49
La elipse va, digamos, desde A hasta B 00:06:55
Esto aquí es la elipse 00:06:59
Si esto lo pusiéramos así, en color 00:07:00
Esto, esto que se ve aquí rosita 00:07:05
Es la elipse que luego coincide con esta curva cónica que tenemos aquí 00:07:11
¿Sí? Vale 00:07:18
Una elipse tiene dos focos 00:07:23
Y esos focos, en la definición de aquí al lado 00:07:25
Nos dice 00:07:28
Focos F y F1 00:07:29
Puntos de tangencia del plano secante 00:07:31
Con las esferas inscritas 00:07:34
El teorema de Dandelín lo que dice es 00:07:35
Que cuando tú le pasas a un cono 00:07:37
Un plano secante 00:07:38
Y se forma una elipse 00:07:41
Tú puedes meter 00:07:43
Entre el plano secante 00:07:46
Hacia arriba 00:07:47
Puedes meter una esfera 00:07:49
Dentro del cono 00:07:50
Y del plano secante para abajo puedes meter otra esfera 00:07:51
¿Vale? 00:07:54
No, un plano 00:08:01
Estos son planos, pero de los que ahora mismo no vamos a hablar 00:08:02
Vamos a hablar después 00:08:10
Tú ahora mismo tienes metido solamente este plano 00:08:11
Ese plano te define una elipse 00:08:13
Y digamos que en el espacio que queda encerrado 00:08:16
Del plano hacia arriba cabe una esfera 00:08:19
Y de ese plano hacia abajo cabe otra esfera 00:08:22
entonces el tema de Dandelín dice que donde esa esfera es tangente a la curva cónica 00:08:26
es decir, en este caso a la elipse 00:08:34
ese punto de tangencia, que en este caso de aquí arriba es F1 00:08:36
eso es el foco de la elipse 00:08:41
y que la esfera que cabe abajo 00:08:45
el punto de tangencia de la esfera con esa curva cónica 00:08:49
F, esto es punto de tangencia, es el foco 00:08:53
¿Vale? 00:08:57
Eso es lo que te dice la teoría 00:08:59
Que los puntos de tangencia de la esfera con la elipse 00:09:01
Son focos de esa elipse 00:09:04
¿Vale? 00:09:07
Esto es todo teoría 00:09:09
Luego te dice, las directrices de 1 y de 2 00:09:11
Esta que tenemos aquí y esta que tenemos aquí 00:09:15
Restas intersección entre el plano secante 00:09:17
con los planos pi que contienen a la circunferencia, 00:09:21
intersección entre el cono y la esfera escrita. 00:09:25
Vale, ahora sí. 00:09:27
Estos planos que tengo aquí, que son pi1 y pi2, 00:09:29
son unos planos que contienen los puntos de tangencia 00:09:34
de la esfera con las generatrices del cono. 00:09:40
¿Ves? Este puntito y ese puntito. 00:09:42
Pues están contenidos en pi. 00:09:45
Y luego este puntito y este puntito, 00:09:48
que son los puntos de tangencia de la esfera 00:09:51
con el cono 00:09:53
las generatrices del cono 00:09:55
contienen al otro plano 00:09:56
¿vale? 00:09:58
entonces, esos planos 00:10:00
cortan 00:10:02
al plano secante que contiene 00:10:04
a la elipse en dos puntos 00:10:07
de uno y de dos 00:10:09
y esos de uno y de dos 00:10:10
dice que son las directrices 00:10:13
de la elipse 00:10:15
que luego 00:10:17
son estas dos líneas que tenemos aquí. 00:10:19
¿Ves estas dos líneas? 00:10:21
Coinciden con este punto. 00:10:23
¿Vale? ¿Sí? 00:10:25
Esferas inscritas. Esfera inscrita 00:10:30
en el cono, tangente en el plano secante. 00:10:32
Y luego en la excentricidad 00:10:34
dice razón constante 00:10:35
de las distancias de un punto P 00:10:38
al foco y a la directriz. 00:10:40
¿Ves que hay aquí un punto P? 00:10:42
Pues te dice que 00:10:46
la excentricidad en el caso de la elipse 00:10:47
es menor que 1. 00:10:49
Del P 00:10:55
P a F', dividido entre la distancia que hay de P a D, tiene que ser menor que 1. 00:10:55
Si es menor que 1, se trata de una excentricidad de una elipse, ¿vale? 00:11:05
En realidad, lo único que puede ser así medio importante es esto. 00:11:12
Porque te puede decir en un enunciado que sabiendo que la excentricidad es menor que 1, 00:11:19
que qué tipo de curva cónica tienes, por ejemplo, pues tú ya tienes que seguir poniendo menos que 1, 00:11:26
pues es una elipse, ¿vale? Vale, ahora aquí, me voy a dejar para que se vea la hoja casi entera, 00:11:31
porque esta parte nos interesa verla completa, vale, dice parámetros, eje mayor o real, 00:11:48
Esto ya es la parte importante. Eje mayor o real, AB, 2A. Desde aquí o aquí, al eje mayor se le puede llamar también eje real, es decir, que tiene un enunciado, 00:11:55
te puede venir sabiendo que el eje real de la LIB se mide tanto, ¿vale? Entonces, y nos dice que esto tiene un valor de 2A. 00:12:07
Es decir, que yo, si yo me trazo aquí una línea para acotarlo y que nos sepamos las medidas, pues de aquí a aquí tengo 2A, ¿vale? 00:12:17
Esto, las medidas, las tienes que saber de memoria. 00:12:43
Toda esta parte de memoria. 00:12:49
¿Vale? Esto de aquí a aquí 00:12:51
Esto es 00:13:03
Vale 00:13:09
Siguiente, eje menor o virtual 00:13:18
Esto 00:13:22
Mide 2B 00:13:24
¿Vale? 00:13:26
Para allá 00:13:31
Para que nos quede bien 00:13:31
Así 00:13:58
Esto es 00:14:07
y nos dice distancia focal f, f', 2c 00:14:13
y el foco no lo tengo 00:14:21
vale, pues como el foco no lo tengo 00:14:23
te voy a enseñar como salen los focos 00:14:26
de la elipse 00:14:29
vale, yo tengo aquí esta distancia 00:14:31
que me dice, si esto de aquí, de a hasta b 00:14:34
esto es 2a 00:14:41
¿cuánto es esto? 00:14:42
De A hasta el centro 00:14:45
Esto es A 00:14:51
Pues tenemos que coger con el compás la distancia A 00:14:58
Me vengo aquí arriba a C o abajo a D 00:15:05
Con esa distancia A en mi compás 00:15:16
Y hago arco a un lado y a otro 00:15:18
Es decir, que esta distancia que tengo de aquí 00:15:24
A, C, esto es A, ¿vale? Esta distancia que tienes de A es la distancia que tienes desde C o desde D para hallar los focos. 00:15:28
Y entonces tú aquí ya puedes situar y decir que esto es foco y que esto es foco prima o foco 1. 00:15:47
Por lo general se pone F y F prima, ¿vale? 00:16:00
Pero verás en libros que a lo mejor le llaman F, F1 o F1, F2, ¿vale? 00:16:03
Esa es la distancia al foco. 00:16:09
Entonces, te dice que la distancia focal, es decir, desde F a F' es 2C 00:16:10
Pues si tú coges y haces lo mismo, ponemos como la acotación que hemos hecho antes 00:16:18
Y dices, vale, pues yo aquí y aquí, y esto es 2C 00:16:27
Por lo tanto, este trocito desde F hasta O es C 00:16:50
Y nos viene aquí esta fórmula 00:17:03
Que nos dice 00:17:06
A al cuadrado es igual a B al cuadrado más 6 00:17:09
¿Qué quiere decir esto? 00:17:13
Pues que resulta que esto de aquí ¿cuánto valía? 00:17:18
Esto es B 00:17:27
Y esto, esto es C 00:17:27
Y la hipotenusa ¿cuánto valía esto? 00:17:34
Aquí tengo un triángulo rectángulo 00:17:50
que cumple esta fórmula de aquí. 00:17:53
A al cuadrado, que es la hipotenusa, 00:17:58
es igual a B al cuadrado más C al cuadrado. 00:18:01
¿Sí? 00:18:05
¿Hasta aquí bien? 00:18:07
Vale. 00:18:09
Circunferencia principal, me dice, 00:18:11
centro, el de la elipse, 00:18:14
y radio, A. 00:18:16
Y es el lugar geométrico de los pies 00:18:18
de las perpendiculares trazadas de los focos 00:18:20
a cada una de las tangentes de la cónica. 00:18:22
Luego veremos qué significa esto, vale, pues me dice centro en el de la elipse y distancia A, pues cojo, trazo mi circunferencia y esta circunferencia es la circunferencia principal, C, P, circunferencia principal, vale 00:18:24
De esta circunferencia principal lo importante es lo que nos dice después 00:18:56
Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos, tatatata 00:19:01
Que luego vamos a volver a esto 00:19:05
Vale, dice circunferencias focales 00:19:07
CF y CF' 00:19:10
Centro en F y en F' 00:19:17
Y radio 2A 00:19:19
Me cojo 2A 00:19:21
Que es lo mismo que todo el eje mayor o real 00:19:26
Y, vale, ya me he cogido 2A 00:19:31
Me vengo a F' 00:19:37
Centro en F' 00:19:38
Porque te está diciendo circunferencia focal 00:19:41
Y esto es circunferencia focal prima 00:19:44
Porque la he pinchado en el prima 00:19:55
¿Vale? 00:19:56
La otra circunferencia focal 00:20:01
Centro en el foco 00:20:03
Radio 2A 00:20:04
ha salido de dibujo 00:20:09
todo esto de aquí 00:20:13
esto es 00:20:14
circunferencia 00:20:16
focal 00:20:19
¿vale? 00:20:21
y te dice 00:20:24
lugar geométrico 00:20:25
de los simétricos 00:20:26
de los focos 00:20:27
respecto a la tangente 00:20:28
a la elipse 00:20:29
esto es importante 00:20:30
lo del lugar geométrico 00:20:32
porque en base a eso 00:20:34
es como vamos a resolver 00:20:35
luego los ejercicios 00:20:36
¿vale? 00:20:38
Otra cosa más que tenemos de definición 00:20:39
Radios vectores 00:20:42
Distancia de un punto P 00:20:44
A los dos focos 00:20:45
Y se cumple que fp 00:20:47
Más f'p es igual a 2a 00:20:49
¿Qué quiere decir esto? 00:20:52
A ver 00:20:54
Yo tengo aquí un punto P 00:20:54
Por ejemplo, me lo invento 00:20:58
Este, ¿vale? 00:20:59
Yo tengo aquí este punto P 00:21:02
¿Vale? 00:21:03
Entonces, ese punto P 00:21:09
Cuando tú lo unes 00:21:11
con F', F', esto es un radiovector, radiovector de P, ¿vale? 00:21:12
Cuando tú lo unes con el otro foco, esto es un radiovector de P. 00:21:26
Y dice que la suma de los radiovectores F', F', P, la suma de los radiovectores es 2A. 00:21:37
es decir, si tú esto te lo colocas 00:21:48
y te lo pones en línea 00:21:51
te dará aquí una magnitud que es la misma 00:21:52
que 2A 00:21:55
¿vale? 00:21:56
vale 00:22:03
luego de hecho lo vamos a comprobar 00:22:03
y dice 00:22:06
vale, con el diámetro conjugado 00:22:07
no hacemos nada, vale 00:22:09
eso después 00:22:10
vale, hay una cosa 00:22:13
que no viene aquí definida que es 00:22:15
la tangente 00:22:17
la tangente que es de hecho sobre lo que funcionan los ejercicios de la EBAU 00:22:18
la tangente es que te pide por ejemplo que hagas por el punto P 00:22:24
una recta tangente a esta elipse 00:22:30
y la tangente siempre es la bisectriz 00:22:33
del ángulo que forman digamos los radiovectores 00:22:37
entonces si tú prolongas este radiovector 00:22:42
aquí tengo una bisectriz 00:22:48
vamos a hacerla 00:22:56
así 00:22:59
¿por qué no es este trozo? 00:23:09
porque 00:23:16
lo vas a ver ahora 00:23:17
o sea, te lo vas a decir después 00:23:19
porque además 00:23:21
es una de las cosas que luego cuando estés haciendo ejercicios 00:23:23
vas a tener que decir 00:23:25
vale, no me vale este, tengo que ser el otro 00:23:27
porque esto 00:23:29
¿vale? 00:23:30
la bisectriz es la 00:23:32
tangente, o bueno 00:23:35
La tangente es la bisectriz 00:23:37
De los radiovectores 00:23:39
Entonces tú tienes esto así 00:23:41
Y esto es tu tangente 00:23:43
¿Por qué no es este? 00:23:49
¿Por qué no le hago la bisectriz 00:23:57
A esto de aquí? 00:23:59
Porque si le haces la bisectriz 00:24:01
A esto de aquí, la tangente te queda así 00:24:02
Y eso no es tangente 00:24:04
¿Vale? 00:24:06
Eso de hecho es la 00:24:09
Normal 00:24:11
¿Has visto ya en matemáticas un poco de la geometría? 00:24:11
El tema de geometría que se habla de la normal 00:24:17
Que es perpendicular a la tangente 00:24:19
Vale, pues esto 00:24:21
A ver qué color pongo 00:24:23
Yo creo que este 00:24:28
Esto es la normal 00:24:31
La perpendicular a la tangente por el punto P 00:24:35
Esto es la normal 00:24:38
Perpendicular a la tangente 00:24:43
Es la recta normal 00:24:47
Vale 00:24:54
Ahora, con esta tangencia hemos dicho, la tangente puede ser bisectriz, voy a poner aquí debajo y de hecho le voy a añadir la teoría para el año que viene, 00:24:55
tangente bisectriz de los radiovectores o mediatriz de los focos simétricos. 00:25:07
y te voy a explicar qué significa eso, 00:25:31
bisectriz de los radiodectores o mediatriz de los focos simétricos. 00:25:37
Una de las cosas con las que juegan en los ejercicios de la BAO 00:25:41
es con los focos, el simétrico del foco. 00:25:44
Si te está diciendo simétrico, 00:25:49
yo, aquí en la tangente, 00:25:53
es como si mi tangente fuera un eje de simetría, 00:25:55
y el foco simétrico de F' es, 00:25:58
Si yo hago una perpendicular a la tangente 00:26:03
Donde me corte en esta prolongación de los radiovectores 00:26:06
Que verás que coincide con la circunferencia focal 00:26:11
Ahí tengo el simétrico del foco 00:26:14
Vamos a ver qué significa esto 00:26:16
Hago así 00:26:19
Me coloco y vais a ver cómo luego queda 00:26:21
Que es una mediatriz 00:26:25
Me coloco y digo, vale, pues esto 00:26:26
Perpendicular 00:26:30
Si tú coges 00:26:37
Estoy haciendo el simétrico de f' 00:26:41
Y estoy usando como eje de simetría 00:26:44
La tangente 00:26:47
¿Vale? 00:26:48
Esta distancia 00:26:51
Desde donde he cortado, digamos, al eje de simetría 00:26:52
Hasta f' 00:26:56
Es la misma que esta que tienes aquí 00:26:57
La azulita 00:27:00
Es una perpendicular a la tangente 00:27:05
Que pasa por f' 00:27:08
Esta 00:27:10
me preguntas por esta azulita, ¿no? 00:27:12
esta azulita es 00:27:16
tú tienes la tangente 00:27:17
y la tangente además sirve 00:27:18
de eje de simetría 00:27:21
entre los focos simétricos 00:27:22
¿vale? entonces 00:27:24
cuando tienes un eje de simetría 00:27:26
para hallar el punto simétrico 00:27:28
tú lo que haces es esto 00:27:30
a ver, un lápiz 00:27:31
claro, una de las cosas que te van a pedir 00:27:34
es punto simétrico, entonces cuando tú haces 00:27:39
la perpendicular 00:27:40
ves que te cae aquí justo, esto es f segunda, esta distancia es igual que esta. 00:27:41
¿Ves que te cae el punto simétrico en la circunferencia focal? 00:28:02
Pues eso es un dato que tú tienes que tener todo el rato en la cabeza. 00:28:08
Que el simétrico es simétrico respecto de la tangente, que cae en la circunferencia focal 00:28:12
y además aquí, ¿qué es lo que ves entre f y f segunda? 00:28:19
¿Qué distancia es esta? 00:28:24
A ver, es 2a. 00:28:29
¿Te acuerdas que hemos dicho antes la suma de los radiovectores? 00:28:33
Es 2a. 00:28:37
Esto es como si hubieras estirado esto de aquí 00:28:38
y tú lo hubieras traído aquí. 00:28:41
Toda esta distancia es 2a. 00:28:45
¿Sí? 00:28:54
O sea, podéis anotar por ahí que la distancia entre F, entre un foco, y el simétrico del otro foco es 2A. 00:28:54
Voy a poner aquí, es que a ver, que no me ensucie mucho, esto, esto es 2A. 00:29:08
Y este dato es importante, ¿vale? 00:29:20
El próximo día empezamos a hacer las rectas tangentes y empezamos a jugar con todo esto aquí, ¿vale? 00:29:23
Gracias. 00:29:30
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Primer Ciclo
        • Primer Curso
        • Segundo Curso
      • Segundo Ciclo
        • Tercer Curso
        • Cuarto Curso
        • Diversificacion Curricular 1
        • Diversificacion Curricular 2
    • Compensatoria
Autor/es:
Carmen Ortiz Reche
Subido por:
Carmen O.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
2
Fecha:
25 de abril de 2025 - 10:39
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES FRANCISCO AYALA
Duración:
29′ 31″
Relación de aspecto:
16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:
1272x720 píxeles
Tamaño:
583.60 MBytes

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