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Figuras semejantes y Teorema de Tales - Contenido educativo

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Subido el 8 de abril de 2026 por Distancia cepa parla

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Hola, buenas tardes. Después de la vacación de Semana Santa, continuamos con la lección de geometría. 00:00:02

Después de estar viendo elementos de la geometría y de estar viendo figuras geométricas y de ver áreas, perímetros en los polígonos, 00:00:12

Pues vamos a ver hoy el tema de semejanza, semejanza de dos figuras. 00:00:27

Entonces, decimos que dos figuras puede que no sean iguales, pero son semejantes si sus lados son proporcionales. 00:00:38

¿Qué quiere decir eso? Que si cada lado, yo lo multiplico por un número fijo, y resulta que todos los lados son iguales a esa multiplicación del lado pequeño por el número fijo, 00:00:48

no es tan un número grande, entonces son semejantes. Y a ese número del que estoy hablando se le llama razón de semejanza. 00:01:04

Y la razón de semejanza, ya digo, es las veces que el tamaño grande está en proporción con el pequeño. Esa es la razón de semejanza. 00:01:12

Y son proporcionales y se puede decir que el lado A'B' con respecto a este, al AB, esa división es la misma que C'B' con respecto al pequeño CD y así los cuatro lados y esa cantidad es la razón de semejanza. 00:01:27

En este caso es dos bienes sin unidades, porque no estamos midiendo una longitud, lo que estamos es dando el numerador entre el denominador y estamos diciendo que es tantas veces más pequeño. 00:01:50

Esa es la razón de semejanza. Bien, pues vamos a hacer, con respecto a la razón de semejanza, vamos a hacer un ejercicio que hay en la página 20, porque aquí está solo la teoría, pero en la página 20 tenemos los problemas. 00:02:05

19, la última vez hicimos problemas hasta aquí, más o menos. 00:02:28

Entonces, vamos a hacer este problema número 24, que dice así, observa estas tres fotografías, 00:02:41

indica si son semejantes entre sí y por qué. 00:02:54

Bien, pues para ver si son semejantes la A con la B, vamos a comparar, estamos viendo que el dibujo de dentro parece semejante, vale, pero vamos a ver si el tamaño este con este lo es o no. 00:02:57

Entonces decimos, vamos a hacer la misma relación de semejanza, 12 entre 8, vamos a ver si es lo mismo que 7,5 entre 5, y 7,5 entre 5, que es el lado grande, 00:03:13

o sea, el lado, la altura del lado grande entre la altura del lado pequeño, vale, pues resulta que 12 entre 5 es 1,5 y 1,5 es lo mismo que 7 y medio entre 5, 00:03:37

7,5 entre 5 también es igual a 1,5, con lo cual se puede deducir que A y B sí que son semejantes, 00:03:57

este con este son semejantes porque sus lados están en proporción, son proporcionales, 00:04:09

este lado grande con este y este pequeño con este pequeño. 00:04:16

Y vamos a ver ahora C con D. Vamos a ver si 13 entre 12, 13 entre 12, guarda la misma proporción que 9 entre 7,5. 00:04:20

y 9 entre 7,5, pues no da lo mismo porque 9 entre 7,5 es 1,2 y 13 entre 12 es 1,08, con lo cual estas dos figuras no son proporcionales, 00:04:39

no guardan la misma razón de semejanza que guardaban entre A y B y podríamos decir que 00:05:13

entre B y C no son semejantes entre sí. Y ya digo, lo haríamos así comparando los 00:05:20

lados los unos con los otros. Vale, otro ejemplo dice, voy a hacer este, el 26, dice los lados 00:05:29

de un triángulo mide 6, 8 y 12. Por ejemplo, este mide 6, 8 y 12, más grande. Y se construye 00:05:39

otro cuyas dimensiones son 9, 12 y 18. Otro más grande que mide 9, 12 y 18. Suponiendo 00:05:50

que tuviera más o menos la misma forma, vale. Ya nos dicen cuál es la razón de esta 00:06:00

Por lo cual, si este mide 18 y este mide 12, y luego, por ejemplo, el lado pequeño, este mide 6 y este mide 9, pues ya podríamos establecer una proporción de lado grande con lado alto. 00:06:06

Podemos usar este pequeño y este gato con este otro y vamos a comprobar si son semejantes y cuál es la relación semejante. 00:06:30

Por ejemplo, 18 entre 12 es igual a 1,5 y 9 entre 6, estoy comparando dos lados en proporción que no son iguales pero que están en la misma zona del triángulo, 00:06:39

pues no entre 6, también es 1,5, con lo cual son proporcionales y su razón de semejanza es esa. 00:07:11

Vale, de la misma manera podemos, vamos a hacer este ejercicio, dice, los triángulos de la figura son semejantes, 00:07:33

allá donde pide el lado a X. Si 8 entre 4, vamos a comparar este lado largo, o sea, 00:07:42

la base del triángulo grande con la base del triángulo pequeño y diríamos 8 entre 00:07:51

4 es igual a 2. ¿Vale? Pues está en la proporción el doble, porque este es 4 y este es 8. Si 00:07:58

este es 10, 10 entre x, que no lo sabemos, tiene la misma proporción, que es 2 también. 00:08:09

Si sustituimos, la x la llevamos para arriba, el 2 lo llevamos para abajo, x es igual a 00:08:22

10 entre 2, que es 5. 00:08:32

10 entre 2, 5. 00:08:41

Vale, pues ya sabemos la forma de la X, que estos son 5. 00:08:44

Me imagino que serán centímetros. 00:08:48

Bien, pues vamos a volver a la teoría. 00:08:52

Avanzar un poco más. 00:08:57

Bueno, el problema de tal es, ah bueno, antes vamos a calcular, hemos visto semejanza de triángulos, pues vamos a ver un momentito lo que es la escala. 00:09:13

La escala es la relación que hay entre la representación del plano o del mapa y la realidad. 00:09:33

Entonces, normalmente la escala se representa con un número, dos puntos y otro número. 00:09:42

Y quiere decir que lo que medimos en el dibujo o en el mapa, en la realidad son 50 veces. 00:09:49

Así es que este 1 representa al dibujo y una parte, un centímetro, un milímetro, que cojamos del dibujo es en la realidad, en este caso, 50 veces más en la realidad de milímetros, centímetros, etc. 00:09:57

Entonces, esa es la escala. Bien, pues vamos a ver cómo calcularíamos, dice, ¿cuánto mide la raíz de una ventana? En un plano mide 1,50 y tiene 3 centímetros de ancho. 00:10:25

O sea, lo que está es dibujada en un plano y está dibujada con 3 centímetros de ancho, ¿vale? Pues, si está, si mide 3 centímetros en el plano, el armonitán mide 50 veces más. 00:10:43

O lo podemos hacer con una regla de tres. Si una unidad, un centímetro, que la realidad son cincuenta, tres X. Entonces, multiplicamos y son ciento cincuenta centímetros. 00:11:12

Él en realidad dice, bueno, pues una ventana sería 1,5 metros. 00:11:28

Si lo pasáramos a metros, sería esa la medida. 00:11:36

Pero ya digo, comparamos, uno es a 50, como tres, que está aquí alguna raya, tres es a X. 00:11:41

Vale, otro, ¿cuánto mide en el plano con una escala 1,20, 00:11:49

una puerta de 80 centímetros de alto. Entonces, si 1 es a 20, x, que es lo que no sabemos 00:11:55

porque es la medida del plano, es 80 en la realidad. Así es que 1 por 80 partido de 00:12:05

20, 4 centímetros en el plano. Esta es la medida del plano. 4 centímetros, por eso 00:12:12

la verdad es que el tamaño es tan pequeño. En fin, y si lo que queremos es calcular la 00:12:21

escala, pues nos dan las medidas de las distancias en el plano. Y dices, entre A y B hay 4.000 00:12:26

metros y la distancia en el plano de 2 centímetros. ¿Cuál es la escala? Entonces, si 2 centímetros 00:12:37

son 4 milímetros, no podemos tener diferentes unidades, 00:12:46

4 milímetros, le tenemos que poner dos ceros más, 00:12:51

1, 2, 3, son 400 mil. 00:12:54

Si 2 centímetros son 400 mil centímetros, 00:12:58

la escala para 1 será X. 00:13:02

Dividimos 400 mil entre 2 y nos da 200 mil. 00:13:06

Entonces, eso, la escala es 1, 200 mil. 00:13:11

Vamos a poner todos los ceros, así se ve mejor. 00:13:15

1,200 mil no tiene unidades porque esa es la escala 00:13:17

si fueran centímetros, centímetros o metros, metros 00:13:21

y así se calcularía, bien, pues vamos 00:13:24

un poquito más para abajo, hacer algún ejercicio con escadas 00:13:28

bien, estos son los triángulos semejantes 00:13:33

vale, dije, hay a la dimensión de un salón 00:13:47

de 4 metros de largo y 5 metros de ancho 00:13:52

pues sería una cosa, vamos a dibujar un salón de 4 metros de largo y 5 metros de ancho, ¿vale? 00:13:57

En un plano a escala 1,200. Entonces, en la realidad mide 4 por 5 metros. 00:14:17

Y si este es 1, 200, vamos a ver las dimensiones que tendríamos que ponerle, porque necesitamos dos medidas, una de el largo y la de el ancho. 00:14:29

Entonces, decimos, si 1 es, 1 del dibujo es 200 veces mayor que la realidad, 4 metros, perdón, lo que estamos dibujando son las medidas del dibujo, entonces es x, uy, es 4. 00:14:43

vale, pues hacemos la regla de 3 y decimos 00:15:15

4 entre 00:15:20

2, o sea, este por este, partido de este, pues 00:15:24

4 entre 200, esa sería 00:15:29

la medida en metros, que eso es 00:15:32

0,02 metros, y dicen, pero vale, pero nos están pidiendo 00:15:38

la medida del dibujo, bien, pues la medida del dibujo 00:15:42

de metros a centímetros es dos centímetros 00:15:49

dos centímetros sería esta, la de cuatro metros, esta sería igual, lo veo con el 00:15:57

antojo rojo, esta sería igual en un dibujo de dos centímetros, vale, y ahora nos quedaría 00:16:02

la medida de 5. Para hallar la de 5, volvemos a hacer la regla de 3 y decimos si 1 su escala 00:16:14

es 200, si 1 es 200, x que es en el dibujo son 5. Y operamos y x es igual a 5 entre 200. 00:16:27

5 entre 200 es igual a 0,25, 0,025, pero como estamos con metros, yo lo tengo que pasar 00:16:45

a centímetros, y de metros a centímetros, multiplicamos por 100, y esto es 2,5 centímetros. 00:17:11

Este, ya digo, sería la medida de los 5 metros de largo, y este es igual a 2,5 centímetros, 00:17:28

¿Qué sería el tamaño que nosotros dibujaríamos en el papel de 2x2,5 en una escala de 1,200? 00:17:38

Así es que la realidad, este dibujo de 2x2,5, 200 veces mayor y mide 4 metros por 5 metros. 00:17:57

Ese sería el dibujo de la escala. 00:18:06

Bien, pues vamos a continuar un poquito más 00:18:09

Y nos habíamos quedado 00:18:14

En las medidas y los cálculos de las escalas 00:18:18

Vamos a ver ahora el teorema de Tales 00:18:23

Mirad, el teorema de Tales es 00:18:26

Que en un triángulo, o bueno 00:18:29

En dos rectas secantes 00:18:32

Secantes es que se cortan en un punto 00:18:34

Una recta secante es que se cortan 00:18:36

Si están atravesadas por dos paralelas, se pueden dar lugar a ciertas proporcionalidades, que es, por ejemplo, que AC, esta medida AC, dividida entre CE, AC entre CE, el lado largo por el lado pequeño, se puede sacar una proporción de AB dividido entre BD. 00:18:39

Eso no es así porque estas dos son paralelas y cortan a dos secantes y dan lugar a dos triángulos. 00:19:09

Un triángulo pequeño y un triángulo grande. 00:19:16

Y entonces, este lado grande con este pequeño es igual al lado grande con este pequeño. 00:19:18

Por ejemplo, aquí hay un ejemplo, sabiendo que los segmentos de las rectas S1 y S2, 00:19:26

Estas son las rectas S1 y S2, comprendidas entre las paralelas R1, R2 y R3, son proporcionales. 00:19:33

Entonces, estas, bueno, basta decir que estas se cortarían aquí en un punto, bueno, en este punto, se cortarían estas rectas. 00:19:45

Y si estas dos son paralelas, podemos sacar la proporción. 00:19:55

Y vamos a ir a X. X, pues, es esta X de aquí, y podemos decir que X entre 6, X entre 6 es igual a 3 entre 7. 00:19:58

Y sacamos esta proporción, despejamos la X y X es igual, este le pasamos aquí multiplicando, 18 entre 7, que da 2,57. 00:20:15

Vale, pues esa sería la medida de este lado, porque están en proporción este con este y este con este, aplicando detalles. 00:20:35

¿Vale? Y de la misma forma, los triángulos pueden ser semejantes cuando sus lados son proporcionales. 00:20:46

Si este lado está en proporción con este, ese está en proporción con este, y este con este, y ya antes hemos visto lo que era que estuviera en proporción. 00:21:09

Que si el lado largo C lo divide entre el pequeño C', el lado largo de la base B lo divide entre B' y A está entre A' y todo esto nos da lo mismo, pues que los triángulos son semejantes y tienen los lados proporcionales. 00:21:18

Y eso sí, lo que tienen que tener exactamente igual son los ángulos. 00:21:44

Entonces, este ángulo y este ángulo, si es el mismo, si miden lo mismo, 00:21:49

aquí en B, este ángulo con el B', mide los mismos grados y C con C', 00:21:56

entonces los triángulos son semejantes. 00:22:02

Esos son los criterios de semejanza de triángulos. 00:22:05

¿Cuándo tienen tres lados proporcionales? 00:22:09

Proporcionales es lo que acabamos de ver, que esté en proporción este con este. 00:22:13

Vale, ¿cuándo tienen tres ángulos iguales? 00:22:19

Eso es lo que acabo de explicar, que si este ángulo y este ángulo son iguales, los triángulos son semejantes. 00:22:23

Y hay otros criterios que tengan dos lados proporcionales y un ángulo igual. 00:22:31

Entonces, cuando A está en proporción con la prima, B con la prima, y el ángulo C, dice prima, es el mismo, que ese es el ángulo, 00:22:42

Ahí se dice también que los triángulos son semejantes. Así que ya digo, o bien tres lados iguales, o bien tres lados proporcionales, o tres ángulos iguales, o bien dos ángulos proporcionales y dos lados proporcionales y un ángulo igual. 00:22:55

A ver, 66,4, este es el mismo, 56,8, 56,8, vale, estos dos sí son semejantes porque tienen tres ángulos iguales, vale, vamos a medir proporción, 6 es a 3, 2, 3 a 1,5, 2, 4 entre 2, 2, vale, 00:23:20

La razón de semejanza es 2, hemos dividido 6 entre 3 y da 2. 00:23:49

Hemos dividido 4 entre 2 y da 2, y 3 entre 1,5 y da 2. 00:23:57

Vale, pues esa razón de semejanza también nos da que los triángulos son semejantes. 00:24:03

Y el tercer criterio era que si este lado y este, este y este, está en proporción, por ejemplo, 10 entre 5, 2, vale, 6 entre 3, 2, la razón de semejanza, y un ángulo, no hay que mirar el tercer lado, no nos hace falta contener el mismo ángulo que mide 30, 00:24:11

Y luego, dos lados semejantes, este con este y este con este, también sería el tercer criterio de proporcionalidad. 00:24:37

Así es que, con esos tres criterios, los triángulos son semejantes. 00:24:47

Con el 1, el 2 y el 3, que es lo mismo que estaría en esta tabla, en los criterios de semejanza. 00:24:52

Vamos a ver en este caso si este triángulo es semejante. 00:25:03

10 entre, digo 15 entre 10, 1,5. 00:25:13

18 entre 12, 1,5 y 22 entre tal. 00:25:18

Pues este sí que sería semejante porque los lados son proporcionales 00:25:23

y porque su razón de semejanza es 1,5. 00:25:26

este mide 100 00:25:30

vamos a ver 00:25:34

los tres, la suma de los tres ángulos 00:25:37

de un triángulo ya sabemos que es 00:25:41

180 grados 00:25:44

entonces si nos dicen que esto es 00:25:48

100 y este es 60, este ángulo de aquí 00:25:50

son 20 grados 00:25:54

no nos lo dan, pero lo podemos calcular 00:25:55

20 grados. Entonces, si este es 100 y este es 20, este es 60 grados. Vale, pues si tienen los tres ángulos iguales, 00:25:59

100, 60 y 20, podemos decir que estos dos triángulos sí son semejantes, porque tienen los ángulos iguales. 00:26:13

Son semejantes porque tienen tres ángulos iguales. 00:26:24

Y ahora, lo último, dos lados proporcionales, veinte entre ocho, o veinte entre ocho, y diecisiete con cinco entre siete, y un ángulo de sesenta y cinco, ¿vale? 00:26:29

Pues que están en proporción, este con este, estos dos lados están, y el ángulo de 65 grados es el mismo. 00:26:53

Así es que también son semejantes porque tienen dos lados en proporción y un ángulo igual. 00:27:02

Si estos triángulos les cologamos uno encima del otro, como esta posición, triángulo grande, triángulo pequeño, 00:27:13

Bueno, tendríamos lo que hemos estado explicando antes, que es el teorema de Thales. 00:27:22

Hemos estado explicando que cortados por dos paralelas, unas secantes, tienen sus lados en proporción. 00:27:30

Pues vamos a ver cómo, teniendo los lados en proporción, estos triángulos son también semejantes. 00:27:40

Entonces, si AB, el lado grande, con AB', o sea, el lado largo AB dividido entre AB', 00:27:50

cumple lo mismo o mide lo mismo que AC partido de AC'. 00:28:03

Si esto y esto se cumplen, eso quiere decir que esta razón de semejanza es la misma 00:28:11

y los triángulos son semejantes. 00:28:19

Si los ponemos siempre de esta forma, los ponemos en vertical, pues tendríamos lo mismo. 00:28:24

Vamos a ver que el lado, bueno, este es, aquí estaría, veis, nos falta por poner el lado 00:28:32

y aquí estaría de prima, que nos faltaría por poner, vale. 00:28:42

El lado AB largo, este de aquí, dividido entre AB', podemos sacar la proporción de AC, AB partido de AC', que es lo mismo que AC partido de AC'. 00:28:49

Y si se conserva esa proporción, entonces C partido de A C'. 00:29:20

Entonces, si esa proporción da la misma razón de semejanza que la misma en ambos casos, 00:29:30

entonces se dice que los triángulos son semejantes. 00:29:39

Vamos a hacer un ejemplo. 00:29:45

Ahí es que se está. 00:29:46

12, 8, aquí faltaría el número 25, ¿qué nos falta? Esto es X, este es X, es A12, como 25 es A8, entonces diríamos que X es A12 como 25 es A8. 00:29:48

Vamos a ponerlo así, X es a 12, igual, porque nos están diciendo que son dos triángulos semejantes. 00:30:23

X es a 12, como 25 es a 8. 00:30:34

La altura grande partida de la altura pequeña es igual a la base grande partida de la base pequeña. 00:30:45

Bien, pues si despejamos la X es igual a 25 por 12 partido de 8, 25 por 12 partido de 8, 00:30:51

Y esto nos daría 37,5, que sería la medida de la altura grande, que es esta de aquí, 37,5. 00:31:09

Este mide 25, pues este más. Bien, porque si este es 8 y este es mayor, es que el dibujo no se corresponde. 00:31:32

Pero si este es 8 y este es 12, pues obviamente si es 25, este tendría que ser mayor. 00:31:38

Y se calcularía así, por semejanza de triángulos, y podríamos tener las medidas en dos triángulos diferentes, pero semejantes, de uno de los lados que nos faltaría por calcular. 00:31:44

Bien, pues con esto último que hemos visto, el teorema de Thales, hemos estado viendo también en este caso, aquí este lado calculado también de la misma manera, 00:31:57

y los cálculos de la escala, la escala también la hemos visto en la clase de hoy, 00:32:14

y pues con esto daríamos por finalizado el tema, este tema, 00:32:22

y nos quedarían dos sesiones para los siguientes temas. 00:32:29

El siguiente tema que nos queda antes de acabar el trimestre es el de probabilidad y estadística. 00:32:34

Así es que a la semana que viene veremos el otro tema que nos queda para terminar el trimestre y el examen que está a la vuelta de la esquina, a primero de mayo, el 6 de mayo. 00:32:40

Pues nada, un saludo y hasta la semana que viene. 00:32:58