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Ejercicio 2 global 3 ev 2 bach - Contenido educativo
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En este segundo ejercicio nos piden que estudiemos la continuidad y derivabilidad de una función.
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Lo primero, como tenemos una función que tiene un valor absoluto,
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lo tenemos que separar cuando el valor absoluto es lo de que está dentro del valor absoluto es menor que 0 y cuando es mayor que 0.
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Pues como tenemos simplemente dentro del valor absoluto x, solamente dentro del valor absoluto tenemos el valor absoluto de x,
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pues lo que vamos a hacer es separarlo.
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¿Valor absoluto de x? Pues eso cambia de signo cuando la x es menor que 0 o cuando la x es mayor o igual que 0.
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El signo menor lo podemos poner arriba o abajo, nos da lo mismo.
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Entonces, cuando la x es menor que 0, sería menos 5.
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Pero como es el valor absoluto lo tenemos que cambiar de signo, entonces nos queda menos x y x cuadrado más 1.
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Abajo, como es positivo, no hay que hacerle nada, pues tenemos x cuadrado más 1.
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Vale, ahora, tenemos que estudiar la continuidad.
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Siempre que tengamos una función a trozos, tenemos que decir en cada uno de los intervalos que es lo que pasa.
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En este caso, lo que tenemos son fracciones algebraicas.
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Como son fracciones algebraicas, pues tenemos que mirar que pasa en el denominador.
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Y no se anula el denominador en este caso.
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En este caso, porque es x cuadrado más 1 igual a 0, es decir, x cuadrado igual a menos 1, es imposible.
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Entonces, las fracciones algebraicas que nos anula el denominador son continuas y derivables en esos intervalos.
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Ahora tenemos que ver qué pasa en x igual a 0.
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Tenemos que estudiar si es continuo o no es continuo.
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Entonces, para ver si es continuo, hacemos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de menos x partido por x cuadrado más 1,
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que simplemente es sustituir, y nos sale 0, el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x partido por x cuadrado más 1,
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que también nos sale 0, y tenemos que calcular también f de 0, que lo podríamos haber puesto en una de estas.
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Entonces, como f de 0 es 0 partido por 0 al cuadrado más 1, también nos sale 0.
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Como las tres coinciden, significa que la función es continuo.
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Bueno, ya sabemos que la función, entonces, y por tanto en todo R.
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Ahora, ¿qué pasa con la derivada? Pues vamos a hacer la derivada en cada uno de los trozos y vamos a comprobar si coinciden o no coinciden.
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Entonces, haciendo la derivada, como tenemos, por un lado, tenemos la derivada de menos x partido por x cuadrado más 1,
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su derivada es, utilizando la regla del cociente, ponemos x cuadrado más 1 al cuadrado,
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y arriba nos queda la derivada de lo de arriba, que es menos 1 por lo de abajo sin derivar, x cuadrado más 1,
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pero con este menos se pone menos 1, menos la x por la derivada de lo de abajo.
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Si hacemos aquí cuentas, nos queda que x al cuadrado menos 1, partido por x cuadrado más 1, todo ello al cuadrado.
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Entonces tenemos que poner x cuadrado menos 1, partido por x cuadrado más 1, al cuadrado, si x es menor que 0.
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Por otro lado, si tenemos que x es partido por x cuadrado más 1, en este caso la derivada abajo nos puede quedar x cuadrado más 1 al cuadrado,
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y aquí arriba tenemos x cuadrado más 1 menos x por 2x, o lo que es lo mismo, menos x cuadrado más 1, partido por x cuadrado más 1 al cuadrado.
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Menos x al cuadrado más 1, partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado, si x es mayor que 0.
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Aquí no se pone igual, porque tenemos que comprobar si existe esa derivada.
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¿Cómo lo hacemos si existe la derivada? Pues haciendo el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f' de x, es decir, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de x cuadrado menos 1,
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partido por x cuadrado más 1, todo ello al cuadrado, que sustituyendo nos sale menos 1 partido por 1, igual a menos 1.
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Por otro lado, el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f' de x, es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de menos x al cuadrado más 1,
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partido por x cuadrado más 1 al cuadrado, igual a 1 partido por 1, que es 1.
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Como no coinciden, no es derivable.
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Y por tanto, luego f de x es continuo en R, pero no es derivable en x igual a 0.
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Y con esto estaría terminado el ejercicio segundo.
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- Autor/es:
- Rafael Oliver
- Subido por:
- Rafael O.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 30
- Fecha:
- 29 de abril de 2023 - 11:44
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES LAS AMÉRICAS
- Duración:
- 07′ 15″
- Relación de aspecto:
- 1.88:1
- Resolución:
- 3192x1696 píxeles
- Tamaño:
- 35.05 MBytes
